重難點n第1-3章期中、期末復習三十八大題型匯總

題型解讀/

題型28定義法判斷函數的單調性題型38函數性質與比較大小

魔薄滿分技巧/

技巧一.元素與集合關系的判斷

關系：元素與集合的關系為：屬于(e)和不屬于(時兩個關系

技巧二.根據元素與集合關系求參數

1.利用屬于(e)和不屬于(⑥兩個關系

2.檢驗集合元素的互異性

技巧三.根據集合中元素的個數求參數

1.注意分類討論

2.一元二次函數使用判別式

技巧四.集合中元素的特性

特性：互異性、確定下。無序性

技巧五?集合的表示方法

表示方法：列舉法，描述法，Venn圖法

技巧六.子集(真子集)個數的判斷

①，的子集的個數有2〃個.

②Z的真子集的個數有(2〃-1)(〃21)個.

③Z的非空子集的個數有(2"-1)(生1)個.

④，的非空真子集的個數有(2〃-2)(〃21)個

技巧七.根據集合的關系求參數

1.數軸法

2.列舉法

3.注意：不能忽視空集

技巧八.根據集合的運算求參數

根據集合的運算結果，推出集合間的關系，借助數軸或者列舉法求參數

技巧九.充分與必要條件的判斷

注意：小范圍可以推出大范圍，大范圍不能推出小范圍

技巧十.利用充分與必要條件求參數

1.定義法

2.數軸法

技巧十一.命題的否定

方法：先否定量詞部分，再否定結論部分

技巧十二.根據命題的真假求參數

常用方法：1.分離變量法，2.判別式法

技巧十三.兩個代數式比較大小

常用方法：1.作差法，2.作商法

技巧十四.不等式在區間上（恒）能成立問題

常用方法：1.分離變量法，2.判別式法

技巧十五.函數的定義域

求函數定義域常見結論：

/.分式的分母不為零；

2.偶次根式的被開方數不小于零；

3.對數函數的真數必須大于零；

4.指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1；

__乃

5.正切函數y=3?x,洋hr+1(keZ)；

6.零次幕的底數不能為零；

7.實際問題中除要考慮函數解析式有意義外，還應考慮實際問題本身的要求.

技巧十六.函數解析式的求法

1.待定系數法

2.換元法

3.方程組法

4.湊配

技巧十七.函數的單調性

判斷函數單調性

/.定義法：取值、作差、變形因式分解、配方、有理化、通分、定號、下結論.

2.復合法：同增異減，即內外函數的單調性相同時為增函數，不同時為減函數.

3.圖象法：如果,段)是以圖象形式給出的，或者作)的圖象易作出，可由圖象的直觀性判斷函數單調性.

技巧十八.函數的奇偶性

判斷分段函數的奇偶性，可以用定義法，也可以用圖象法.

定義法必須驗證在每一段內都有/(-%)=/(x)或/(-%)=-/(x)成立，而不能只驗證一段解析式。在判斷

時，要特別注意X與-X的范圍，然后選擇合適的解析式代入.

府y題型提分練

題型1判斷元素與集合的關系

【例題1】（2023秋?浙江臺州?高一統考期末）已知集合A=3/-2x=0},則（）

A.{0}"B.2C4C.{2}eXD.0"

【變式1-1】1.（2023秋?湖南湘潭?高一校聯考期末）已知集合2={x\x（x—5）<0},B={x|x>2},

M=aClB,則（）

A.4eMB.V10GMC.5GMD.6GM

【變式1-1]2.（2022秋?四川涼山?高一統考期中）下列關系中，正確的有（）.

①g6R；②&gQ；③I—3|GN；@|-V5|GQ.

A.ljB.2jC.3jD.4j

【變式1-1]3.（2023秋?上海浦東新?高一統考期中）已知集合2={%|x=3k-1,keZ},則集合A中的

元素（）

A.除以3余數為-1;B.除以3余數為1;

C.除以3余數為2;D.能被3整除.

【變式1-1】4.（2023秋?上海浦東新?高一上海南匯中學校考期中徘空集合4具有下列性質:①若x,yGA,

則2"；②若x,y"，則久+y”,下列判斷一定成立的序號是

（1）-1g71（2）黑（3）若x,ye4,則x-y任4（4）若x,ye4、則孫eA

題型2根據元素與集合的關系求參數

【例題2]（2020?全國?高一期末）已知集合4={2,（a+l）2,a2+3a+3}，且1",則實數a的值

為

【變式2-1]1.（2021?全國?高一期末）已知關于x的不等式會<1的解集為S.若1eS且36S,則實

數m的取值范圍為（）

A.（8,9）B.（-00,1）u[2,+00）

C.（―8,1）u（8,9]D.（8,9]

【變式2-1]2.（多選）（2023秋?遼寧沈陽?高一統考期末）設集合力={-3,x+2,/一4久}，且5”,則

x的值可以為（）

A.3B.—1C.5D.—3

【變式2-1]3.（2023秋?上海松江?高一校考期中）已知集合4=三0}，若2任2，則實數。的取

值范圍是

【變式2-1]4.（2023秋?甘肅蘭州?高一統考期中）已知集合4={-1,2a-,B={a-5,1-a,9}.

若9e力nB,求a的值.

題型3根據集合中元素的個數求參數

【例題3]（2021秋?福建?高一統考期末）如果集合4=（x\mx2-4%+2=0}中只有一個元素，則實數機的

值為（）

A.0B.1C.2D.0或2

【變式3-1】1.（多選）（2023秋遼寧錦州?高一統考期末）關于x的方程喜=箸的解集中只含有一個元

素，貝味的可能取值是（）

A.-4B.0C.1D.5

【變式3-1]2.（2022秋?廣東廣州?高一廣州市第九十七中學校考期末）已知全集U=R,集合A=

{x|x2+px+12=0},集合B={x|x2—5x+q=0}.

Q）若集合A中有2個元素，求p的取值范圍;

(2)若AnB={2},求4UB.

【變式3-1]3.（2021秋?河北張家口?高一統考期末）已知集合4=（x\ax2-3x+2=0,xeR,aeR}.

（1）若A是空集,求a的取值范圍；

（2）若A中只有一個元素，求a的值，并求集合A;

【變式3-1J4.（2021秋?上海靜安?高一上海市新中高級中學校考期末）若使集合2={x\（kx-fc2-8）（x-

1）>0,%eZ}中的元素個數最少，則實數k的取值范圍是

題型4集合中元素的特征

【例題4]（2023秋?河北邢臺?高一校聯考期中）英文單詞excellent的所有字母組成的集合共有（）

A.6個元素B.7個元素C.8個元素D.9個元素

【變式4-1】1.（2022秋?甘肅酒泉?高一校考期中）集合國因=2或/一5“+6=0}中元素的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式4-1】2.（2022秋?重慶渝中?高一重慶市第二十九中學校校考期中）已知集合4=[0,1,2},B={%|x=

ab,aeA,bEA},則集合B中有（）個元素.

A.1B.2C.3D.4

【變式4-1]3.（2020秋?山東?高一統考期中）由實數比,所組成的集合中，最多含有元素

的個數為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式4-1J4.（2020秋?浙江金華?高一校考期中）若以集合4的四個元素a,b,c,d為邊長構成一個四邊形，

則這個四邊形可能是（）

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.菱形

題型5集合的表示方法

【例題5】（2023秋廣東東莞高一校考期中）集合{刈-3<2%-1<3,乂62}=（）

A.（-1,2]B.{1,2}C.{0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【變式5-1J1.（2023秋?上海靜安?高一上海市新中高級中學校考期中）方程（久2+2久尸-2（/+2久）-3=

。的解集為

【變式5-1]2.（2023秋?上海徐匯?高一上海中學校考期中）集合核反eN且黑eN}可用列舉法表示

為

【變式5-1]3.（2023秋?陜西榆林?高一校聯考期中）如圖，坐標系中矩形0aBe及其內部的點構成的集合

可表示為

【變式5-1]4.（2022秋?新疆烏魯木齊?高一校考期中）方程組的解構成的集合為.

（乙x-iy—o

題型6子集、真子集的個數

【例題6]（2023秋?廣東深圳?高一深圳市南頭中學校考期中）集合力={久eZ|言<0},則集合4的子集

的個數為（）

A.3B.4C.7D.8

【變式6-1]1.（2023秋?湖北荊州?高一沙市中學校考期中）集合4={XGZ|1<X<3],B={XGZ|x2-

7x+10<0},則力UB的子集的個數為（）

A.2B.5C.6D.8

【變式6-l]2.（2022秋福建漳州?高一校考期中）已知集合力={%|X2-3X+2=0）,B={X|0<X<5,XG

N）,則滿足條件AeccB的集合C的個數為（）

A.15B.16C.7D.8

【變式6-1]3.（2023秋?上海靜安?高一上海市新中高級中學校考期中）集合力={幻-1<x<2},則集

合4nZ的真子集個數為

題型7集合關系的判斷

【例題7】（2022秋湖南常德?高一漢壽縣第一中學校考期中）下列各式中，錯誤的個數是（）

①{0}e{0,1,2}；@{0,1}={（0,1）}；00￡[0,1,2}；?0={0}.

A.1B.2C.3D.4

【變式7-1]1.（2021秋?湖北十堰?高一校聯考期中）下列集合中表示同一集合的是（）

A.M={（3,2）},N={（2,3）}

B.M={（x,y）\x+y=1},N—{y\x+y=1}

C.M={4,5},N={5,4}

D.M={1,2},N={（1,2））

【變式7-1]2.（多選）（2022秋?陜西西安?高一統考期中）下列說法中正確的是（）

A.任何集合都是它自身的真子集

B.集合{a3}共有4個子集

C.集合{x|x=3n+l,nEZ]=（x\x—3n—2,neZ]

D.集合{x|久=1+a3,a￡/V*}={x\x=a2—4a+5,aEN*}

【變式7-1]3.（多選）（2023秋?重慶九龍坡?高一重慶市楊家坪中學校考期中）給出以下幾組集合，其

中是相等集合的有（）

A.M={（-9,3）},N={-9,3）

B.M=0,N={0}

C.M-(—5,3)(N={x[—5<x<3}

D.M={x\x2—3%+2=0},N={y\y2—3y+2=0}

【變式7-l]4.（多選）（2022秋?陜西西安?高一高新一中校考期中）若集合力=[x\x=m+^meZ],B=

[xIx=GZ],C=[%|x=|+GZj,則4,8,C之間的關系是（）

A.A=B=CB.B=CC.AQBD.BUA

題型8根據集合關系求參數

【例題8]（2023秋?四川綿陽?高一統考期中）已知集合a={久|0<久<2},B={x|l<x<a},若Baa,

則實數a的取值范圍是（）

A.a>2B.a<2

C.l<a<2D.a<2

【變式8-1】1.（2023秋?甘肅白銀?高一校考期中）已知集合4={xeR|2比—3—a20},集合B=

{yeR|y=/一3久+2},若4UB,貝必的取值范圍為（）

77

A-a--2B-a>-2

C.a4—77D.aV—

22

【變式8-1]2.（多選）（2023秋?安徽蚌埠?高一校考期中）集合4={1,3,標}，集合B={1,爪},若BC4,

則m的值可以是（）

A.0B.1C.V3D.3

【變式8-1]3.（2023秋?上海靜安?高一上海市回民中學校考期中）集合M={x|x2+x-6=0},N=

{y|ay+1=0},NUM,則實數a的取值集合為

【變式8-1】4.（2023秋?北京海淀?高一人大附中校考期中M={y\y=?},B={x|x2-（a+1）%+a=0},

BQA,則實數a的取值集合是

題型9根據相等關系求參數

【例題9]（多選）（2022秋?廣東東莞?高一東莞市東莞中學校考期中）若集合{x|a/+x+a=0）=

{x|x—6=0},貝帕的值可能為（）

A..lB.OC.|D.1

【變式9-1]1.（2023秋?上海浦東新?高一統考期中）含有三個實數的集合可表示為{a,\1},也可表示為

{a2,a+b,0},貝以2。23+。2。23=

【變式9-1]2.（2023秋?上海黃浦?高一統考期中）若{居y}={2久,2x2}，貝卜+y=

【變式9-1]3.（2023秋?廣東茂名?高一茂名市第一中學校考期中）已知集合4=={4,m2},

且4=B,則m的值為

題型10集合的并交補運算

【例題10]（2023秋?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市第一中學校校聯考期中）已知集合4=[-1,0,1,2,3）,

B={124,8},貝必nB=（）

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.[1,2,4,8}

【變式10-1】1.（2023秋?遼寧沈陽?高一遼寧實驗中學校考期中）已知集合4=（%|%2-2%<0}，集合B=

[x\y=yjx-1},貝（MUB=（）

A.[0,+oo）B.[1,2]C.[0,2]D.[l,+oo）

【變式10-1】2.（2023秋?上海徐匯?高一上海中學校考期中）已知集合4={x|yV3^=1},B=

{y|yV3—x=1},貝!MC\B=.

【變式10-1】3.（2023秋?遼寧阜新?高一阜新市高級中學校考期中）已知集合4=團-3<x<2},B=

{幅>。}?

（1）求auB；

⑵求an（cRs）.

【變式10-1】4.（2023秋?廣東江門?高一校考期中）已知全集（/=44=3—4式”<2}方=

{x|0<x+l<4],P=[x\x<0或x>5}.

(IMCB,CuB

(2)(力nB)U(CuP)

題型11根據集合的運算求參數

【例題11](2023秋?山東?高一校考期中)已知全集U={-4,-l,0,l,2,4},M={%eZ|0<%<3},W=

{xIX2—x-2=0}.

⑴求集合MN；

(2)若集合{爪2,瓶一2)=Cu(MUN),求實數m的值.

【變式11-1】1.(2022秋?福建泉州?高一統考期中)函數f(x)=7f2+x+12的定義域為集合A,集合

B—[x\m—3<%<2m+5].

(1)若m=0,求集合(CRA)nB；

(2)若AnB=X,求ni的取值范圍.

【變式11-1】2.(2022秋?江西贛州?高一統考期中)從①ACB=B，②AUB=4,③(CRA)nB=0三

個條件中，任選一個補充到下列橫線中，并求解下列問題.

集合力={x\x2—2x—3<0},B={x\a-1<%<2a+2].

(1)當a=—1時，求4UB；

(2)若求實數a的取值范圍.

【變式11-1】3.(2021秋?上海嘉定?高一上海市嘉定區第一中學校考期中)已知集合4={%|^>1],

B={x\x2—(2a+3)%+a(a+3)<0].

(1)當a=1時，求4nB；

(2)若BuA,求實數a的取值范圍.

【變式11-1]4.(2022秋?遼寧?高一沈陽市第十一中學校聯考期中)已知全集U={-3,-l,0,2,4},M=

{x|x2+ax=0},N={x\x2+bx+a=0],且MCN={2}.

（1）求集合M,N;

（2）若集合{/，機-1}=C?（MuN）,求實數m的值.

題型12集合的實際應用

【例題12］（2022秋?江西景德鎮?高一統考期中）某城市數、理、化競賽時，高一某班有26名學生參加

數學競賽，25名學生參加物理競賽，23名學生參加化學競賽，其中參加數、理、化三科競賽的有7名，只

參加數、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數、化兩科的有5名.若該班學生共有51

名，則沒有參加任何競賽的學生共有（）名

A.7B.8C.9D.10

【變式12-1】1.（2023秋?寧夏銀川?高一校考期中）中國健兒在杭州亞運會上取得傲人佳績，獲獎多多,

為豐富學生課余生活，拓寬學生視野，石室成飛中學積極開展社團活動，每人都至少報名參加一個社團，

高一（1）班參加/杜團的學生有17人，參加B杜團的學生有21人，參加C社團的學生有22人，同時參加A,B社

團的學生有3人，同時參加社團的學生有4人，同時參加4c社團的學生有7人，三個社團同時參加的學

生有1人，那么高一（1）班總共有學生人數為

【變式12-1】2.（2023秋?重慶南岸?高一重慶市第十一中學校校考期中）重慶市第十一中學校每學年分上

期、下期分別舉行“大閱讀"與"科技嘉年華”兩項大型活動，深受學生們的喜爰.某社團經問卷調查了解

到如下數據：96%的學生喜歡這兩項活動中的至少一項，78%的學生喜歡“大閱讀”活動，87%的學生喜

歡”科技嘉年華”活動，則我校既喜歡"大閱讀"又喜歡"科技嘉年華”活動的學生數占我校學生總數的

比例是

【變式12-1】3.（2022秋?江西贛州?高一統考期中）為豐富學生課余生活，拓寬學生視野，某校積極開展

社團活動，高一（1）班參加4社團的學生有21人，參加8社團的學生有18人，兩個社團都參加的有7人，

另外還有3個人既不參加4社團也不參加B社團，那么高一（1）班總共有學生人數為

【變式12-1】4.（2022秋?上海寶山?高一上海市行知中學校考期中）行知中學高一某班學生參加物理和數

學競賽輔導班的選拔，已知該班學生參加物理競賽輔導選拔的人數是該班全體人數的八分之三；參加數學

競賽輔導選拔的人數比參加物理競賽輔導選拔的人數多3人；兩個科目都參加選拔的人數比兩個科目都不

參加的學生人數少7人；則該班參加數學競賽輔導選拔的人數是

題型13充分條件、必要條件的判斷

【例題13]（2023秋安徽合肥?高一校考期中）設％eR,則'<3"是"x（x-2）<0"的（）

A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【變式13-1】1.（2023秋?遼寧沈陽?高一遼寧實驗中學校考期中）已知命題p：a>b,命題q：ac2>be2,

則命題P是命題q的（）條件

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式13-1】2.（2023秋?上海徐匯?高一上海中學校考期中）已知集合p：a>0,b>0-,0：/手>等；

02：半2而；03：而2鬻，則（）

A.p是qi的充要條件B.p是央的充要條件

C.p是勺3的充要條件D.以上都不對

【變式13-1】3.（2023秋?上海靜安?高一上海市回民中學校考期中）設陳述句a:x<1或無>2,p-.x<

。或x>2,貝！Ja是0的（）條件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

【變式13-1】4.（2023秋?重慶沙坪壩?高一重慶八中校考期中）已知p:-—8nl<0,q:關于x的不等

式/+（爪—4）%+9>0的解集為R,則p是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型14根據充分條件、必要條件求參數

【例題14]（2023秋?上海黃浦?高一格致中學校考期中）若"|x-l|+k+1|>4"是的充分

非必要條件，則實數a的取值范圍是

【變式14-1]1.（2023秋?上海閔行?高一校聯考期中）設命題p:集合4={幻-2W久W0},命題q:集

合B={x|2a+1三支式1一研，若「今9,則實數a的取值范圍是

【變式14-1]2.（2023秋云南?高一校聯考期中）已知集合P={x\a+1<%<2a+1},Q={%|-2<%<

5）.

（1）若a=3,求（CRP）nQ；

（2）若"xGP"是"xGQ"充分不必要條件，求實數a的取值范圍.

22

【變式14-1J3.（2023秋?云南?高一校聯考期中）已知集合4={幻M>1},B={x\x-2x-a-2a<0}-l

（1）當a=4時，物CB；

（2）若x”是xeB的充分條件，求實數a的取值范圍.

【變式14-1]4.（2023秋?上海黃浦?高一統考期中）已知集合4=（x\\x-a\<2},B=[x^<0].

Q）若a=2,求4nB；

（2）7eB"是〃xe/〃的充分非必要條件，求實數a的取值范圍.

題型15命題的否定

【例題15】（2023秋?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市恒昌中學校校考期中）命題的否

定是（）

A.Vx>I,/<2B.3%<l,%2<2C.Vx<I,/>2D.3%<l,x2>2

【變式15-1】1.（2023秋?黑龍江佳木斯?高一校聯考期中）已知命題p:Va>0,a+”2,則命題p

的否定是（）.

A.3a>0,a+->2B.3a<0,a+i>2

aa

C.3ct>0,ciH—a<2aD.3（z<0）CL-\—42

【變式15-1]2.（2023秋?四川成都?高一校聯考期中）設命題p：VmeZ,m2>2m-3,則「p為（）

A.VmEZ,m2<2m—3B.3mGZ,m2<2m—3

C.3mg4m2>2m—3D.VmgZ,m2<2m—3

【變式15-1】3.（2023秋?寧夏銀川?高一校考期中）命題p：，六2,%220〃，則巾為（）

A.VxEZ,x2<0B.Vx￡Z,x2<0

C.3x0GZz%o>0D.3x0GZz%□<0

【變式15-1J4.（2023秋?重慶南岸?高一重慶市第十一中學校校考期中）全稱量詞命題ER,/+5%工

4〃的否定是（）

A.3%e/?,%2+5%=4B.V%e/?,%2+5%=4

C.三%eR,/+5久。4D.V%€R,/+5%。4

題型16根據命題的真假求參數

【例題16]（2023秋?四川成都?高一校聯考期中）命題p：VxGR,x2-x+m>0,若p為真命題，則實數小

的取值范圍為（）

11

A.m<-B.m>1C.m>0D.m>-

44

【變式16-1】L（多選）（2022秋?陜西西安?高一西北工業大學附屬中學校考期中）已知命題p：3x0ER,

a詔—4比—4=0,若p為真命題，貝必的值可以為（）

A.—2B.—1C.0D.3

【變式16-1】2.（2022秋?四川攀枝花?高一攀枝花市第三高級中學校校考期中）已知集合4={x|x2-3x+

2<0},函數f0）=x2-2ax+l.若命題"存在%。64,使得f（比）<0"為假命題，則實數a的取值范

圍

【變式16-1】3.（2022秋?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市第八中學校校考期中）已知命題p：關于x的方

程/+x+m=。有兩個相異負根；命題q：Vxe(0,+oo),x2-3mx+9>0.

（1）若命題q為真命題，求實數小的取值范圍；

（2）若這兩個命題同為假命題，求實數小的取值范圍.

【變式16-1】4.（2023秋?北京昌平?高一昌平一中校考期中）命題PNX6（l,+8）,x+WNa為真命題，

則可以表示為，實數a的取值范圍是

題型17代數式比較大小

【例題17]（2023秋?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市恒昌中學校校考期中）已知4=^1,B=V5-1,

則（）

A.A<BB.A—BC.A>BD.不能確定

【變式17-1]1.（2023秋?新疆喀什?高一統考期中）若4=a?+2ab,B=4ab-b2,則4B的大小關系是

（）

A.AWBB.A>B

C.A<B斯>BD.A>B

【變式17-1]2.（2021秋?山東泰安?高一泰安一中校考期中）設「=（a?+a+1廠】，q=a?-a+1,則

（）.

A.p>qB.p<qC.p>qD.p<q

【變式17-1】3.（2023秋?甘肅白銀?高一校考期中）判斷（尤+3）（x-2）與（％+5）0-4）的大小：

【變式17-1]4.（2022秋?河北石家莊?高一校考期中）（1）設a>6>0,比較賓與M的大小；

a+b

（2）已知a>b>0,c<d<0,e<0求證：-^―>-^―.

la—cb—d

題型18不等式的性質

【例題18]（2023秋?上海靜安?高一上海市新中高級中學校考期中）已知a>b,則下列命題中正確的是

（）

2222

A.a>hB.ac>beC.a+c>b+cD.-a<-b

【變式18-1J1.（2023秋?上海浦東新?高一上海南匯中學校考期中府四個命題-@a>b^c-a<c-b-,

②a>b,c>dac>bd；③a/>be2=>a>b；（4）a3>b3=>a>b.其中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式18-1]2.（2023秋?陜西榆林?高一校聯考期中）對于實數a,b,c,下列命題為真命題的是（）

A.若a>b,貝嶺<|B.若a>b,貝!Jac?>be2

C.若>b3,則a>bD.若|a|>\b\,則a>b

【變式18-1]3.（多選）（2020秋?浙江溫州?高一校聯考期中）如果a<b<0,那么下列不等式正確的

是（）

22

A.-a<-bB.ac<be

22

C.a+-b<Z）+-aD.a>ab>b

【變式18-1】4.（2022秋?山東青島?高一青島二中校考期中）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智

石》一書中首先把"="作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用">"和"<"符號，并逐步

被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.已知a,b為非零實數，且a>b；則下列結論正確的

是（）

A.B.ab2>a2bC.a2>b2D.2>2

ababza^b

題型19不等式求代數式的取值范圍

【例題191（2023秋?黑龍江齊齊哈爾?高一齊齊哈爾市恒昌中學校校考期中）已知0<%<1,-l<y<2,

設z=-乂+2y,貝!|z的取值范圍是.

【變式19-1】1.（2023秋?上海徐匯?高一上海中學校考期中）若-1<a<3且-2<b<l,則2a-36的

取值范圍是

【變式19-1]2.（2023秋?北京?高一北京市八一中學校考期中）若-2<a<3,1<6<2,貝!]a-b的取

值范圍是

111

【變式】秋?重慶南岸高一重慶市第十一中學校校考期中)已知實數

19-13.(2023?ae(1,3),6e,8‘4,

則彳的取值范圍是

【變式19-1]4.2023秋?安徽合肥?高一校考期中)(1)已知實數x,y滿足-1<x<2,0<y<1,^x-2y

的取值范圍；

已知—求的取值范圍.

(2)1<a+b<3t2<a—b<4,2a+3b

題型20基本不等式求最值

【例題】秋黑龍江齊齊哈爾高一齊齊哈爾市恒昌中學校校考期中)已知正實數

202023??a,6fl+b+3=ab,

求：

(l)a+b的取值范圍；

(2戶+5的取值范圍.

【變式20-1]1.(2023秋?四川綿陽?高一統考期中)已知a>0,6>0,且a+6=卷.

(1)求a+6的最小值，并求出相應a,b的值；

(2)是否存在實數a,b，使得5+楙=百成立，若存在求出a,6；若不存在，請說明理由.

【變式20-1]2.(2023秋遼寧大連?高一大連二十四中校考期中)已知正數居y滿足/y(4比+3y)=3,

則2%+3y的最小值為

【變式20-1]3.(2023秋?重慶南岸?高一重慶市第十一中學校校考期中)已知實數a￡(1,3),6eg(J),

則等的取值范圍是

【變式20-1J4.(多選X2023秋?遼寧沈陽?高一遼寧實驗中學校考期中)已知正實數a、b滿足ab+a+b=

8,下列說法正確的是()

A.ab的最小值為4B1+念的最小值為g

C.a+9b的最小值為8D.-^―+的勺最小值為§

a(b+l)b2

題型21基本不等式的實際應用

【例題21]（2023秋?北京?高一北京市八一中學校考期中）為提高生產效率，某公司引進新的生產線投入

生產，投入生產后，除去成本，每條生產線生產的產品可獲得的利潤s（單位：萬元）與生產線運轉時間t（單

位：年，teN*）滿足二次函數關系：s=-2t2+30t-98,現在要使年平均利潤最大，則每條生產線運行

的時間t為（）年.

A.5B.6C.7D.8

【變式21-1]1.（2023秋?新疆烏魯木齊?高一新疆實驗校考期中）某公司生產某種產品，其年產量為x

萬件時利潤為RO）萬元.

（1）當0<xW35時，年利潤為R（x）=-六2+20%+250,若公司生產量年利潤不低于400萬時，求生產

量x的范圍；

⑵在（1）的條件下，當x>35時，年利潤為RQ）=-手+520.求公司年利潤R（x）的最大值

【變式21-1]2.（2023秋?上海浦東新?高一統考期中）某品牌飲料原來每瓶成本為6元，售價為8元，

月銷售5萬瓶.

Q）據市場調查，若售價每提高0.5元，月銷售量將相應減少0.2萬瓶，要使月利潤不低于原來的月總利潤

（月總利潤=月銷售總收入-月總成本），該飲料每瓶售價最多為多少元？

（2）為提高月總利潤,廠家決定下月進行營銷策略改革，計劃每瓶售價我久>9）元，并投入-9）萬元作

為營銷策略改革費用，據市場調查，每瓶售價每提高0.5元，月銷售量將相應減少得萬瓶則當每瓶售價

X為多少時，下月的月總利潤最大？

【變式21-1]3.（2023秋?上海?高一校聯考期中）貨車以x千米/時的速度勻速行300千米，按交通法規

則限制50<x<100（單位：千米/時），假沒汽油價格是每升8元，汽車每小時耗油（4+總）升,司機的

工資是每小時50元.

（1）求這次行車總費用y（元）關于x（千米/時）的表達式；

（2）當x為何值時，這次行車的總費用y最低？求出最低費用的值.（所有結果精確到1）

【變式21-1]4.（2023秋?重慶九龍坡?高一重慶市田家炳中學校考期中）今年前8個月，我國光伏新增裝

機達到4447萬千瓦，同比增長2241萬千瓦.某公司生產光伏發電機的全年固定成本為1000萬元，每生

2%2+40%0〈％V40

O。…-ALI還乙乙。Ujjt*UvAi.UnUe，

{X

該光伏發電機年產量最大為10000臺.每臺發電機的售價為16000元，全年內生產的發電機當年能全部售

完.

（1）將利潤P（單位：萬元）表示為年產量x（單位：百臺）的函數；

（2）當年產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？（總收入=總成本+利潤）.

題型22不等式在非“R”區間上恒（能）成立

【例題221（2023秋?黑龍江大慶?高一大慶實驗中學校考期末）已知二次函數f（久）=x2-（a+l）x+a,ae

R.

（1）若關于X的不等式/（久）<-1對VX￡（2,3]恒成立，求a的取值范圍；

（2）已知函數g（x）=x-1,若對VrqG[0,1],3x2G[一1,2],使不等式次的）>/（右）成立，求a的取值范圍.

【變式22-1】1.（2022秋?江蘇連云港?高一期末）已知爪eR命題p：V0<%<1，不等式2x-2>m2-3m

恒成立；命題q:三一1Wx<1,使得m<ax成立.

（1）若p為真命題，求小的取值范圍；

（2）當a=1時，若q和p一真一假，求實數小的取值范圍.

【變式22-1]2.（2021秋?湖南常德?高一臨澧縣第一中學校考期末）設命題p:存在實數xe[1,2],使

不等式a?一5a-3>x+2成立；命題q：對任意實數久6[1,2],使/-2ax+1<0恒成立,若p和q均為

假命題，求實數a的取值范圍.

【變式22-1]3.（2021春?廣東佛山?高一統考期末）設二次函數f⑺=/+mx.

（1）若對任意實數小￡[0,1],/（%）>0恒成立，求實數x的取值范圍；

（2）若存在軟e[-3,4],使得/0。）<-4成立，求實數m的取值范圍.

【變式22-1J4.（2023秋?黑龍江大慶?高一大慶實驗中學校考期末）已知二次函數f0）=%2-（a+1）%+

a,a€R.

Q）若關于X的不等式f（久）<-1對Vxe（2,3]恒成立，求a的取值范圍；

⑵已知函數g（x）=比-1,若對6[0,1],3X2G[-1,2],使不等式g01）>/（久2）成立，求a的取值范圍.

題型23二次函數在“R”上恒（能）成立

【例題23]（2022?全國?高一期末）若不等式2k/+依—|<0對一切實數久都成立，貝心的取值范圍為

O

（）

A.-3<A:<0B.-3<fc<0C.-3<fc<0D.-3<fc<0

【變式23-1]1.（多選）（2022秋?重慶巫山?高一重慶市巫山大昌中學校校考期末）已知命題p：對VxeR,

不等式（a?-142—2（a-1）%-1<0恒成立，則命題p成立的必要不充分條件可以是（）

A.0<a<1B.0<a<1

C.0<a<2D.-l<a<l

【變式23-l】2.（2023秋?江蘇無錫?高一統考期末）已知關于x的不等式/+磔+aN0對VxeR恒成立.

（1）求實數a的取值集合M；

（2）已知集合N={x\m-1<久<3m},若，xeN，都有xeCRM成立"為真命題，求實數m的取值范圍.

【變式23-1]3.（2022秋?江蘇連云港?高一期末）已知a>b,關于x的不等式a/+2x+b>。對于一切

實數x恒成立，又存在實數&，使得ax°2+2久°+b=0成立，則可最小值為

CL—D

【變式23-1]4.（2023秋,浙江湖州?高一期末）已知函婁好（久）=X-2,g（x）=x2-2mx+4（m6R）.

（1）若對任意xeR,不等式g（久）>久）恒成立，求m的取值范圍；

（2）若對任意XiG[1,2],存在比26[4,5],使得g3）=/（x2）,求m的取值范圍；

⑶若m=-1,對任意九￡R，總存在和￡[-2,2],使得不等式|g0o）-x^+n\>k成立，求實數k的取值

范圍.

題型24函數的定義域

【例題24】(2022秋?全國?高一期末)函數f(x)=V7不T-5的定義域是()

A.RB.[―1,+8)

C.(—oo/O)U(0,+8)D.[—1,0)U(0,4-oo)

【變式24-1]1.(2022秋?吉林四平?高一校考期末)函數f。)=錯的定義域為

【變式24-1]2.(2023秋?上海松江?高一校考期末)函數y=島的定義域為(用區間表示).

【變式24-1J3.(2023秋?重慶長壽?高一重慶市長壽中學校校考期末)已知函數“久+1)的定義域為[1,2],

則/(2乃的定義域為

【變式24-D4.(2023秋?陜西西安?高一長安一中校考期末)已知函數f(2x)的定義域為百2],則函數A/)

的定義域為

題型25同一函數的判斷

【例題25](2022秋四11南充?高一校考期末)下列各組函數表示同一函數的是()

A./(%)=,g(%)=(V^)2B./(%)=1,g(%)=x°

C./(%)=二°。，g(t)=\t\D./(x)=%+1,5(%)=u

lJi-)人UXJ.

【變式25-1]1.(2022春?天津南開?高一統考期末)下列各組函數是同一函數的是()

①/(%)=2%3與g(%)=2%.②/(%)=%與4%)—(3)/(%)=%。與±(4)/(%)=x2—2x—

1與g(X)=t2—2t—1.

A.①②B.①③C.③④D.①④

【變式25-1]2.(2020?浙江杭州?高一期末)下列各組函數表示同一函數的是()

A.y=斗與y=1B.y=亍與丫=x

C.y=與y=xD.y=—1)2與y=x-1

【變式25-1]3.(2020?浙江杭州?高一期末)下列四組函數，表示同一函數的是()

A./(%)=,g(x)=xB./(x)=亍,g(%)=x

2

C./(%)=Vx—4,<g(x)=Vx—2?Vx+2D./(x)==%

【變式25-1]4.(多選)(2023秋?重慶九龍坡?高一統考期末)下列四組函數中，表示同一函數的一組是

()

A.y=\x\,u=Vv2B.y=%—1,s=1—1

C.y=x3,m=D.y=x2,y=(Vx)4

題型26求函數的解析式

【例題26](2020秋?陜西延安?高一校考期末)已知函數-1)=2%2+3%,則/(%)=()

A.2x2+7%+3B.2x2+%—1

C.2x2—7x+5D.2x2+7%+5

【變式26-1]1.(2023秋?浙江麗水?高一統考期末)已知f(%),g(%),以%)為一次函數，若對實數%滿足

rI

2x-l,x<--

f(x)+\g(x)\-\h(x)\=6x+l,-i<x<|,則/'(x)的表達式為()

I”

A./(%)=x—2B./(%)=%+2

C.f(x)=-x—2D./(%)=—久+2

【變式26-1]2.(2023秋?重慶沙坪壩?高一重慶一中校考期末)已知定義在R上的函數/(%)滿足2/(%)-

/(-X)=X+1,則/'(%)=()

A.-+1B.x+-C.—D.%+1

333

【變式26-1]3.(2023秋?山東淄博?高一山東省淄博第六中學校考期末)設定義在(。,+8)上的函數g(x)滿

足gO)=2Vx?gG)-1,則g(x)=

【變式26-1]4.（2023秋?江西宜春?高一校考期末）已知二次函婁好（尤）關于直線x=1對稱，/（0）=3,

且二次函數/（久）的圖像經過點（1,2）.

（1）求"久）的解析式;

（2）求/⑺在[0,3]上的值域.

題型27函數的值域

【例題27]（2022秋?貴州畢節?高一統考期末）下列函數中，定義域和值域不相同的是（）

A.y=-%B.y=V%C.y=-D.y=（X1）%^^

【變式27-1]1.（2022秋?湖南長沙?高一統考期末）下列函數中，值域是（0,+8）的是（）

A.y=V%2—2x+1B.y=,xG（0,+co）