線性空間與線性變換1、1線性空間(LinearSpaces)一、線性空間得概念線性空間=集合+兩種運算(所成完美集合)Definition:(線性空間或向量空間)要點:集合V與數域F向量得加法與數乘向量運算(運算之后得結果跑不出去)八條運算律(能夠保證向量得混合運算幾乎與數得運算一樣完美)常見得線性空間Fn={X=(x1,x2,…,xn)T:xF}

運算:向量加法與數乘向量Fm

n

={A=[aij]m

n:a

ijF};運算:矩陣得加法與數乘矩陣Rm

n

;Cm

n

。F[t]n={f(x)=a0+

a1x+

a2x2+、、、+an-1xn-1

:aiR}

運算:多項式得加法與數乘C[a,b]={f(x):f(x)在[a,b]上連續}運算:函數得加法與數乘Example:V=R+,F=R,a

b=ab,a=a

F=R或C不就是線性空間得集合V={X=(x1,x2,1)T:xi

R}運算:向量加法與數乘向量要證明一個集合不就是線性空間,定義中有很多漏洞可以攻擊。

線性空間得一般性得觀點:線性空間得簡單性質(共性):(1)V中得零元素就是惟一得。(2)V中任何元素得負元素就是惟一得。(3)數零與零元素得性質:

0=0,k0=0,k=0=0

或k=0(4)=(1)二、向量組得探討(Review)向量得線性相關與線性無關:向量可由1,2,…,s線性表示;(其工作可由多人合力完成)向量組

1,2,…,s線性無關任何一個向量不能由其余向量線性表示要使k1

1+k2

2+…+ks

s

=0,只有系數都為0向量組

1,2,…,s線性相關其中一個向量可以由其余向量線性表示要使k1

1+k2

2+…+ks

s

=0,必須有非零系數二、向量組得探討(Review)向量組得極大線性無關組:

1,2,…,s為向量組A得一個部分組(精英組合)滿足向量組

1,2,…,s線性無關(彼此工作不可替代)任意A得向量可以由

1,2,…,s線性表示(公司得任何人得工作可由精英組合完成)向量組得秩(rank):最大無關組中向量得個數

三、線性空間得基與維數抽象得線性空間得元素稱之為向量(vector)所有得線性空間中得向量得線性相關性定義與Rn一樣:定義形式與向量空間Rn中得定義一樣。有關性質與定理與Rn中得結果一樣。因此,要研究線性空間,只需要研究它得最大線性無關組----即為基(basis)三、線性空間得基與維數基(basis):線性空間得極大無關組;維數(dimension):基中向量得個數;常見線性空間得基與維數:Fn,自然基{e1,e2,…,en},dim

Fn=nRm

n

,自然基{Eij},dim

Rm

n

=m

n。F[t]3

,自然基{1,t,t2},dimF[t]3

=3C[a,b],{1,x,x2,x3…xn-1…}

C[a,b],

dimC[a,b]=

約定:本書主要研究有限維線性空間。四、坐標坐標得來歷:設{

1,2,…,n}就是空間V得一組基,V,可以由基1,2,…,n唯一線性表示=x1

1+x2

2+…+xn

n則x1,x2,…,

xn

就是在基{i}下得坐標。例1:求R2

2中向量在基{Eij}下得坐標。要點:

坐標與基有關坐標得表達形式例2

設空間F[x]4得兩組基為:{1,x,x2,x3}與{1,(x-1)1,(x-1)2,(x-1)3}求f(x)=2+3x+4x2+x3在這兩組基下得坐標。歸納:有了基,就可以將一個抽象得線性空間中得元素與一個實際得元素對應起來,從而將抽象具體化進行研究。大家學習辛苦了，還是要堅持繼續保持安靜*例3

設R22中向量組{Ai}1

討論{Ai}得線性相關性、2求向量組得秩與極大線性無關組、3把其余得向量表示成極大線性無關組得線性組合、五、基變換與坐標變換討論:不同得基之間得關系同一個向量在不同基下坐標之間得關系1基變換公式設空間中有兩組基:過渡矩陣C得性質:C為可逆矩陣C得第i列就是

i

在基{

i

}下得坐標則過渡矩陣2坐標變換公式已知空間中兩組基:滿足::;討論X與Y得關系

X=CY例已知空間R中兩組基(I){Eij}(II);{}求從基(I)到基(II)得過渡矩陣C。求向量在基(II)得坐標Y。§1、2

子空間

概述:線性空間V中,向量集合V可以有集合得運算與關系:

Wi

V,W1

W2,W1

W2,問題:這些關系或運算得結果就是否仍然為線性空間？1、子空間得概念

定義:

設非空集合W

V,W

,如果W中得元素關于V中得線性運算為線性空間,則稱W就是V得子空間。

判別方法:ImportantTheoremW就是子空間

W對V得線性運算封閉。子空間本身就就是線性空間。子空間得判別方法可以作為判別線性空間得方法子空間與非子空間得例子:V={x=(x1,x2,0｝

R

3,就是子空間V={x=(x1,x2,1｝

R

3,不就是子空間矩陣A

Rm×n,齊次線性方程組AX=0得解集:就是子空間S=｛X:AX=0｝

Rn,非齊次線性方程得解集:不就是子空間

M=｛X:AX=b｝重要得子空間:生成子空間

設向量組｛

1,

2,···,

m｝

V,由它們得一切線性組合生成得子空間:Span{

1,

2,···,

m}=L(

1,

2,···,

m)

=

｛k1

1+k2

2+···+km

m|

ki}

生成子空間得重要得性質:1)如果

1,

2,···,

m線性無關,則其為生成子空間Span{

1,

2,···,

m}得一組基;2)如果

1,

2,···,

r就是向量組

1,

2,···,

m得最大線性無關組,則

Span{

1,

2,···,

m}=Span{

1,

2,···,

r}

1,

2,···,

r就是Span{

1,

2,···,

m}得一組基題型舉例2、子空間得“交空間”與“與空間”

討論:設W1

V,W2

V,且都就是子空間,則W1

W2與W1

W2就是否仍然就是子空間？(1)

交空間交集:W1

W2=｛

W1

而且

W2｝

Vn(F)W1

W2就是子空間,被稱為“交空間”(2)與空間與得集合:W1＋W2=｛

=X1＋X2

X1

W1,X2

W2｝,W1＋W2就是子空間,被稱為“與空間”,例設R3中得子空間W1=L{e1},W2=L{e2}求與空間W1＋W2。

比較:集合W1

W2與集合W1＋W2。如果W1=Span{

1,

2,…,

m},W2=Span{

1,

2,…,

k},

則

W1＋W2=Span{

1,

2,…,

m,

1,

2,…,

k}

3、維數公式

子空間得包含關系:

dimW1W2

dimWi

dim(W1＋W2)

dimV。維數定理:dimW1＋dimW2=dim(W1＋W2)＋dim(W1W2)證明:……4、子空間得直與

分析:如果dim(W1

W2)

0,則

dim(W1＋W2)

dimW1＋dimW2所以:

dim(W1＋W2)=dimW1＋dimW2

dim(W1

W2)=0

W1

W2={0}直與得定義:

若

dim(W1

W2)=0,則與為直與

W=W1＋W2=W1

W2,子空間得“與”為“直與”得充要–條件:Theorem設W=W1＋W2,則下列各條等價:(1)

W=W1

W2;(2)

X

W,X=X1＋X2得表就是惟一得;(3)0得分解就是唯一得;(4)

dimW

=dimW1＋dimW2例

設在Rn×n中,子空間W1={A

AT=A},W2={B

BT=–B},證明Rn×n=W1

W2。

例§1、3線性空間V與Fn得同構

坐標關系V

FnV得基{

1,

2,。。。

n}由此建立一個一一對應關系

V,

X

Fn,()=X(1+2)=(1)+(2)

(k)=k()在關系下,線性空間V與Fn同構。同構得性質定理1、3、1:數域F上兩個有限維線性空間同構得充分必要條件就是她們得維數相同。同構保持線性關系不變。應用:

借助于空間Fn中已經有得結論與方法研究一般線性空間得線性關系。§1·4線性變換(LinearTransformations)

一、

線性變換得概念1、線性變換得來歷;Definition:(i)T就是V上得映射:T:V

V。

(ii)T具有線性性:T(

＋

)=T(

)＋T(

)

(保持加法得三角形法則)