重難點17幾何壓軸突破四幾何最值問題

費馬點與瓜豆模型

（2種模型詳解+5種題型匯總+針對訓練）

【題型匯總】

費馬點模型

類型一費馬點

費馬點概念：三角形內部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.

結論：

1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點;

2）對于有一個角超過120。的三角形，費馬點就是這個內角的頂點.

（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120。）

【解題思路】運用旋轉的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉60°構造等邊三角形，根據兩點之間線段最短,

得出最短長度.

【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結論

如圖所示，以邊AB、AC分別向AABC外側作等邊三角形，連接DC、EB,交點為點P,點P為費馬點.

圖形結論

等腰三角形A①NAPB=/BPC=/APC=120°；

②4ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

?△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

等邊三角形D一aE①AP=BP=CP；

②NAPB=/BPC=NAPC=120°；

③4ABP、AACP,Z\BCP全等；

W④點P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點；

⑤點P是4ABC各邊的中線的交點；

⑥點P是內心，是在三角形三個內角的角平分線的

交點；

⑦4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

直角三角形E①4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小；

②NAPB=/BPC=NAPC=120°

Bc

【進階】

加權費馬點模型概述：前面學的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數都是1,如果現在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數不是1,那么此類題目就叫做“加權費馬點”.

【模型拓展】

類型一單系數類

當只有一條線段帶有不為1的系數時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

2）另一種是旋轉放縮，對應三角形三邊之比

類型二多系數類

其實當三條線段的三個系數滿足勾股數的關系時，都是符合加權費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉中心，旋轉不同的三角形得到的系數是不同的，對于給定的系數，我們該如何選取旋轉

中心呢？我們總結了以下方法：

1.將最小系數提到括號外；

2.中間大小的系數確定放縮比例；

3.最大系數確定旋轉中心（例如最大系數在PA前面，就以A為旋轉中心），旋轉系數不為1的兩條線段所

在的三角形。

例：已知：在RtZkABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,Z\ABC內部有一點P,連接PA,PB,PC

A

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點C順時針旋轉60°得4CDE

盛

小值BD長度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=鬧

BC

求PA+PB+V2PCX△CAP繞點C順時針旋轉90°得4CDE

最小值此時4PCE為等腰直角三角形，即PE=VIPC

因止匕原式=PA+PB+&PC=ED+PB+PE,則當B、P、E、D

C四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，在Rt^BFD

B6OF

622

3廿????....八/3中有勾股定理可得BD=VBF+FD=V91

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點C順時針旋轉120°得4CDE

最小值此時APCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,貝1|當

B2

B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，

V--

在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

760+30V3

求

AL思路：原式=2(PA+ipB+^PC)

22

2PA+PB+V3PC

D將PC邊繞點C旋轉60°,然后過點P作PFLCE于

最小值

/點F,則PF=^PC;2)利用三角形中位線來處理；3)

PA前的系數是1,不需要轉化，所以旋轉APCB.

過程：ABCP繞點C順時針旋轉60°得ACDE,然后過

D點P作PFJ_CE于點F,此時4PCE為等邊三角形，即

PF=@PC,過點F作FG〃DE,貝!]FG=工PB,則當A、P、

22

F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求，在Rt

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V34，原式

=2(PA+1PB+^PC)=2734

求D過程：AACP繞點C順時針旋轉60°得ACDE,然后過

2PA+4PB+2V3PC點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，即

最小值

pF=V3pc)過點F作FG〃DE,則FG=-AP,則當B、P、

22

F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求，在Rt

B另：△BCG中有勾股定埋可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=4

(-PA+PB+^PC)=26

22

備注：若變形后的系數不是特殊值，則可借助位似的相關知識進行求解.

題型01普通費馬點模型

1.(2024?廣東?二模)若銳角三角形2BC內的點P滿足乙4PB=N8PC="Pa=120。，則稱點P為AaBC的

費馬點.如圖，在AaBC中，AB=AC=V7,BC=有,則△48C的費馬點P到A,B,C三點的距離之和為

A

【答案】A

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理和解直角三角形，過4作4D1BC于點D,過8、C分別作

乙DBP=4DCP=3。°,則PB=PC,證明乙4PB=Z_BPC=NCP4=120。，所以點P是△的費馬點，再

通過解直角三角形即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】過4作4。_LBC于點。，過8、C分另U作NDBP=NDCP=30。，

：.PB=PC,

.■■/.APB=乙BPC=/.CPA=120°,

二點P是△ABC的費馬點，

■：/.ADC=/.ADB=90。，BD=CD—BC=

22

"DPC=60°,

V3V3

CD1

；.PnCr=---C-D--=彌T=14,PnDn=--------=TW=-，

sin60°v3tan60°V32

2

在Rt△40c中，由勾股定理得：AD=VXC2-CD2=J(77)2_gj=￡

51

'.PA=AD-PD=---=2

22f

?.PA+PB+PC=2+1+1=4,

即△ZBC的費馬點P到4B,。三點的距離之和為4,

故選：A.

2.（21-22九年級上?四川成都?階段練習）如圖，在△ABC中，^CAB=90°,AB=AC=1,尸是△ABC內一

點，求P4+PB+PC的最小值為

【分析】將A4PC繞點C順時針旋轉60。得△。/C,可得PC=PF,DF=AP,將P4+PB+PC轉化為FD+BP+

PF,此時當2、P、F、。四點共線時，P4+P8+PC的值最小，最小值為2。的長；根據勾股定理求解即

可.

【詳解】解：將“PC繞點C順時針旋轉60。得△￡>",連接PRAD.DB,過點。作DErBA,交區4的延

長線于點E；

：.AP=DF,^PCF=^ACD=60°,PC=FC,AC=CD,

:.XPCF、A4CD是等邊三角形，

：.PC=PF,AD=AC=\,乙DAC=6Q°

.■.PA+PB+PC=FD+BP+PF,

當8、P、F、。四點共線時，P4+PB+PC的值最小，最小值為8。的長；

■：^CAB=90°,ZCAD=6O°,

；ZEAD=3O°,

11

??.DE=-AD=-,

22

：.AE=yjAD2-ED2=—,

2

口口d.V3

-'?BE=14----,

2

：.BD=VBE2+DE2=

2

■-PA+PB+PC的值最小值為漁拜.

故答案為：漁尹.

【點睛】本題考查費馬點問題，解題的關鍵在于將AAPC繞點C順時針旋轉60。得△。/C,將三條線段的長

轉化到一條直線上.

3.（2021九年級?全國?專題練習）如圖，已知矩形43=4,8C=6,點M為矩形內一點，點E為8c

邊上任意一點，則的最小值為.

【答案】4+38

【分析】將A4W。繞點A逆時針旋轉60。得到AW。，則AA。。和AAMM均為等邊三角形，

推出可得共線時最短；由于點E也為動點，可得當。E1BC

時最短，止匕時易求得。E=￡?G+GE的值；

【詳解】

解：將△AM。繞點A逆時針旋轉60。得到△4VT。,

由性質的性質可知：MD=M'D',和AAW均為等邊三角形,

.-.MA+MD+ME=D'M+MM'+ME,

:DM、MM\ME共線時最短，

由于點E也為動點，

.?.當OE18C時最短，此時易求得D'E=D'G+GE=4+3V3

-.MA+MD+ME的最小值為4+38，

故答案為：4+3V3

【點睛】本題考查軸對稱、旋轉變換、矩形的性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是添加

常用輔助線，構造等邊三角形解決問題，用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

4.（2024?陜西榆林?二模）如圖，在EL4BCD中，AD=6,連接AC,AB=AC=5,以點C為圓心，長為

半徑畫弧，弧分別交BC、AC,CD于點M、H、N,點P是由V上方△4CD內一動點，點Q是/上一動點，連

接AP、DP、PQ,則4P+DP+PQ的最小值為.

【答案】3V3+3/3+3V3

【分析】如圖，把AaPD繞。順時針旋轉60。得到△4P'D,連接PP',44',證明AOPP'為等邊三角形，△A4D

為等邊三角形，可得PD=PP',A'A=A'D,當C,Q,P,P',4共線時，AP+DP+PQ=PQ+PP'+A'P'=

CA'—CQ,此時最小，再進一步求解即可.

【詳解】解：如圖，把△4PD繞。順時針旋轉60。得到△4P0連接PP，，AA',

：.AP=A'P',DP=DP',AD=A'D,

.?.△DPP，為等邊三角形，△447）為等邊三角形，

：.PD=PP',A'A=A'D,

AP+DP+PQ=PQ+PP'+A'P'=CA'-CQ,此時最小,

■：^\ABCD,ABAC^5

■■.AB=CD=AC=5,而44=A'D,AD=6,

：.A'CLAD,AK=DK=3,A'A=A'D=6,

：.A'K=V62-32=3A/3,CK=V52-32=4,

■：CQ=CN=|CZ）=1,

■■.A'Q=3V3+4-1=3A/3+3,

：.AP+DP+PQ的最小值為3百+3；

故答案為：38+3

【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質，平行四邊形的性質，勾股定理的應用，化

為最簡二次根式，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

5.（2024.湖北?模擬預測）閱讀以下材料并完成問題

材料一：數形結合是一種重要的數學思想如7^7/可看做是圖一中的長，J（a+l）2+b2可看做是力。的

長.

材料二：費馬點問題是一個古老的數學問題.費馬點即在△ABC中有一點P使得P4+PB+PC的值最小.著

名法學家費馬給出的證明方法如下：

將A4BP繞B點向外旋轉60。得到AaiBiCi，并連接PPi易得APP/是等邊三角形、PA=PrAr,則PB=PrPr,

則PA+PB+PC=PM1+PP1+PC,所以PA+PB+PC的值最小為&C.

請結合以上兩材料求出J久2+y2_|_J比2+y2+1一2%+x2+y2+12—4V^y的最小值

CaB1D

圖一

【答案】V19

【分析】本題考查坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，將原式轉

2

化為?2+y2+一%）2+y2+JX2+（2百-y）,構造直角三角形4BC,乙4cB=90。，AC=2百,BC=

1,以C為坐標原點構造直角坐標系，設P為（x,y）,進而得到PC=y/x2+y2,PA-Jx2+（2V3-y）2,PB=

V（l-x）2+y2,將△力PC繞點C點逆時針旋轉60。得到并做&D1BC,根據旋轉的性質，含30

度角的性質，求出的長，根據/M+PB+PCnAPi+PiP+BPN&B,進行求解即可.

【詳解】解：原式=y/x2+y2+J（1-爐+y2+JK2+（2百-y）2

可看做下圖中的P4+PB+PC,其中P為（x,y）

則PC=y/x2+y2,PA=Jx2+(2>/3—y)2,PB=J(1-x)2+y2

將八月PC繞點C點逆時針旋轉60。得到△A/Ci,并做1BC

???NPCPi=乙4cAi=60°,Z4CP=9O°,ArC=AC=2痔PC=PQ,APr=AP,

：.乙41co=30。，△OPP1為等邊三角形，

ArD=豺iC=V3,DC=聞=3,PP1=CP,

又BC=1

DC=4

???ArB—=V19,

■：PA+PB+PC=AP1+PR+BP>ArB,

■■.PA+PB+PC=APi+PM+BP>ArB=V19,

■.PA+PB+PC的最小值為回;

yjx2+y2+yjx2+y2+1—2x+x2+y2+12—4次丫的最小值為VI?.

題型02加權費馬點模型-單系數

6.（2023?湖北隨州?中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線

上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆

利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三

角形的某個頂點）

當小4BC的三個內角均小于120。時,

如圖1,將AAPC繞，點C順時針旋轉60。得到連接PP，,

圖1圖2圖3

由PC=P'C,^PCP'=60°,可知APCP'為①三角形,故PP'=PC,又P’4'=P力，故P4+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當8,P,P',A在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為48,此時

的尸點為該三角形的“費馬點”，且有N4PC=乙BPC=乙APB=⑶；

已知當△力BC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若N84C2120。,

則該三角形的“費馬點”為⑷點.

(2)如圖4,在A48C中，三個內角均小于120。，且AC=3,BC=4,41c8=30。，已知點尸為AABC的“費

馬點”，求P4+PB+PC的值；

圖4圖5

(3)如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,乙4cB=60。.現欲

建一中轉站P沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A,B,C的鋪設成本分別為。

元/km,。元/km,元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為元.(結果用

含a的式子表示)

【答案】(1)①等邊；②兩點之間線段最短；③120。；④A.

(2)5

(3)2V13a

【分析】(1)根據旋轉的性質和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結論；

(2)根據(1)的方法將AAPC繞，點C順時針旋轉60。得到△4P，C,即可得出可知當B,P,P',A在同

一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為AB,在根據=30?？勺C明乙4c4=^A'CP'+

乙BCP+乙PCP'=90°,由勾股定理求4B即可,

(3)由總的鋪設成本=a(P4+PB+/PC),通過將AaPC繞，點C順時針旋轉90。得到得到等

腰直角APP'。，得到&PC=PP',即可得出當3,P,P',A在同一條直線上時，P'4+PB+PP，取最小值，

即PA+PB+&PC取最小值為4B,然后根據已知和旋轉性質求出AB即可.

【詳解】(1)解：”C=P'C,Z.PCP1=60°,

??.△PCP'為等邊三角形；

：.PP'=PC,NP'PC=NPP'C=60°,

又P'4=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由兩點之間線段最短可知，當2,P,P',A在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，

最小值為4B,此時的尸點為該三角形的“費馬點”，

“BPC4-Z.P'PC=180°,^A'P'C+乙PP'C=180°,

:.乙BPC=120°,^A'P'C=120°,

又???△4PC=^A'P'C,

■■■^APC=AAP'C=120°,

.?.乙4PB=360°-4Ape-乙BPC=120°,

：./-APC=乙BPC=Z.APB=120°；

MBAC>120°,

：.BC>AC,BC>AB,

?'-BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

???三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最小.

又???已知當△力BC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.

二該三角形的“費馬點”為點A,

故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③120。；@A.

(2)將△力PC繞，點C順時針旋轉60。得到連接PP',

由(1)可知當8,P,P',A在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，最小值為48,

A'

■■■AACP=AA'CP',

■■.Z.ACP+乙BCP=/.A'CP'+乙BCP=^.ACB=30°,

又"PCP'=60°

；ZBCA'=/.A'CP'+LBCP+Z.PCP'=90°,

由旋轉性質可知：AC=A'C=3,

：.A'B=y/BC2+A'C2=V42+32=5,

.?.PA+PB+PC最小值為5,

(3)?總的鋪設成本=PA-a+PB-a+PC-&a=a(PA+PB+y/2PC)

二當P4+PB+&PC最小時，總的鋪設成本最低，

將A4PC繞,點C順時針旋轉90。得到A4PC,連接PP',A'B

由旋轉性質可知：P'C=PC,Z.PCP'=AACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4km,

：.PP'=V2PC,

：.PA+PB+V2PC=P'A'+PB+PP',

當8,P,P',A在同一條直線上時，P2，+PB+PP，取最小值，即P4+PB+V^PC取最小值為AB,

過點4作4H1BC,垂足為

???Z4CB=60°,^ACA'=90°,

：.Z.A'CH=30°,

1

：.A'H--A'C=2km,

2

：.HC=>/AC2-AH2=V42-22=2百(km),

：.BH=BC+CH=2A/3+2V5=4?km),

.■.A'B=y/AH2+BH2=J(4V3)2+22=2V13(km)

PA+PB+魚PC的最小值為2VHkm

總的鋪設成本=PA-a+PB-a+PC-V2a=a{PA+PB+V2PC)=2V13a(元)

故答案為：2ga

【點睛】本題考查了費馬點求最值問題，涉及到的知識點有旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股

定理，以及兩點之間線段最短等知識點，讀懂題意，利用旋轉作出正確的輔助線是解本題的關鍵.

7.(23-24八年級下?重慶銅梁?期中)在12MBe。中，乙4BC=45。，連接AC,已知AB=AC=a，點E在線

段4C上，將線段DE繞點。順時針旋轉90°為線段DF.

圖I圖2圖3

(1)如圖1,線段2C與線段BD的交點和點E重合，連接EF,求線段EF的長度；

(2)如圖2,點G為DC延長線上一點，使得GC=EC,連接FG交4D于點H,求證：V2AH=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內一點P,當口P+?！?魚8「最小時，求AUPB的面積.

【答案】(DEF

(2)見解析

⑶/.=(

【分析】(1)作DG1BC,根據等腰直角三角形的性質與判定，得到BC=2,DG=CG=1,在RtABGD中，

應用勾股定理，求出BD的長，根據平行四邊形的性質得到ED的長，根據等腰直角三角形的性質與判定，即

可求解，

(2)連接AG,AF,根據全等三角形的性質與判定得到AGCA三AECDGAS),GA=ED,/.GAC=/.EDC,

結合旋轉的性質得到GA=FD,GA||FD,根據平行四邊形的判定得到，^AGDF,根據平行四邊形的性質得

到4H的長度，即可求解，

(3)將ABPC繞點B順時針旋轉90。，得到ABPC,由旋轉的性質可得，根據兩點之間線段最短，得到HP+

CP+<2BP=HP+CP'+P'P<CH,當P'P在線段C'H上時取得最小值，作B/_LP，P,根據等腰直角三

角形的判定與性質，得到/B=IA=^AB=1,在Rt/ULH中，應用勾股定理得到，/C'=3,/"=2,CH=

V13,由SABC，H=TC'H-BJ=3BC'」H,得到引=警，

在Rt/UBH中，得到B"=Z,在RtAB/H中，得至!]/"=零，p"=誓，根據SAHPB=(P”?B/,即可求

解,

本題考查了，平行四邊形的性質，旋轉的性質，等腰直角三角形的性質與判定，勾股定理，全等三角形的

性質與判定，解題的關鍵是：通過旋轉^BPC得至！JHP+CP+V2BP=HP+C'P'+P'P<C'H.

【詳解】(1)解：過點。作DG1BC,交BC延長線于點G,

MBAC=45°,AB=AC=V2,

=^ABC=45°,ABAC=90°,

-'-BC=y[2AB=V2xV2-2,

"DCG=^ABC=45°,CD=AB=V2,ED=-BD,

2

,-DG1BC,

：.DG=CG=—CD=^xV2=1,

22

在Rt△BGD中，BG=BC+CD=2+1=3,BD=y/BG2+DG2=<32+l2=V10,

■■.ED=-BD--xV10=—,

222

由旋轉的性質可得：ED=FD,ED1FD,

.?.△EDF是等腰直角三角形，

'-EF=y/2ED=V2x=V5,

故答案為：EF=5

(2)解：連接4G,AF,

??2BAC=90°,AB||CD,

'.AC1GD,Z.GCA=乙ECD=90°,

又???GC=EC,AC=DC,

GCA三△EC。(SAS),

--GA=ED,Z-GAC=乙EDC,

'-'ED=FD,ED1FD,

'.GA=FD,Z.AGC+乙GDF=90°-^GAC+乙EDC+90°=180°,

'.GA||FD,

???四邊形4GDF是平行四邊形，

■■.AH=-AD=-x2=l,

22

：.y[2AH=魚X1=CO,

:雙AH=CD,

(3)解：將ABPC繞點B順時針旋轉90。，得到連接C'H,

C'

由旋轉的性質可得，CP'=CP,BP'=BP,^PBP'=90°,

：.P'P=V2BP,

.■.HP+CP+<2BP=HP+CP'+P'P<CH,當P'P在線段C'H上時取得最小值,

延長C'B與LM延長線交于點/,過點B作B/1P，P于點/,連接BH,

由旋轉的性質可得，BG=BC=2,4PBP'=90。,

■-AD||BC,

=90°,/.IAB=/.ABC=45°,

■?IB=1A=—AB=—xV2=1,

22

在RtA/C'H中，/C'=/B+BC'=1+2=3,/H=〃+4"=1+1=2,C'H=y/lC'2+IH2=V32+22=

V13,

--S^H=\CHBJ=^BC-IH,即：SABC^^ixV13-B/=|x2x2,解得：BJ=

在Rt△/BH中，BH=V/B2+IH2=Vl2+22=V5,

在Rt△B/H中，JH=yjBH2-B]2

口屈

???nPH=JTHU—PnrI=-7--g-------4---g-=--3----

7J131313

cnr=13V134尺6

?'?SAUDD=-PH,BJ-x-----x-----=—

272131313

故答案為：S4HPB=*

8.（2024?廣東廣州?一模）如圖，在矩形4BCD和矩形力GFE中，AD=4,AE=2,AB=V3AD,AG=V3AE.矩

形4GFE繞著點A旋轉，連接BG,CF,AC,AF.

⑴求證：AABGS^ACF；

（2）當CE的長度最大時，

①求8G的長度；

②在AACF內是否存在一點P,使得CP+AP+BPF的值最小?若存在，求CP+4P+遮PF的最小值；若

不存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）①BG=2V21;②存在，最小值是4g

【分析】（1）根據矩形的性質，先證△ABCs/kAGF,利用相似三角形的性質準備條件，再證△ABGs△力CF

即可；

（2）①先確定當E在矩形4BCD外，且&4E三點共線時，CE的長度最大，并畫出圖形，在RtACEF中求出

CF的長，最利用△力8GsAACF的性質求解即可；②將4P繞著點A順時針旋轉30。,且使4K=晶。，連接

PK,同理將4尸繞著點A順時針旋轉30。,得到4L,且使AL=V3XF,連接LK,過尸作PS14K于S,過點L

作LQ垂直CE的延長線于點Q,確定CP+4P+百PF2CL,當C、P、K、Z,四點共線時，CL的長最小，再

根據30。直角三角形的性質和勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：???AB=V3XD,AG=>/3AE,

.AB_V3AD_AD

"AG~y/3AE~AE"

???矩形48co和矩形ZGFE,

.-.AD=BC,AE=GF,/-ABC=Z.AGF=90°,

tAB_AD_BC

"'AG~AE~GFf

ABCAGF,Z.BAC=Z.GAF,

ACAR

,Z.BAC-Z-GAC=Z.GAF-Z.GAC,

AFAG

即竺=竺，=z_CAF,

ABAGaBAG

ABGACF

(2)-AC+AE>CE,

二當E在矩形ABCD外，且C,4E三點共線時，CE的長度最大，如圖所示:

此時AC+AE=CE,ACEF=90°,

①必。=4,AB=43AD=4V3,

■■.AC=y/AB2+BC2=8,/.BAG=30。，

在RtACEF中，EF=AG=-J3AE=2V3,CE=AC+AE=10,

：.CF=>JCE2+EF2=J102+(2V3)2=4巾,

由(1)得：AABG-AACF,

.BGAB日口BG473

尸—,

CFAC4夕8

■.BG=2V21；

②如圖，將4P繞著點A順時針旋轉30。,且使4K=舟「，連接PK,同理將”繞著點A順時針旋轉30。,得到

AL,且使4L=V^4F,連接LK,

由旋轉可得：/-PAF=AKAL=30°-2LFAKf

.*.△AKL?AAPF,

?.?K--L-_A-K---v叵oj

PFAP

：.KL=V3PF,

過尸作PS14K于S,貝1]PS=-AP,AS=—AP,

22

■.KS=4K-as=—AP,則tanz_PKS=絲=理，

2KS3

:/PKS=30°,

；.PK=AP,

■：CP+PK+KL>CL,即CP+4P+BPF2CL,

當C、P、K、L四點共線時，CL的長最小，

由題意，NL4C=90。+30。+30。=150。，AF=4,AC=8,AL=4^/3,

過點L作LQ垂直CE的延長線于點Q,

ALAQ=180°-150°=30°,

-'-QL-2y/3,AQ—6,

則CQ=AC+AQ=14,

在Rt△CQL中，根據勾股定理得CL=JCQ2+Q5=4反，

■■.CP+AP+禽PF的最小值為4g.

【點睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，旋轉的性質，解

直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關的知識與

聯系，適當添加輔助線是解答的關鍵.

題型03加權費馬點模型-多系數

9.（2023九年級下?全國?專題練習）如圖，正方形48C。的邊長為4,點P是正方形內部一點，求PA+2P8+

逐PC的最小值.

【答案】4V10

【分析】延長DC到H,使得CH=2BC=8,貝何口=4西，在“8H的內部作射線可，使得NPB/=乙CBH,

使得以=V5BP,連接P/,4".先證明△JBPHBC,可得PJ=2PB,再證明△PBCJBH,可得:

H]=V5PC,從而得到P4+2PB+時PC=P4+P/+W/2AH,計算出AH的長度即可.

【詳解】解：延長DC到H,使得CH=2BC=8,貝“2H=44,在NC2H的內部作射線6，使得"5/=乙CBH,

使得BJ=?BP,連接力，JH,AH.

PB_B]

BC-BH9

???△JBPFHBC,

???(BPJ=Z.BCH=90°,

PJ=JB/2_PB2=(V5PB)2-PB2=2PB,

,:乙PBC=々BH,—,

)B]BH

PBC八JBH,

.PC_PB_45

??JH~BJ~5'

???HJ=y/5PC

PA+2PB+V5PC=PA+PJ+HJ,

■■■PA+PJ+JH>AH,

?-.PA+2PB+V5PC>V42+122=4V10,

PA+2PB+由PC的值最小，最小值為4VIU.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，勾股定理，兩點之間線段最短，正方形的性質，，正確理解費

馬點問題，利用相似構造2PB與逐PC,根據系數將圖形擴大或縮小構建圖形是解決問題的關鍵.

10.（2024.湖北武漢.模擬預測）如圖，在△力BC中，乙4cB=30。，BC=4,在AABC內有一點。，連接。4

OB,OC,若204+OB+V^OC的最小值為4有，則AC的值為.

【分析】本題考查了圖形的變換，勾股定理，最短路徑的計算方法，掌握圖象旋轉的性質，勾股定理，最

短路徑的計算方法是解題的關鍵.

根據題意，將Aaoc繞點C逆時針旋轉90。并放大2倍，得小CA'O',連接0。，根據邊的關系可得2。4=O'A',

V50C=00',由此可得2。4+。3+而。。=48=4式，作直角ABCE,根據BC=4可得BE,CE的長，

在中，根據勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖所示，將AAOC繞點C逆時針旋轉90。并放大2倍，得△C40，，連接。01

■■.A'O'=2A0,CO'=2C0,AOCO'=^ACA'=90°,

???在Rt△OC。中，00'=10c2+(05)2=JOC2+(2OC)2=Vsoc,

■■-20A+OB+V50C=A'O'+00'+OB=A'O+OB,

根據兩點之間線段最短，

.,.在△40B中,A'O+OB>A'B,

■-20A+BO+4。。的最小值為4西，BC=4,

：.A'B=4V5,

在RtAACA'中，CA'=2CA,

■.AA'=V5AC,

■：^ACA'=90。，^ACB=30°,

:.乙A'CB=AACA'+AACB=90°+30°=120°,

延長4C,作點B作BE14C,交于點E,

"BCE=60°,且BC=4,

在RtABCE中，ACBE=30°,

：.CE=|FC=2,BE=V3CF=2^/3,

：.A'E=A'C+CE=2AC+CE=2AC+2,

(AE)2,

???在Rt△4BE中,(48)2=BE2+

.-.(4V5)=(2V3)+(2AC+2/，

解得，4C=V17-1,

故答案為：V17-1.

11.（2021九年級?全國?專題練習）如圖，A4BC中，NB4c=45。，AB=6,AC=4,P為平面內一點，求2&BP+

亞AP+3PC最小值

【答案】12V3

【分析】將"PC繞點A逆時針旋轉45。，得到L,將L擴大呼倍，得到AaP"。"，當點2、尸、

P"、C"在同一直線上時，2V25P+V5XP+3PC=2儀PB+PP"+P〃C''）最短，利用勾股定理求出BC”即可.

【詳解】解：如圖，將AAPC繞點A逆時針旋轉45。，得至必”'C',將C'擴大，相似比為乎倍，得

至IJ△4P"C",貝lMP"=^AP',P"C"=—P'C,AC"=—AC,

444

過點尸作PE1AP"于E,

：.AE=PE=—AP,

2

:.P"E=AP"-AE巫AP,

4

：.PP"=ylPE2+P"E2=—AP,

4

當點8、P、P"、C"在同一直線上時，2位BP+V^4P+3PC=2位（P8+PP〃+P〃C〃）最短，此時

2五[PB+PP"+P"C"}=2y[2BC",

■■■/.BAC"=^BAC+^CAC"=90°,AB=6,AC"=—AC'=-X4=3>/2,

44

.■.BC"=>JAB2+AC"2=62+（3企）2=3V6.

：.2y/2BP+乘AP+3PC=2V2BCff=2V2X35/6=12V3

【點睛】

此題考查旋轉的性質，全等三角形的性質，勾股定理，正確理解費馬點問題的造圖方法：利用旋轉及全等

的性質構建等量的線段，利用三角形的三邊關系及點共線的知識求解，有時根據系數將圖形擴大或縮小構

建圖形.

(2)如圖2,連接AD和CD,點尸為4。中點，點G為CD中點，連接EF和BG,若EF=BG,求證：4BAC=4DBE；

(3)若乙18C=60°,AB=2,當巳4。+CD取得最小值，且力E取得最大值時，直接寫出ABDE的面積.

【答案】⑴4

(2)見解析

的

、7133

【分析】(1)過點B作B”14C交4C于點H,證明△力三△BED(AAS)即可求解；

(2)取BD的中點T,連接TE,TF,TG,根據中位線的性質，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，

得出ATFE三△TBG(SSS),再證明ATBEsATFG,得出NEBT=NGFT,進而即可得證；

(3)將ABDC繞點B順時針轉60。得到△BD'A,將△力8。繞點B順時針旋轉60。得到△B4。'，連接44,根

據趙。+手BD+CD=GF+FD+CD2GC,當G,F,D,C四點共線時，GC最小，進而確定E的位置，根據

點E在。為圓心，（BD為半徑的圓上運動，由點到圓上的距離關系，得出當2E取得最大值時，E在4。的延長

線上，連接。F,過點E作ES18D于點S,進而解直角三角形，求得SE的長，根據三角形面積公式，即可求

解.

【詳解】（1）解：如圖所示，過點B作交4c于點H,

：.^AHB=90°,/LABC=2/.ABH,AC=2AH

"BED=90°,4ABC=2乙D,

:.乙AHB=4BED,乙ABH=AD.

又?:BD=BA,

:4AHB三△BED(AAS)

■.AH=BE=2

■■.AC=2AH=4；

(2)解：如圖所示，取BD的中點T,連接TE,7T,TG,

11

'-FT=^ABfTG==BC,FG\\ACfFT\\AB

-AB=BC

:.FT=TG,

“BED=90°,T為BD的中點，

；.TE=BT,

在公TFE.AT8G中，

TF=TG

,TE=TB

.EF=BG

.-.△TFE