2025年高考數學專項題型點撥訓練

導數

【題型一】公切線求參

【題型二】“過點”切線條數

【題型三】切線法解題

【題型四】恒成立求參

【題型五】能成立求參

【題型六】零點與隱零點

【題型七】雙變量問題

【題型八】構造函數求參

【題型九】極值點偏移

導數在新結構試卷中的考察重點偏向于小題，原屬于導數的壓軸題有所改變，但導數在高考中的考察

依然屬于重點，題型很多，結合的內容也偏多，比如常出現的比較大小和恒成立問題等都結合著構造函數

的思想，而如何構造就需要學生對出題人的出題思路再根據構造函數的思維從而進行推理，是不簡單的知

識點。

易錯點：對數單身狗、指數找基友

在處理含對數的等式、不等式時，通常要將對數型的函數“獨立分離”出來，這樣再對新函數求導時，就不含

對數了，從而避免了多次求導.這種讓對數“孤軍奮戰”的變形過程，俗稱之為“對數單身狗”.

目標希望是這樣的：由/(x)lnx+g(x)>0。Inx+。|>0=>[Inx+丫=一+C|了；

/(x)/(%)x/U)

在處理含指數的等式、不等式時，通常要將指數型函數與其它函數(乘或除)結合起來，這樣再對新

函數求導時，就避免了多次求導.俗稱之為“指數找朋友”或“指數常下沉”.

乘法："(X)er=0o"'(X)+/(切?/=0of'(x)+f(x)=0；

除法：[gr=oO八"；=0oy(x)-/(x)=0.

例已知當時，Ylnx-x+lN根(彳一1)2恒成立，則實數加的取值范圍是.

變式1：已知函數/(x)=(x+l)lnx—a(x—l).

⑴當。=4時，求曲線y=/(x)在(1J⑴)處的切線方程;

⑵若當xe(l,+s)時，/(%)>0,求。的取值范圍.

【題型一】公切線求參

(1)以曲線上的點(尤0,人知))為切點的切線方程的求解步驟:

①求出函數7U)的導數f(x)；

②求切線的斜率了(初)；

③寫出切線方程y—fixo)—f(xd)(x—xo),并化簡.

%=/(%)

(2)如果已知點(xl,yl)不在曲線上，則設出切點(x0,yO),解方程組，"％為_八,、得切點(x。，yo),進而

確定切線方程.

I—I

典例精講

【例1】(2024?山西?模擬預測)已知函數〃x)=("3)x3+(a-2)d+(a_i)x+a若對任意x°wR,曲線

y=/(x)在點(%,/(%))和處的切線互相平行或重合，則實數。=()

A.0B.1C.2D.3

【例2】(2024?全國?模擬預測)已知函數〃x)=(x+a)2+lnx的圖象上存在不同的兩點A,3,使得曲線

y=/(x)在點處的切線都與直線x+2y=。垂直，則實數。的取值范圍是()

A.co,l-A/2jB.^1—A/2,0jC.卜8,1+^/^)D.^0,1+V2)

I—1

名校模擬

【變式1](2024.全國.模擬預測)曲線丫=^在4(%,%)處的切線與曲線〉=1"+/”相切于點3(%,%)，若

11,

為＜%且-----+------=1，則實數加的值為______.

尤2-占

【變式2](2024?四川瀘州?三模)設函數〃x)=ei,g(x)=lnx+b.

⑴求函數尸(x)=(x-l)/(x)的單調區間；

(2)若總存在兩條直線和曲線y="X)與y=8⑺都相切，求b的取值范圍.

【變式3](2024.陜西安康.模擬預測)已知函數/(x)=lnx+l,g(x)=ex-l.

⑴求曲線y=/(x)Vy=g(x)的公切線的條數；

(2)若a>0,Vxw(T,+e),/(x+l)?a2g(x)+/-a+l,求。的取值范圍.

【題型二】“過點”切線條數

導數運算及切線的理解應注意的問題：

一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.

二是直線與曲線公共點的個數不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，

同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點.

I—I

典例精講

【例1】（2024.山西呂梁二模）若曲線〃x）=lnx在點尸（x0,幾）處的切線過原點0（0,0）,貝生=.

丫<0

【例2】（2024?北京海淀?一模）已知〃x）=；一函數AM的零點個數為優，過點（。,2）與曲線

lg（x+l）,x>0

丫=/（尤）相切的直線的條數為〃，則人力的值分別為（）

A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2

I—1

名校模擬

【變式1］（2024.全國.模擬預測）若曲線/（x）=:+log/（。>0且有兩條過坐標原點的切線，貝匹

的取值范圍為（）

【變式2］（2024?全國?模擬預測）過坐標原點作曲線〃x）=e'"2_2x+2）的切線，則切線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【題型三】切線法解題

涉及到交點或者零點的小題題型，函數圖像通過求導，大多數屬于凸凹型函數，則可以用切線分隔（分界）

思維來求解。切線，多涉及到“過點”型切線，

I—I

典例精講

【例1】(2024?黑龍江雙鴨山?模擬預測)已知函數/(x)=2(wu-lnx)+e.

⑴若/(x)的圖象在點(1J(1))處的切線與直線/:2x+y+l=0垂直，求小的值;

(2)討論了⑴的單調性與極值.

【例2】(2024?全國?模擬預測)已知函數，(無以，且曲線>=/(尤)在點①"(無))處的切線方程

為y=-2x+b.

⑴求實數。，6的值；

(2)證明：函數Ax)有兩個零點.

I—I

名校模擬

【變式1】(2024.四川攀枝花.三模)已知函數〃元)=hw+2-l(aeR).

⑴當a=2時，求函數在x=l處的切線方程；

(2)設函數〃尤)的導函數為((無)，若尸&)=廣仇)(菁*馬)，證明：/(x1)+/(x2)+^>l.

【變式2](2024.廣東深圳.二模)已知函數/(x)=("+1廣，尸⑺是的導函數，且r(x)-/(x)=2e，.

⑴若曲線y=〃x)在x=0處的切線為、=米+萬，求左，6的值；

⑵在(1)的條件下，證明：f{x)>kx+b.

【題型四】恒成立求參

不等式的恒成立求參數問題，不等式恒成立問題常見方法：

①分離參數。上了(力恒成立(aN/(x)1mx即可)或。4f(x)恒成立(心/⑺.即可)；

②數形結合(y=/(x)圖像在y=g")上方即可)；

③討論最值”x*之。或〃x)1rax40恒成立.

涉及到不等式整數解的問題時，要充分利用導數研究函數單調性，結合單調性考查整數解相鄰整數點函數

值的符號問題，列不等式求解，考查運算能力與分析問題的能力.

在研究函數時用導數求極值研究極值時，無法正常求出極值點，可設出極值點構造等式或者方程作分析，

進行合適的等量代換或者合適的換元消元消參，考查了分析推理能力，運算能力，綜合應用能力，難度很

大.

I—I

典例精講

【例1】(2024?全國?模擬預測)不等式x(2e3x—〃)Nln(2ex)在(0,+8)上恒成立，則實數a的取值范圍是.

【例2】(2024?湖南衡陽?模擬預測)已知函數/(另=1。8“12'+a］一苫是偶函數，不等式

〃x-lnx)"(inZ?-。?)恒成立，則匕的最大值為.

【例3】(2024?江蘇鹽城?模擬預測)已知函數〃2=訃2-11K-%.

⑴討論/(x)的單調性；

(2)若不等式八X)20恒成立，求。的取值范圍.

I—1

名校模擬

【變式1】(2024?湖南衡陽?模擬預測)已知函數〃x)=e「x,函數8(尤)=/+,無_2("0).

⑴若直線x與函數交于點A,直線x=e'T?eR)與函數g(x)交于點2,且函數/⑺在點A

處的切線與函數g(x)在點8處的切線相互平行，求。的取值范圍；

(2)函數〃(x)=xlnx-?|g(x)在其定義域內有兩個不同的極值點巧，巧，且%＞々，存在實數幾＞0使得不等

式3+,＜匕7：恒成立，求實數2的取值范圍.

【變式2】(2024?全國?模擬預測)已知函數"力=6日(尤＞0),g(x)=l+lnx.

⑴證明：/(x)＞g(x).

⑵若應(x)2(1+f)g(x)恒成立，求實數。的取值范圍.

【題型五】能成立求參

對于利用導數研究函數的綜合問題的求解策略：

1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；

2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的

新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問題的區別.

?—I

典例精講

【例1】已知函數/(力=叱.

⑴二次函數y=o?(a>o),在“①曲線y=/(x),^=加(。>0)有1個交點；②。=!”中選擇一個作為條

件，另一個作為結論，進行證明；

(2)若關于x的不等式"司+加W皿+g在卜,e?］上能成立，求實數m的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【例2】已知函數/'(x)=alnx-x.

(1)若。=3,求曲線y=f{x)在(1,7(1))處的切線方程；

(2)若關于x的不等式”x)>但在上能成立，求實數。的取值范圍.

xe

?—1

名校模擬

【變式1］已知函數/(x)=ln(x+l)-%+a(l—cos%).

(1)當。=0時，求曲線y=/(x)在點仁一1,/\-3處的切線方程；

(2)若存在正實數r,使得當xQvj)時，有財?(天)上。能成立，求。的值.

【變式2】設函數/。)=表、

(1)求在點。，/⑴)處的切線方程；

(2)求函數/(無)的單調區間；

(3)當xe［-2,2］時，使得不等式/(無)<24+1能成立的實數。的取值范圍.

【題型六】零點與隱零點

隱零點問題是指對函數的零點設而不求，通過一種整體代換和過渡，再結合題目條件最終解決問題；

極值點偏移是指函數在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數圖象不具有對稱性，隱零點與極值點偏移

問題常常出現在高考數學的壓軸題中，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量較大，難度大.

解題思路：

(1)用函數零點存在定理判定導函數零點的存在性，列出零點方程/%)=0,并結合了(無)的單調性得到零點的

取值范圍.

(2)以零點為分界點，說明導函數了(功的正負，進而得到黃龍)的最值表達式.

(3)將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡證明，有時(1)中的零點范圍還可以適當縮小.

?—I

典例精講

【例1］已知函數Hx)=(x—l)ex—ox的圖象在x=Q處的切線方程是x+y+b=O.

⑴求a,b的值；

3

(2)求證：兀￥)有唯一的極值點xo,且?xo)>—2.

2Inx

【例2】已知火%)=^+1—x+1,g(x)=%+2.

⑴求g(x)的極值；

(2)當尤>0時,證明：?>g(x).

I—I

名校模擬

］%2

【變式1］已知實數a滿足。以后十#—2,且函數y(x)=lnx+2—(a+2)x恰有一個極小值機和

極大值求機一M的最大值.

【變式2】已知函數#x)=x—alnx—l(a?R).

⑴當a=l時，求證：X%)>0；

⑵若x=l是火力唯一的零點，求“x)的單調區間.

【題型七】雙變量問題

一般地，若/0)=/(尤2)時，涉及到雙變量的不等式的證明，函數的最值問題可以使用比值換元，令三=心

玉

將問題轉化為關于r的函數，利用導數進行求解.

I—I

典例精講

【例1】(2024?廣東佛山?二模)已知〃無)=一:e2*+4e'-ax-5.

⑴當“=3時，求〃尤)的單調區間；

(2)若/(x)有兩個極值點看,巧，證明：/(^)+/(x2)+^+x2<0.

【例2】（2024?廣東?二模）已知/（x）=+（1-2。）尤-21nx,a>0.

（1）求的單調區間；

⑵函數〃x）的圖象上是否存在兩點4（占,%）,3（%,%）（其中x產馬），使得直線A2與函數“X）的圖象在

%=七三處的切線平行？若存在，請求出直線A3；若不存在，請說明理由.

【例3】（2024.四川?模擬預測）已知函數〃x）=（a+l）e，一:尤2+igeR）.

⑴當a=l時，求曲線y=在點（0,〃。））處的切線方程；

⑵設占,％2（%<%2）是函數y=/'（x）的兩個零點，求證：x,+x2>2.

I—I

名校模擬

【變式1］（2024?四川德陽?二模）已知函數r（x）=lnx+x2-2m：MwR,

⑴當。>0時，討論〃尤）的單調性；

（2）若函數〃尤）有兩個極值點外,%（石<x2）,求2〃占）-/（9）的最小值.

【變式2］（2024.全國?模擬預測）已知函數〃無）="-媽，a>0.

X

⑴若/（X）存在零點，求4的取值范圍；

（2）若X］,X?為“X）的零點，且網<工2，證明：。（占+々）2>2.

【變式3］（2024高三.全國?專題練習）已知函數〃x）=^―?」+。111,+不〃（尤）=-/+2辦-。2+2。,。為實

ex

數.

⑴討論函數“X）的極值；

（2）若存在鄭電滿足％1r々，〃士尸/值）,求證:^+x2>/i（x）.

【題型八】構造函數求參

1.構造函數法求解函數解析式，利用導數研究函數增減性，常用以下方法：

（1）利用含導數方程還原原表達式需要結合導數四則運算特征，如本題中同乘X移項后就得到除法對應導

數公式；

（2）利用導數研究函數增減性,如遇導數不能判斷正負的情況下，往往需要再次求導，通過二階導數判斷一

階導數的正負，再通過一階導數的正負判斷原函數的增減.

2.幾種導數的常見構造：

對于/'(x)>g'(x),構造丸(x)=/(x)-g(x)

若遇到了'(X)>a(ar0),構造h(x)=f(x)-ax

對于((尤)+g'(x)>0,構造Mx)=/(%)+g(x)

對于F(x)+/(x)>。,構造心)=e"(x)

對于尸(x)>/(x)或"'(X)-/(%)>0],構造3)=華

ex

對于礦(%)+/(%)>。，構造飄%)=獷(%)

對于礦(X)-〃x)>0,構造〃(元)=以

X

?—I

典例精講

【例1】(2024?浙江嘉興二模)已知定義在(0,+“)上的函數/'(%)滿足獷'(x)=(l-x)〃x),M/(l)>0,

貝U()

A./(1]</(1)</(2)

B./(2)</(1)</I

C./出D.〃2)</&<〃1)

【例21(23-24高二下?四川宜賓?階段練習)已知函數/(元)的定義域為R,對任意xeR,有,

則不等式e"(x+l)>e2/(2x-1)的解集是()

A.{x|x<4}B.1x|x<3jC.{x|x<2}D.x<1}

I—I

名校模擬

【變式1](23-24高二下?廣東東莞?階段練習)已知/(無)為函數〃尤)的導函數，當尤>0時，有

/(^-^■'^^^。恒成立，則下列不等式一定成立的是()

【變式2](23-24高二下.四川眉山?期中)已知函數〃力的導函數為((力，對任意的正數x,都滿足

/(x)<V，(x)<2/(x)-2^,則下列結論正確的是()

A.B.

C./⑴<”出一2D.〃1)>；〃2)+1

【題型九】極值點偏移

(1)(對稱化構造法