重難點專項突破04相似三角形中的“一線三等角”模型

【知識梳理】

一線三等角指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形，這個角可以是直角，

也可以是銳角或鈍角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看著是“一線三等角”中當角為直角時的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形

形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉的直角，幾種常見的基本圖形如下：

當題目的條件中只有一個或者兩個直角時，就要考慮通過添加輔助線構造完整的三直角型相似，這往往

是很多壓軸題的突破口，進而將三角型的條件進行轉化。

一般類型：

基本類型:

同側“一線三等角”異側“一線三等角”

【考點剖析】

例1.如圖，直角梯形ABC。中，AB//CD,/4BC=90。，點E在邊8C上，AD=10,

ECCD4

求AAED的面積.

D

例2.已知：如圖，△/8C是等邊三角形，點久￡分別在邊8aAC±,//龐=60°.

(1)求證：叢ABD^叢DCE；

(2)如果46=3,EC=Z,求"的長.

例3.已知，在等腰AASC中，AB=AC=10,以BC的中點。為頂點作NEDF=NB,分別交4B、AC于點

E、F,AE=6,AF=4,求底邊BC的長.

例4.已知：如圖，ABLBC,AD//BC,AB=3,AD=2.點?在線段四上，聯結7%過點，作功的垂

線，與以相交于點C設線段/尸的長為工

(1)當加5=4?時，求線段PC的長；

(2)設△勿C的面積為y,求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；

(3)當△/々s△加C時，求線段6c的長.

D

例5.在梯形力閱9中8GAD=AB=l,BC=2,NA=90°.（如圖1）

（1）試求NC的度數；

⑵若反尸分別為邊/43上的兩個動點（不與端點/、D、C重合），且始終保持NE5b=45°,8。與所

交于點尸.（如圖2）

①求證：ABDEsAfiCF；

②試判斷ABM的形狀（從邊、角兩個方面考慮），并加以說明；

③設AE=x,OP=y,試求y關于x的函數解析式，并寫出定義域.

（圖2）-

【過關檢測】

一、填空題

1.如圖，在四邊形A3CD中，0A=0D=12O°,48=6、4。=4,點及尸分別在線段A。、DC1.（點E與點

A、。不重合），若aBEE=120°,AE=x,DF=y,則y關于x的函數關系式為

AED

2.如圖，四邊形ABCD中，AB0CD,回C=90。，AB=1,CD=2,BC=3,點P為BC邊上一動點，若

AP0DP,貝I]BP的長為.

3.如圖，在矩形ABC。中，BC=6,AB=2,RtABEP的頂點E在邊或延長線上運動，且回8所=90。,

4.如圖，在等邊0ABe中，P為BC上一點,。為AC上一點，且SAPZ)=60。，2BP=3CD,BP=1.

(1)求證13ABpaaPCZ)；

(2)求0ABe的邊長.

5.如圖，在正方形A3CD中，點￡在&。上，歷_LBE交C。于點尸.

(1)求證：AABE-ADEF；

(2)連結8尸，若MBE?AEBF,試確定點E的位置并說明理由.

6.如圖，在AABC中，Afi=AC=10,BC=15,點。為邊BC上一點，且3D<CD,點E為AC中點,

ZADE=NB.

(1)求80的長.

(2)求證：DA=DE.

7.如圖，已知四邊形ABCD,0B=0C=9O°,P是BC邊上的一點，回APD=90°.

(1)求證：AABP-APCD；

(2)若BC=10,CD=3,PD=3&\求AB的長.

8.【感知】如圖①，在四邊形A8C。中，點尸在邊上（點尸不與點A、8重合），

ZA=ZB=ZDPC=90°.易證3c.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形A3C。中，點尸在邊上（點尸不與點A、2重合），ZA=NB=NDPC.若

PD=4,FC=8,BC=6,求AP的長.

【拓展】如圖③，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,點尸在邊AB上（點尸不與點A、B重合），連結

CP,作NCPE=NA,PE與邊BC交于點E,當△CPE是等腰三角形時，直接寫出AP的長.

圖①圖③

9.在矩形ABCD的。邊上取一點E,將ABCE沿BE翻折，使點C恰好落在AO邊上點/處.

（1）如圖1,若BC=2BA,求NCBE的度數；

（2）如圖2,當AB=5,且A?ED=10時，求BC的長;

(3)如圖3,延長E尸，與/ABb的角平分線交于點M,BM交AD于點、N,當NP=4V+FD時，求一

出的值.

10.如圖，在矩形ABC。中，E為的中點，￡7泡EC交AB于尸，延長尸E與直線CD相交于點G,連接

FC(AB>AE).

⑴求證：SAEF^SiDCE；

(2)EAEF與回ECP是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；

⑶設黑=%，是否存在這樣的人值，使得她所與&BBC相似？若存在，證明你的結論并求出左的值；若不

BC

存在，請說明理由.

11.如圖，正方形ABCD的邊長為1,點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向點D運動，以BE為邊，在

BE的上方作正方形BEFG,連接CG.

(1)求證：4AEB沿乙CGB；

(2)若設AE=x,DH=y,當x取何值時，y有最大值？并求出這個最大值;

(3)連接BH,當點E運動到AD的何位置時有△的

12.如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2,若點P是4。上的一點,

且4PC=NA,求證：△ABPS^DPC.

APD

BC

13.在矩形ABC。中，E為。C邊上一點，把VADE沿AE翻折，使點。恰好落在8c邊上的點R

(1)求證：AABF-AFCE；

(2)若AB=2G，AD=4,求EC的長.

14.如圖，AABC為等腰直角三角形，13A=90。，D為AB的中點，點E在BC上，點F在AC上，且EIDEF=

45°.

(1)求證：△BEDH3CFE；

(2)若BD=3,BE=20,求CF的長.

15.如圖，正方形ABCD的邊長等于由，尸是3C邊上的一動點，HAPB,SAPC的角平分線PE、尸廠分別

交A8、CD于E、尸兩點，連接EF.

(1)求證：EIBEP0EICPF；

(2)當國出8=30。時，求IBPEF的面積.

16.(1)問題

如圖1,在四邊形ABC。中，點P為A3上一點，當/DPC=NA=/3=90。時，求證:

ADBC=APBP.

(2)探究

若將90。角改為銳角(如圖2),其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由.

(3)應用

如圖3,在AABC中，AB=2四,/B=45。，以點A為直角頂點作等腰點。在BC上，點、E

在AC上，點尸在8C上，且NEFD=45°,若CE=A/L求以)的長.

17.如圖，己知邊長為10的正方形ABCD,E是8C邊上一動點(與B、C不重合)，連結G是BC延

長線上的點，過點E作AE的垂線交/OCG的角平分線于點尸，若FGLBG.

(1)求證：AABESAEGF；

(2)若EC=2,求△CEF的面積；

(3)請直接寫出EC為何值時，△CEF的面積最大.

5ECG

18.在RSABC中，ABAC=90°,M=AC=2,點。在2C所在的直線上運動，作NAT>E=45。（A、

D、E按逆時針方向）.

（1）如圖，若點。在線段BC上運動，DE交AC于E.

①求證：AABDsADCE；

②當VADE是等腰三角形時，求AE的長；

（2）如圖，若點。在BC的延長線上運動，OE的反向延長線與AC的延長線相交于點E,是否存在點

。，使幾位汨'是等腰三角形？若存在，求出線段8的長度；若不存在，請簡要說明理由；

（3）若點￡）在BC的反向延長線上運動，是否存在點。，使VADE是等腰三角形？若存在，寫出所有點

。的位置；若不存在，請簡要說明理由.

19.如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊上動點（不與民C重合）.連接AE,過點E作所，A瓦交

DC于點F.

⑴求證：NABE:7ECF；

（2）連接AF,試探究當點E在8C什么位置時，NBAE=NEAF,請證明你的結論.

20.如圖，在AABC中，點ZXE分別在邊BC、AC上，連接AD、DE,ZBZADE=ZC.

（1）證明：ABDAsMED；

（2）若N3=45。,3c=2,當點。在8C上運動時（點。不與B、C重合），且V4）E是等腰三角形，求此

時的長.

重難點專項突破04相似三角形中的“一線三等

角”模型

【知識梳理】

一線三等角指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構成的相似圖形，這個

角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看著是“一線三等角”中當角為直角時的特例，三直角型相似通常是以

矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個頂點在該直線上移動或者旋轉的直角，

幾種常見的基本圖形如下：

一般類型:

基本類型:

同側“一線三等角”異側“一線三等角”

【考點剖析】

ADRFQ

例1.如圖，直角梯形A8C。中，A8〃C￡),ZABC=90。，點E在邊BC上，且一=一=-,

ECCD4

AD=10,求的面積.

D

【答案】24.

【解析】VZABC=90,AB//CD,

ZDCB=ZABC=90.

又?.?-=—=/.AABE^AECD.

ECCD4

,ZAEB=ZEDC./.—.

EDEC4

???/EDC+/DEC=90,

二.ZAEB+/DEC=90./.ZAED=90.

在R/AAED中，:AD=10,.".AE=6,ED=8.5^^=24.

【總結】本題考查一線三等角模型的相似問題，還有外角知識、平行的判定等.

例2.已知：如圖，△49C是等邊三角形，點久￡分別在邊8G/C上，//龐=60°.

(1)求證：&ABM&DCE；

(2)如果四=3,￡C=2,求小的長.

3

【分析】（1）是等邊三角形，得到/6=/C=60°,AB=AC,推出/&/=/期

得到△/物s△力您

（2）由△/如△〃"，得到理=理，然后代入數值求得結果.

ABDC

【解答】（1）證明：???△力8。是等邊三角形，

：.ZB=ZC=60Q,AB=AC,

?:/B+/BAD=2ADE+/CDE,/B=/ADE=60°,

:./BAg/CDE

：.4ABD^叢DCE；

(2)解:由(1)證得A4即s△OCE,

.BD=CE

"ABDC'

設CD=x,則BD=3-x,

2_

?.?3-x-—3-，

3x

x—1或x—2,

."C=l或%=2.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質，注意數形結合和方

程思想的應用.

例3.已知，在等腰AA6C中，AB=AC=10,以2C的中點。為頂點作=,分

另(J交4?、AC于點E、F,AE=6,AF=4,求底邊的長.

【答案】476.

［解析】VZEDC^ZB+ZBED,

而ZEDC=ZEDF+ZFDC,

?.ZB+ZBED=ZEDF+AFDC.

XvZEDF=ZB,..ZBED=ZFDC.

:AB=AC,..ZB=ZC.

.BEBD

:.空DBsM)CF.

,~DC~~CF'

.10-6_BD

.DC?BD=24.

…DC-10—4,

X-：CD=DB=-BC,.?.BC=4后

2

【總結】本題是對“一線三等角”模型的考查.

例4.己知：如圖，ABLBC,AD//BC,AB=3,49=2.點戶在線段上，聯結PD,過

點〃作刃的垂線，與死相交于點C.設線段/2的長為x.

(1)當AP=4)時，求線段A7的長；

(2)設△如C的面積為為求了關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；

(3)當△/陽s△即:時，求線段6c的長.

滿分解答：

（1）過點C作或，交4?的延長線于點￡.

ABVBC,CELAD,PDLCD,AD//BC,

：.Z.ABC=/AEC=Z.PDC=90°,

CE二AB=3.

；AD//BC,：.N4+NABC=180°.即得//=90°.

又；ZADC^ZDCE+ADEC,ZADC^ZADP+ZPDC,

：.Z.ADP=4DCE.

又由NA=/DEC=90°,得XAPMXDCE.

ADAP

~CE~DE

于是,由/3=49=2,得DE=CE=3.....................（2分）

在脫△加力和RtZXOCS'中,

得PD=2亞,CD=3日..................................（1分）

于是，在RtZ\W中，得PC={PD。+CD?=J8+18=每.（1分）

（2）在少中，由AD=2,AP=x,

得PD=G+4..........................................（1分）

AnPD

???MAPMXDCE,：.——二—.

CECD

CD=-PD=-s/x2+4..................................（1分）

22

在Rt△戶切中，Sg.尸。.CD=；x|（6+4）2=|X2+3.

/.所求函數解析式為y=（/+3...........................（2分）

函數的定義域為0<xW3..................................（1分）

（3）當△APAADPC時,即得XAPD^XDPCsXDCE........（1分）

根據題意，當如s△勿&時，有下列兩種情況：

（i）當點戶與點6不重合時，可知AAPD=ZDPC.

越=歿.即得APDE

由△APMXDCE,得

DEDC而一~CD

APAD

由△APD^△DPC,得

~PD~~DC.

ADDE

?.—.即nri得DE二AD=2.

CDCD

AE=4.

易證得四邊形/犯S'是矩形，，BC-AE-4.（2分）

（ii）當點戶與點6重合時，可知ZABD=ADBC.

在Rt△/初中，由"=2,46=3,得BD=岳.

ADBD

由△ABD^ADBC,Z得H一=—.

BDBC

即得三二史.

A/13BC

n

解得BC=-.-（2分）

2

13

/.△8C時，線段a1的長分別為4或一.

2

方法總結

本題重點在于：過點C作血交/。的延長線于點反（構造一線三角，出現相似

三角形，進行求解）

例5.在梯形/閱9中，4。〃a；AD=A3=l,BC=2,NA=90°.（如圖1）

（1）試求NC的度數；

（2）若區尸分別為邊/久繆上的兩個動點（不與端點力、4C重合），且始終保持/石8/=45°,

BD與EF交于點P.（如圖2）

①求證：ABDE^ABCF；

②試判斷ABE尸的形狀（從邊、角兩個方面考慮），并加以說明；

③設AE=x,OP=y,試求y關于％的函數解析式，并寫出定義域.

(1)作DH工BC,垂足為"，

在四邊形ABHD中，AD//BC,=43=1,NA=90°,

則四邊形為正方形

又在ACDH中，NDHC=90°,DH=AB=T,CH=BC—BH=1,

.1800-ZDHC_=

??N.Cz——43.

2

(2)①?.?四邊形為正方形,

ZCBD=45°,ZADB=45°,

又；NEBF=45°,

：.ZDBE=ZCBF

又；NBDE=NC=45°,

/.ABDESABCF.

②ABER是等腰直角三角形,

■:ABDEsABCF,

,BEFB

??茄-ZF'

又ZEBF=NDBC=45°,

AEBFsADBC,

又在ADBC中，NO3C=NC=45°,為等腰直角三角形,

ABER是等腰直角三角形.

f—x-xA/2X—\p2.x~

③y=J2x-------(0<x<l).

1+x1+X

方法總結

第三問方法提示：過點P作AD的垂線于點H,構造一線三直角相似，進行求解，很簡單。

【過關檢測】

一、填空題

1.如圖，在四邊形A8C。中，0A=0￡>=12O°,AB=6,AD=4,點、E、尸分別在線段A。、DC

上（點E與點A、。不重合），若SBEF=120。，AE=x,DF=y,則y關于x的函數關系式為

17

［答案］y=~~zx

o3

【分析】根據題意證明△AB石s△DEF,列出比例式即可求得y關于x的函數關系式

【詳解】解：?.?團4二回0=120°,^\BEF=120°,

二ZAEB+ZDEF=ZDEF+ZDFE=60°

ZAEB=ZDFE

△AREs/\DFF

AEDF

AB-DE

AB=6>AD=4,AE=x、DF=y,

.「二y

64-x

1-、

「?尸二(4_%)

i?

即,=__X2+-X(0<X<4)

17

故答案為：y=一工九2+彳1

63

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，函數解析式，掌握相似三角形的性質與判

定是解題的關鍵.

2.如圖，四邊形ABCD中，AB團CD,回C=90°,AB=1,CD=2,BC=3,點P為BC邊上一

動點，若AP團DP,則BP的長為.

【答案】1或2

【分析】設BP=x,則PC=3-x,根據平行線的性質可得回B=90。，根據同角的余角相等可得

團CDP二團APB,即可證明團CDP釀BPA,根據相似三角形的性質列方程求出x的值即可得答案.

【詳解】設BP二X,則PC=3-x,

?AB回CD,回C=90°,

加B=180°-團090°,

團團B二團C,

國AP團DP,

釀APB+團DPC=90°,

幽CDP+團DPC=90°,

加CDP二團APB,

釀CDP如BPA,

ABPB

團---=---，

PCCD

回AB=LCD=2,BC=3,

解得：Xl=l,X2=2,

0BP的長為1或2,

故答案為：1或2

【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質，掌握相似三角形的對應邊成比例列方程

是解題的關鍵.

3.如圖，在矩形A8CD中，BC=6,AB=2,RtABEP的頂點E在邊或延長線上運

動，且EIBEP=90°,EF=；BE,DF=M,則3E=.

【答案】3卮

【分析】過F作FG團CD,交CD的延長線于G,依據相似三角形的性質，即可得到FG=g

EC,GE=2=CD；設EC=x,則DG=x,FG=；x,再根據勾股定理，即可得到CE2=9,最

后依據勾股定理進行計算，即可得出BE的長.

【詳解】如圖所示，過尸作FG0C。，交CD的延長線于G,則回G=90。，

EBC=90°,AB=CD=2,

又H3B￡F=90°,

IBELFEG+EIBEC=90°=^EBC+^BEC,

^FEG^EBC,

又EBC=[3G=90°,

00BC￡00￡GF,

FGGEEFanFGGE1

ECCBBEEC63

^FG=-EC,GE=2=CD,

3

回。G=EC,

設EC=x,則。G=x,FG—^x,

回RtElPDG中，FG2+DG2=DF2,

0(1x)2+x2=(如)2,

解得無2=9,

即C呼=9,

0Rt0BCE中，BE=7CE2+BC2=J9+36=3出,

故答案為：36.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理的運用，在判定兩個三角

形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的

作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖

形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形.

二、解答題

4.如圖，在等邊0ABe中，P為BC上一點、,。為AC上一點，且0Apz)=60。，2BP=

3CD,BP=l.

(1)求證0ABpEEPQ)；

(2)求0ABe的邊長.

【答案】(1)證明見解析；(2)3.

【分析】(1)由0ABC是等邊三角形，證明SB=^C=60。，再利用平角的定義與三角形的內

角和定理證明：aBE4=aPDC,從而可得結論；

(2)由23P=3CZ),8P=1,先求解CD,AB—BC=x,再利用相似三角形的性質可

得：備=器’列方程，解方程即可得到答案.

【詳解】證明：(1)回0ABe是等邊三角形，

SAB=BC=AC,0B=0C=6O°,

180°且回AP￡)=60°,

00BB4+0￡)PC=12O°

EEIZ)PC+EC+13Poe=180°,

ffl￡>PC+0PDC=12O°,

00ABP00PCD；

(2)^2BP=3CD,且8P=1,

iacr>=2,

3

麗A3用團PC。

BPAB

'~CD~~PC'

^AB=BC=x,則尸。=九一1,

1x

3

2?

團一x=x—I,

3

x—3,

經檢驗：x=3是原方程的解，

所以三角形A3c的邊長為：3.

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，分式方程的解法，

掌握三角形的判定及利用相似三角形的性質解決問題是解題的關鍵.

5.如圖，在正方形ABCD中，點E在AD上，EF_LBE交CO于點尸.

（1）求證：AABE-ADEF；

（2）連結所，若AABE?AEBF,試確定點E的位置并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）點E為的中點.理由見解析

【分析】（1）根據同角的余角相等證明尸，再由直角相等即可得出兩三角形相似

的條件；

（2）根據相似三角形的對應邊成比例，等量代換得出三=下，即可得出。氏AE.

DEAE

【詳解】（1）證明回四邊形A3CZ）是正方形，

團0A=回0=90°,

甌AEB+M3090°,

團E7唱3E,

RO1AE3+團。E尸=90°,

^\ABE=^\DEF.

在和△￡）￡；/中，

（ZABE=ZDEF

[ZA=ZD

m^BE^DEF；

（2）m\BE^DEF,

ABBE

團---=----，

DEEF

^ABE^\EBF,

ABBE

團---=---，

AEEF

ABAB

團---=---，

DEAE

^\DE=AEf

回點E為AD的中點.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，根據等角的余角相等證出兩角相等是

解決（1）的關鍵，根據相似三角形的對應邊成比例等量代換是解決（2）的關鍵.

6.如圖，在44BC中，AB=AC=10,BC=15,點。為邊8C上一點，且3D<CD,點

E為AC中點，ZADE=ZB.

(1)求3。的長.

(2)求證：DA=DE.

【答案】(1)5；(2)證明見解析；

【分析】(1)先證明出△ABD回ADCE,得出照=%，假設BD為X,則DC=15-x,代

DCCE

入分式方程求出BD的長；

(2)由(1)可知NB=NC,推出△ABD回△OCE,得出結果；

【詳角軍】(1)回AB=AC=10,0ZB=ZC,

0ZADE=ZS,018O°-ZA￡>E=18O°-ZB,

團ZADB+NEDC=NADB+/BAD,?NEDC=NBAD,

…nAABBD

回△ABD回△DCE,0一=一,

DCCE

回E為AC中點，0C￡=-AC=5,

2

回8c=15,設BD=x,貝IJDC=15—x,

inx

即：-一==，解得：玉=5,%=10，

15-x5

田BD<CD,

回BD=5.

(2)由(1)可知_BD=CE=5,[21AB=DC=10,mAB=Z.C,

BD=CE

在△ABD和△DCF,中，＜ZB=ZC,0△ABDEI△OCE（SAS）

AB=DC

^\DA^DE

【點睛】本題考查三角形全等的性質，三角形相似的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關性

質并靈活運用.

7.如圖，已知四邊形ABCD,0B=0C=9O°,P是BC邊上的一點，0APD=9O°.

（1）求證：AABP?APCD；

（2）若BC=10,CD=3,PD=36\求AB的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）8.

【分析】（1）先根據直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得/及聲=NCPD,再根據相

似三角形的判定即可得證;

（2）先利用勾股定理求出PC的長，從而可得BP的長，再利用相似三角形的性質即可

得.

【詳解】（1）ZB=ZC=90°,ZAPD=90°,

ZBAP+ZAPB=ZCPD+ZAPB=90°,

:.ZBAP=ZCPD,

NBAP=NCPD

在AABP和APCD中,

ZB=ZC'

:.AABP~^CD；

（2）,在R/VPCD中，CD=3,PD=3^5,

PC=^PD2-CD2=6,

?.-BC=10,

:.PB=BC-PC=4,

由（1）已證：AABP-APCD,

ABPB?AB4

■■■——=——,即n——=-,

PCCD63

解得AB=8.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三角形

的判定與性質是解題關鍵.

8.【感知】如圖①，在四邊形ABC。中，點尸在邊A8上（點P不與點A、8重合），

ZA=ZB=ZDPC=90°.易證△ZMPs^pgc.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點尸在邊AB上（點P不與點A、B重合），

ZA=ZB=ZDPC.若尸D=4,PC=8,BC=6,求A尸的長.

【拓展】如圖③，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,點P在邊AB上（點P不與點

A、8重合），連結CP,作NCPE=NA,PE與邊BC交于點E,當△口，￡是等腰三角形

時，直接寫出AP的長.

【答案】【探究】3；【拓展】4或亍.

【分析】探究：根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；

拓展：ffi01AACP00BP￡,分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據相似三角形的性質

計算即可.

【詳解】探究：證明：國/^總是人^口的外角，

^\ZDPB^ZA+ZPDA,

即Z.DPC+Z.CPB=NA+ZPDA,

^\ZA=ZDPC,

^\ZPDA=ZCPB,

XEZA=ZB,

HAZMP^APBC,

0PD=4,PC=8,BC=6,

4AP

團一二---,

86

解得：AP=3；

拓展：^AC=BC,

的4二回3,

能1cp3是△APC的夕卜角，

團團。尸3二團A+團尸CA,艮團CPE+團EP5二團A+團尸CA,

團朋二團CPE1,

團團AC尸二團8PE,

的4二回3,

^ACP^\BPE,

當。尸二CE時，國CPE二國CEP,

回團。石尸〉回3,團CPE二她二團3,

團C尸二CE不成立；

當PC=PE時，△ACP團團5P5

貝UPB=AC=8,

^AP=AB-PB=12-8=^；

當EOE尸時，^CPE=^\ECPf

團團3二團CPE,

團團EC尸二回8,

⑦PC=PB,

^ACP^BPE,

ACAPPC

°BPBEEP'

8n-PBPB

n即n——,

PBBE8-BE

解得：尸B=T，

^\AP=AB-PB=12--=—,

33

20

綜上所述：回“E是等腰三角形時，AP的長為4或

【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性

質，靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵.

9.在矩形ABCD的CO邊上取一點E,將ABCE沿班翻折，使點C恰好落在AD邊上點歹

處.

(1)如圖1,若BC=254,求NC3E的度數;

（2）如圖2,當A3=5,且AF-ED=10時，求BC的長;

（3）如圖3,延長E尸，與NAB歹的角平分線交于點Af,BM交AD于點N,當

Nb=AN+FD時，求——出的值.

3

【答案】（1）15。；（2）3石；（3）-

【分析】（1）根據矩形的性質和直角三角形的性質，先得到NAEB=30。，再由折疊的性質

可得到NCBE=15。；

（2）由三等角證得AfAfisAEo尸，從而得￡>E=2,EF=CE=3,再由勾股定理求出

DE,則8C=AD=3/；

（3）過點N作產于點G,可證得A2VFGSABE4.再根據相似三角形的性質得出對

應邊成比例及角平分線的性質即可得解.

【詳解】（1）團矩形ABCD,

0ZA=9O°,AD!IBC

由折疊的性質可知BF=BC=2AB,ZCBE=-ZCBF,

2

^ZAFB=30°,

^\ZFBC=ZAFB=30°,

^\ZCBE=15°

(2)由題意可得NA=NO=90。,

ZAFB+ZDFE=90°,

NFED+NDFE=90。

^\ZAFB=ZDEF

?△FABSAEDF

AFAB

團---=---，

DEDF

AF?DF

^\DE=

AB

團EF=CE—3,

由勾股定理得DF=732-22=75，

10非,

0AF=忑=2

^BC=AD=AF+FD=3s[5■,

(3)過點N作NGLB尸于點G.

0zWGF=ZA=9O"

勸ZBFA=ZNFG

QANFGsABFA.

NGFGNF

團---=---

ABFABF

中NF=AN+FD,

222

NGFGNF

團---=---=---

ABFABF2

又回BM平分NAB/，NG.LBF,NA=90。,

團NG=AN,

^\NG=AN=-AB,

2

FGBF-BGBC-AB

赤TAN+NF=LAB+LBC2

22

整理得：——=|^.

nC5

A￡

F

D

【點睛】本題是一道矩形的折疊和相似三角形的綜合題，解題時要靈活運用折疊的性質和

相似三角形的判定與性質的綜合應用，是中考真題.

10.如圖，在矩形A8CZ)中，E為的中點，ER3EC交A8于F,延長FE與直線C。相

交于點G,連接尸C(AB>AE).

(1)求證：0AER3EIOCE；

(2)04所與SECB是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；

⑶設>=左，是否存在這樣的左值，使得0AEP與SBPC相似？若存在，證明你的結論并求

BC

出左的值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴見解析

⑵相似，證明見解析

⑶存在，后=半

【分析】(1)由題意可得她EF+I3DEC=9O°,又由0A￡F+EIAFE=9O°,可得EIDEC=a4f'E,

據此證得結論；

(2)根據題意可證得R/fflAE；迥MEIOEG(ASA),可得EF=EG,^AFE^EGC,可得CE垂直平

分FG,回CG尸是等腰三角形，據此即可證得0AE尸與SECT相似；

⑶假設她所與SBFC相似，存在兩種情況：①當0AFE=aBCF,可得匹k=90。，根據題

意可知此種情況不成立；②當EAFE=SBFC,使得BAEV與SBFC相似，設BC=a,貝UAB

12

=ka,可得24月=一攵〃，BF=—ka,再由她E7回HDCE,即可求得無值.

33

【詳解】(1)證明：回口WEC,

加/￡。=90°,

團明跖+團。EC=90°,

回回AEF+回AbE=90°,

^\DEC=^AFE,

又回朋=回即。=90°,

^\AEF^1DCE；

(2)解：^AEF^IECF.

理由：團E為AO的中點，

^\AE=DE,

^AEF=^DEG,^\A=^EDG9

回朋EfWJDEGlASA),

WF=EG,^AFE=^1EGC.

又回ETHECE,

回CE垂直平分FG,

麗CG尸是等腰三角形.

^\AFE=^1EGC=0EFC.

又能於=回尸￡。=90。，

^\AEF^\ECF；

(3)解：存在尢=坐使得0AEF與MFC相似.

理由：

假設0A所與aBFC相似，存在兩種情況：

①當0APE=E1BCR則有0AEE與EIBEC互余，于是回￡/C=90。，因此此種情況不成立;

②當0APE=0BFC,使得0AEF與回2/。相似，

設5C=Q,則A8=faz,

^AEF^BCF,

AFAE1

團-------——,

BFBC2

12

^\AF=—ka,BF=—ka,

33

^AEF^\DCE,

一ka

3

解得，k*

回存在k=^-使得EIAEP與回8FC相似.

【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定及性質，全等三角形的判定與及性

質，等腰三角形的判定及性質，采用分類討論的思想是解決本題的關鍵.

11.如圖，正方形ABCD的邊長為1,點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向點D運動，

以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG,連接CG.

（1）求證：AAEB^ACGB：

（2）若設AE=x,DH=y,當x取何值時，y有最大值？并求出這個最大值；

（3）連接BH,當點E運動到AD的何位置時有△班以6加場？

11

【答案】（1）見解析；（2）當工=二，y有最大值:；（3）當點E是AD的中點

24

【分析】（1）由同角的余角相等得到EIABE=I3CBG,從而全等三角形可證；

ADAF

（2）先證明AABE甌DEH,得到——=——,即可求出函數解析式y=#+x,繼而求出最值.

【詳解】(1)證明：00ABE+0EBC=0CBG+0EBC=9O°

fflABE=EICBG

在AAEB和ACGB中：

0BAE=0BCG=9O°,AB=BC,0ABE=0CBG

ElAAEBfflCGB(ASA)

(2)如圖

團四邊形ABCD,四邊形BEFG均為正方形

00A=0D=9O°,0HEB=9O-

團團DEH+團AEB=90°,團DEH+團DHE=90°

釀DHE二團AEB

團4ABE團團DEH

ABAE

團---=----

DEDH

x

y

2,1、21

回y=_犬+x=-(x--)+—

故當尤=?，y有最大值：

24

(3)當點E是AD的中點時有4BEH回團BAE.

理由：0點E是AD的中點時由(2)可得AE=1,DH=\

24

又團回ABEREDEH

EH_HD_1

~^A~2

「AE

又回一=

AB2

EHAE1

0——=

BE~AB~2

又回BEH=回BAE=90°

團aBEH團團BAE

【點睛】本題結合正方形的性質考查二次函數的綜合應用，以及正方形的性質和相似三角

形的判定，解答關鍵是根據題意找出相似三角形構造等式.

12.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AD<BC,且4)=5,AB=DC=2,若點。是

AD上的一點，且NSPC=NA,求證：△ABQsAj)尸c.

【答案】見解析

【分析】當團BPC二團A時，團ABP+團APB+團A=180°,而團APB+團DPC+團BPC=180°,因此

團ABP二團DPC,此時三角形ABP與三角形DPC相似.

【詳解】證明：團AD回BC,AD<BC,AB=DC=2,

回團A二團D

回回ABP+回APB+回A=180°,回APB+團DPC+團BPC=180°,回BPC二回A

回回ABP二團DPC,

00ABP00DPC.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，根據已知得出團ABP=MPC是解題的關鍵.

13.在矩形A8CD中，E為DC邊上一點、,把VADE沿AE翻折，使點。恰好落在BC邊上

的點F.

（1）求證：AABF~^FCE；

（2）若AB=25AD=4,求EC的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）2叵.

3

【分析】（1）先根據矩形的性質可得N3=NC=NO=90。，再根據翻折的性質可得

ZAFE=ZD=90°,然后根據角的和差、直角三角形的性質可得NAEB=NFEC,最后根據

相似三角形的判定即可得證；

（2）設EC=x,先根據翻折的性質可得AF=AD=4,再根據勾股定理可得?=2,從

而可得CF=2,然后根據相似三角形的性質即可得.

【詳解】（1）回四邊形ABCD是矩形，

0ZB=ZC=Zr>=9O°,

由翻折的性質得：ZAFE=/D=90°,

0ZAFB+ZEFC=90°,ZFEC+NEFC=90°,

SZAFB=ZFEC,

ZB=ZC

在△ABF和中,

NAFB=ZFEC

團AAB尸?^pCE；

（2）設￡C=x,

由翻折的性質得：AF=AD=4,

團BF=-JAF2-AB2=次-（2后=2，

回四邊形ABCD是矩形，

BC=AD=4,

^CF=BC-BF=2,

由（1）可知，AABF~AFCE,

CFEC口2_尤

0----=-----，即n/=——，

ABBF2V32

解得x—

即於孚

【點睛】本題考查了矩形的翻折問題、相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，熟

練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵.

14.如圖，AABC為等腰直角三角形，回A=90°,D為AB的中點，點E在BC上，點F在AC

上，且I3DEF=45°.

BEc

（1）求證：△BEDB3CFE；

（2）若BD=3,BE=20,求CF的長.

【答案】（1）見解析；（2）CF=—.

【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到回B=?：,然后根據三角形的外角的性質得到回BDE

=ECEF,從而證得結論；

（2）首先求出線段CE的長，再利用ABED甌CFE得出絲=空，最后得出結果.

CECF

【詳解】⑴證明：麗ABC為等腰直角三角形，回A=90。，

團團B=R1C=45°.

團團DEC=[UB+R]BDE=R]DEF+[i]CE