湖南省瀏陽市2024-2025學年高一上學期期末質量監測數學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.已知集合4=兇0?%2<4},3={—1,0,2,4,7},則4B=（）

A.{-1,0}B.[0,2,4}C.{-1,0,2}D.[2,4,7）

2.若A=_%2+2%,8=6%+4,則A與3的關系是（）

^-A<BBB<AC.B=AD.與x的值有關

2

3.已知關于x的不等式6tx2+/7Tx+c>0的解集為（-2,4），則不等式ex-bx+a<0的解集

是（）

A.<xx<--sRx>—BJx——<x<—>

2442

C.<xx<—或x>一D.《了——<%<—>

4224

4.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環，記

的長為/,CD的長為如若/:m:AD=9:3:2,則扇環的圓心角的弧度數為（）

5.已知cos[a-g]=-g,則sin[+（z]的值為（）

B.-lD.2^i

A.1±

3333

6.已知。力為正實數且a+6=2,則2+2的最小值為（）

ab

A-3|C.|5

7.萊洛三角形以機械學家萊洛的名字命名，這種三角形應用非常廣泛，不僅用于建筑和

商品的外包裝設計，還用于工業生產中.萊洛三角形的畫法是:先畫正三角形，然后分別以

三個頂點為圓心,邊長長為半徑畫圓弧得到的三角形,如圖，若萊洛三角形的面積是

M兀—6),則弓形”的周長為()

2

C.6D.3K

8.函數/(%)=Asin(0x+0)(A>0,G>0,[d<])的部分圖象如圖所示，若再

且/(%)=/(%2),則/(%+入2)=()

3

C.-D.0

2

二、多項選擇題

9.下列命題中，不正確的是()

A.若—<—<0a<bB.若則

ab

C.若a>Z?>>>0,則b>_￡_D.若一1<6,3<Z?<8,貝U—9<a—b<3

a-ba-c

10.下列命題是真命題的有()

9-

a

A.函數/(%)=sin?x+cosx+1的值域為4-

-

B.g(%)=^3-log2(3-x)的定義域為[-5,+oo)

C.函數/（x）=InX-2的零點所在的區間是（2,3）

X

2

D.對于命題p；BxeR,使得f一1>0,則―1P:VxeR，均有%-1<0

H.把函數/（X）=百sin&u+cos0x（0<°<兀）的圖象向左平移■個單位長度，得到的

函數圖象恰好關于y軸對稱，則（）

A.”尤）的最小正周期為兀

B.〃x）關于點言，-2對稱

⑦⑺在是上單調遞增

D.若/⑺在區間-A上存在最大值，則實數。的取值范圍為：+oo

三、填空題

12.已知兀]sin?=|■，貝Icos(7i-cr)=

13.已知募函數/（x）=（2/-10根+13）x”是R上的奇函數，則實數機的值為

2

14.已知函數/(x)=<，且〃3）=|,則不等式f（9x-2x）>/（-5）的

解集為.

四,解答題

15.已知集合4={%|—2<x<4},3={x|x-m<0].

（1）若=3,求AB；

（2）若A8=0,求實數機的取值范圍；

（3）若“％eA”是“xe8”的充分不必要條件,求實數機的取值范圍.

16.已知函數/（%）=sinfx+—+sinfx-—+cosx+a的最大值為1,

（1）求常數。的值;

（2）求函數〃司的單調遞減區間；

（3）求使成立的x的取值集合.

17.某地區上年度電價為0.8元/（kW-h），年用電量為akW-h，本年度計劃將電價下降到

0.55元/（kW-h）至0.75元/（kW-h）之間，而用戶期望電價為0.4元/（kW-h）.經測算，下調

電價后新增用電量和實際電價與用戶的期望電價的差成反比，且比例系數為左（注：若

機與〃成反比,且比例系數為匕則其關系表示為相"=%）.該地區的電力成本價為0.3元

/（kW-h）.

（1）下調后的實際電價為x（單位：元/（kW?h）），寫出新增用電量/關于x的函數解

析式；

（2）寫出本年度電價下調后電力部門的收益y（單位：元）關于實際電價x（單位：

元/（kW?h））的函數解析式；（注：收益=實際電量x（實際電價-成本價））

（3）設％=0.2a，當電價最低定為多少時,仍可保證電力部門的收益比上年至少增長

20%?

18.已知函數/（'=三上是定義在R上的奇函數'且

（1）求。和人的值；

（2）判斷/（力在[-2,2]上的單調性，并用定義證明；

（3）設8⑴二H2+2fcr+l（左>0）,若對任意的石-2,2],總存在％e[-1,2卜使得

/&）=g（x2）成立，求實數人的取值范圍.

19.若函數外力滿足:對于任意正數機九都有/（間〉0,/（八）〉0,且

+</（機+〃）,則稱函數為“速增函數

（1）試判斷函數工（%）=九2與力⑴=蜒2（》+1）是否是“速增函數，，；

（2）若函數g（x）=2工-l+2a（2-x-1）為“速增函數”，求a的取值范圍；

（3）若函數”同為“速增函數"，且/⑴=1,求證:對任意小（21,2叫丘m）,都有

x2

小卜也>------

2x

參考答案

1.答案：c

解析：由0<%2<4,解得—24召2,則4={乂—24尤42},又3={—1,0,2,4,7},

所以AB={-l,0,2}.

故選:C.

2.答案：A

解析：因為A_8=-V+2x-(6x+4)=---4x-4=-(%2+4x+4)=-(x+2尸<0,

所以

故選:A.

3.答案：B

解析：因為關于x的不等式依2+bx+c>o的解集為(-2,4),

所以-2,4是方程辦2+云+°=°的兩個根，且<o,

--=-2+4

由韋達定理得<a，所以〃=-2a，c=-8a，

-=-2x4

.a

所以不等式of-bx+a<Oo-8G；2+2ax+a<o,又。<0，

則_2%—1<0，即(4x+l)(2x-l)<0,

解得」<x<L所以不等式c尤2-bx+a<0的解集是<x--<%<—>.

42[42,

故選:B.

4.答案：A

解析：如圖，設扇環所在圓的圓心為。，圓心角為a,

3

則變絲所以Q4=3OD=3（Q4—A￡＞）,

OAxa9

zAD2pOAxa9

得H——二一，乂-----二一

0A3AD2

一92

所以a=—x—=3.

23

AB

d'c

d

故選：A

5.答案：B

解析：sin^+a^=sin（。一］=cos^6z-=-^.

故選:B.

6.答案：D

解析：因為。力為正實數且a+b=2,

所以6=2-a，

訴”622-a222?1

所以，—I—=--------1—=—I1=2—I——1

ababab\ab）

因為2+2=2（!+!）=（。+"（工+!）=2+2+幺22+2=4,當且僅當。=/?=1時等號成

ab\ab）\ab）ab

立；

所以2+2=2z0+2=2+2.1之3,當且僅當0=b=1時等號成立；

ababab

故選：D.

7.答案：A

解析：設AB=5C=AC=R,則以點A昆C分別為圓心，圓弧BC,AC,AB所對的每個扇

形面積均為工'女=24，

236

等邊△ABC的面積S=」R2.走=1R2,

224

所以萊洛三角形的面積是J工R2_且尺21+電尺2=（兀-逝）R2=9（兀-⑹,

、64J422

則火=3.4。=巴*3=兀,弓形4。的周長為兀+3.

3

故選:A

8.答案：C

解析：由圖可知，函數八司的最小正周期為T=2x『|-j=g,則。='=3,

所以，/（%）=Asin（3x+0）,

因為/W=Asmf^+J=O,且函數八%）在》=:附近單調遞減，

所以，才+0=2左兀+兀（左￡Z）,解得0=2左兀+：（左wZ）,

又因為一5<°<1,所以，0=1，則/（x）=Asin13x+；

因為/（。）=Asin：=^^A=T,可得A=3A/2

所以，/（x）=^^sin（3x+（）,

因為七、則:<3%+：<兀，:<3々+：〈兀，

因為/（石）=/（九2），貝!）3玉+；+3元2+；=兀，所以，石+%2=￡，

3夜兀3拒夜3

故/（石+%2）=/=----cos—=----X---=—

24222

故選：C.

9.答案：AB

解析：對人,設。=—12=—2,滿足工<工<0,但。>6，故人錯誤;

ab

對B,設〃=2,Z?=l,c=—l,d=—a—c=b—d，故B錯誤；

對C,若〃>/?>。>0,則一/?<—0,貝|]0<〃一/2<〃一0,

故，〉,〉0,則上>上>上，即一^〉，,故c正確;

a-ba-ca-ba-ca-ca-ba-c

對D,若一則一8v—bv—3,則一1-8VQ—Z?v6—3,

即-9<a-。<3,故D正確.

故選：AB.

10.答案：AC

解析：A選項,/(x)=sin2x+cosx+l=-cos2x+cosx+2,

令/=cosxje[-1,1],則y=-t2+t+2的開口向下，對稱軸為/=

所以當”工時,y取得最大值為—?丫+工+2=2;

224

9-

a

當.=—1時,y取得最小值為-(-I)?-1+2=0,所以/(%)的值域為4-,A選項正確.

-

B選項，對于函數g(x)=^3-log2(3-x),

/口左”口

由,[f33--睡x>20(3臼》0侍[fx臃<32(3臼<3'斛倚一5"<3，

所以g(x)的定義域為[-5,3)，B選項錯誤.

C選項"(%)=ln%-2在(0,+GC)上單調遞增，

x

2

/(2)=ln2-1<0"⑶=ln3-耳>0"⑵/⑶<0,

所以函數/(x)=lnx-2的零點所在的區間是(2,3}C選項正確.

X

D選項，命題p-.3xeR,使得f_]>0,

其否定是「p'xeR，均有￡_1<0,D選項錯誤.

故選:AC

11.答案：ACD

解析：因為/1(%)=A/3sincox+cos=2sin(0<o<兀)，

所以把的圖象向左平移四個單位長度得到函數

6

g(x)=2sin](y[x+￡)+￡=2sin^?x+(y-^+^的圖象，

因為g(x)關于y軸對稱，所以四力+四二左兀十二,左EZ=>G=6左+2,kwZ,

662

又因為0<口<兀,所以0=2,/(x)=2si/2x+m,

對A,所以丁=@=兀,故A正確;

2

對=2sin12x|^+E[=2sin兀=0,

所以〃x)的圖象關于點對稱，故B錯誤;

對C,由2E--<2x+—<—+2kn,A;eZ=>fai--<%<—+^7i,A;eZ,

26236

當上=0時,〃尤)的單調遞增區間為-三4兀71

i56

上單調遞增，故C正確;

對D,若函數〃可在上存在最大值，由選項C可知,/(%)在卜展仁上單調遞

增,

且/^=2sin^2x^+^=2sm|=2,BP/⑴在x=￡時取得最大值，所以a〉今

即實數a的取值范圍為]E，+oo],故D正確.

故選:ACD.

12.答案：1/0.8

5

解析：因為兀]4

,sina=-,in2?+cos2a=1,所以cos2?=—,cos?=-

s5255

故答案為:土

5

13.答案:3

解析：由累函數/(x)=(2m2-10根+13)靖',得2療-10〃z+13=1,解得機=2或機=3，

當機=2時，函數/(%)=必是偶函數,不符合題意;當加=3時，函數/(x)=V是奇函數,

所以實數機的值為3.

故答案為：3.

解析：因為了⑶二^!，故［33+m=—，解得m=一--

216

2,%?2為增函數，〃力=4，-3+』,％<2為增函數,

且當x=2時，'一』1—2=1,427+2=1,

4；164

故/(%)在R上單調遞增.

故/回―20>/(_5)即9x—2/>—5,故2/—9x—5<0,

解得g,5)

故答案為：

15.答案：(1){x|x<4}

(2)(-oo,-2]

(3)[4,+oo)

解析：(1)當m=3時，由X—根v0得1<3,.，?5={1|x<3},

:.U=A5={%|x<4}

(2)A={x|-2<x<4},B={x|x<m}.

又A5=0,.,.加<—2.二.實數加的取值范圍(-8,-2].

(3)“1￡A”是“xe歹的充分不必要條件，即A是5的真子集,

A={%|-2<x<4},B={%|x<m}.

實數用的取值范圍是[4,+oo).

16.答案：(1)a=-l

TT4-7T

(2)—+2左兀,——+2防i,keZ

_33_

(3)<x\2左兀<x<—+2kn,左￡Z[

解析:(1)/(x)=sin+COSX+。

.71.7171.71

=sinxcos—+cosxsin—+sinxcos----cosxsin—+cosx+a

6666

=y/3sinx+cosx+a

.(兀)

=02sinx+—+〃，

I6

因為sinx+-的最大值為1,且函數/(x)的最大值為1,

所以2xl+a=l,解得a=-L

(2)由(1)可矢口/(尤)=2sin[x+四]一1.

由2kli+—<%+—<2kn+—，(^eZ)

262

解得2E+^-<x<2kn+,，(左￡Z),

所以函數/(%)的單調遞減區間為|+2^,y+2^，仕eZ)；

(3)由〃力20,得2sin[x+t]—l20Wsin[x+e1

2

所以2E+Cwx+E〈2E+2,(ZeZ)

666

解得2kn<x<2lat+—.￡Z)

因此,/(x)?0成立的x的取值范圍是卜|2farWxwg+2E,^ez1.

17.答案：(1)t=——,(0.55<x<0.75)

x—0.4

(2)y=\k—+a](x—03)(0.55<x<0.75)

Ix-0.4)

(3)0.60<x<0.75

解析：(1)下調后的電價為x元/kw-h,

依題意知用電量t關于x的函數表達式為t=，(0.55<%<0.75)

x—0.4

(2)電力部門的收益為y=1—^+a](x—0.3)(0.55<x<0.75)；

-Ix-0.4)

I-+a](x—0.3)2[ax(0.8—0.3)](l+20%)

（3）依題意有(x-0.4)

0.55<x<0.75

x2-l.lx+0.3>0

整理得

0.55<x<0.75

解此不等式組得0,60<x<0,75.

答：當電價最低定為0.6元/kw-h仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%.

18.答案：(1)a=4，b=Q

（2）單調遞增，證明見解析

5

(3)—,+oo

4

解析：（1）因為函數/"）=千2是定義在R上的奇函數,

0+一

=0

所以滿足/（0）=0,又/（l）=g,可得<a

1

UM

A-0X

解得可得/(x)=

X2+4

"一力=；^=一/（力"（力是奇函數，滿足題意,

人IH-X2+4

所以〃=4,人=0.

（2）/（力=二^,在［-2,2］上單調遞增，證明如下:

JC+4

設任意e［-2,2］且%<冗2，

則〃』）一伍）=邕r鼠

J（X；+4）_X2（X；+4）_（/一%2）（4-/々）

（冗；+4）（考+4）（%；+4）（考+4）'

由一2<玉<Z<2,可得玉冗2<4,

又玉一元2<。，］；+4>0，￥+4〉0,

則則

(x；+4乂.+4)八"」'2)

則"％)在［—2,2］上單調遞增；

(3)對任意的石武-2,2］,由/⑺在［-2,2］上單調遞增,

可得/(-2)Y(％)442),即-1小)。則/⑴在［-2,2］上的值域為4=卜廿

y=kx~+2kx+l的對稱軸為x=—1，

當人>0時,g(x)=fct2+2履+1在［-1,2］上為增函數，

值域為6=［-后+1段+1］,

k>Q

由題意可得瓦則卜+14-卜解得八%

8k+l>-

4

綜上,實數左的取值范圍為-,+oo

4

19.答案：(1)/(%)=*2是，力(x)=iog2(x+l)不是

(2)

2'2

(3)證明見解析

解析：(1)對于函數［(X)=X?,當加>0，〃〉0時，工(加)=療〉0,工(〃)=〉0,

又于［(m)+工(〃)—工(加+〃)="/+〃2—(m+“)2__2rlm<Q,

所以工(血)+工(〃)<4(山+〃),

故工(x)=X2是“速增函數”.

對于函數力(x)=log2(x+l),當加=九=1時，力O)+力(