九年級（上）期末數(shù)學試卷1（北師大版）

一.選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要

求，答案涂在答題卡上）.

1.（3分）一元二次方程W=2x的根是（）

A.0B.2C.0和2D.0和-2

2.（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形

3.（3分）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）

1

■

■

■

■

4.（3分）下列說法中，錯誤的是（）

A.菱形的對角線互相垂直

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.矩形的四個內(nèi)角都相等

D.四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形

5.（3分）已知△ABCs/kDER相似比為2,且△ABC的面積為16,則△OEF的面積為（）

A.32B.8C.4D.16

6.（3分）一元二次方程y2-〉—搭=0配方后可化為（）

A.（y+分2=1B.（>一今2=1c.（y+寺）2=,D.（y-卞

7.（3分）若點A（-1,yi）,B（2,”），C（3,"）在反比例函數(shù)y=的圖象上，則yi，”，”的大

小關系是（）

A.y\>yi>y^B.yi>y3>y\C.y\>y3>yiD.y^>yi>y\

第1頁（共30頁）

8.（3分）如圖，在△ABC中，NC=90°,則下列各式中正確的是（）

A.c=b*sinBB./?=(??sinBC.a—b9tanBD.Z?=c*tanB

9.（3分）如圖，在平行四邊形ABC。中,點方是AO上的點，AF=2FD,直線3/交AC于點互交CD

)

23

A.-B.-C.一D.-

2334

10.（3分）二次函數(shù)丁=〃/+法+。（〃W0）的對稱軸是直線％=2,圖象如圖所示，下面四個結論：①廿-4〃c

>0；②abc<0；?4a+b=0；@4a-2b+c>Q.其中正確結論的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

二.填空題（本大題4個小題，每小題4分，共16分）

11.（4分）若關于x的一元二次方程f+2x-k=0無實數(shù)根，則上的取值范圍是.

12.（4分）在“拋擲正六面體”的試驗中，正六面體的六個面分別標有數(shù)字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，

在試驗次數(shù)很大時，數(shù)字“6”朝上的頻率穩(wěn)定在.

13.（4分）將拋物線y=-x?+l向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得到的拋物線的一

般式為.

第2頁（共30頁）

14.（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB為半徑作弧，交AD于點尸，再分別以點B,

1

斤為圓心，大于萬8尸為半徑作弧，兩弧父于點G,射線AG父BC于點E.若BF=8,AB=5,則AE的

長為.

三.解答題(本大題共6個小題，滿分54分)

1

15.(12分)(1)計算:|-5|-(IT-2021)°+2cos60°+(-)-1

(2)解方程：2(%-3)=3x(x-3).

%+2%2—2%

16.（6分）先化簡，再求值：（口一月有)其中x=4tan450+2sin60°.

第3頁（共30頁）

17.（8分）為了解疫情期間網(wǎng)絡學習的效果，某中學隨機抽取了部分學生進行調(diào)查.要求每位學生從“優(yōu)

秀”、“良好”、“一般”、“不好”四個等次中，選擇一項作為評價網(wǎng)絡學習的效果.現(xiàn)將調(diào)查結果繪制成

如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中所給的信息解答下列問題：

10冷

8O

6Q

44

2O

（1）這次活動共抽查了人；扇形統(tǒng)計圖中，學習效果“一般”所對應的圓心角度數(shù)為;

請將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（2）張老師在班上抽取了4名學生，其中學習效果“優(yōu)秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人,

若從這4人中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法，求抽取的2人學習效果全是“良好”的概率.

18.（8分）在數(shù)學實踐與綜合課上，某興趣小組同學用航拍無人機對某居民小區(qū)的一、二號樓進行測高實

踐.如圖為實踐時繪制的截面圖，無人機從地面的中點B垂直起飛到達點A處，測得一號樓頂部E

的俯角為55°,測得二號樓頂部F的俯角為37。，此時航拍無人機的高度為60米，已知一號樓的高CE

為20米，求二號樓的高。E（結果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)sin37°"0.60,cos37°?0.80,tan37°-0.75,

sin55°七0.82,cos55°^0.57,tan55°-1.43）

55八370

力

1

一

號

二

樓

-

C地面

第4頁（共30頁）

19.(10分)如圖，一次函數(shù)/=履+6的圖象與反比例函數(shù)>=亍的圖象相交于A(1,2),B(”,-1）兩

點.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)若點P是x軸上的點，的面積是4,求點尸的坐標.

20.(10分)如圖，點E在菱形ABCD的邊上滑動(不與A,B重合)，點尸在邊CB上，CFAE,DE

的延長線交CB的延長線于點G,DF的延長線交AB的延長線于點H.

(1)求證：DE=DF-,

(2)求證：AB2=AE-AH；

(3)若點E為邊A3的黃金分割點(AE〉EB),求證：BH=AE.

D

第5頁(共30頁)

四.填空題（每小題4分，共20分）

21.（4分）已知關于x的一元二次方程Q-1）/-2無+/-1=0有一個根為x=0,則々=.

22.（4分）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長都是1）中，△ABC的頂點都在小正方形的

23.（4分）從7,2,-3,4這四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)分別作為mb的值，得到反比例函數(shù)丫=第，

則這些反比例函數(shù)中，其圖象在二、四象限的概率是.

24.（4分）如圖，點B是反比例函數(shù)丫=釜（x>0）圖象上一點，過點B分別向坐標軸作垂線，垂足分別

為A,C.反比例函數(shù)y=W（x>0）的圖象經(jīng)過08的中點與AB,BC分別交于點E.連接DE

并延長交x軸于點F,則△BDF的面積是.

25.（4分）如圖，在6X6的正方形的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,已知RtZ\ABC是網(wǎng)格中的格點三

角形，則該網(wǎng)格中與RtAABC相似且面積最大的格點三角形的面積是,符合條件的格點三角形

第6頁（共30頁）

五.解答題（本大題有3個小題，共30分）

26.（8分）某水果商店銷售一種進價為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500

千克；若售價在50元/千克的基礎上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克.

（1）當月利潤為8000元時，每千克水果售價為多少元？

（2）當每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？月利潤的最大值是多少？

第7頁（共30頁）

27.（10分）ZVIBC中，AB=AC,ZABC=a,過點A作直線MN,使MN〃BC,點。在直線MN上（不

與點A重合），作射線8。，將射線2。繞點2順時針旋轉a后交直線AC于點E.

（1）如圖1,點O在射線AN上，a=60°,求證：AB+AD=AE；

（2）如圖2,點。在射線4V上，a=45°,線段AB,AD,AE之間又有何數(shù)量關系？寫出你的結論,

并證明.

(3)若a=30ZABE=15°,BC=4V3,請直接寫出線段A。的長

圖1圖2備用圖

第8頁（共30頁）

28.(12分)如圖，拋物線y=o?+bx+4(aWO)與x軸交于點A(-1,0)和點2(4,0),與y軸交于點

C,頂點為連接AC,BC,BC與拋物線的對稱軸/交于點E.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接PB,PC,若SAPBC=|SZMBC，求點尸的坐標；

(3)點N是對稱軸/右側拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點使得以點M,N,E為頂點的

三角形與△OBC相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由.

第9頁(共30頁)

九年級（上）期末數(shù)學試卷1（北師大版）

參考答案與試題解析

一.選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要

求，答案涂在答題卡上）.

1.（3分）一元二次方程/=2x的根是（)

A.0B.2C.0和2D.。和-2

【解答】解：移項得，?-2x=0,

因式分解得，X（X-2）=0,

解得，xi=0,X2=2,

故選：C.

2.（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形的是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形

【解答】解：A、B、C既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形;

。、不是軸對稱圖形，只是中心對稱圖形.

故選：D.

3.（3分）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）

【解答】解：從上面看是一個矩形,矩形的中間處有兩條縱向的實線，實線的兩旁有兩條縱向的虛線.

故選：A.

4.（3分）下列說法中，錯誤的是（)

A.菱形的對角線互相垂直

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.矩形的四個內(nèi)角都相等

D.四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形

【解答】解：A、???菱形的對角線互相垂直,

第10頁（共30頁）

，選項A不符合題意；

2、???對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，

，選項8符合題意；

C、?矩形的四個角都是直角，

；?矩形的四個內(nèi)角都相等，

，選項C不符合題意；

。、：四個內(nèi)角都相等的四邊形是四個角都是直角，

四個內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，

，選項D不符合題意；

故選：B.

5.（3分）已知△ABCs△/）￡/，相似比為2,且△ABC的面積為16,則△DEF的面積為（）

A.32B.8C.4D.16

【解答】解：:△ABCs相似比為2,

AABC與ADEF的面積比為4,

；△ABC的面積為16,

.?.△OEE的面積為：16x"=4.

故選：C.

6.（3分）一元二次方程*=0配方后可化為（）

A.（y+號）2=1B.（y—"=1C.（y+一=,D.（y—*

【解答】解：

J-y+*=i

（y一義）2=1

故選：B.

7.（3分）若點A（-1,yi）,B（2,y2）,C（3,”）在反比例函數(shù)y=-?的圖象上，則y\,yi,》的大

小關系是（）

A.y\>yi>y3B.j2>y3>yiC.y\>y?>>y2D.y3>yi>y\

第11頁（共30頁）

【解答】解：???點A(-1,V)、B(2,”)、C(3,”)在反比例函數(shù)y=的圖象上,

66

6---3-

23

XV-3<-2<6,

故選：C.

8.(3分)如圖，在△ABC中，NC=90°,則下列各式中正確的是()

A.c=b9sinBB.b=c9sinBC.a=b9tanBD.b=c9tanB

【解答】解：在中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,

b=c9sinB,b=c9sinB,a=b9tmA,b=a9tanB.

故選：B.

9.（3分）如圖，在平行四邊形ABC。中，點尸是A。上的點，AF=2FD,直線8/交AC于點E,交CD

3

D.-

4

【解答】解：由A/=2。/，可以假設=上則Ab=2Z,AD=3k,

四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,AD=BC=3k,

tAEAF2

??EC-BC-3’

.BEAE2

EG~EC~3

故選：C.

第12頁(共30頁)

10.（3分）二次函數(shù)y=〃/+/zx+c（〃W0）的對稱軸是直線x=2,圖象如圖所示，下面四個結論：①房-4QC

>0；②HcVO；③4〃+匕=0；④4〃-2。+°>0.其中正確結論的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：由圖象知，拋物線與x軸有兩個交點，

方程〃/+版+°=0有兩個不相等的實數(shù)根，

AZ?2-4。。>0,故①正確，

由圖象知，拋物線的對稱軸為直線x=2,

?_A-2

*,2a

4〃+Z?=0,

由圖象知，拋物線開口方向向下，

*.*4〃+Z?=0,

：.b>0,而拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，

Ac>0,

/.abc<0,故②③正確，

由圖象知，當工=-2時，yVO,

4a-2b+c<0,故④錯誤，

即正確的結論有3個，

故選：B.

二.填空題（本大題4個小題，每小題4分，共16分）

n.（4分）若關于%的一元二次方程/+2x-k=0無實數(shù)根，則〉的取值范圍是k<-1

第13頁（共30頁）

【解答】解：由題意可知：△=4+4左＜0,

：.k<-1,

故答案為：％＜-1

12.（4分）在“拋擲正六面體”的試驗中，正六面體的六個面分別標有數(shù)字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，

在試驗次數(shù)很大時，數(shù)字“6”朝上的頻率穩(wěn)定在-.

5

1

【解答】解：在試驗次數(shù)很大時，數(shù)字“6”朝上的頻率的變化趨勢接近的值是一.

6

,,1

故答案為t：-.

6

13.（4分）將拋物線y=-7+1向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得到的拋物線的一

般式為y=-/-2x-2.

【解答】解：將拋物線y=-W+1向左平移1個單位長度得到拋物線＞=-（x+1）2+1,

再向下平移2個單位得到拋物線；y=-（x+1）2+1-2,即y=-（x+1）2-\=--2x-2.

故答案為：y=-?-2x-2.

14.（4分）如圖，在平行四邊形A3CD中，以點4為圓心，為半徑作弧，交AD于點F,再分別以點8,

1

廠為圓心，大于-為半徑作弧，兩弧交于點G,射線AG交2C于點E.若8尸=8,AB=5,則AE的

2

長為6.

【解答】解：如圖，設AE交于點。，連接斯.

由作圖可知：AB=AF,AE1BF,

：.OB=OF,ZBAE=ZEAF,

：四邊形ABCD是平行四邊形,

第14頁（共30頁）

C.AD//BC,

：./EAF=/AEB,

：.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE^AF,

*：AF//BE,

???四邊形ABEF是平行四邊形，

*：AB=AF,

???四邊形A形尸是菱形，

：.OA=OEf08=0尸=4,

在RtzXAOB中，VZAOB=90°,

???OA=y/AB2-OB2=V52-42=3,

'.AE—2OA—6.

故答案為：6.

三.解答題(本大題共6個小題，滿分54分)

1

15.(12分)(1)計算：|-5|-(H-2021)°+2cos60°+(-)-1；

(2)解方程：2(x-3)=3%(x-3).

【解答】解：(1)原式=5-l+2x2+3

=5-1+1+3

二8；

(2)2(x-3)=3%(x-3)

(x-3)(2-3x)=0,

則x-3=0或2-3%=0,

解得:xi=3,X2=|.

2

X-2XV—44.

16.（6分）先化簡，再求值：（―-—------)+—,其中％=4tan450+2sin60°.

%2-4%+4x—乙

—■-%+2X2-2Xx—4

v

■川十口‘"十.%_2%2_4%+4，.2

C+2x(x-2\x-2

-x-2—(x-2)2

第15頁（共30頁）

x+2xv—2

=（----------）

x-2x-2%—4

2x-2

-%—2%—4

_2

當x=4tan45°+2sin60°=4X1+2X噂=4+百時，原式=―—=孕.

24+V3-43

17.（8分）為了解疫情期間網(wǎng)絡學習的效果，某中學隨機抽取了部分學生進行調(diào)查.要求每位學生從“優(yōu)

秀”、“良好”、“一般”、“不好”四個等次中，選擇一項作為評價網(wǎng)絡學習的效果.現(xiàn)將調(diào)查結果繪制成

如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中所給的信息解答下列問題:

尤秀良好一般不好

（1）這次活動共抽查了200人:扇形統(tǒng)計圖中，學習效果''一般”所對應的圓心角度數(shù)為108。；

請將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（2）張老師在班上抽取了4名學生，其中學習效果“優(yōu)秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人,

若從這4人中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法，求抽取的2人學習效果全是“良好”的概率.

【解答】解：（1）這次活動共抽查了804-40%=200（名），

扇形統(tǒng)計圖中，學習效果“一般”所對應的圓心角度數(shù)為360。x黑=108。，

“不好”的人數(shù)為200-80-40-60=20（名），

補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

02

80

60

4o

2O

故答案為：200、108°；

（2）把學習效果“優(yōu)秀”的記為4“良好”記為8,“一般”的記為C,

畫樹狀圖如圖：

第16頁（共30頁）

一開始7

zA\zB\zB\C

BBCABCABCABB

..?共有12個等可能的結果，抽取的2人學習效果全是“良好”的結果有2個，

21

抽取的2人學習效果全是“良好”的概率為一=

126

18.（8分）在數(shù)學實踐與綜合課上，某興趣小組同學用航拍無人機對某居民小區(qū)的一、二號樓進行測高實

踐.如圖為實踐時繪制的截面圖，無人機從地面C。的中點8垂直起飛到達點A處，測得一號樓頂部E

的俯角為55。，測得二號樓頂部P的俯角為37°,此時航拍無人機的高度為60米，已知一號樓的高CE

為20米，求二號樓的高DF.（結果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)sin37°?0.60,cos37°~0.80,tan37°-0.75,

sin55°^0.82,cos55°-0.57,tan55°仁1.43）

1

號

樓

解：過點E、尸分別作EALLAB,FNLAB,垂足分別為M、N,

1

號

樓

由題意得，EC=2Q,ZAEM=55°,ZAFN=31°,CB=DB=EM=FN,AB=6Q,

：.AM=AB-MB=60-20=40,

在RtAAEM中，

VtanZAEM=~

第17頁（共30頁）

40

：.EM=亡27.97,

tanZ-AEM-tan55°

在RtAAF2V中,

tanXAFN=

AN=tan37°XPN=0.75X27.97心20.98,

：.FD=NB=AB-AN=60-20.98心39,

答：二號樓的高度約為39米.

19.(10分)如圖，一次函數(shù)/=依+6的圖象與反比例函數(shù)y=亍的圖象相交于A(1,2),B(n,-1)兩

點.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)若點P是x軸上的點，△ABP的面積是4,求點尸的坐標.

【解答】解：⑴???反比例函數(shù)尸子的圖象過點A(1,2),B(n,-1),

m

???2o—-,

解得加=2,

即反比例函數(shù)的解析式為y=p

7

/.-1==-,解得〃=-2,

n

???點3(-2,-1),

???一次函數(shù)的圖象過點A(1,2),3(-2,-1),

.(k+b=2

Y—2k+b=-1'

即一次函數(shù)的解析式為y=x+l；

(2)設點P的坐標為(p,0),

:一次函數(shù)y=x+l,

第18頁(共30頁)

...當y=0時，x=-1,

的面積是4,點A(1,2),3(-2,-1),

.|p-(-l)|x[2-(-l)]

??一4，

2

解得〃1=一號.2=|，

5

即點尸的坐標為(-爭o)或.，o).

20.(10分)如圖，點E在菱形ABC。的邊AB上滑動(不與A,B重合)，點廠在邊CB上，CF=AE,DE

的延長線交CB的延長線于點G,DF的延長線交AB的延長線于點H.

(1)求證：DE=DF；

(2)求證：AB2=AE'AH；

(3)若點E為邊AB的黃金分割點(AE>EB),求證：BH=AE.

【解答】證明：(1)二?四邊形A3CZ)為菱形,

：.AB=BC=DA=DC,ZA=ZC,AD//BC,

在和中，

DA=DC

Z-A=Z-C,

AE=CF

：.ADAE^ADCF(SAS),

:.DE=DF；

(2)VADAE^ADCF,

：.ZADE=ACDF,

9：AB//CD,

：.NAHD=NCDF,

：.ZADE=NAHD,

???NA=NA,

???AADE^AAHD,

第19頁(共30頁)

.ADAE

??—,

AHAD

：.AD2^AE-AH,

：.AB2=AE'AH,

（3）?.?點E為邊4B的黃金分割點，AE>EB,

：.AE2=AB'EB,

.*.A￡2=AB?（AB-AE）=AB2-AB-AE,

'：AB2=AE'AH,

：.AE1=AE-AH-AB'AE,

:.AE=AH-AB=BH.

四.填空題（每小題4分，共20分）

21.（4分）已知關于x的一元二次方程（a-1）7-2尤+/-1=0有一個根為x=0,則a=-1

【解答】解：把x=0代入（a-1）/-2x+42-1=。得/-1=0,解得。=±1,

?：a-1W0,

??4=-1.

故答案為-1.

22.（4分）如圖，在4義4的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長都是1）中，△ABC的頂點都在小正方形的

4

頂點上，則sinZACB=-.

【解答】解：如圖，過點A作AHLBC于巴

在RtZXACH中，VAH=4,CH=3,

：.AC=7AH2+CH2=V42+32=5,

AJJ4

AsinZACH=^=J.

第20頁（共30頁）

、4

故答案為：--

23.（4分）從-1,2,-3,4這四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)分別作為mb的值，得到反比例函數(shù)y=（,

則這些反比例函數(shù)中，其圖象在二、四象限的概率是2.

-3-

【解答】解：畫樹狀圖得：

開始

a2-14-3

/4\/N/N/K

b-14-324-32-1-32-14

則共有12種等可能的結果，

?反比例函數(shù)中，圖象在二、四象限，

.?.有8種符合條件的結果，

：.P（圖象在二、四象限）=白=多

故答案為：—.

24.（4分）如圖，點8是反比例函數(shù)y=￥（尤>0）圖象上一點，過點8分別向坐標軸作垂線，垂足分別

JX

為A,C.反比例函數(shù)（x>0）的圖象經(jīng)過的中點與AB,BC分別交于點。，E.連接。E

9

并延長父x軸于點F,則△3。尸的面積是5.

【解答】解：設點3（s,力,則4=12,

???M是的中點，

一11

點M夫—0,

則k=^s*-t=*=3,

第21頁（共30頁）

連接如圖所示:

???R4，y軸，

J.BA//OF,

11Q

.,.△BDF的面積=4OBO的面積=SABOA-S^OAD=xl2-^x3=

9

故答案為：--

2

25.（4分）如圖，在6X6的正方形的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,已知Rt/XABC是網(wǎng)格中的格點三

角形，則該網(wǎng)格中與RtZ\ABC相似且面積最大的格點三角形的面積是一也符合條件的格點三角形共

【解答】解：在Rtz^ABC中，AC=LBC=2,

：.AB=V5,AC：BC=1：2,

...與RtZkABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1：2,

若該三角形最短邊長為4,則另一直角邊長為8,但在6X6網(wǎng)格圖形中，最長線段為6金，但此時畫出

的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點都在格點且長為8的線段，故最短直角邊長應小于4,

在圖中嘗試，可畫出EF=2V10,。尸=5近的三角形，

第22頁（共30頁）

V102V1O55/2!—

v—==V10,

，△ABCs^DFE,

：.ZDEF=ZC=9Q°,

此時△￡>￡尸的面積為：V1OX2V1O-2=1O,△OEP為面積最大的三角形，

RtZ\ABC的三邊為1：2：遙的直角三角形，

:相似，直角邊為1：2,

...直角邊最長應為VTU與2VIU,如圖中4個，

每旋轉90°又有4個，

.?.共4X4=16（個）.

故答案為：10；16.

五.解答題（本大題有3個小題，共30分）

26.（8分）某水果商店銷售一種進價為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500

千克；若售價在50元/千克的基礎上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克.

（1）當月利潤為8000元時，每千克水果售價為多少元？

（2）當每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？月利潤的最大值是多少？

【解答】解：（1）設每千克水果售價為x元，則每千克的銷售利潤為（尤-40）元，月銷售量為500-10

（x-50）=（1000-10%）千克，

依題意得：（x-40）（1000-10.r）=8000,

整理得：?-140x+4800=0,

解得：xi=60,X2=80.

答：每千克水果售價為60元或80元.

（2）設每千克水果售價為x元，獲得的月利潤為w元，則每千克的銷售利潤為（尤-40）元，月銷售量

為（1000-10x）千克，

依題意得：w=（x-40）（1000-10x）=-10?+1400x-40000=-10（x-70）2+9000.

V-10<0,

...當x=70時，w取得最大值，最大值為9000.

答：當每千克水果售價為70元時，獲得的月利潤最大，月利潤的最大值是9000元.

27.（10分）ZVIBC中，AB=AC,ZABC=a,過點A作直線MN,使MN〃BC,點D在直線MN上（不

與點A重合），作射線將射線BD繞點2順時針旋轉a后交直線AC于點E

第23頁（共30頁）

(1)如圖1,點。在射線AN上，a=60°,求證：AB+AD=AE；

(2)如圖2,點。在射線A7V上，a=45°,線段AB,AD,AE之間又有何數(shù)量關系？寫出你的結論，

并證明.

(3)若a=30°,ZABE=15°,BC=4V3,請直接寫出線段AD的長

圖1圖2備用圖

圖1

???當a=60°時，ZABC=ZDBE=60°,

???/ABD=NCBE,

又,.?AB=AC,

AAABC是等邊三角形，

：.AB=CB,ZACB=60°,

AZBCE=120°,

?:MN〃BC,

：.ZBA￡)=180°-ZABC=120°,

ZBAD=ZBCE,

:?△BMy^XBCE(SAS),

：.AD^CE,

：.AE^AC+CE^AB+AD；

第24頁(共30頁)

(2)結論：AE=AB+V2AD.

理由：如圖2中，當a=45°時，ZABC=ZDBE=45

圖2

，ZABD=ZCBE,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,ZBAC=90°,

...△ABC是等腰直角三角形，

：.BC=五AB,

?JMN//BC,

/.ZBAD=180°-ZABC=135°,

VZBCE=180°-ZACB=135°,

ZBAD=ZBCE,

:.△BADs^BCE,

.ADAB1

"CE~BC~yj2'

：.CE=五AD,

：.AE=AC+CE^AB+V2AD.

(3)由題可得，/ABC=/DBE=/BAD=30°,

分兩種情況:

①如圖所示，當點E在線段AC上時，過點A作AHLBC于H,過點。作。GLBC于G.

第25頁（共30頁）

/.ZABD=ZABE=ZEBC=15°,

：.ZDBG=45°,

'：AB=AC,AH±BC,

:.BH=CH=2娼,AH=BH?tan30°=2,AB=2AH=4,

'：MN//BC,DGLBC,AH±BC,

ZDGH=ZAHG=ZADG=9Q°,

四邊形AHGO是矩形，

:.DG=AH=2,AD=GH,

：.BG=DG=2,

:.AD=HG=BH-BG=2V3-2.

②如圖所示，當點E在CA的延長線上時,

過。作DH1AB于H,

,：ZDAH=30°,

：.AD=2DH,AH=y[3DH,

'：ZDBH=150+30°=45°,

:./DBH=NBDH=45°,

:.BH=DH,遺BH=DH=x,

'