執信中學2024-2025學年度第一學期高二年級階段測試（一）

數學

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共5頁，滿分150分，時間120分鐘.

注意事項：

1、答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的班別、姓名、考號填寫在答題卡指

定位置，并用鉛筆準確填涂考號.

2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試卷上.

3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的

相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.

不按以上要求作答的答案無效.

4、考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，答題卡由監考老師收回.

第一部分選擇題（共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.己知平面向量加，〃均為單位向量，若向量而，〃的夾角為g,則恢九+4〃|=（）

A.25B.7C.5D.近

2.在VA2C中，己知BC=6,A=30,3=120°,則VABC的面積等于（）

A.9B.18C.9A/3D.18A/3

c—14.rtcrnrisin?ex,+cos2a/土/、

3.已知tana=2,則-----------的值為（）

sin2a+cosa

1134

A.-B.-c.—D.-

5355

4.已知集合A={1,2,3,4,5,6},B={2,3},c={2A,6},則（。3）c=（）

A.{2,4,6}B.{1,3,4,5,6）C.{4,6}D.{2}

5.設私〃是兩條不同的直線，a,"是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是

A.若m.\_a,則根//，

B.若mlla,〃ua,則加//九

C.若a/3=m,nila,nil[3,則加/〃

D.若。_L￡,且。力二m，點Asa,直線則

6.已知同=1,W=百，且（1+2/7）.（〃一/?）二—1,則向量a與/?的夾角為

7C7C2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

7.已知首項為q，公比為q的等比數列{%},其前“項和為九貝廣卬>0,4>1”是“S”單調遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

8.己知過點尸與圓V+y2-4y+l=0相切的兩條直線的夾角為三，設過點尸與圓尤2+y2-4y=0相切的兩

條直線的夾角為a,貝”ina=（）

2424A/5

,~9^

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.圖中陰影部分所表示的集合是（）

A.NIgMB.MI^,NC.[e（McN）]cND.（何）（〃N）

10.若集合A={x||3x-l|22},B=p^|<o1,貝U（）

A.AB=BB.A

c.4（A=D.（”）B=

11.已知曲線C:mx2+〃;/=1,則（）

A.若〃z=〃=4,則曲線C是圓，其半徑為2

B.若旭>〃>0,則曲線C是橢圓，其焦點在y軸上

c.若線c過點（-應,6）,[-半,行],則C是雙曲線

D.若〃勿=0,則曲線C不表示任何圖形

試卷第2頁，共4頁

第二部分非選擇題(共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

1955

12.若4(0,2,胃)，C(-2,1,尸是平面內的三點，設平面的法向量。=(x,%2),貝。

OOO

x:y:z=.

13.已知集合。=口|左+1<%<2左一1}=0,則實數上的取值范圍是.

14.“白日依山盡，黃河入海流”是唐代詩人王之渙形容美景的一首詩詞.某數學愛好者用兩個函數圖象描繪

了這兩句詩詞：/(x)=|3sinx|+sinx,x€[0,2兀]的圖象猶如兩座高低不一的大山，太陽從兩山之間落下(如圖

1),g(x)=：sin2x,xe[0,2可的圖象如滾滾波濤，奔騰入海流(如圖2).若存在一點毛片兀，使在

(天,/伍))處的切線與g(x)在&送(毛))處的切線平行，貝Ucos/的值為

圖1圖2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在長方體ABCD-aqCQ]中，A4=AT>=2,OC=20,8〃和用。交于點E,歹為A8的中點.

⑴求證：EF//平面ADRA；

(2)求點A到平面CEF的距離.

16.已知向量a=(cosx,-J),0=(百sinx,cos2x),xe￡,設函數/(x)=a1!.

(I)求f(x)的最小正周期.

JI

(II)求f(x)在0,y上的最大值和最小值.

17.如圖，在平面四邊形ABCZ)中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=4,BD=10.

⑴求cos/AZ孫

(2)若△BCD的面積為4廊，求BC.

18.在VABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin?C=sin?A+sin?B+sinAsinB.

⑴求角C；

(2)記VABC的面積為S,AABC的周長為T,若c=2,求，的取值范圍.

19.如圖，設Ox,Oy是平面內相交成60。角的兩條數軸，弓、e；分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量,

若向量8=咫+四2,則把有序數對(元廣)叫做向量。尸在坐標系xOy中的坐標，假設O尸=3q+2e2.

/G

⑴計算|。尸|的大小；

(2)是否存在實數”使得OP與向量6=(1,〃)垂直，若存在，求出w的值，若不存在請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

答案

1.c

【分析】先由向量加，"的夾角為得到加?〃=0,進而可計算出|3m+4”的結果.

n

【詳解】因為向量小，〃的夾角為,，所以根=0，又加，〃均為單位向量，

所以\im+4n|=J9+16+24加?九二5.

2.C

【分析】根據題意分別求出AC和角C,再分析求解即可.

【詳解】根據正弦定理得：冬=蕓，所以4。="爾”=6君，

sinAsinBsinA

因為C=180°—6—A=30,所以=gxCAxC3xsinC=96.

3.A

【分析】由二倍角公式變形后，弦化切轉化為正切的式子代入計算.

【詳解】因為tana=2,

所以sin?。+cos2a_sin2a+cos2a-sin2。_cos2a111

sin2a+cos2a2sinacosa+cos2a2sinacosa+cos2a2tana+12x2+15

4.C

【分析】根據集合的補集、交集運算即可.

【詳解】因為集合4={1,2,3,4,5,6},5={2,3},C={2,4,6},

所以。3={1,4,5,6},所以&8)C={4,6}.

5.C

【解析】根據線面、面面平行與垂直的相關定理依次判斷各個選項即可得到結果.

【詳解】對于A,若〃z_Lc,存在“up的情況，A錯誤；

對于B,若根//a,wua,存在機，“異面的情況，8錯誤；

對于C,若"http://a,nlip,則在a,￡內分別存在直線/,/'與〃平行，由線面平行的性質可知：ll/mlll',:.mlln,

C正確；

答案第1頁，共10頁

對于。，若AEM,則存在直線A5不垂直于平面夕，O錯誤.

6.A

【分析】由數量積的運算律求出a/，再根據的定義求出夾角的余弦，從而得夾角大小.

【詳解】因為卜+26).,-6)=—:，所以同2+入6_21『=_：.

因為何=1,W=6,所以

3

cos<a,b>=^=：=2,則向量“與。的夾角為J.

同忖1x^/326

7.A

【分析】由5“-5,1=%>0可判斷充分性；取4=1,q可判斷必要性.

【詳解】在等比數列｛4｝中，4>。，4>1,則%=a/q"T>0,

當時，S,「S,i=a“>。，所以S“單調遞增，故充分性成立;

1.1-W"「1

當S“單調遞增時，q=l,q=；時,一7」=2]勺單調遞增，但是推不出生>0應>1,故必

2

要性不成立.

8.C

【分析】先求出兩圓的圓心和半徑，設設過點P的直線與圓V+G-2)2=3切于點A3,與圓元2+G-2)2=4

切于點M,N,連接PC,AC,BC,MC,NC,由過點P與圓/+產一分+1=0相切的兩條直線的夾角為方，可

求出|PC|=2g,然后在Rt尸C修中可求出sinNMPC,cosZMPC,再利用正弦的二倍角公式可求得結果.

【詳解】由/+/_分+1=0,得Y+(y-2)2=3,則圓心C(0,2),半徑[&,

由％2+y2-4y=0,得％2+(y_2)2=4,則圓心C(0,2),半徑馬=2,

設過點尸的直線與圓v+(y—2)2=3切于點45,與圓f+(y—2)2=4切于點河小，

連接PC,AC,6cMeNC,則AC_LAP,5C_LP5,CM_LPM,GV_L/W,

答案第2頁，共10頁

因為過點P與圓/+/-分+1=。相切的兩條直線的夾角為方,

TT7T

所以NAPB=—,則NAPC=N5PC=—,

36

所以田=2“|=2/;=2后

在RtPCW中，忸。|=26，|MC|=2,所以|尸閭==J12-4=2&,

.\MC\21MP2V2V2

所以sin/MPC=-；----r=—廣=—,=,cosZMPC=

\PC\26V3記一訪一國'

因為NMPN=2ZMPC,

所以sinZMPN=sin(2ZMPC)=2sinZMPC-cosZMPC=2x—

A/3>/33

即sin”半

9.AC

【分析】根據Venn圖，結合集合運算的概念即可得出答案.

【詳解】

答案第3頁，共10頁

A選項：七/二①十②，則N②，故A正確;

B選項：^N=?+@,則MgN=④，故B錯；

C選項：故C正確；

D選項：(物W)(/)=①，故D錯.

10.AD

【分析】解不等式求出A,B,再進行集合交并補運算逐一驗證四個選項的正誤即可得正確選項.

【詳解】由|3x-l|?2可得3x-122或3X—1V—2,解得：xNl或xW-g,

所以4=，次4一；或％21}；

由可得八尤二2),解得：1<%(2,

x-1[x-1^0

所以B={x[l<x42}；

對于A：因為A=1x]xW-;或久21},B={x|l<x<2},所以AB=B,故選項A正確；

對于B：由3={*|1<天42}可得=或無>2},

又因為A=，|x4-;或久之1},所以口{1}"2,+⑹，故選項B不正確；

對于C：因為A=1x]xW-；或久N1},B=[x\\<x<ir\,

所以ADB=A=1X|X4-；或“21},所以=故選項C不正確；

對于D：因為A=1x|xW-；或％21},所以4A=1x|-;<x<l],

因為3={x[l<x42},所以低=(1,2],故選項D正確；

11.BC

【分析】對于A,曲線C可化為V+y2=L,表示圓，可求半徑，判斷A;

n

11一

對于B,機>〃>0時，曲線。可化為11,0<—<—可判斷表不橢圓，判斷B;

mn

mn

答案第4頁，共10頁

對于c,將點卜夜,6）,[-孚，四，代入曲線C：^2+?/=1,求得曲線方程，

判斷C;對于D,可舉特例進行說明，判斷D.

【詳解】對于A,m=〃>0時，曲線C可化為+其半徑為;=（，故A錯誤;

《+二=111

對于B,〃7>w>0時，曲線C可化為1+1一表示的是橢圓，而0<—<—,

mn

mn

所以其焦點在y軸上，故B正確；

對于C,將點卜夜,6）,卜平，夜[，代入曲線C：mx2+ny2=l,

2m+3n=1m=1

有5m-y=>1,mn<0,所以曲線C是雙曲線，故C正確;

------卜2幾=1n=——

33

對于D,若m=1,〃=0,滿足條件，此時曲線C：爐=1,表示兩條直線,

故D錯誤,

12.2：3：(-4)

【詳解】試題分析：由4[0,2,?121,-1,胃,012」,胃得42=1-3,-￡|,40=12,-1,一（

y,z)=O

因為為平面的法向量，則有ABz=O,AC“=。，即j-(x,y,z)=0

x—3y——z=0

{,43i

由向量的數量積的運算法則有。7°解得y=-1z,x=z

-2x-y--z=042

所以無:y:z=[卦UO=2:3:（一4）

故正確答案為2:3:（7）

13.{硯<2}

【分析】根據空集的定義，要使集合。={彳|《+1<》42左一1}=0,則2左一1〈人+1,解之即可求解.

答案第5頁，共10頁

【詳解】vQ={x\k+l<x<2k-\]=0,.\2k-l<k+l,

解得左＜2,因此實數上的取值范圍是卜|左＜2}.

故答案為：伙k＜2}.

14.2-&或-1+6

22

【分析】將函數/(x)表示為分段函數的形式，根據切線的平行和導函數的關系列出三角等式，利用余弦的

二倍角公式求解.

/、|4sinX,XG[0,7I1

【詳解】由題可知“X=~,；1，

1—2sm%,%￡(兀,2兀J

J4COSX,XG[0,7T]

[-2COSX,XG(K,2TI]?

g'(%)=cos2x,xG[0,2TI]

當無o￡[0,兀)時，由題意得，/(尤o)=g'5)，

2

所以4cosx0=cos2x0,gp2cosx0-4cosx0-1=0,

解得cos/二4土;指,即cosx()=2+,(舍)或cos/=2,,

當不?兀,2句時，由題意得，f'(%o)=g'(%o)，

2

所以一2cos/=cos2x0,即2cosx0+2cosx0-l=0,

解得cos%=2,即cos/二1'(舍)或cos/二1；"，

故答案為：三色或士

22

15.(1)證明見解析

(2)1

【分析】(1)利用空間中直線與平面平行的判定定理，結合三角形中位線即可證明；

(2)建立空間直角坐標系，求平面法向量，再根據及點到面的距離公式運算求解.

【詳解】(1)如圖，連接A，，B、D、,BD.

因為長方體ABCD-A4G2中,3片//DD、且BBy=DR,

所以四邊形瓦2Q為平行四邊形.

答案第6頁，共10頁

所以E為8,的中點,

在.ABD1中，因為E,尸分別為BA和43的中點,

所以EF//AD1.

因為EF(X平面AORA,AD1u平面ADDlAi,

所以EF//平面AO￡?iA.

(2)如圖建立空間直角坐標系。-孫z,因為長方體中AA=AO=2,CD=2a,

則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2A/2,0),3(2,20,0),F(2,叵0),

4(2,2夜,2),E(1,V2,1).

所以CE=(1,-&,1),CT=(2,-0,0),

設平面CEF的法向量為根=(菁,％,Z]),

mCE-0,fx-V2y,+z,=0

則即‘二I,

m-CF=0,[2%一戊％=0

令玉=1,則％=，Z]=1,可得m=(1,y]2,1).

AF=(0,72,0),

|AF?m\

所以點A到平面CEF的距離為d==1.

\m\

答案第7頁，共10頁

241

16.(i)r=-^=^(n)/(%)max=i/(x)nun=--

【分析】先求出f(x),然后根據三角函數的性質求解即可.

【詳解】f{x}=a-b=A/3sinA：COSX-^COS2X

=——sin2x——cos2x

22

=sin(2x-6)

(I)f(x)的最小正周期為7=要27r=萬.

(II)xG[0,—],2x---G[-----,—],sin(2x-----)E[—,1]

266662

故當2x—g=彳即x=g時，/?ax=l

623

ITTTI

當2元一二一公即尤=°時，f^=--

662

⑵10

【分析】（1）先利用正弦定理求出sinZAD5,再結合結合同角的三角函數關系即可求解;

（2）先結合（1）及三角形面積公式求出。C,再根據余弦定理即可求解.

BDAB

【詳解】（1）在△海中，由正弦定理得

sinZAsinZADB

即——=--------MMsinZADB=—,

sin45sinZADB5

又0<ZADB<90,

____________

所以cosZADB=yjl-sin2ZADB=.

(2)結合(1)可得cos/8￡>C=cos(90-ZADB)=sinZADB=,

則sin/BOC=cos?NBDC=卓，

又SBCD=；DBDC.sinNBDC,即4A=Lxl0xZ)Cx疸，解得。C=4五,

225

則由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD-DCcosZBDC=100,

又3C>0,所以BC=10.

答案第8頁，共10頁

2兀

18.(l)C=y;

⑵(0,1-亭.

【分析】(1)根據給定條件，利用正弦定理角化邊，再由余弦定理求解作答.

(2)根據已知結合三角形面積公式求出關的函數關系，再利用均值不等式求解作答.

22