吉林省友好學校2025屆高三上學期1月期末考試數學試卷【含解

析】

本試卷共19題，滿分150分，共4頁.考試用時120分鐘.

注意事項：

L答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼粘貼到條形碼區域內.

2.選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用0.5mm黑色中性筆書寫，字體工整，筆跡清

楚.

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在草

紙、試題卷上答題無效.

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺、不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有項是

符合題目要求的.

1.設全集IL'S},3={，5）,則/DIQBI等于（）

A.⑵B.IMc.⑸D.0.3}

【答案】D

解析：由題意，集合“,二3.45}/=（1.3.5）.B=（，5）,

則GB={L3.4）,所以.

故選：D

2.已知1為虛數單位，復數二"17,則匕卜（）

昱

A.2B./C.2D.2

【答案】B

解析：復數-所以口="+'

故選：B.

3.下列函數中，在（"+S）上單調遞增的是（）

m.F=iogE=i+；

解析：函數I"5'在上均為減函數，

函數y=＞在(°，2)上為增函數.

故選：B.

4.若等差數列〔"”；的公差1=二%%1則4=()

A.-15B.-2SC.15D.28

【答案】B

解析：設％=72a?=8*,則3=%-即=7*-8*=■后=2,解得上=_?,

?.。7=-16,故％=。廠6rf=76-12=-28,

故選：B.

5.已知正數)上滿足°：+9=1,則,4的最大值為()

叵二1

A.1B.-C.TD.4

【答案】C

社產+-—】

解析：已知正數a上滿足a：+b：=l,則“'-2,

a=d=—

當且僅當2時取等號.

故選：C.

6.已知融=(Tcosa),5C=(2.0)CD=(2.2nnai若A,B,。三點共線，則tana

-1

A.-2B.2C.L2D.2

【答案】A

解析：根據題意，加=(T8￡al,BC=(2.0),CD=(Cma),

則3D=2°+CD=(4.2nna),若4B.D三點共線，則布〃而，

則有4co$a=_?sma,變形可得tana=_[.

故選:A

,、±一±=]

7.若拋物線J=：「「「＞：”的焦點與雙曲線了一了一的右焦點重合，則P的值為()

AAWB.2C.&D.2＞/2

【答案】A

——1/ol

解析：雙曲線53的右焦點坐標為I

:—=1

根據拋物線J=；門"口>」)的焦點與雙曲線5的右焦點重合,

可得與一…，所以

故選：A.

、co“-x)+(-x)‘cosr+x3

解析：因為*''?的定義域為R,且

所以，')為偶函數，排除選項B；

〃0)=等COsO=1

由e,排除選項D；

/(2n)=----——>0

由‘e",排除選項C.

故選：A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知a,b,c為三條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是()

A,若a"baUd5UAanp=c,貝i]),「

B.若口"二工。占uacua,則aj.a

C若7a8匕0。小二4門u/ju,8,則u,尸

D若a1yJ.aAp=C.a1”，則a±d

【答案】AC

解析：對于A,因為“Idaua,所以又bu/7,ac/?=c,所以b〃c,所以a/JA正

確；

對于B,當b〃c'時，直線a不一定垂直于N,B錯誤;

對于c,由面面平行的判定定理可知，c正確；

對于D,由面面垂直性質定理可知，若直線a（Za,時，直線a不一定垂直于夕，D錯誤.

故選：AC

10.在△山（7中，內角48,0所對的邊分別為a.b,c,已知a===則（）

cozA-—

B.3

C.C=3D.-

【答案】ACD

解析：因為所以sinB=2sm4cosAb=2aco&4,又a=3,b=2,

.1..D4^2,7

cciA=—,SUL4=-----,sinn=--------cow=-

所以339,又b<a,所以9,

cosC=-cos（^4+5i=-cosXcosB+sinXsinB=—=cos/、

3,所以c=a=>,

S>—hcsinX=—*2x3x-__*］邪

“223

故選：ACD

11.函數的導函數'=/（'）在區間Sil上的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）

A.函數在'處有極小值

B.函數/?在七處有極小值

C.函數?""在區間‘0內有4個極值點

D.導函數’「在處有極大值

【答案】BD

解析：A選項，?'（'）在X='i左右兩側的V",所以、不是的極值點，A選項錯誤.

B選項，'I'1在、=v，左右兩側，左側右側「‘‘

所以函數在與處有極小值，B選項正確.

c選項，根據圖象可知，「有a個極值點，1）左右兩側的▼>。，

所以丁=o不是的極值點，c選項錯誤.

D選項，”」的圖象在丫=與左右兩側，左側單調遞增，右側單調遞減，

所以”在凡處有極大值，D選項正確.

故選：BD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

y-x

12.若實數】IJ二成等差數列，-2°節（「8成等比數列，則b.

1

【答案】4

-“v-x=-4--T--=1t

解析：?.?實數LIV-成等差數列，.I3,

成等比數列，

由—ab成等比數列得，/=-2>],故b<0,.?/=-4,

_1_

故答案為：4.

13.已知幕函數」（*=（同'+旭-5）尸’在（0，+。）上單調遞減，則用=.

【答案】-3

解析：由題意可得"'）=（加’+桁-5卜1為塞函數，則加'+州-5=1,解得力=—3或用=2.

當用=2時，/（?”='為增函數，不符合題意；

當防=-3時，〃R=x在（6+6）單調遞減，符合題意.

故答案為：-3.

14.已知橢圓C的焦點在軸上，且離心率為于，則C的方程可以為.

x3y2

+-=1

【答案】43

J+、=l.a>*>0

解析：解：因為焦點在軸上，所以設橢圓的方程為b,

￡__[一二J「1=3

因為離心率為三，所以門-2,所以/ct'孑，則J4,

+―=1

故答案為：43.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知數列間滿足:4=1，"“】=%+式”.），數列㈤為單調遞增等比數列，\=2,且

“自6-1成等差數列.

（1）求數列儲：'也；的通項公式；

⑵設G=4+i°g在，求數列kJ的前〃項和口

【答案】⑴4=%-】也=y”；

T3n3-n

⑵4=丁

【小問1解析】

設等差數列1公差為d,

因為4“=/+J"wNI,所以q.I一怎=?I〃wN）

所以是公差為2的等差數列，

所以a*=flj+i-Ik?=l+2>T-1I=2/J-I

因為成等差數列，所以徹=d+與-i,

設WJ的公比為4,其中以=」，

4二+4-11

所以q,解得q=?或三，

當，=>時，4=L此時久二V二?”,11：為遞增數列，滿足要求，

q=l.b.=b3r=（—,,s

當：!時，q=L此時",I力，為遞減數列，不合題意，

綜上，4=%-3=產

【小問2解析】

由⑴得，Q=%T+1嗎尸=勁一，

所以。川-6=35+1）_?-（勁一）|=3,

所以〔：｝是公差為3的等差數列，

力(1+3?-2)_如'一力

+q=1+4+…+3浮一二=

所以*>*>

/(x)=asinf2x+—+i

I6)當'WR時，1-P司

16.已知。函數

(1)求cb的值;

(2)求了的單調區間.

【答案］(1)。=-1/=2；

tn+-r.E+一.keZht-?.fcn+?.keZ

(2)單調遞增區間是L63.,單調遞減區間是-36

【小問1解析】

vxeR.sine[-U]a<0...asm卜+看e[a,-a]

asm

因此，可得

b+a=1

又=3,解得：a=-l，b-

【小問2解析】

由(1)知a，得

令三

——+后tSx3一+斥,(左wZ?

,得36

nK,n,

——+E、一+Am

函數6的增區間為L3

7C.ft*/._

/(I)――+E,—+上冗i<eZ?

得函數的減區間為L36

-?+2AnS2x+—S+2AJI—+KSxS——+JbtJAr€ZI

令？62，得63

)?=sin(2x+]三+尿二+日

函數的增區間為L6

71TT..K.J*T9

/(x)=-sin+2:+H,---+M.(6ZI

得函數.6的增區間為一63

71,->HttTC.Tt*/.e.

?t、一+Ani.—+E——+<n—+JbticeZi

綜上所述,-11巾的單調增區間是L6單調減區間是L36

17.如圖，在四棱錐尸中，平面平面凡48,uPHB為等邊三角形，四邊形加CD為

矩形，&為PB的中點.

（1）證明：平面比）E1平面?6c.

（2）若48=」月0,求二面角E-0C-3的余弦值.

26

【答案】（1）證明見解析；（2）7.

解析：（1）證明：因為一尸WB為等邊三角形，E為28的中點，所以，江，尸B.

因為平面平面尸48且相交于45,AD1AB,4Du平面48CD,所以ZDJ■平面R45,

而尸Bu平面尸48,則4D1PB.

又40c?一H,⑷14Eu平面工。￡,所以尸9_L平面工上田.

因為尸3u平面尸￡「，所以平面,31平面丁5'「.

（2）解:以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系H-'J二.

E5，Q

不妨設尸8=XH=E4=2,則3=1,D（0?D,I2'2,）,C。？」），

ZX?=（0.2.0）I：：）

設平面EDC的法向量為E='>,

［而灰=0

則［而DE=Q

3i=o

—3A

代入可得I-Xj+-—■一二?=0

令則n=o,二廣5

所以肩=（*，.）.

由題意可知？=口匚山是平面4EC0的一個法向量,

mn2|2>/7

|cos<m.i>|=

|m||n|77x1

所以7

—

18.已知雙曲線43,直線/J'=hT

'1,若直線/與雙曲線C有兩個不同的交點，求左的取值范圍;

‘二|尸為雙曲線C右支上一動點，點A的坐標是I?求戶4的最小值.

(y=Jkx-1

解析：解：⑴由整理得1*-3|'-+16=0

4V-3#0

所以IA?(WY*才.M解得“土可且

:‘傘屋必￡叫u怪"

\?/\??)\)

因為1N2,

所以x=?時，

19已知函數?>0)

(1)當。=二時，試求函數圖象在點“I處的切線方程;

(2)若函數"有兩個極值點1V1<今1；

(i)求。的取值范圍；

(ii)不等式門.2nM恒成立，試求實數門的取值范圍.

【答案】⑴'—-3=0

1(3,J

0<a<--In2

(2)(i)2；(ii)\-J

【小問1解析】

、門ri=3Fnr/*(x)=?T-2+—

當a=?時，.ii-'一r.-UiT,故T

3

故/⑴--一+1：X/(1I=1-2=-1；則切點為(”l),

故函數圖象在點處的切線方程為JTTO*-",即1r-.r-3=0；

【小問2解析】

因為函數--”在(。，+8)上有兩個極值點，

所以需滿足卜：-