2024-2025學年度第一學期學情考查九年級數學試題溫馨提示：1．本試卷分第I卷和第II卷兩部分，共4頁．滿分120分，考試用時120分鐘．考試結束后，只收交答題卡．2．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的學校、班級、姓名、考試號、座號填寫在答題卡規定的位置上．3．第I卷每小題選出答案后，必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．答案不能答在試題卷上．4．第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．第I卷（選擇題共24分）一、選擇題：本題共8個小題，每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．每小題涂對得3分，滿分24分．1.方程的根的情況是（）A.無實數根 B.只有一個實數根C.有兩個相等的實數根 D.有兩個不等的實數根2.一元二次方程，配方后變形為（）A. B. C. D.3.如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，兩點，則下列說法正確的是（）A. B.點A的坐標為C.當時，y隨x的增大而減小 D.圖象的對稱軸為直線4.某校開展崗位體驗勞動教育活動，設置了“安全小衛士”“環衛小衛士”“圖書管理小衛士”“宿舍管理小衛士”共四個崗位，每個崗位體驗人數不限且每位同學只能從中隨機選擇一個崗位進行體驗、甲、乙兩名同學都參加了此項活動，則這兩名同學恰好在同一崗位體驗的概率為（）A B. C. D.5.在中，，則下列三角函數值計算正確的是（）A. B. C. D.6反比例函數圖象上有三個點，其中，則的大小關系是（）A. B.C. D.7.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，據以上信息得出下列結論，其中錯誤的是（）A.定價70元時，利潤為6000元 B.定價元時，利潤為6105元C.降價3元，能使所獲利潤最大 D.漲價5元，能使所獲利潤最大8.已知拋物線與縱軸交于點，若將此拋物線繞點順時針旋轉，那么所得新拋物線的解析式為（）A. B.C. D.第II卷（非選擇題共96分）二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分．9.計算：___________．10.擲一枚質地均勻的骰子時，觀察向上一面的點數，點數大于2且小于5的概率是___________．11.在直角坐標系中，以原點為位似中心，將縮小得到，使與的相似比為，則點的對應點的坐標為___________．12.如果平移拋物線后得到的新拋物線經過和，那么平移后新拋物線的解析式是___________．13.一個用電器的電阻是可調節的，其范圍為．已知電壓為這個用電器的電路圖如圖所示，則這個用電器功率的范圍是______．14.在設計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為米，那么它的下部應設計為____米．15.如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC．若AB＝8，CD＝2，則EC的長為_______________．16.如圖，的直徑為，弦為的平分線交于點，則弦的長為___________．三、解答題：本大題共6個小題，滿分72分．解答時請寫出必要的演推過程．17.解下列方程：（1）；（2）．18.盒中有多枚黑棋和白棋，這些棋除顏色外無其他差別．此時，從盒中隨機取出一枚棋子，則它是黑棋的概率是．（1）如果再往盒中放進枚黑棋，那么取得黑棋概率變為，求原來盒中黑棋和白棋各有多少枚？（2）如果從原來盒中隨機取出一枚棋子后，放回并搖勻，再隨機取出一枚棋子，求兩次都摸到黑棋的概率．19.正比例函數的圖象與反比例函數的圖象有一個交點的縱坐標是6．（1）當時，求反比例函數的值；（2）當時，求反比例函數的取值范圍．20.如圖，是斜邊上的高．（1）求證：；（2）若，，求的長．21.如圖，是內接正五邊形的三個頂點．（1）尺規作圖：作出及頂點，；（2）（1）圖中連接，分別交，于點，，求證：．22.如圖，在中，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度移動，動點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、兩點分別從、兩點同時出發，運動時間為．（1）當的面積為時，的值時多少？（2）的面積隨出發時間是怎樣變化的？并當取何值時，面積最大，最大是多少？23.如圖，為等腰三角形，是底邊中點，腰與相切于點，底邊交于點．（1）求證：是的切線；（2）連接，，交于點，若點是弧的中點，求證：．24.如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，過線段上的一個點作軸的垂線，交線段于點，交拋物線于點．（1）求此拋物線的解析式；（2）問點在什么位置時能成為等腰三角形？（3）若連接，，則當___________時，與相似．（直接寫出結果即可，不用寫出解答過程）

2024-2025學年度第一學期學情考查九年級數學試題溫馨提示：1．本試卷分第I卷和第II卷兩部分，共4頁．滿分120分，考試用時120分鐘．考試結束后，只收交答題卡．2．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的學校、班級、姓名、考試號、座號填寫在答題卡規定的位置上．3．第I卷每小題選出答案后，必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．答案不能答在試題卷上．4．第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．第I卷（選擇題共24分）一、選擇題：本題共8個小題，每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．每小題涂對得3分，滿分24分．1.方程的根的情況是（）A.無實數根 B.只有一個實數根C.有兩個相等的實數根 D.有兩個不等的實數根【答案】A【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式是解答本題的關鍵．由一元二次方程根判別式可得，從而可得答案．【詳解】解：，，，方程無實數根，故選：A．2.一元二次方程，配方后變形為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解決此題的關鍵．將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式即可得解．【詳解】解：∵，∴，∴，即，故選：C．3.如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，兩點，則下列說法正確的是（）A. B.點A的坐標為C.當時，y隨x的增大而減小 D.圖象的對稱軸為直線【答案】D【解析】【分析】根據二次函數的圖象與性質即可依次判斷．【詳解】由圖可得開口向上，故a＞0，A錯誤；∵解析式為，故對稱軸為直線x=-2，D正確∵∴A點坐標為（-3，0），故B錯誤；由圖可知當時，y隨x的增大而減小，故C錯誤；故選D．【點睛】此題主要考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟知二次函數頂點式的特點．4.某校開展崗位體驗勞動教育活動，設置了“安全小衛士”“環衛小衛士”“圖書管理小衛士”“宿舍管理小衛士”共四個崗位，每個崗位體驗人數不限且每位同學只能從中隨機選擇一個崗位進行體驗、甲、乙兩名同學都參加了此項活動，則這兩名同學恰好在同一崗位體驗的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設“安全小衛士”“環衛小衛士”“圖書管理小衛士”“宿舍管理小衛士”四個崗位為A、B、C、D，畫出樹狀圖，即可求解．【詳解】解：設“安全小衛士”“環衛小衛士”“圖書管理小衛士”“宿舍管理小衛士”四個崗位為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：∵一共有16種等可能的結果，兩名同學恰好在同一崗位體驗有4種，∴這兩名同學恰好在同一崗位體驗的概率=4÷16=，故選A．【點睛】本題主要考查隨機事件的概率，畫出樹狀圖是解題的關鍵．5.在中，，則下列三角函數值計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理，解直角三角形，先求出，然后根據銳角三角函數的定義求解即可．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，，，，∴A，C，D錯誤，B正確．故選B．6.反比例函數圖象上有三個點，其中，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據反比例函數的性質當時，隨的增大而減小即可求得．【詳解】解：∵反比例函數是雙曲線，兩個分支分別在第一三象限，∴當時，隨的增大而減小，，當時，隨的增大而減小，∵，∴，故選．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，明確還是是解題的關鍵．7.某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，據以上信息得出下列結論，其中錯誤的是（）A.定價70元時，利潤為6000元 B.定價元時，利潤為6105元C.降價3元，能使所獲利潤最大 D.漲價5元，能使所獲利潤最大【答案】C【解析】【分析】本題主要考查二次函數與銷售問題，熟練掌握二次函數與銷售問題是解題的關鍵．根據題意列出算式進行求解即可．【詳解】解：定價70元時，利潤為，故選項A正確，不符合題意；定價元時，利潤為，故選項B正確，不符合題意；設每件降價元，利潤為，則，當時，利潤最大，故選項C錯誤，符合題意；設每件漲價元，利潤為，則，當時，利潤最大，故選項D正確，不符合題意；故選：C．8.已知拋物線與縱軸交于點，若將此拋物線繞點順時針旋轉，那么所得新拋物線的解析式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查拋物線的旋轉，熟練掌握拋物線的旋轉是解題的關鍵．根據拋物線解析式求出點坐標．在由題意得到旋轉后頂點坐標，即可得到答案．【詳解】解：拋物線與縱軸交于點，則點坐標為，拋物線對稱軸為，頂點坐標為，將此拋物線繞點順時針旋轉，新的頂點坐標為，故新的拋物線的解析式為．故選A．第II卷（非選擇題共96分）二、填空題：本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分．9.計算：___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了含特殊角的三角函數值的混合運算、二次根式的運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．先計算特殊角的三角函數值，再計算二次根式的乘法與加減法即可得．【詳解】解：原式，故答案為：．10.擲一枚質地均勻的骰子時，觀察向上一面的點數，點數大于2且小于5的概率是___________．【答案】【解析】【分析】由擲一個骰子，共有6種等可能的結果，點數大于2且小于5的有2種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：∵擲一個骰子，共有6種等可能的結果，點數大于2且小于5的有2種情況，∴點數大于2且小于5的概率為：．故答案為：．【點睛】本題考查了概率公式的應用，注意概率=所求情況數與總情況數之比．11.在直角坐標系中，以原點為位似中心，將縮小得到，使與的相似比為，則點的對應點的坐標為___________．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了位似變換中對應點的坐標的變化規律，掌握位似變換中對應點的坐標的變化規律是解題的關鍵．如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或，據此進行解答即可．【詳解】解：∵與的相似比為，，∴變換后點的對應點的坐標為或，∴變換后點的對應點的坐標為或，故答案為：或．12.如果平移拋物線后得到的新拋物線經過和，那么平移后新拋物線的解析式是___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，設平移后新拋物線的解析式為，將和代入求出、，即可求解．【詳解】解：設平移后新拋物線的解析式為，將和代入得：，解得：，平移后新拋物線的解析式是，故答案為：．13.一個用電器的電阻是可調節的，其范圍為．已知電壓為這個用電器的電路圖如圖所示，則這個用電器功率的范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據功率公式，求得的范圍即可求解．【詳解】解：∵，電阻的范圍為．電壓為∴當時，當時，，∴這個用電器功率的范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數的應用，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．14.在設計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為米，那么它的下部應設計為____米．【答案】【解析】【分析】設雕像的下部高為，則上部長為，然后根據題意列出方程求解即可．【詳解】解：設雕像的下部高為，則上部長為，根據題意可得：，整理得：，解得：，(舍去)，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵在于讀懂題目列出方程．15.如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC．若AB＝8，CD＝2，則EC的長為_______________．【答案】2【解析】【分析】連接，設的半徑為，由，根據垂徑定理可得，在中，，，利用勾股定理可得到，則，由為的中位線，可得，再根據圓周角定理可得，最后在中利用勾股定理即可計算出．【詳解】解：連接BE，設⊙O的半徑為R，如圖，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，∵，∴，解得R＝5，∴OC＝5﹣2＝3，∵為中位線，∴BE＝2OC＝6，∵AE為直徑，∴∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．16.如圖，的直徑為，弦為的平分線交于點，則弦的長為___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓心角定理，圓周角定理及推論，解直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．作于點，連接，根據題意得到，得出，得到，求出，繼而求出，根據勾股定理求出，即可得到．【詳解】解：如圖，作于點，連接，，是的直徑，，平分，，，，，,，，，，，，，，，，故答案為：．三、解答題：本大題共6個小題，滿分72分．解答時請寫出必要的演推過程．17.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟練掌握解方程的步驟是解決此題的關鍵．（1）用因式分解法解方程即可；（2）用求根公式法解方程即可．【小問1詳解】解：，，，或，，；【小問2詳解】解：，，，Δ=b2方程有兩個不等的實數根，，，．18.盒中有多枚黑棋和白棋，這些棋除顏色外無其他差別．此時，從盒中隨機取出一枚棋子，則它是黑棋的概率是．（1）如果再往盒中放進枚黑棋，那么取得黑棋的概率變為，求原來盒中黑棋和白棋各有多少枚？（2）如果從原來盒中隨機取出一枚棋子后，放回并搖勻，再隨機取出一枚棋子，求兩次都摸到黑棋的概率．【答案】（1）原來盒中黑棋有枚，白棋有枚（2）【解析】【分析】本題考查列表法求概率，二元一次方程組的應用，（1）設原來盒中黑棋有枚，白棋有枚，得出袋中共有枚棋，再根據概率公式列出關系式，求出，的值即可；（2）先確定盒中有枚黑棋和枚白棋，再列表法展示所有種等可能的結果數，然后找出兩次都摸到黑棋的結果數后利用概率公式求解．解題的關鍵是掌握：概率所求情況數與總情況數之比．【小問1詳解】解：設原來盒中黑棋有枚，白棋有枚，依題意，得：，解得：，答：原來盒中黑棋有枚，白棋有枚；小問2詳解】根據題意，列表如下：第二次第一次黑黑黑白1白2白3白4白5黑黑，黑黑，黑黑，黑

黑黑，黑黑，黑黑，黑

黑黑，黑黑，黑黑，黑

白1

白2

白3

白4

白5

由表可以看出，從原來盒中隨機取出一枚棋子后，放回并搖勻，再隨機取出一枚棋子，共出現種等可能結果，其中兩次都摸到黑棋的結果有種，∴（兩次都摸到黑棋），∴兩次都摸到黑棋的概率為．19.正比例函數圖象與反比例函數的圖象有一個交點的縱坐標是6．（1）當時，求反比例函數的值；（2）當時，求反比例函數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了待定系數法求函數的解析式以及反比例函數的性質，注意當時，反比例函數中，在每個象限內隨的增大而減小．（1）首先把代入直線的解析式，求得交點坐標，然后利用待定系數法求得反比例函數的解析式，最后把代入求解即可；（2）首先求得當和時的值，然后根據反比例函數的性質求解．【小問1詳解】解：對于，當時，，故由題意知反比例函數的圖象經過點，將代入得，反比例函數的解析式為，當時，，即當時，反比例函數的值為．【小問2詳解】解：對于，當時，；時，；又由知，當時，隨的增大而減小，當時，反比例函數的取值范圍是．20.如圖，是斜邊上的高．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角函數，勾股定理，解題的關鍵是掌握相關知識．（1）證明，得到，即可得證；（2）由（1）知，得到，推出，在中，根據勾股定理求解即可．【小問1詳解】證明：是斜邊上的高，，，，，，，；【小問2詳解】解：由（1）知，，又中，，，在中，由勾股定理得：，，解得：．21.如圖，是內接正五邊形的三個頂點．（1）尺規作圖：作出及頂點，；（2）在（1）圖中連接，分別交，于點，，求證：．【答案】（1）圖見解析（2）詳見解析【解析】【分析】本題主要考查圓的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握圓的性質是解題的關鍵．（1）以點，點為圓心，大于的長畫弧，以點，點為圓心，大于的長畫弧，分別作出的垂直平分線，兩條直線相交于點，以為半徑畫圓，交垂直平分線分別為點和點．（2）連接，根據圓的性質證明，得到，即可得到結論．【小問1詳解】如下圖，及點，即為所求作的圓及點．【小問2詳解】解：連接．弧弧弧，，，，，，，．22.如圖，在中，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度移動，動點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、兩點分別從、兩點同時出發，運動時間為．（1）當的面積為時，的值時多少？（2）面積隨出發時間是怎樣變化的？并當取何值時，面積最大，最大是多少？【答案】（1）或（2）當時，的面積S隨t的增大而增大，當時，的面積S隨t的增大而減小，當為時的面積最大，最大面積是【解析】【分析】本題考查了三角形的面積，一元二次方程的應用，二次函數的最值等知識；（1）根據題意和三角形的面積列出方程，求出方程的解即可；（2）先列出函數解析式，再化成頂點式，最后求出最值即可．【小問1詳解】解：根據題意得：，，∴，的面積，解得：或，即當秒或秒時，的面積是；【小問2詳解】由題意得：，∵，∴拋物線開口向下，對稱軸為，∴當時，的面積S隨t的增大而增大，當時，的面積S隨t的增大而減小，∴當為時的面積最大，最大面積是．23.如圖，為等腰三角形，是底邊的