第二章相交線與平行線章末小結七下數學BSD相交線兩直線的位置關系平行線尺規作圖相交垂直兩條直線被第三條直線所截平行公理判定性質平行畫垂線同位角、內錯角、同旁內角一、兩直線的位置關系1、在同一平面內，兩條直線的位置關系有相交和平行兩種.若兩條直線只有一個公共點，我們就稱這兩條直線為相交線.該公共點叫作兩直線的交點.如圖，直線AB，CD相交于點O.在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線.ABCDO2、對頂角定義：如圖，直線AB/CD相交于點O，∠1與∠2有公共頂點O，它們的兩邊互為反向延長線，具有這種位置關系的兩個角叫作對頂角.注意:1.頂點相同.2.角的兩邊互為反向延長線.3.對頂角是成對出現的.性質:對頂角相等.ABCD2（）（134）3、補角、余角定義一般地，如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補角.類似地，如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角.性質同角（或等角）的補角相等，同角（或等角）的余角相等.4、垂直定義:兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足.垂足ABDCO表示方法：通常用符號“⊥”表示兩條直線互相垂直.如圖，AB與CD垂直記作“AB⊥CD”，讀作“AB垂直于CD”.符號語言：

因為AB⊥CD，所以∠COB=90°.

反之：

因為∠COB=90°，所以AB⊥CD.ABDCO5、垂線的畫法過直線上一點畫已知直線的垂線，步驟如下:(1)一放；(2)二靠；(3)三移；(4)畫.lAB6、垂線的性質性質(一):在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.性質(二):直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.7、點到直線的距離如圖，過點A作直線l的垂線，垂足為B，線段AB的長度叫作點A到直線l的距離.lBA1.如圖，直線AB，CD相交于點O，OM平分∠BOD，ON平分∠BOC，∠1∶∠2=7∶1，求∠BOD和∠AON的度數.

解:因為OE⊥AB，OF⊥CD，所以∠AOE=∠DOF=90°(垂直的定義)，所以∠AOF+∠EOF=∠DOE+∠EOF，所以∠EOD=∠AOF=30°(同角的余角相等)，因為∠AOD=∠AOF+∠DOF=30°+90°=120°，所以∠BOC=∠AOD=120°(對頂角相等).2.如圖，直線AB，CD相交于點O，射線OE⊥AB，射線OF⊥CD，且∠AOF=30°.求∠BOC與∠EOD的度數.解:(1)因為AC⊥BC，AC=9，BC=12，所以點A到直線BC的距離是9，點B到直線AC的距離是12.3.如圖，AC⊥BC，AC=9，BC=12，AB=15.(1)試說出點A到直線BC的距離，點B到直線AC的距離；(2)求點C到直線AB的距離.即垂線段AC的長，切不可認為是BC的長

3.如圖，AC⊥BC，AC=9，BC=12，AB=15.(1)試說出點A到直線BC的距離，點B到直線AC的距離；(2)求點C到直線AB的距離.4.如圖(1)，2條直線相交所組成的角中，互為對頂角的角有兩對:∠AOD和∠COB，∠AOC和∠BOD.(1)如圖(2)，3條直線相交于一點所組成的角中，互為對頂角的角有

對；6(2)如圖(3)，4條直線相交于一點所組成的角中，互為對頂角的角有

對；124.如圖(1)，2條直線相交所組成的角中，互為對頂角的角有兩對:∠AOD和∠COB，∠AOC和∠BOD.(3)n條直線相交于一點所組成的角中，互為對頂角的角有

對.4.如圖(1)，2條直線相交所組成的角中，互為對頂角的角有兩對:∠AOD和∠COB，∠AOC和∠BOD.方法一

按從特殊到一般的思路計數直線條數234…n對頂角對數2612探索規律1×22×33×4(n-1)n

方法二按“基本圖形”計數二、平行線的判定1.三線八角：兩條直線被第三條直線所截，構成八個角，稱為“三線八角”.這八個角中，同位角有四對，內錯角有兩對，同旁內角有兩對.bac12345678同位角的位置特征：①在兩條被截直線的同一方；②在截線的同側.形如字母“F”(或倒置、反置、旋轉).12））abc23））abc內錯角位置特征：①在兩條被截直線之間；②在截線的兩側.形如字母“Z”(或倒置、反置、旋轉).24））abc同旁內角位置特征：①在兩條被截直線之間；②在截線的同側.形如字母“U”(或倒置、反置、旋轉).2.兩直線平行的條件：條件1：同位角相等，兩直線平行.條件2：內錯角相等，兩直線平行.條件3：同旁內角互補，兩直線平行.ABCD41323.平行線中的兩個重要結論:(1)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；(2)平行于同一條直線的兩條直線平行.(若b//a，c//a，則b//c)；ABPabc解析:

與∠2是同旁內角的角有∠6，∠5，∠7，共3個.5.∠1和∠3是直線

和

被直線

所截而成的

角；∠5和8是直線

和

被直線

所截而成的

角；與∠2是同旁內角的角有

個.ABACDE內錯ACBCDE同位36.如圖，直線MN和直線AB，CD，EF分別交于點G，H，P，且∠1=∠2，∠2+∠3=180°，試問:直線AB與EF平行嗎?為什么?解：AB//EF.方法一因為∠1=∠2，∠1=∠AGH，所以∠2=∠AGH，所以AB//CD(同位角相等，兩直線平行).因為∠2+∠3=180°，∠3=∠EPH，所以∠2+∠EPH=180°，所以EF//CD(同旁內角互補，兩直線平行).又因為AB//CD，所以AB//EF(平行于同一條直線的兩條直線平行).方法二因為∠1=∠2，∠2+∠3=180°，所以∠1+∠3=180°，因為∠1=∠AGP，∠3=∠EPG，所以∠AGP+∠EPG=180°，所以AB//EF.7.光從空氣中斜射入水中時，傳播方向會發生偏折，這種現象叫作光的折射.同樣，光從水中斜射入空氣中時，也會發生折射.一束光沿CD方向先從空氣中斜射入水中，再從水中斜射入空氣中，光線的傳播路徑如圖所示，其中，直線a，b表示空氣與水的分界面，光線在水中的部分為DE.已知∠1=∠4，∠2=∠3，請你判斷光線CD與EF是否平行，為什么?已知∠1=∠4，∠2=∠3，請你判斷光線CD與EF是否平行.分析:要說明CD//EFDE是截線，CD，EF是被截直線需確定∠CDE=∠DEF∠1=∠4需確定∠5=∠6∠2=∠3由等角的補角相等即可確定解:CD//EF.理由:因為∠2+∠5=180°，∠3+∠6=180°，∠2=∠3，所以∠5=∠6.因為∠1=∠4，所以∠1+∠5=∠4+∠6，即∠CDE=∠DEF，所以CD//EF.三、平行線的性質性質1：兩直線平行，同位角相等.性質2：兩直線平行，內錯角相等.性質3：兩直線平行，同旁內角互補.ABCD4132解:(1)因為AD//EG，所以∠ABG=∠DAB=48°，所以B地所修公路的走向是南偏西48°.8.如圖，在A，B兩地之間要修一條筆直的公路，從A地測得公路走向是北偏東48°，A，B兩地同時開工，若干天后公路準確接通.(1)B地所修公路的走向是南偏西多少度?請說明原因.8.如圖，在A，B兩地之間要修一條筆直的公路，從A地測得公路走向是北偏東48°，A，B兩地同時開工，若干天后公路準確接通.(2)若公路AB長8km，另一條公路BC長6km，且公路BC的走向是北偏西42°，試求A地到公路BC的距離.點A到BC的垂線段的長度(2)因為AD//BE，所以∠DAB+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°-∠DAB=132°，所以∠ABC=∠ABE-∠CBE=90°，所以AB⊥BC，所以AB的長度就是A地到公路BC的距離.因為AB=8km，所以A地到公路BC的距離是8km.9.如圖，∠1=∠C，BE⊥DF于點P.若∠2+∠D=90°，試說明:AB//CD.解:因為BE⊥DF(已知)，所以∠DPE=90°(垂直的定義)，因為∠1=∠C(已知)，所以BE//CF(同位角相等，兩直線平行).所以∠CFD=∠DPE=90°(兩直線平行，同位角相等)，所以∠2+∠BFD=180°-∠CFD=90°(平角的定義)，因為∠2+∠D=90°(已知)，所以∠BFD=∠D(同角的余角相等)，所以AB//CD(內錯角相等，兩直線平行).解:方法一由折疊的性質，可得∠GEC=2∠1=110°.由題意得AD//BC，C′E//D′F，所以∠C′GF=∠GEC=110°(兩直線平行，同位角相等)，∠2+∠C′GF=180°(兩直線平行，同旁內角互補)，所以∠2=180°-∠C′GF=180°-110°=70°.10.如圖，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，C，D兩點分別