熱點專題3-4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值與最值

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年I卷第10題，6分

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、最值是同考數(shù)

年卷第題，分

2024H165學(xué)的重要考點。函數(shù)極值每年必

2024年H卷第11題，6分考，題型多樣，難度適中。最值

問題則常作為熱點和難點，常與(1)求導(dǎo)判斷單調(diào)性

2024年甲卷第21題

函數(shù)單調(diào)性、方程和不等式相結(jié)(2)找極值點并分析性質(zhì)

合，考查綜合應(yīng)用能力。高考常

2023年乙卷第21題(3)確定最值位置并求解

通過求函數(shù)在特定條件下的最值(4)結(jié)合不等式求參數(shù)范圍

2023年n卷第22題或根據(jù)最值條件求參數(shù)范圍來考(5)考察綜合運用能力

查學(xué)生的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用能力和解題技

2022年乙卷第16題，5分

巧。這類題型要求學(xué)生熟練掌握

2022年甲卷第6題，5分導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)，

具有較強(qiáng)的邏輯思維和解題能力

2022年I卷第10題，5分

模塊一、熱點題型解讀(目錄)

【題型1】函數(shù)的極值與極值點

【題型2】利用圖像判斷極值

【題型3】由極值或極值點求參數(shù)的值

【題型5】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)

【題型7】求含參函數(shù)的最值

【題型6】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值

【題型4】由極值，極值點求參數(shù)范圍【重點題型】

【題型6】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)范圍

【題型8】函數(shù)極值、最值的綜合應(yīng)用

模塊二核心題型?舉一反三

［題型1］函數(shù)的極值與極值點

基礎(chǔ)知識

L極值點與極值的概念

極值與單調(diào)性一樣，都是函數(shù)的局部性質(zhì)

⑴極小值點與極小值

如圖，函數(shù)y=?x)在點的函數(shù)值汽。)比它在點附近其他點的函數(shù)值都小，/(〃)=();而且

在點x=a附近的左側(cè)」(x)VO,右側(cè)/(x)>0,則把〃叫做函數(shù)y=/(x)的極小值點，汽。)叫做函數(shù)>=

兀r)的極小值.

(2)極大值點與極大值

如圖，函數(shù)y=/(x)在點x=/?的函數(shù)值/(Z?)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，/(/?)=0;而且

在點x=b的左側(cè)了(%)>0,右側(cè)/(x)VO,貝I把b叫做函數(shù)y=/(x)

的極大值點，犬。)叫做函數(shù)y=7(%)的極大值.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱

為極值.

2.求函數(shù)y=/(x)的極值的方法

解方程/(x)=0,當(dāng)/(%o)=O時：

⑴如果在次附近的左側(cè)/(x)>0,右側(cè)/(x)VO,那么/Uo)是極大值;

(2)如果在xo附近的左側(cè)/(x)V0,右側(cè)/(x)>0,那么/Uo)是極小值.

1.(2024?遼寧鞍山?二模)"力=/b的極大值為.

2.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)函數(shù)〃x)=(f-8)e*的極小值點為()

A.2B.-4e2C.-4D.8e-4

3.(23-24高三上.陜西咸陽.階段練習(xí))函數(shù)〃尤)=3f一心》的()

A.極小值點為！B.極小值點為逅

66

C.極大值點為工D.極大值點為偵

66

【鞏固練習(xí)1】（23-24高三?湖北孝感?階段練習(xí)）函數(shù)八%）=31nx+gf-4%的極大值為（）

57

A.—2B.—C.—3D.—

22

【鞏固練習(xí)2】（2024高三下?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（力=依3+灰2+工+。，其導(dǎo)函數(shù)）；=r（力

的圖象如圖所示，過點，，。］和。,0）.函數(shù)“X）的單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值點

為.

【鞏固練習(xí)3】函數(shù)/（力=6+12彳-爐的極小值點為

【題型2】利用圖像判斷極值

基礎(chǔ)知識

利用函數(shù)圖像判斷極值的方法主要是觀察圖像在特定點附近的單調(diào)性變化。若圖像在某點由上升轉(zhuǎn)

為下降，則該點為極大值點；若由下降轉(zhuǎn)為上升，則為極小值點。通過比較該點與其鄰近點的函數(shù)

值大小，可進(jìn)一步確認(rèn)極值點的存在。這種方法直觀且有效，適用于可直觀觀察的圖像。

4.已知定義在R上的函數(shù)/（x）,其導(dǎo)函數(shù)/'（X）的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是

A./(&)>/(?)>/(c)

B.函數(shù)在x=c處取得最大值，在x=e處取得最小值

C.函數(shù)"%)在無=。處取得極大值，在x=e處取得極小值

D.函數(shù)的最小值為/(d)

【鞏固練習(xí)1】設(shè)函數(shù)“X)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且函數(shù)y=(l-x)r(x)的圖象如圖所

示，則下列結(jié)論中一定成立的是()

A.函數(shù)/(x)在(2,+8)上為增函數(shù)

B.函數(shù)“X)在(-2,1)上為增函數(shù)\

』-0/C\:

C.函數(shù)“X)有極大值”2)和極小值/⑴\/\

D.函數(shù)八%)有極大值/'(-2)和極小值〃2)

【鞏固練習(xí)2】如圖，可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)在點尸(%,〃％))處的切線為/：y=g(x),設(shè)

h(x)=f(x)-g(x),則下列說法正確的是()

A.h(x)>0

B.VxeR,hf(x)<0

c.〃'(%)=O,x=Xo是〃(x)的極大值點

D.)=0,尤=1是版x)的極小值點

【鞏固練習(xí)3】(23-24高三.吉林長春?期中)(多選)已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)〃x)和g(x)的導(dǎo)

函數(shù)/'(X)、g'(x)圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)Mx)=g(x)-〃x)的判斷正確的是()

A.有1個極大值點和2個極小值點B.有2個極大值點和1個極小值點

C.有最大值D.有最小值

【題型3】由極值或極值點求參數(shù)的值

基礎(chǔ)知識

由極值或極值點求參數(shù)值，通常需先對函數(shù)求導(dǎo)，找到極值點對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)等于零的方程。然后，將

極值或極值點的坐標(biāo)代入原函數(shù)或?qū)?shù)方程中，解出參數(shù)值。

5.（2024?青海?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=e，-ex的極值點為m貝（）

A.-1B.0C.1D.2

6.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）的導(dǎo)函數(shù)r（x）=（x+D，+4x+a）,若T不是〃x）的

極值點，則實數(shù)。=.

7.（2024嚀夏銀川.一模）若函數(shù)/。）=（必-依-2）e"在元=一2處取得極大值，則/⑺的極小值

為（）

A.-6e2B.YeC.-2e2D.-e

【鞏固練習(xí)1】（2024?遼寧?一模）已知函數(shù)/（力=三+加+笈+/在x=—1處有極值8,貝！1/（1）等

于.

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/（x）=；x-34+alnx,若x=l是的極值點，求的極值.

【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上.天津濱海新?期中）函數(shù)/（x）=4d-狽2_2云+2在x=l處有極小值

-3,則辦-。的值等于（）

A.0B.-2C.-4D.6

【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)/（尤）=911；1+3/+2依+/一3〃在x=l處取得極小值幺，則2的值為_____

22〃

【題型4】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

基礎(chǔ)知識

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的詳細(xì)步驟如下：

1.求導(dǎo)數(shù)：首先，對給定的函數(shù)求導(dǎo)，得到其導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。

2.找臨界點：

o令導(dǎo)數(shù)等于0,解方程找出所有使導(dǎo)數(shù)等于0的點，這些點稱為駐點或臨界點。

o檢查函數(shù)定義域內(nèi)是否有導(dǎo)數(shù)不存在的點（如分母為0的點），這些點也是臨界點。

3.判斷單調(diào)性：

o在每個臨界點之間及臨界點兩側(cè)選取測試點，代入導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，判斷導(dǎo)數(shù)的符號。

o根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號變化，確定函數(shù)在這些區(qū)間上的單調(diào)性（增或減）。

4.求最值：

o在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)要么沒有最值（如果區(qū)間是開區(qū)間），要么最值出現(xiàn)在區(qū)間

的端點或臨界點處。

o對于閉區(qū)間，還需要檢查區(qū)間端點的函數(shù)值。

O比較所有候選點的函數(shù)值，確定函數(shù)在該區(qū)間上的最大值和最小值。

注意：對于實際應(yīng)用問題，還需要考慮函數(shù)的實際定義域和約束條件。

8.（23-24高三?河南商丘?期末）已知函數(shù)/（x）=2加—3犬+6在x=l處取得極小值1,則〃力在

區(qū)間［-1,2］上的最大值為（）

A.2B.4C.6D.8

9.（2024.浙江杭州.二模）函數(shù)〃x）=J：的最大值為.

【鞏固練習(xí)1】(23-24高三?湖南益陽?期中)已知/(%)=2x3-6f+〃為常數(shù))在［一2,2］上有最

大值3,則此函數(shù)/⑴在［-2,2］上的最小值是()

A.-37B.-29C.-5D.-8

1°

【鞏固練習(xí)2］函數(shù)/(4)=54-(e-l)x-elnx的最小值為.

【題型5】求含參函數(shù)的最值

基礎(chǔ)知識

求含參函數(shù)最值步驟：先對參數(shù)分類討論，再對每類求導(dǎo)找極值點，結(jié)合邊界點比較確定最值。

10.已知函數(shù)/(x)=(x-Z—l)e*(ZeR).

⑴當(dāng)左=1時，求〃力在(0,-2)處的切線方程；(2)討論“X)在區(qū)間［0,3］上的最小值.

【鞏固練習(xí)1］已知函數(shù)/(x)=e￡-℃—1.

⑴當(dāng)a=l時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求“X)在［1,+8)上的最小值.

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/（x）=e'—or—1.

⑴當(dāng)a=l時，求/（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；⑵求"》）在［1,+巧上的最小值.

【題型6】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值

基礎(chǔ)知識

根據(jù)最值條件建立方程，解方程求參數(shù)，驗證解符合題意。

11.若函數(shù)=d—宇2+4在區(qū)間［1,2］上的最小值為0,則實數(shù)〃的值為（）

10

A.-2B.-1C.2D.—

3

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)“力=—爐+3f+9%+〃（a為常數(shù)），在區(qū)間［—2,2］上有最大值20,那么

此函數(shù)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為（）

A.-37B.-7C.-5D.-11

【鞏固練習(xí)2］若函數(shù)/（%）=丁—d—x+2加在區(qū)間［0,2］上的最大值是4,則機(jī)的值為（）

A.3B.1C.2D.-1

【鞏固練習(xí)3]已知QW0,若函數(shù)/(x)=<有最小值，則實數(shù)。的最大值

(A：-2)ex+2,x>-l

為.

【題型7】由極值，極值點求參數(shù)范圍【重點題型】

基礎(chǔ)知識

一、根據(jù)極值或極值點個數(shù)求參數(shù)范圍

首先需對函數(shù)求導(dǎo)并分析其導(dǎo)數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于零的解的個數(shù)，結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)判斷極值點類型（極

大值或極小值）。然后，利用給定的極值個數(shù)或極值點個數(shù)條件，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或方程。最

后，解這些不等式或方程，得到參數(shù)的取值范圍。注意，解可能需分類討論，確保全面覆蓋所有情

況。

二、根據(jù)函數(shù)有（無）極值點求參數(shù)范圍

函數(shù)有無極值，需分析其一階導(dǎo)數(shù)。首先求導(dǎo)，觀察導(dǎo)數(shù)是否可能為零。若方程/'（x）=0無解或解

不滿足極值條件（如二階導(dǎo)數(shù)為零），則無極值；若有解且滿足極值條件，則有極值。根據(jù)有無極值

的條件，建立關(guān)于參數(shù)的不等式或方程。解不等式或方程，得到參數(shù)的取值范圍，區(qū)分出函數(shù)有無

極值的情況。

三、函數(shù)在某區(qū)間上存在極值點求參數(shù)范圍

函數(shù)在某區(qū)間上存在極值點，需先求導(dǎo)并令其為零，轉(zhuǎn)化為廣（x）=0在該區(qū)間上有解，建立關(guān)于參

數(shù)的不等式或方程。解這些不等式或方程，得到參數(shù)的取值范圍，確保函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)存在極值

點。

12.（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知函數(shù)/a）=e、-公2在R上無極值，貝版的取值范圍是（）

A.-oo,B.-oo,|C.[O,e）D.0,1

13.（2024?河北秦皇島?三模）已知0是函數(shù)〃%）=丁+以2+1的極大值點，則〃的取值范圍為

2

A.（一匕0）B.（0,+8）C.D.——,+oo

3

14.（2024?高三?陜西咸陽?期中）若函數(shù)/（x）=aln尤-'+±（"0）既有極大值也有極小值，貝陷

XX

的取值范圍是（）

A.■?°B.4'°

15.（23-24高三上.廣東潮州.期末）若函數(shù)“xkgf-"+inx在（0,2）上有極值，則實數(shù)。的取值

范圍是（）

「C5[25]

A.2,-B.2,-C.⑵+8）D.（2,+8）

2I2

16.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=Hlnx-3有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍

是（）

A.B.（0,JC.（0,1）D.（0,+s）

17.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）己知函數(shù)〃x）=21nx+]2-3x有極值點在閉區(qū)間g+2]上，則

f的取值范圍為（）.

A.[-1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,1]

18.（2024?新高考2卷真題）已知函數(shù)/（x）=e*-?x-/.

⑴當(dāng)。=1時，求曲線y=/V）在點（1,7（1））處的切線方程；

（2）若"X）有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

【鞏固練習(xí)1]（2024.重慶.模擬預(yù)測）若函數(shù)〃力=爐-x+〃lnx有極值，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A?[唱B.]用C.D.（-00,1

【鞏固練習(xí)2]（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）若函數(shù)〃x）=e'-改在區(qū)間（0,2）上有極值點，則

實數(shù)。的取值范圍是（）

A.HC.（1,，）口.I。,3

4h

【鞏固練習(xí)3]（2024.廣東佛山?二模）若函數(shù)〃尤）=alnx+—+三（。/0）既有極大值也有極小

XX

值，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.a<0B.b<0C.ab>—lD.a+b>0

【鞏固練習(xí)4】（2024?重慶?三模）（多選）若函數(shù)〃%）=411比-2%2+云既有極小值又有極大值，則

（）

A.ab<0B.a<0C.b2+16a>0D.<4

【鞏固練習(xí)5]若函數(shù)/（x）=xe-（利-De?，存在唯一極值點，則實數(shù)機(jī)的取值范圍

是.

已知函數(shù)/（力=-11尤-加-；尤2,則“/（X）有兩個極

【鞏固練習(xí)6]（23-24高三?湖北武漢?期末）

值”的一個必要不充分條件是（）

A.—1<Q<1B.—<a<0C.—<Q<0D.0<Q<—

422

【鞏固練習(xí)7】（23-24高三.廣東廣州?期中）函數(shù)〃x）=xlnx-g-x在定義域內(nèi)有兩個極值點，則

實數(shù)k的取值范圍為（）

A.B.

【題型8】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識

根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)范圍題型，關(guān)鍵在于建立最值條件與參數(shù)之間的不等式或等式關(guān)系。首先，需

明確函數(shù)在給定條件下的最值形式（如最大值、最小值等于某值）。然后，通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)

性，找到可能的極值點，并結(jié)合定義域邊界點，確定最值的具體位置。最后，將最值條件轉(zhuǎn)化為關(guān)

于參數(shù)的方程或不等式，求解得到參數(shù)的取值范圍。此題型考察函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及不等式求解

能力。

19.若函數(shù)〃x）=2x+g+31iu在（a,2-3a）內(nèi)有最小值，則實數(shù)。的取值范圍是.

20.（2024.廣西南寧?一模）已知函數(shù)/（"=（尤-l）e'+加的最小值為則實數(shù)。的取值范圍

為.

【鞏固練習(xí)1]己知=在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)%的