第8節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布考試要求1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念，并進行簡單應(yīng)用.【知識梳理】1.伯努利試驗與二項分布(1)伯努利試驗只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.(2)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p).2.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).3.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，稱隨機變量X服從超幾何分布.4.正態(tài)分布(1)定義若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·eeq\s\up6(\f(－（x－μ）2,2σ2))，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0為參數(shù)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2).(2)正態(tài)曲線的特點①曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱.②曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).③當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.[常用結(jié)論與微點提醒]1.兩點分布是二項分布當(dāng)n＝1時的特殊情形.2.超幾何分布有時也記為X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq\f(nM,N)，D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n－1,N－1))).3.若X服從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為“1”解題.4.利用n重伯努利試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.【診斷自測】1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是2的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.()(2)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.()(3)n重伯努利試驗中各次試驗的結(jié)果必須相互獨立.()(4)正態(tài)分布是對于連續(xù)型隨機變量而言的.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2.(選修三P76練習(xí)1改編)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù)，則隨機變量X的均值E(X)＝()A.2 B.1 C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案A解析由題意可知，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，E(X)＝4×eq\f(1,2)＝2.3.(選修三P78例5改編)在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則P(X＝2)＝________.答案eq\f(3,10)解析由題意，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(3,10).4.(必修三P87T2改編)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，則c＝________.答案eq\f(4,3)解析隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，∴eq\f(2c－1＋c＋3,2)＝3，∴c＝eq\f(4,3).考點一二項分布例1(2024·常德模擬)某大學(xué)一個專業(yè)團隊為某專業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件，其中有A，B，C三款軟件投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用后，團隊調(diào)查了這個專業(yè)大一四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：班級一二三四人數(shù)3234(1)從這12人中隨機抽取2人，求這2人恰好來自同一班級的概率；(2)從這12名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習(xí)時間每人選擇一款軟件，其中選A，B兩款軟件學(xué)習(xí)的概率都是eq\f(1,6)，且他們選擇A，B，C任一款軟件都是相互獨立的，設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時間選軟件C的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)從這12人中隨機抽取2人，共有Ceq\o\al(2,12)＝66種可能情況，記“這2人恰好來自同一班級”為事件A，則事件A包含的可能情況有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＝3＋1＋3＋6＝13種，所以P(A)＝eq\f(13,66).(2)由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，因為選A，B兩款軟件學(xué)習(xí)的概率都是eq\f(1,6)，且他們選擇A，B，C任一款軟件都是相互獨立的，所以他們選擇C款軟件學(xué)習(xí)的概率是1－eq\f(1,6)－eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，所以這三名學(xué)生中下午自習(xí)時間選軟件C的人數(shù)服從二項分布ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，所以P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)＝eq\f(12,27)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)＝eq\f(8,27)，所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)所以E(ξ)＝3×eq\f(2,3)＝2.感悟提升判斷某隨機變量服從二項分布的關(guān)鍵點(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.訓(xùn)練1(2024·煙臺模擬)為了了解觀眾對某電視劇的評價，某機構(gòu)隨機抽取了10位觀眾對其打分(滿分為10分)，得到如下表格：觀眾序號12345678910評分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1(1)求這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從觀眾中隨機抽取3人對該電視劇進行評價，記抽取的3人中評分超過9.0的人數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.解(1)將這組數(shù)據(jù)從小到大進行排列，7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，因為75%×10＝7.5，所以第8個數(shù)據(jù)為所求，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.1.(2)樣本中評分超過9.0的有3個，所以評分超過9.0的概率(頻率)為0.3，依題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，且X～B(3，0.3)，則P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×0.73＝0.343，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.3×0.72＝0.441，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.32×0.7＝0.189，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×0.33＝0.027，所以X的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027所以E(X)＝3×0.3＝0.9，D(X)＝3×0.3×0.7＝0.63.考點二超幾何分布例2(2024·宿州模擬)宿州號稱“中國云都”，擁有華東最大的云計算數(shù)據(jù)中心、CG動畫集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟南之后的全國第5家量子通信節(jié)點城市.為了統(tǒng)計智算中心的算力，現(xiàn)從全市n個大型機房和6個小型機房中隨機抽取若干機房進行算力分析，若一次抽取2個機房，全是小型機房的概率為eq\f(1,3).(1)求n的值；(2)若一次抽取3個機房，假設(shè)抽取的小型機房的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)由題知，共有n＋6個機房，抽取2個機房有Ceq\o\al(2,n＋6)種方法，其中全是小機房有Ceq\o\al(2,6)種方法，因此全是小機房的概率為p＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,n＋6))＝eq\f(1,3)，解得n＝4.即n的值為4.(2)X的可能取值為0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(4,120)＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(36,120)＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(60,120)＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(20,120)＝eq\f(1,6).則隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(9,5).感悟提升1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.訓(xùn)練2(2024·鄭州調(diào)研)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列，并求E(X).解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值為0，1，2，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).綜上，X的分布列為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)所以E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).考點三正態(tài)分布例3(1)(多選)(2024·哈爾濱模擬)某市有甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值B.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值C.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性答案AC解析X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故A正確，B錯誤；甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D錯誤.(2)(多選)(2024·泉州部分學(xué)校聯(lián)考)已知某地區(qū)有20000名同學(xué)參加某次模擬考試(滿分為150分)，其中數(shù)學(xué)考試成績X近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(σ>0)，則下列說法正確的是()(參考數(shù)據(jù)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A.根據(jù)以上數(shù)據(jù)無法估計本次數(shù)學(xué)考試的平均分B.σ的值越大，成績不低于100分的人數(shù)越多C.若σ＝15，則這次考試分?jǐn)?shù)高于120的約有46人D.從參加考試的同學(xué)中任取3人，至少有2人的分?jǐn)?shù)超過90的概率為eq\f(1,2)答案BD解析對于A，由題意知，數(shù)學(xué)考試成績X的平均值為90，故A錯誤；對于B，根據(jù)N(90，σ2)(σ>0)中標(biāo)準(zhǔn)差的意義，σ的值越大則高于90分低于100分的人數(shù)越少，所以成績不低于100分的人數(shù)越多，故B正確；對于C，當(dāng)σ＝15時，P(X>120)＝eq\f(1,2)[1－P(60≤X≤120)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275，故這次考試分?jǐn)?shù)高于120的約有20000×0.02275＝455(人)，故C錯誤；對于D，由數(shù)學(xué)考試成績X近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(σ>0)知P(X>90)＝eq\f(1,2)，由n重伯努利試驗可知，從參加考試的同學(xué)中任取3人，至少有2人的分?jǐn)?shù)超過90的概率為Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2)，故D正確.感悟提升解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點(1)對稱軸為x＝μ.(2)標(biāo)準(zhǔn)差為σ.(3)分布區(qū)間.由μ，σ利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.訓(xùn)練3(1)(2024·棗莊模擬)某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試.經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布N(72，82)，則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為()參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.A.455 B.2718 C.6346 D.9545答案B解析由題意可知，μ＝72，σ＝8，P(80≤X≤88)＝P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359，則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為0.1359×20000＝2718.(2)(多選)(2024·常州調(diào)研)已知在數(shù)學(xué)測驗中，某校學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(110，81)，其中90分為及格線，則下列結(jié)論中正確的有(附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545)()A.該校學(xué)生成績的期望為110B.該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為9C.該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為81D.該校學(xué)生成績及格率超過95%答案ABD解析因為該校學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(110，81)，則μ＝110，方差σ2＝81，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝9，因為μ－2σ＝110－2×9＝92，P(ξ≥90)>P(ξ>92)＝P(ξ>μ－2σ)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×0.9545＝0.97725>0.95，所以該校學(xué)生成績的期望為110，標(biāo)準(zhǔn)差為9，該校學(xué)生成績及格率超過95%.所以A，B，D正確，C錯誤.二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系1.教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布，學(xué)生對這兩種模型的定義不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認(rèn)為是超幾何分布，事實上，超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別.2.超幾何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不獨立，二項分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互獨立.當(dāng)超幾何分布所對應(yīng)的總體數(shù)量很大時可以近似地看作二項分布.例1寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？(1)X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù).(2)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件數(shù)為X2.(3)有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X3(N－M＞n＞0，且M≥n).解(1)X1的分布列為X1012…nPCeq\o\al(0,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)Ceq\o\al(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－1)Ceq\o\al(2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－2)…Ceq\o\al(n,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n)X1服從二項分布，即X1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3))).(2)X2的分布列為X2012…nPeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\s\up12(n)Ceq\o\al(1,n)eq\f(M,N)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\s\up12(n－1)Ceq\o\al(2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(M,N)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\s\up12(n－2)…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(M,N)))eq\s\up12(n)X2服從二項分布，即X2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(M,N))).(3)X3的分布列為X301…k…nPeq\f(Ceq\o\al(n,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(n,M),Ceq\o\al(n,N))X3服從超幾何分布.例2為慶祝建軍節(jié)的到來，某校舉行“強國強軍”知識競賽.該校某班經(jīng)過層層篩選，還有最后一個參賽名額要在A，B兩名學(xué)生中產(chǎn)生，該班委設(shè)計了一個選拔方案：A，B兩名學(xué)生各自從6個問題中隨機抽取3個問題作答.已知這6個問題中，學(xué)生A能正確回答其中的4個問題，而學(xué)生B能正確回答每個問題的概率均為eq\f(2,3).A，B兩名學(xué)生對每個問題回答正確與否都是相互獨立的.(1)分別求A，B兩名學(xué)生恰好答對2個問題的概率；(2)設(shè)A答對的題數(shù)為X，B答對的題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生？請說明理由.解(1)由題意，知A恰好答對2個問題的概率為P1＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，B恰好答對2個問題的概率為P2＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)＝eq\f(4,9).(2)X的可能取值為1，2，3，則P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)；P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)；P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(0,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).所以E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2，D(X)＝(1－2)2×eq\f(1,5)＋(2－2)2×eq\f(3,5)＋(3－2)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).易知Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，所以E(Y)＝3×eq\f(2,3)＝2，D(Y)＝3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).因為E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，所以A與B答題的平均水平相當(dāng)，但A比B更穩(wěn)定.所以選擇學(xué)生A.訓(xùn)練某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.解(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件).(2)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0，1，2，X服從超幾何分布.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,28),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(63,130)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,12)Ceq\o\al(1,28),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,12),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(11,130)，∴X的分布列為X012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)(3)根據(jù)樣本估計總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為eq\f(12,40)＝eq\f(3,10).從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2重伯努利試驗，質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0，1，2，且Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，P(Y＝k)＝Ceq\o\al(k,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)))eq\s\up12(2－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(k)，k＝0，1，2.所以P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(49,100)，P(Y＝1)＝Ceq\o\al(1,2)·eq\f(3,10)·eq\f(7,10)＝eq\f(21,50)，P(Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,100).∴Y的分布列為Y012Peq\f(49,100)eq\f(21,50)eq\f(9,100)【A級基礎(chǔ)鞏固】1.若隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，則P(X＝3)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(40,243) C.eq\f(10,27) D.eq\f(3,5)答案B解析隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，則P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(40,243).2.(2024·湖州質(zhì)檢)設(shè)隨機變量X～N(μ，σ2)，且P(X≥a)＝0.5，P(X<b)＝3P(X≥b)，則P(X≤2a－b)＝()A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.75答案A解析由已知得a＝μ，P(X<b)＝1－P(X≥b)，P(X≥b)＝0.25，故由正態(tài)曲線的對稱性可得P(X≤2a－b)＝P(X≥b)＝0.25.3.(2024·長沙調(diào)研)已知隨機變量X，Y分別滿足X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，且E(X)＝E(Y)，若P(Y≥3)＝eq\f(1,2)，則p＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3) C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)答案C解析由Y～N(μ，σ2)和P(Y≥3)＝eq\f(1,2)得μ＝3，所以E(X)＝E(Y)＝3，又X～B(8，p)，所以E(X)＝8p＝3，所以p＝eq\f(3,8).4.(多選)(2024·張家口模擬)袋子中有2個黑球，1個白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X，則()A.X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3))) B.P(X＝2)＝eq\f(8,81)C.E(X)＝eq\f(8,3) D.D(X)＝eq\f(8,9)答案ACD解析從袋子中有放回地隨機取球4次，則每次取球互不影響，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球記1分，取4次球的總分?jǐn)?shù)，即為取到黑球的個數(shù)，所以隨機變量X服從二項分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，故A正確；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27)，故B錯誤；因為X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，所以E(X)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，故C正確；D(X)＝4×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,9)，故D正確.5.若隨機變量X～N(1，σ2)，且正態(tài)分布N(1，σ2)的正態(tài)密度曲線如圖所示，則下列選項中不可以表示圖中陰影部分面積的是()A.eq\f(1,2)－P(X≤0)B.eq\f(1,2)－P(X≥2)C.eq\f(1,2)P(X≤2)－eq\f(1,2)P(X≤0)D.eq\f(1,2)－P(1≤X≤2)答案D解析根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可知，正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x＝1對稱，所以題圖中陰影部分的面積為eq\f(1,2)－P(X≤0)，A正確；根據(jù)對稱性，P(X≤0)＝P(X≥2)，B正確；陰影部分的面積也可以表示為eq\f(P（X≤2）－P（X≤0）,2)，C正確；陰影部分的面積也可以表示為P(0≤X≤1)，而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正確.6.(多選)(2024·成都段測)袋中有6個大小相同的黑球，編號分別為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號分別為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是()A.取出的最大號碼X服從超幾何分布B.取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布C.取出2個白球的概率為eq\f(1,14)D.若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為eq\f(1,14)答案BD解析對于A，根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號碼X不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故A錯誤；對于B，取出的黑球個數(shù)Y符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故B正確；對于C，取出2個白球的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，故C錯誤；對于D，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出四個黑球的總得分最大，總得分最大的概率為eq\f(Ceq\o\al(4,6),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,14)，故D正確.7.(多選)(2024·廈門模擬)李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36，騎自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，則()A.P(X>32)>P(Y>32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明計劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車D.李明計劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車答案BCD解析對于A，由條件可知X～N(30，62)，Y～N(34，22)，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32)，故A錯誤；對于B，P(X≤36)＝P(X≤30＋6)，P(Y≤36)＝P(Y≤34＋2)，所以P(X≤36)＝P(Y≤36)，故B正確；對于C，P(X≤34)>0.5＝P(Y≤34)，所以P(X≤34)>P(Y≤34)，故C正確；對于D，P(X≤40)<P(X<42)＝P(X<30＋12)，P(Y≤40)＝P(Y≤34＋6)，所以P(X≤40)<P(Y≤40)，故D正確.8.小趙計劃購買某種理財產(chǎn)品，設(shè)該產(chǎn)品每年的收益率為X，若P(X＞0)＝3P(X≤0)，則小趙購買該產(chǎn)品4年，恰好有2年是正收益的概率為________.答案eq\f(27,128)解析由題可知該產(chǎn)品每年為正收益的概率為eq\f(3,4)，則小趙購買該產(chǎn)品4年，恰好有2年是正收益的概率為Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(27,128).9.(2024·蘇北四市調(diào)研)某學(xué)校組織1200名學(xué)生進行“防疫知識測試”.測試后統(tǒng)計分析，學(xué)生的平均成績eq\o(x,\s\up6(－))＝80，方差s2＝25.學(xué)校要對成績高于90分的學(xué)生進行表彰.假設(shè)學(xué)生的測試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(其中μ近似為平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為方差s2)，則估計獲表彰的學(xué)生人數(shù)為________.(四舍五入，保留整數(shù))參考數(shù)據(jù)：隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.答案27解析由題意得μ＝80，σ＝5，μ＋2σ＝90，故P(X>90)＝P(X>μ＋2σ)≈eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×0.9545＝0.02275，所以1200×0.02275＝27.3≈27.10.一袋中有除顏色不同，其他都相同的2個白球，2個黃球，1個紅球，從中任意取出3個球，有黃球的概率是________，若ξ表示取到黃球的個數(shù)，則E(ξ)＝________.答案eq\f(9,10)eq\f(6,5)解析從中任意取出3個球，樣本點總數(shù)n＝Ceq\o\al(3,5)＝10，其中有黃球包含的樣本點個數(shù)m＝Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)＝9.所以有黃球的概率是P＝eq\f(m,n)＝eq\f(9,10).ξ表示取到黃球的個數(shù)，則ξ的所有可能取值為0，1，2，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以E(ξ)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(6,10)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(6,5).11.為普及空間站相關(guān)知識，某部門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?0個相互獨立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運行即為程序正確.每位參賽者從10個不同的題目中隨機選擇3個進行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個程序中，甲只能正確完成其中6個，乙正確完成每個程序的概率均為eq\f(3,5)，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；(2)求甲編寫程序正確的個數(shù)X的分布列和均值，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.解(1)乙正確完成2個程序或者3個程序則闖關(guān)成功，記乙闖關(guān)成功為事件A，則P(A)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(81,125).(2)由題意知，隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，故X的分布列為X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)所以E(X)＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(9,5).所以甲闖關(guān)成功的概率為eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，因為eq\f(81,125)<eq\f(2,3)，所以甲闖關(guān)成功的可能性更大.12.(2024·九江模擬)為保護學(xué)生視力，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部于2021年1月15日下發(fā)文件《關(guān)于加強中小學(xué)生手機管理工作的通知》，對中小學(xué)生的手機使用和管理作出了規(guī)定.某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)調(diào)查研究“中學(xué)生每日使用手機的時間”，從該校中隨機調(diào)查了100名學(xué)生，得到如下統(tǒng)計表：時間t/min[0，12)[12，24)[24，36)[36，48)[48，60)[60，72]人數(shù)1038321073(1)估計該校學(xué)生每日使用手機的時間的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)以頻率估計概率，若在該校學(xué)生中隨機挑選3人，記這3人每日使用手機的時間在[48，72]的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解(1)由題意得，該校100名學(xué)生每日使用手機的時間的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝6×eq\f(10,100)＋18×eq\f(38,100)＋30×eq\f(32,100)＋42×eq\f(10,100)＋54×eq\f(7,100)＋66×eq\f(3,100)＝eq\f(2700,100)＝27(min).所以估計該校學(xué)生每日使用手機的時間的平均數(shù)為27min.(2)由題意知該校學(xué)生每日使用手機的時間在[48，72]內(nèi)的概率估計為eq\f(10,100)＝eq\f(1,10)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,10)))，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))eq\s\up12(3)＝eq\f(729,1000)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(243,1000)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))eq\s\up12(1)＝eq\f(27,1000)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,1000)，所以X的分布列為X0123Peq\f(729,1000)eq\f(243,1000)eq\f(27,1000)eq\f(1,1000)所以E(X)＝0×eq\f(729,1000)＋1×eq\f(243,1000)＋2×eq\f(27,1000)＋3×eq\f(1,1000)＝eq\f(3,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或E（X）＝3×\f(1,10)＝\f(3,10))).【B級能力提升】13.(多選)(2024·武漢調(diào)研)已知離散型隨機變量X服從二項分布B(n，p)，其中n∈N*，0<p<1.記X為奇數(shù)的概率為a，X為偶數(shù)的概率為b，則下列說法中正確的有()A.a＋b＝1B.當(dāng)p＝eq\f(1,2)時，a＝bC.當(dāng)0<p<eq\f(1,2)時，a隨著n的增大而增大D.當(dāng)eq\f(1,2)<p<1時，a隨著n的增大而減小答案ABC解析對于A，由概率的基本性質(zhì)可知a＋b＝1，故A正確；對于B，當(dāng)p＝eq\f(1,2)時，離散型隨機變量X服從二項分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,2)))，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n