能力深化提升類型一兩個計數原理【典例1】(1)從集合{1,2,3,…,10}中任意選出三個不同的數,使這三個數成等比數列,這樣的等比數列共有()A.3個 B.4個 C.6個 D.8個(2)如圖所示,要用4種顏色給四川、青海、西藏、云南四省(區)的地圖染色,每一省(區)一種顏色,只要求相鄰的省(區)不同色,則不同染色的方法有多少種?【解析】(1)選D.以1為首項的等比數列為1,2,4;1,3,9;以2為首項的等比數列為2,4,8;以4為首項的等比數列為4,6,9,共4個.把這四個數列的順序顛倒,又得到4個數列,故所求數列共有8個.(2)給四川染色有4種方法,給青海染色有3種方法,給西藏染色有2種方法,給云南染色有2種方法,根據分步乘法計數原理,不同的染色方法共有4×3×2×2=48(種).【方法總結】運用兩個計數原理解題時的三個關注點(1)運用分類加法計數原理時,按事件的性質進行分類,每類辦法中的任意一種方法都可以獨立完成這件事,分類必須滿足兩個條件:①類與類必須互斥(做到不重);②總類必須完備(保證不漏).(2)分步乘法計數原理在運用時,要確定好次序,并且每一步都是獨立,互不干擾的;還要注意元素是否可以重復選取.分步乘法計數原理的特征是按事件發生的連續過程分步,其中,每一個步驟中的任意一種方法只能完成這件事的一部分,幾個步驟依次完成,這件事才算完成,分步也必須滿足兩個條件:①步與步相互獨立,互不干擾;②步與步確保連續.(3)對于比較復雜的問題,可同時運用這兩個計數原理,借助列表、畫圖分析的方法來完成.【鞏固訓練】某單位職工義務獻血,在體檢合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.(1)從中任選1人去獻血,有多少種不同的選法?(2)從四種血型的人中各選1人去獻血,有多少種不同的選法?【解析】從O型血的人中選1人有28種不同的選法,從A型血的人中選1人有7種不同的選法,從B型血的人中選1人有9種不同的選法,從AB型血的人中選1人有3種不同的選法.(1)任選1人去獻血,即無論哪種血型的哪一個人,“任選1人去獻血”這件事情已完成,所以用分類加法計數原理,有N=28+7+9+3=47種不同的選法.(2)要從四種血型的人中各選1人,即要在每種血型的人中依次選出1人后,“各選1人去獻血”這件事情才完成,所以用分步乘法計數原理,有N=28×7×9×3=5292種不同的選法.【補償訓練】已知集合A={a1,a2,a3,a4},集合B={b1,b2},其中ai,bi(i=1,2,3,4,j=1,2)均為實數.(1)從集合A到集合B能構成多少個不同的映射?(2)能構成多少個以集合A為定義域,集合B為值域的不同函數?【解析】(1)因為集合A中的元素ai(i=1,2,3,4)與集合B中元素的對應方法都有2種,由分步乘法計數原理,構成A→B的映射有N=2×2×2×2=24=16個.(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均對應同一元素b1或b2的情形構不成以集合A為定義域,以集合B為值域的函數,這樣的映射有2個,所以構成以集合A為定義域,以集合B為值域的函數有N=162=14個.類型二排列組合問題【典例2】(1)(2015·上海高考)在報名的3名男教師和6名女教師中,選取5人參加義務獻血,要求男、女教師都有,則不同的選取方式的種數為________.(結果用數值表示)(2)從7名男生和5名女生中,選出5人,分別求符合下列條件的選法數.①A,B必須被選出;②至少有2名女生被選出;③讓選出的5人分別擔任體育委員、文娛委員等5種不同職務,但體育委員由男生擔任,文娛委員由女生擔任.【解析】(1)由題意可分男1,女4,男2,女3和男3,女2三種情況,可以共有C31C64答案:120(2)①除A,B選出外,從其他10人中再選3人,共有選法數為C10②按女生的選取情況分類:選2名女生3名男生;選3名女生2名男生;選4名女生1名男生;選5名女生.所有選法數為C52C73+C③選出1名男生擔任體育委員,再選出1名女生擔任文娛委員,剩下的在10人中任選3人擔任其他3個職務.由分步乘法計數原理可得到所有選法數為C71·C5【方法總結】解排列、組合應用題的解題策略(1)特殊元素優先安排的策略.(2)合理分類和準確分步的策略.(3)排列、組合混合問題先選后排的策略.(4)正難則反、等價轉化的策略.(5)相鄰問題捆綁處理的策略.(6)不相鄰問題插空處理的策略.(7)定序問題除法處理的策略.(8)分排問題直排處理的策略.(9)“小集團”排列問題中先整體后局部的策略.(10)構造模型的策略.簡單記成:合理分類,準確分步;特殊優先,一般在后;先取后排,間接排除;集團捆綁,間隔插空;抽象問題,構造模型.【鞏固訓練】在高三一班元旦晚會上,有6個演唱節目,4個舞蹈節目.(1)當4個舞蹈節目要排在一起時,有多少種不同的節目安排順序?(2)當要求每2個舞蹈節目之間至少安排1個演唱節目時,有多少種不同的節目安排順序?【解析】(1)第一步先將4個舞蹈節目捆綁起來,看成1個節目,與6個演唱節目一起排,有A77=5040種方法;第二步再松綁,給4個節目排序,有根據分步乘法計數原理,一共有5040×24=120960種.(2)第一步將6個演唱節目排成一列(如圖中的“□”),一共有A6×□×□×□×□×□×□×第二步,再將4個舞蹈節目排在一頭一尾或兩個節目中間(即圖中“×”的位置),這樣相當于7個“×”選4個來排,一共有A74=7×6×5根據分步乘法計數原理,一共有720×840=604800種.類型三二項式定理及其應用【典例3】(2017·杭州高二檢測)(1)若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2(a1+a3)2的值為()A.1 B.0 C.1 D.2(2)若(3x22x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0(x∈C),求①(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2(a1+a3+a5+a7+a9)2;②a2+a4a6+a8a10.【解析】(1)選C.在(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中,令x=1,得(2+3)4=a0+a1+a2+a3+a4,令x=1,得(2+3)4=a0a1+a2a3+a4.兩式相乘,得(2+3)4·(2+3)4=(a0+a1+a2+a3+a4)·(a0a1+a2a3+a4).所以(a0+a2+a4)2(a1+a3)2=(4+3)4=1.(2)①令x=1,得a0+a1+…+a10=25;令x=1,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)(a1+a3+a5+a7+a9)=65,兩式相乘,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2(a1+a3+a5+a7+a9)2=25×65=125.②令x=i,得a10+a9·i+a8a7·ia6+a5·i+a4a3·ia2+a1·i+a0=(22i)5=25(1+i)5=25[(1+i)2]2(1+i)=128+128i.整理得,(a10+a8a6+a4a2+a0)+(a9a7+a5a3+a1)·i=128+128i,故a10+a8a6+a4a2+a0=128.因為a0=1,所以a10+a8a6+a4a2=127.【方法總結】對于二項式定理的考查常有兩類問題(1)第一類,直接運用通項公式求特定項或解決與系數有關的問題.(2)第二類,需運用轉化思想化歸為用二項式定理來處理的問題.【鞏固訓練】(2017·臨沂高二檢測)若6x(1)求n的值及展開式中二項式系數最大的項.(2)此展開式中是否有常數項,為什么?【解析】(1)由展開式中第二、三、四項的二項式系數成等差數列,得2Cn2=Cn由于n=7為奇數,所以展開式中二項式系數最大的項為中間兩項,它們分別是T4=C736x416x3(2)由Tr+1=C7r6x7-r16令7-2r6=0得r=【補償訓練】在(x2x2)(1)求系數絕對值最大的項.(2)求二項式系數最大的項.(3)求系數最大的項和系數最小的項.【解析】Tr+1=C8r·(x)8r(2x2)r=(1)rC(1)設第r