專題15立體幾何解答題全歸類

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?A"01非常規(guī)空間幾何體為載體

■逝02立體幾何探索性問(wèn)題

■題瞿03

立體幾何折疊問(wèn)題6

04立體幾何作圖問(wèn)題...............................................................8

05立體幾何建系繁瑣問(wèn)題...........................................................11

06兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問(wèn)題............................................13

題邛07利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系.....................................................15

08空間中的點(diǎn)不好求................................................................17

09創(chuàng)新定義........................................................................20

題型,01非常規(guī)空間幾何體為載體

1.（2023?四川南充?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓錐。。中，。為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面圓圓心，A3是

圓。的直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形AODE是矩形.

C

⑴若點(diǎn)廠是3c的中點(diǎn)，求證：。廣〃平面ACE；

7T

（2）若AB=2,ABAC=NACE=-,求直線8與平面ABDE所成角的余弦值.

2.(2023?新高考H)如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDYCD,ZADB=ZADC=60°,E為

3c中點(diǎn).

(1)證明

（2）點(diǎn)/滿足訪=礪，求二面角￡>-AB-尸的正弦值.

F

DB

3.(2023?河南?高二潦河高中校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，四棱臺(tái)ABCD-EFG”中，上、下底面均是正方

形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，EG=2AC=4,上、下底面中心的連線M0垂直于上、下底面，且與

側(cè)面所成角的正切值為理.

2

(1)求點(diǎn)A到平面MHG的距離；

⑵求二面角E-的余弦值.

4.(2023?天津和平?統(tǒng)考三模)如圖，四棱臺(tái)ABC。-A4GA中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全

等的等腰梯形，AB=2A]Bl=4,E,尸分別為DC,3C的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面,

且。。與側(cè)棱所在直線所成的角為45。.

(1)求證：〃平面6所；

(2)求點(diǎn)A到平面CXEF的距離；

(3)邊BC上是否存在點(diǎn)“，使得直線AM與平面GE尸所成的角的正弦值為封若存在，求出線段BM

22

的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

一題型02立體幾何探索性問(wèn)題

5.(2023?新高考I)如圖，在正四棱柱ABCD—A4G2中，45=2,懼=4.點(diǎn)B2,C2,已分別

在棱胡，BBt,CC],即上，AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//A,D2；

(2)點(diǎn)P在棱8B]上，當(dāng)二面角尸-4G-2為150。時(shí)，求B2P.

6.(2023?北京?高三北京八中校考期中)羨除是《九章算術(shù)》中記載的一種五面體.如圖五面體

ABCDEF,四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，其中EF〃AD〃8C,AD=4,

EF=BC=AB=2,ED=回,M為A。中點(diǎn)，平面8CEP與平面ADE尸交于EF.再?gòu)臈l件①，條件

②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使得羨除A2CDEB能夠確定，然后解答下列各題：

(2)求二面角B-AE-尸的余弦值.

⑶在線段題上是否存在點(diǎn)°,使得M。與平面A8E所成的角的正弦值為*若存在，求出黑的值,

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

條件①：平面CDE，平面ABC。；

條件②：平面ADEF_L平面ABC。；

條件③：EC=2y/3.

7.(2021?甲卷)已知直三棱柱ABC-4AG中，側(cè)面為正方形，AB=BC=2,E,尸分別為AC

和CG的中點(diǎn)，。為棱A4上的點(diǎn)，BF±-

(1)證明：BF±DE；

(2)當(dāng)月。為何值時(shí)，面與面DEE所成的二面角的正弦值最小？

8.(2021?北京)如圖，在正方體ABCD-A4c12，E為AR的中點(diǎn)，用6交平面CDE交于點(diǎn)尸.

(I)求證：P為4G的中點(diǎn)；

(II)若點(diǎn)M是棱A/上一點(diǎn)，且二面角V-FC-E的余弦值為好，求4”的值.

3A,耳

9.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形A8CD所在平面相互垂直，已

知3c=4,AB=AD=2.

(1)求證：AC1BF；

(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P,使得平面E4CL平面BCEP?若存在，求出朦的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

I\

明理由.

型03立體幾何折疊問(wèn)題

10.(2023?江蘇蘇州?高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))已知圖①中四邊形A3CD是圓0

的內(nèi)接四邊形，沿80將△3＞所在圓面翻折至如圖②所示的位置，使得AC=CD.

圖①圖②

(1)若/CBO=45。，證明：ABVOC-,

(2)若配.麗=也.而，求二面角B-AC-D余弦值的最小值.

11.(2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在梯形A3CD中，ADIIBC,AD±AB,BC=2AD=yf6,

AB=6,AC與8。交于點(diǎn)“，將△ABD沿3。翻折至△PSD,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置.

(1)證明：BD±PC；

(2)若平面PBC與平面尸8。的夾角的余弦值為近，求三棱錐P-BCD的體積.

7

12.(2023?貴州?高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖1,已知ABFE是直角梯形，EF//AB,ZABF=90°,

ZBAE=60°,C、D分別為3RAE的中點(diǎn)，AB=5,EF=1,將直角梯形A2FE沿8翻折，使得二面角

如圖2所示，設(shè)N為BC的中點(diǎn).

⑴證明：FN1AD；

⑵若M為4￡上一點(diǎn)，且嘿=/'則當(dāng)X為何值時(shí)‘直線2M與平面AOE所成角的正弦值為哈.

13.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊8上，且滿足

AD=DE=42,CE=—,將VADE沿AE向上翻折，使點(diǎn)。到點(diǎn)P的位置，構(gòu)成四棱錐尸-ABCE.

2

(2)若尸8=業(yè)2,求銳二面角尸一EC-A的大小.

10

一題型04立體幾何作圖問(wèn)題

14.(2023?貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，已知平行六面體A5CQ-ABC。的底面ABCD是菱形,

兀3

CD=CQ=ACl=2,ZDCB=-,且cosNC|Cr>=cosNC]CB=w.

(1)試在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作直線/,使得直線/〃平面C3D,說(shuō)明作圖方法，并證明：直線/〃與2；

（2）求平面BG。與平面A耳。所成銳二面角的余弦值.

15.（2023?重慶九龍坡?高三重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為正

方形，。為其中心，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).

（1）作出過(guò)。、P兩點(diǎn)且與AE平行的四棱錐截面（在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，并寫出簡(jiǎn)

要作圖過(guò)程）；記該截面與棱8的交點(diǎn)為M求出比值近（直接寫出答案）;

（2）若四棱錐的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均相等，求AE與平面PBC所成角的正弦值.

16.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐尸-ABCD中，平面與

直線總和直線AC平行，點(diǎn)￡為「￡＞的中點(diǎn)，點(diǎn)F在8上，且叱:FC=1:2.

⑴求證：四邊形MNG"是平行四邊形；

(2)求作過(guò)所作四棱錐P-ABCD的截面，使網(wǎng)與截面平行(寫出作圖過(guò)程，不要求證明)?截面的定義:

用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.

17.(2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考三模)如圖多面體ABCDEF中，面面A3CD,&FAB為等邊三角

3

形，四邊形ABC。為正方形，EF//BC,M￡F=-BC=3,H,G分別為CE，CO的中點(diǎn)?

(1)求二面角C-M-G的余弦值；

Ap

(2)作平面FHG與平面ABC。的交線，記該交線與直線AB交點(diǎn)為尸，寫出不；的值(不需要說(shuō)明理

AD

由，保留作圖痕跡).

18.(2023?北京?北京市H^一學(xué)校校考三模)四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形,

ND48=m.ACn3￡>=。,且PO/平面ABCD,尸0=6，點(diǎn)尸,G分別是線段PAPZ)上的中點(diǎn)，E在上4

上.且PA=3尸E.

(I)求證：30//平面EFG；

(II)求直線A3與平面跳6的成角的正弦值；

(III)請(qǐng)畫(huà)出平面EFG與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.

一05立體幾何建系繁瑣問(wèn)題

19.(2023?浙江臺(tái)州?高一統(tǒng)考期末)如圖，平面平面ABCD,四邊形AD所為矩形，且M為

線段所上的動(dòng)點(diǎn)，AB//CD,NABC=9(y,AD=2DE,AB=2CD=2BC=2.

(1)當(dāng)M為線段E尸的中點(diǎn)時(shí)，

(i)求證：平面BD”；

(ii)求直線AM與平面MBC所成角的正弦值；

(2)記直線AM與平面MBC所成角為a,平面MAD與平面MBC的夾角為夕，是否存在點(diǎn)M使得￡=￡?若

存在，求出月以；若不存在，說(shuō)明理由.

20.(2023?江蘇南京?高一南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí))如圖，在梯形A3CD中，AB//CD,

AD=DC=CB=1,ZABC=6O°,四邊形AC7芯為矩形，平面ACFE_L平面ABC。，CF=1.

F

M

E

(1)求證：平面ACFE；

(2)求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；

⑶若點(diǎn)M在線段E尸上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面M4B與平面FCB所成二面角的平面角為伙。490。)，試求cos。的范

圍.

21.(2023?重慶?統(tǒng)考三模)如圖，四面體ABC。的頂點(diǎn)都在以A8為直徑的球面上，底面是邊長(zhǎng)

為6的等邊三角形，球心。到底面的距離為L(zhǎng)

(1)求球。的表面積；

(2)求二面角3-AC—O的余弦值.

22.(2023?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，在平行四邊形48CO中，AB=2BC=80

TT

ZDAB=~,E為邊48的中點(diǎn)，將VADE沿直線。E翻折為若尸為線段AC的中點(diǎn).在VADE翻

折過(guò)程中,

⑴求證：班1〃平面A力E；

(2)若二面角A-OE-C=60。，求AC與面A'EZ)所成角的正弦值.

7T

23.(2023?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí))四面體D-ABC中=1,

7T

AC=2BC=2,ZBCD=ZACD=—,CD=a,CD<BC,E為AC中點(diǎn).

4

(1)證明：CD±BE；

(2)若二面角E-a-A的余弦值為半，求a的值.

一^型06兩角相等(構(gòu)造全等)的立體幾何問(wèn)題

24.(2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱錐A-BCD中,43C是等邊三角形,=/BCD=90。,

點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，連接BRQP.

(1)證明:平面ACD_L平面3DP；

(2)若8。=痣，且二面角A-3D-C為120。,求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.

25.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模)如圖，在三棱錐A-BCD中，AABC是等邊三角形,

NBAD=/BCr)=90。，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，連接BP,DP

(1)證明：平面ACD_L平面8DP；

⑵若BD=巫,cosNBPD=-R,求三棱錐A-3CD的體積.

26.(2023?福建龍巖?統(tǒng)考一模)如圖，在三棱錐D-ABC中，AABC為等邊三角形，/DAC=/DAB,

ABCD面積是AABC面積的兩倍，點(diǎn)”在側(cè)棱4力上.

(1)若證明：平面ACD_L平面BCM；

(2)若二面角O-BC-A的大小為?，且M為AD的中27點(diǎn)r，求直線8M與平面ACD所成角的正弦_值_.

27.（2023?浙江寧波?高三統(tǒng)考期末）如圖所示，四面體ABCD中，AABC是正三角形，AACD是直角三

角形，。是AC的中點(diǎn)，且NABD=NCBD,AB=BD.

（1）求證：OD_L平面A3C；

（2）過(guò)AC的平面交30于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角

D-AE-C的余弦值.

一^型07利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系

28.（2023?江蘇徐州?高三統(tǒng)考期中）如圖，在三棱錐P-ABC中，側(cè)面上鉆是銳角三角形,

PA1BC,平面平面ABC.

（1）求證：ABJ.BC；

（2）設(shè)尸A=P3=2,AC=4,點(diǎn)。在棱BC（異于端點(diǎn)）上，當(dāng)三棱錐尸-ABC體積最大時(shí)，若二面角

C-B4-￡＞大于300,求線段3。長(zhǎng)的取值范圍.

29.(2023?江蘇常州?高三統(tǒng)考期中)已知三棱柱A3C-44。，AB=AC=2,

=60。，為線段AG，B4上的點(diǎn)，且滿足整=黑=(0</<1).

AC]D/\

(1)求證：MA7/平面A3C；

(2)求證：BB{±BC；

(3)設(shè)平面"人見(jiàn)。平面ABC=/,已知二面角/-C的正弦值為正，求f的值.

3

30.(2023?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在正三棱臺(tái)ABC-AB?中，側(cè)棱長(zhǎng)為1,且3C=2B￡=2,E

為的中點(diǎn)，。為例上的點(diǎn)，且

⑴證明：DE2平面BCC]旦，并求出AD的長(zhǎng);

(2)求平面應(yīng)見(jiàn)與平面A3c夾角的余弦值.

31.(2023?湖南永州?統(tǒng)考一模)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD為

正三角形，且AD=2AB=4,M、N分別為PD、3C的中點(diǎn)，H在線段PC上，且PC=3PH.

(1)求證：MV〃平面R4B；

(2)當(dāng)尸C時(shí)，求平面4VW與平面HMN的夾角的余弦值.

題蟄08空間中的點(diǎn)不好求

32.(2023?云南臨滄?高二校考期中)已知四棱錐P-ABCD,底面A3CD為菱形，PD=PB,H為PC上

的點(diǎn)，過(guò)的平面分別交尸員尸。于點(diǎn)M,N,且3￡>〃平面4WHN.

(1)證明：MNLPC；

⑵當(dāng)H為PC的中點(diǎn)，尸4=依=加尻尸4與平面438所成的角為60°,求平面與平面AM7V所成

的銳二面角的余弦值.

33.（2023?浙江?高三浙江省新昌中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四棱臺(tái)ABCO-ABJGA中，底面ABCD是

邊長(zhǎng)為2的菱形，ZDAB=^,平面3DR4,平面ABC。，點(diǎn)。「。分別為四。,2。的中點(diǎn),

。出=1,NA,AB,ZOXBO均為銳角.

(1)求證：AC1BBX-

⑵若異面直線co與A4所成角正弦值為號(hào)’四棱錐A-ABCO的體積為1,求二面角B-M-C的平面

角的余弦值.

34.（2023?廣東?高三茂名市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是

矩形，AB=2,PA=PB=BC=W,PD=PC=y[2-

（1）求證：平面PAB_L平面尸C￡＞；

（2）求直線上4與平面P3C所成角的正弦值.

35.（2023?湖北?高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，底面ABC為以AC為斜邊

的等腰直角三角形.已知平面ABC平面ACD,平面ABC，平面BCE,DE〃平面ABC,AD±DE.

(1)證明：DE2平面AC。；

(2)若AC=2CD=2,設(shè)M為棱8E的中點(diǎn)，求當(dāng)幾何體AB8E的體積取最大值時(shí)AM與8所成角的正切

值.

36.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知四邊形ABCD為正方形，。為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，平面

ABMNP\^\^MNDC^MN,MB=MC=GAB=MN=2.

(1)求證：平面MNO_L平面ABC。；

(2)求平面AMC和平面4VD所成角的余弦值的最小值.

37.(2023?重慶?高三重慶八中校考階段練習(xí))如圖甲是由梯形ABC。，組成的一個(gè)平面圖形,

其中A5〃DC,AD=BC,DEJ.AB,DC=AE=EF=1,BF=DE.如圖乙，將其沿OE,旗折起使

得必與E尸重合，連接FC,直線廠。與平面3/所成角為60。.

(1)證明：EFYBF-,

(2)求圖乙中二面角E-3尸-C的正弦值.

一^909創(chuàng)新定義

38.(2023?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))己知頂點(diǎn)為S的圓錐面(以下簡(jiǎn)稱圓錐S)與不經(jīng)

過(guò)頂點(diǎn)S的平面a相交，記交線為C,圓錐S的軸線/與平面a所成角。是圓錐S頂角(圓S軸截面上兩條

母線所成角。的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T,使球T與圓錐S和平面a都相切，記球T與

平面a的切點(diǎn)為F直線/與平面a交點(diǎn)為A,直線AF與圓錐S交點(diǎn)為。，圓錐S的母線OS與球T的切

點(diǎn)為M,|OM|=a,|MS|=b.

(1)求證：平面SOA_L平面a,并指出a,b,6關(guān)系式;

(2)求證：曲線C是拋物線.

39.（2023?遼寧沈陽(yáng)?東北育才學(xué)校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)

構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐H-AfiC,J-CDE,K-EFA,再分別以AC,CE,E4為軸將

AACH,￡EJ,AE4K分別向上翻轉(zhuǎn)180。，使H,J,K三點(diǎn)重合為點(diǎn)S所圍成的曲頂多面體（下底面開(kāi)

口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫(huà)，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂

點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于2兀減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多

面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是:，所以正四面體

7T

在各頂點(diǎn)的曲率為2兀-3義,=兀.

⑴求蜂房曲頂空間的彎曲度；

（2）若正六棱柱底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,沒(méi)BH=x

（i）用x表示峰房（圖2右側(cè)多面體）的表面積S（x）；

（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)S的曲率的余弦值.

40.（2023?全國(guó)?高三校聯(lián)考專題練習(xí)）設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)尸處的離散曲

率為1一，-（NQ/Q,+/Q,PQ3+…+尸2）,其中Qi（i=l,2,鼠文3）為多面體"的

所有與點(diǎn)尸相鄰的頂點(diǎn)，且平面QPQ,平面QPQ,…，平面Qk」PQk和平面QkPQi遍歷多面體M的所

有以P為公共點(diǎn)的面.

圖1圖2

（1）如圖1,已知長(zhǎng)方體A向QQ-ABC。，AB=BC=1,姑=走，點(diǎn)尸為底面人向。。內(nèi)的一個(gè)動(dòng)

12

點(diǎn)，則求四棱錐P-ABCL?在點(diǎn)尸處的離散曲率的最小值；

（2）圖2為對(duì)某個(gè)女孩面部識(shí)別過(guò)程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點(diǎn)，

然后用短小的直線段連接相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格.區(qū)域a和區(qū)域￡中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大

的是哪個(gè)區(qū)域？（確定“區(qū)域a”還是，區(qū)域￡”）

41.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）峰房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六

棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐ABC,J-CDE,K-EFA,再分別以AC,CE,E4為軸將AACH,

\CEJ,AE4K分別向上翻轉(zhuǎn)180。，使“，J,K三點(diǎn)重合為點(diǎn)S所圍成的曲頂多面體（下底面開(kāi)口），如

圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫(huà)，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲

率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于2%減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體

的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.

圖1圖2

(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；

(2)若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)S的曲率的余弦值.

專題15立體幾何解答題全歸類

目錄

01非常規(guī)空間幾何體為載體.........................................................24

02立體幾何探索性問(wèn)題

題里03立體幾何折疊問(wèn)題...............................................................41

04立體幾何作圖問(wèn)題47

05立體幾何建系繁瑣問(wèn)題

06兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問(wèn)題.............................................65

07利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系.....................................................71

題量08空間中的點(diǎn)不好求................................................................79

09創(chuàng)新定義........................................................................90

一題型01非常規(guī)空間幾何體為載體

1.（2023?四川南充?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓錐中，。為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面圓圓心，是

圓。的直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形4。國(guó)是矩形.

DE

C

(1)若點(diǎn)尸是5C的中點(diǎn)，求證：。產(chǎn)//平面ACE；

JT

(2)若AB=2,ZBAC=ZACE=§,求直線8與平面ABDE所成角的余弦值.

【解析】(1)。、尸分別是AB、BC中點(diǎn)，連接OF,貝IJOF//AC,

C

。產(chǎn)a平面ACE,ACu平面ACE,則0小〃平面ACE,

四邊形AODE是矩形，OD//AE,同理有OD//平面ACE,

又0尸口8=0,ORODu平面故平面口加〃平面ACE,

又。尸u平面0￡)小，故。尸//平面ACE.

(2)解法一：

在圓錐中，DO_L平面ABC,OOu平面ABOE,

則平面ASDEL平面ABC,平面ABDEC平面ABC=AB,作CGLAB于點(diǎn)G,連接DG,

則CG_L?M是CD在平面ABQE上的射影，/CDG是直線8與平面ABDE所成的角,

在直角三角形A3c中，AB=2,ZBAC=g,則AC=1,BC=g,CG=且，

32

DO±^ABC,AE//DO,則短，平面A3C,

在直角三角形ACE中，AC=1,ZACE=^,則AE=g,O0=百,CD=2,

在直角三角形CDG中，sinZCDG=—=^,

CD4

故cosNCDG=Vl-sin2ZCDG=—,即直線CD與平面ABDE所成角的余弦為—.

44

解法二：在圓錐。。中，DO,平面A3C,

在直角三角形A3c中，AB=2,ZBAC=1,則AC=1,BC=6

在直角三角形ACE中，AC=1,ZACE=^,則4￡=若,。。=石，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則c(o,o,o),A(Lo,o),3(o,6o),o，,*,o］，d；，￥，囪］,E(i,o,B1

122J(22)

詼=，，咚，百］，福=卜1,百,0),通=(0,0,百卜

(22)

m-AB=—尤+3y=0

設(shè)而=(x,y,z)是平面ABDE的法向量，貝上

in-AE=\/3z=0

令尤=有得克=(右,1,0),

m-CDA/3

設(shè)直線8與平面ABDE所成角為6,則sin。=cos<m,CD)\=則西=彳，

cosd=Jl-sin沼=

4

2.(2023?新高考H)如圖，三棱錐A—38中，DA=DB=DC,BDYCD,ZADB=ZADC=60°,E為

8C中點(diǎn).

(1)證明BC_LZM；

(2)點(diǎn)P滿足訪=麗，求二面角。-AB-歹的正弦值.

F

A

AC/\

/x、/\/

/，.

DB

【解析】證明：(1)連接AE,DE,

-.DB=DC,E為BC中點(diǎn).

:.DEIBC,

又,；DA=DB=DC,ZADB=ZADC=60°,

.〔AACD與AAB￡＞均為等邊三角形，

AC=AB9

:.AE±BC,AE^\DE=E,

，3CJ_平面

?.?ADu平面ADE,

:.BC±DA.

(2)^DA=DB=DC=2,

BC=2A/2,

VDE=AE=Ji,AD=2,

：.AE2+DE2=4=ADr,

：.AE±DE,

又YAELBC,DE^\BC=E,

.,.AEJ_平面3CD,

以E為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

。(60,0),A(0,0,a),B(0,④,0),E(0,0,0),

?：EF=DA,

：.F(-72,0,A/2),

OA=(-72,0,72),AB=(0,A/2,-^),AF=(-72,0,0),

設(shè)平面ZMB與平面AB尸的一個(gè)法向量分別為4=(x2],Z1),n2=(x2,y2,z2),

"+/Z=O,令西=1,解得y=Z1=l,

則

—=0

2

j，令%=1，解得x2=0,z2=1,

,=0

故加=(1,1,1),芯=(0,1,1),

設(shè)二面角o-互-尸的平面角為e,

則|cosO|=W2276

>/3xV2-T

1nli|%|

故sin6二——，

3

所以二面角O-筋-尸的正弦值為更.

3

3.(2023?河南?高二潺河高中校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，四棱臺(tái)ABCD-￡FG〃中，上、下底面均是正方

形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，EG=2AC=4,上、下底面中心的連線NM垂直于上、下底面，且與

側(cè)面所成角的正切值為變.

2

⑴求點(diǎn)A到平面MHG的距離；

⑵求二面角E-EM-G的余弦值.

【解析】（1）取8CIG的中點(diǎn)/，，N/的中點(diǎn)K,連接IJ,NJ,MI,IK.

因?yàn)殡臯_L平面A3CO,線面垂直的性質(zhì)知MN_LM4,MNLMB,MNLMI.

易彳導(dǎo)NK=3NJ=MI,豆NKUMI,即四邊形MNK/為矩形.

所以MN//IK,易得40/為跖V與側(cè)面所成的一個(gè)角.

因?yàn)榕c側(cè)面所成角的正切值為91,所以MN=戊J~NJ=JLX&G=1.

22222

以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，而，而反麗的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則M(0,0,0),N(0,0,l),4(1,0,0),E(2,0,l),H(0-2,1),G(-2,0,1).

所以麗=(-2,0,1),W=(O,-2,l).

r、tn-MG=-2x.+z,=0

設(shè)平面MHG的法向量為機(jī)=(z%,%,4),貝!]{___,

m-MH=一2弘+4=0

令占=1,則平面MHG的一個(gè)法向量為沆=。,1,2),而瘋=(1,0,0),

所以點(diǎn)A到平面的距離d==型.

m6

=2尤2+z=0

(2)因?yàn)榧?(2,0,1),設(shè)面MEH的法向量為1=(%,%Z2),則＜n-ME2

ii-MH=-2y,+z,=0

令％=T,則面MEH的一個(gè)法向量為n=(-1,1,2).

/__\m-n42

所以cos(皿")=|方口詞=%=§,易知二面角E—HM-G的平面角為鈍角，

2

所以二面角的余弦值為.

4.(2023?天津和平?統(tǒng)考三模)如圖，四棱臺(tái)ABCD-A耳GA中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全

等的等腰梯形，AB=2A1B1=4,及歹分別為DC/C的中點(diǎn)，上下底面中心的連線。0垂直于上下底面,

且。。與側(cè)棱所在直線所成的角為45。.

⑴求證：〃平面GE尸;

(2)求點(diǎn)4到平面C|E尸的距離；

(3)邊BC上是否存在點(diǎn)使得直線4M與平面GE尸所成的角的正弦值為空1,若存在，求出線段

22

的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

【解析】(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BCD,以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦無(wú)，西的方向分別為x軸，y軸，

z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)閭?cè)棱所在的直線與上下底面中心的連線。0所成的角為45。，則

5(2,2,0),2^(-1-1,72)?G(-U，應(yīng))，尸(°，2，。),￡(-2,0,0),Ad揚(yáng)，

所以幽=(一3,-3,亞)，璃=(一1,一1,亞)，麗=(2,2,0),

設(shè)平面CXEF的一個(gè)法向量為日=(%,y,z),

n?EF=x+y=0

則——l，

n-QE=x+y+y/2z=0

令％=1,貝!]方=(1,一1,0),

因?yàn)橛?(一3,-3,忘)，

所以4?西=0,所以3_L西，

又因?yàn)槠矫妗F,

所以平面CE尸；

(2)由(1)知，4E=(-3,l,->/2),

所以點(diǎn)4到平面QEF的距離為d=感絲*=早=2&；

l?lV2

(3)假設(shè)邊3C上存在點(diǎn)河(羽2,0)滿足條件，xe[-2,2],

貝!]曬'=(x-1,3,-揚(yáng)，

設(shè)直線\M與平面CtEF所成角為0,

,?―r/曰.Q.,,jry-x.IA^M?n||%—413j22

由題意可得sm0=cos〈AM,ri)\=—=——=廣/=——

IA^MHI-2」+1222

化簡(jiǎn)得X2-35x+34=0,則x=l或x=34(舍去)，

即存在點(diǎn)M符合題意，此時(shí)BM=L

?題型02立體幾何探索性問(wèn)題

5.(2023?新高考I)如圖，在正四棱柱ABC￡)—A4G￡>I中，AB=2,/L4,=4.點(diǎn)4,B2,C2,打分別

在棱胡，BBt,CC],即上，AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//A,D2；

(2)點(diǎn)P在棱AB1上，當(dāng)二面角尸-4G-2為150。時(shí)，求當(dāng)P.

【解析】(1)證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：

BJ0,2,2),C2(0,0,3),4(2,2,1),D2(2,0,2),

瓦方=(0,-2,1),=(0,-2,1),

.?.瓦以=4瓦，又層，C2,4，3四點(diǎn)不共線，

/.B2c21AD2；

(2)在(1)的坐標(biāo)系下，可設(shè)尸(0,2,r),re[0,4],

又由(1)知G(0,0,3),4(2,2,1),0,(2,0,2),

QA=(2,2,-2),QP=(0,2j-3),4^=(0,-2,1),

設(shè)平面P&G的法向量為沅=(%/z)，

fm-CA=2x+2y-2z=0仃

則<-?2/，取沅=?—1,3—，,2),

mC2P-2y+(t-3)z=0

設(shè)平面4G3的法向量為為=(。,。,C)，

則J2.，取為=a,l,2),

n-A^D2=-2b+c=0

二根據(jù)題意可得Icosl50°|=|cos(比，為習(xí)=I困萬(wàn)I,

\m\\n\

.3___________6__________

''2J(f2+(3-y+4x#，

廣一取+3=0,Xre[0,4],

/.解得r=1或，=3,

尸為片坊的中點(diǎn)或打5的中點(diǎn),

/.B2P-1.

z

6.(2023?北京?高三北京八中校考期中)羨除是《九章算術(shù)》中記載的一種五面體.如圖五面體

ABCDEF,四邊形ABC。與四邊形均為等腰梯形，其中砂〃AD〃8C,AD=4,

EF=BC=AB=2,ED=y/w,M為A。中點(diǎn)，平面BCEP與平面ADE尸交于EE再?gòu)臈l件①，條件

②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使得羨除ABCDEP能夠確定，然后解答下列各題：

(2)求二面角b的余弦值.

(3)在線段AE上是否存在點(diǎn)。使得與平面ABE所成的角的正弦值為五，若存在，求出黑的值,

7AE

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

條件①：平面CDEL平面4BCD

條件②：平面ADEF_L平面ABC。；

條件③：EC=273.

【解析】(1)等腰梯形ABC。，M是中點(diǎn)，MD=BC,又MD〃BC,

故四邊形3CDM為平行四邊形，故BM〃CD,

EVfN平面CDE,CDu平面CDE,故3M〃平面CDE.

(2)選①：連接AC,AE,作CSLAD于S,則DS=1,CS=6,AC=2小,

同理可得AE=3&,AC2+CD2=AD2,故AC_LCD,

平面CDE_L平面ABC。，平面CDEc平面ABCD=CD,ACu平面ABCD,

故AC_L平面COE,ECu平面CDE,故AC_LEC,

EC-=AE2-AC2,故EC=?,止匕時(shí)ED?=EC?+DC?,^￡C1DC,

如圖所示：以CD,CA,CE為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

A（0,273,0）,B（-1,V3,O）,E（0,0,x/6）,F（-l,區(qū)?￡＞（2,0,0）,M（l,后0）,

p-AB=-a—y/3b=0

設(shè)平面BAE的法向量為p=(a,b,c),則

p-AE=-2垂＞b+A/6C=0

取c=l得至ijp=

2'2'；

\7

p-AF=-x-￡y+y/6z=0

設(shè)平面AEF的法向量為q=(x,y,z),則

p-FE=x-6y=0

取y=i得至質(zhì)=(后1詞;

【半，￥\.回,⑹一手+1+Go,

所以二面角3-AE-尸的余弦值為。.

選②：取BC中點(diǎn)為N,EF中點(diǎn)為P,連接和MN

平面AD￡FJ_平面ABC。，故平面ADEFfl平面ABCD=AD,

PM±AD,2Mu平面故PM_1_平面ABC￡>,MN1AD,

如圖所示：以MN,MD,MP為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

A（0,-2,0）,B（V3,-1,O）,C（A/3,1,0）,D（0,2,0）,E（0,l,3）,F（0,-1,3）,M（0,0,0）,

BA=（-^,-1,0）,旗=（0,3,3）,

n-BA=0-上x(chóng)-j=0

設(shè)平面A4E的一個(gè)法向量幾=(%,y,z),,

n-AE=Q3y+3z=0

令x=5則尸一3,z=3,則以=（g,-3,3）

易知根=(-1,0,0)是平面AEb的一個(gè)法向量,

_m-n不

cos[m,n

硼=1，根據(jù)圖像知二面角B-AE-尸為鈍角,

所以二面角8-超-尸的余弦值為一五

7

選③：取中點(diǎn)G,連接CG和EG,易知EGLAD,CG±AD,

EC=273>EG=3,CG=5EC2=EG2+CG2,故EG_LCG,

兀

故二面角E-AO-C=5，故平面ADEF_L平面ABC。,

取BC中點(diǎn)為N,EF中點(diǎn)為P,連接和

平面ADEFJ_平面ABCD,平面AD￡FC|平面ABCD=AD,PMAD,

PMu平面ADEF,故PM_L平面ABCD,故MNLAD,

如圖所示：以MN,MD,MP為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

后續(xù)同②;

（3）若選擇①：

設(shè)筆=彳，而=4通=（。,_2伍局）,

MQ=MA+AQ=（-\,-2^+43,46^,

Icos(W或="=—‘瓜二也

解得力=生質(zhì)，均不滿足題意，故不存在點(diǎn)Q.

3

若選②或者③：

設(shè)絲=2,2s[0,1],Ag=AAE=(O,32,32),血=瘋+福=(0,34-2,3幾)，

AE

H匹*