第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式[知識(shí)網(wǎng)絡(luò)][命題方向]1．集合是高考的必考內(nèi)容，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，試題較為簡(jiǎn)單，屬于送分題，命題的熱點(diǎn)為集合的基本運(yùn)算，常結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行考查．2．高考對(duì)常用邏輯用語(yǔ)的考查涉及的知識(shí)點(diǎn)較廣，主要以其他知識(shí)為背景考查充分條件、必要條件的判斷，全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題的否定，題目難度中等或偏下，以選擇題或填空題為主．3．高考在不等式部分的命題點(diǎn)有：(1)不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，不等式常與函數(shù)相結(jié)合；(2)不等式的解法，常與集合的基本運(yùn)算相結(jié)合；(3)利用基本不等式求最值、證明不等式等．難度一般不大，常與其他知識(shí)相結(jié)合．探究1(人教A版必修第一冊(cè)P11、P12)下列關(guān)系式成立嗎？(1)A∪A＝A；(2)A∪?＝A；(3)A∩A＝A；(4)A∩?＝?._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究2(人教A版必修第一冊(cè)P18)例1中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件，即“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”．這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個(gè)不同的充分條件嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究3(人教A版必修第一冊(cè)P39)如圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客．你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2021·浙江卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明．弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示)．若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別是3，4，記大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝________．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究4(人教A版必修第一冊(cè)P45)如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC＝a，BC＝b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(多選)(2024·泰州模考)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題，這種方法是西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)交半圓于D，連接OD，AD，BD，過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線(xiàn)，垂足為E.則利用該圖形可以完成的證明為()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab) B．a(chǎn)2＋b2≥2abC.eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b)) D.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\f(a＋b,2)典題1(人教A版必修第一冊(cè)P9習(xí)題1.2T4)在平面直角坐標(biāo)系中，集合C＝{(x，y)|y＝x}表示直線(xiàn)y＝x，從這個(gè)角度看，集合D＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）|\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))表示什么？集合C，D之間有什么關(guān)系？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題2(人教A版必修第一冊(cè)P9習(xí)題1.2T5)(1)設(shè)a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，求a－b的值；(2)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題3(人教A版必修第一冊(cè)P13例6)設(shè)全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是銳角三角形}，B＝{x|x是鈍角三角形}，求A∩B，?U(A∪B)．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，則?U(M∪N)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．?點(diǎn)評(píng)本題主要考查集合的并集與補(bǔ)集運(yùn)算，與教材例題角度相同，只不過(guò)換了用字母表示的集合．典題4(人教A版必修第一冊(cè)P14習(xí)題1.3T1)集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．{2}點(diǎn)評(píng)本題主要考查集合的交集運(yùn)算，與教材習(xí)題的考查角度完全相同，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題一定要注意不等式中端點(diǎn)的取舍．典題5(人教A版必修第一冊(cè)P14習(xí)題1.3T5)設(shè)集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，求A∪B，A∩B._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題6(人教A版必修第一冊(cè)P14習(xí)題1.3T6)已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩(?UB)＝{1，3，5，7}，試求集合B._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題7(人教A版必修第一冊(cè)P22習(xí)題1.4T2)在下列各題中，判斷p是q的什么條件(請(qǐng)用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答)：(1)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等邊三角形；(2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根，q：b2－4ac≥0；(3)p：a∈P∩Q，q：a∈P；(4)p：a∈P∪Q，q：a∈P；(5)p：x＞y，q：x2＞y2._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件點(diǎn)評(píng)本題主要考查利用充分、必要條件的意義判斷命題間的充分、必要性，與教材習(xí)題角度完全一致，且難度小于教材習(xí)題．典題8(人教A版必修第一冊(cè)P23習(xí)題1.4T6)設(shè)a，b，c分別是△ABC的三條邊，且a≤b≤c.我們知道，如果△ABC為直角三角形，那么有a2＋b2＝c2(勾股定理)．反過(guò)來(lái)，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC為直角三角形(勾股定理的逆定理)．由此可知，△ABC為直角三角形的充要條件是a2＋b2＝c2.請(qǐng)利用邊長(zhǎng)a，b，c分別給出△ABC為銳角三角形和鈍角三角形的一個(gè)充要條件，并證明．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題9(人教A版必修第一冊(cè)P31例5)寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷真假：(1)任意兩個(gè)等邊三角形都相似；(2)?x∈R，x2－x＋1＝0.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題10(人教A版必修第一冊(cè)P35復(fù)習(xí)參考題1T8)已知集合A＝{(x，y)|2x－y＝0}，B＝{(x，y)|3x＋y＝0}，C＝{(x，y)|2x－y＝3}，求A∩B，A∩C，并解釋它們的幾何意義．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題11(人教A版必修第一冊(cè)P46例3)(1)用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？(2)用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典題12(人教A版必修第一冊(cè)P46練習(xí)T2)已知x，y都是正數(shù)，且x≠y，求證：(1)eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＞2；(2)eq\f(2xy,x＋y)＜eq\r(xy)._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________