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文檔簡(jiǎn)介
重慶高三2025屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)(第一次)
數(shù)學(xué)試題
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)
選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1.已知集合"={—1,3},N={x|k)g3x41},則MN=()
A.0B.{-1}C.{3}D.{-1,3}
22
2.已知雙曲線3一斗=1的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為()
ab
A.qB.2C.y/3D.0
3.有4位同學(xué)各擲骰子5次(骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1,2,3,4,5,6),分別記錄自
己每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),四位同學(xué)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,并對(duì)自己的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述,可以
判斷一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1的是()
A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為4B.中位數(shù)為3,眾數(shù)為5
C.平均數(shù)為4,方差為1.2D.中位數(shù)為4,方差為1.6
4.己知a,b是空間中的兩條直線,a,/3是兩個(gè)平面,則()
A.若aua,bu0,貝ija涉是異面直線
B.若aua,bua、allB,bllB,則?!?/p>
C.若aua,bu,則W/萬(wàn)
D.若aLa,b工,則W/萬(wàn)
5.某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動(dòng)物體重W(單位:克)與心率/(單位:次/
分鐘)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(叱,1)?=1,2,…,8).根據(jù)生物學(xué)常識(shí)和散點(diǎn)圖得出了與W近似滿足
f=cWk(c#為參數(shù)),令%=lnW.,y=lnf,計(jì)算得到元=7,1=4.由最小二乘法得
到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為勺=R+6.8,則上的值為()
A.-0.4B.0.4C.-0.2D.0.2
6.在平行四邊形ABCD中,AE=—AB,AF=—AD,CE與BF相交于G,若AB=
43
AD=b,則AG=(
A.-ciH—bB.—ci-\—b
5555
c3rli427
C.-ciH—bD.-6ZH—b
7777
7.已知a>0,b>0,則使—+y>4成立的一個(gè)必要不充分條件是()
ab
A.a2+b2=lB.a+b^^ab
C.a+b=1D.-7H—
a2b2
8.已知函數(shù)y=f(%)滿足:①y=/(-l-x)是偶函數(shù);②在(3,-!]上為增函數(shù).若
玉<0,x2>0且xl+x2+2>0,則〃匹)與/(々)的大小關(guān)系是()
A.”西)>/伍)B.
C./(%)=/仇)D.無(wú)法確定
二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)
選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分,選對(duì)但不全的得部分分,有
選錯(cuò)的得0分.
9.已知函數(shù)〃x)=2sin10x+W(o>O)的最小正周期為,則()
A.f(O)=l
B.CL)=2
C.””的單調(diào)遞增區(qū)間為4++g(AeZ)
D.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移與個(gè)單位后,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)
6
的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象,貝ljg(x)=-2cosx
10.已知數(shù)列{an}滿足4=1,an=an+l(l+3an),nsN*,則()
A.數(shù)列是等差數(shù)列
B.an=3n-2
C.若。必2+〃2。3+…+〃〃。鹿+1=,貝|幾=16
n(3n-l)
D.%+%+/+,??++4=------------
試卷第2頁(yè),共4頁(yè)
11.已知拋物線C:V=4x的焦點(diǎn)為歹,過F作兩條互相垂直的直線卜%,4與C交
于P,。兩點(diǎn),L與C交于M,N兩點(diǎn),線段PQ的中點(diǎn)為G,線段的中點(diǎn)為
H,則()
A.當(dāng)直線4的斜率為舊時(shí),|P0=]
B.當(dāng)\PF\=2\QF\時(shí),|ACV|=36
C歸@+|肱v|的最小值為18
D.的面積最小值為4
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.
12.若苧包=。+6?。力為實(shí)數(shù),,為虛數(shù)單位),則4+6=.
13.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全,根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定:100ml血
液中酒精含量大于或者等于20mg且小于80/ng認(rèn)定為飲酒駕車,大于或者等于80mg
認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了
0.6777g/mZ.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少,那么他
至少經(jīng)過個(gè)小時(shí)后才能駕駛?(結(jié)果取整數(shù).參考數(shù)據(jù):lg3a0.48,lg7*().85)
14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{風(fēng)}滿足%=4+2%,若存在兩項(xiàng)%,an使得
=16q,貝I]1+n2的最小值為.
四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或
演算步驟.
2
15.在VA5c中,內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為%b,c,已知b2=ac,且cos5=1
「、上sinB,,_
(1)求.4.「的值;
sinAsinC
.3
⑵設(shè)BABC=3,求a+c的值.
16.已知函數(shù)f[x)=axt\n.x+bxt-c在x=e處的切線方程為>=48?3%一39?4-。,其
中a,b,C為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)試確定a,b的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
⑶若對(duì)任意x>0,不等式/(%)>-4c2恒成立,求c的取值范圍.
17.如圖,在斜二棱柱ABC—A4G中,±AC],BCJ-CCt,AC=BC=4,A在底面
ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)。.
⑴證明:BC1平面ACQA,;
(2)求二面角A-A8-C的正弦值.
22
18.橢圓C*+1=l(a>6>0)的離心率為其左焦點(diǎn)到點(diǎn)二(3,3)的距離為5.
⑴求橢圓C的方程;
⑵若直線/:>=履+加與橢圓C相交于A8(48不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過橢
圓C的左頂點(diǎn),求證:直線/過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
19.在某場(chǎng)乒乓球比賽中,甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入到了比賽決勝局,且在該局中的比分為10:10,
接下來(lái)比賽規(guī)則如下:兩人輪流各發(fā)一個(gè)球,誰(shuí)贏此球誰(shuí)就獲得1分,直到有一方得分超
過對(duì)方2分時(shí)即可獲得該局的勝利.已知甲先發(fā)球,且甲此球取勝的概率為0.6.比賽既是
實(shí)力的較量,也是心態(tài)的比拼,以后每球比賽,若上一球甲獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的
概率為0.8,若上一球乙獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為。(。<。<1).
⑴求甲以12:10的比分贏得比賽的概率;
(2)若要使甲運(yùn)動(dòng)員以后每球比賽獲勝的概率都大于0.6,求P的范圍;
(3)若〃=0.55,設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員在第n球比賽中獲勝的概率為匕,數(shù)列{2}滿足
32,nbn
b?=-4,求證:-…H-----<
2+14
(參考知識(shí):當(dāng)ce(O,l)時(shí),若“—田,則.)
試卷第4頁(yè),共4頁(yè)
1.c
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解對(duì)數(shù)不等式得集合N,再求McN即得.
【詳解】由log3%Vl可得。<xV3,故雙={彳|0<*43},
又“={-1,3},則MN={3}.
故選:C.
2.B
【分析】先判斷雙曲線的焦點(diǎn)位置,由漸近線方程得到勺=石,再求離心率即可.
a
22〃.
【詳解】因雙曲線3-當(dāng)=1的焦點(diǎn)在X軸上,由其漸近線方程>=氐,可得2=若,
aba
則雙曲線的禺心率為e=£=J"■=Jl+(")2=A/1+(A/3)2=2.
a\aVa
故選:B.
3.C
【分析】根據(jù)數(shù)字特征的定義,依次對(duì)選項(xiàng)分析判斷即可
【詳解】對(duì)于A,由于平均數(shù)為3,中位數(shù)為4,所以這5個(gè)數(shù)從小到大排列后,第3次是
4,當(dāng)?shù)?,4,5次為4,4,4時(shí),總和為12,第1,2次總和為3,故這5個(gè)數(shù)可以是1,2,4,4,4,
故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,由于中位數(shù)為3,眾數(shù)為5,所以這5個(gè)數(shù)從小到大排列后,第3次是3,則第4
和5次為5,所以這5個(gè)數(shù)可以是1,2,3,5,5,所以B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,由于平均數(shù)為4,方差為1.2,則5次總和為20,
y[(X]-4)2+(無(wú)2-4)2+佑-4)2+伍-4)2+(尤5-4)1=1.2,
若有一個(gè)數(shù)為1,取士=1,則值一4)2+(毛-4)2+(匕-4)2+伍-4)2=-3,不合題意,則一
定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,故c正確;
對(duì)于D,由中位數(shù)為4,方差為1.6,所以這5個(gè)數(shù)從小到大排列后,第3次是4,平均數(shù)
最小值為2.8,
答案第1頁(yè),共14頁(yè)
若有一個(gè)數(shù)為1,取%=1,(1-X)2<8,(4-X)2<8,
若取平均數(shù)為3,則(1-3)2+(%-3)2+(4-3)2+(%-3)2+(%-3)2=8,
(x2—3)+(%—3)+(%5—3)=3,則超=2,%=%=4符合要求,這5個(gè)數(shù)為1,2,4,4,4,故D
錯(cuò)誤,
故選:C.
4.D
【分析】根據(jù)線面,線線位置關(guān)系逐選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A,若aua,bu/3,a/3=l,當(dāng)a〃/,b///時(shí),則”/力,所以。涉不是異面直
線,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,若aua,bua,allf3,blip,當(dāng)a(3=1,R/b〃/也滿足題意,不一定?!ㄋ?,故
B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,若aua,bu/3,all/3,則a//Z?或。涉為異面直線,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,若,根據(jù)線面垂直性質(zhì),則。,尸,?!ㄈf(wàn),故D正確;
故選:D.
5.A
【分析】根據(jù)回歸直線方程9=R+6.8必過樣本中心點(diǎn)G,G)求出心,即可求出%.
【詳解】因?yàn)?=cW",兩邊取對(duì)數(shù)可得ln/=lnc+HnW,
又玉=lnW;,y=lnf,
依題意回歸直線方程j=嬴+6.8必過樣本中心點(diǎn)(xJ),
所以4=74+6.8,解得】=-0.4,所以左=-0.4.
故選:A.
6.A
【分析】由民G,尸三點(diǎn)共線,則可設(shè)AG=xAB+(l-x)AE由C,G,E三點(diǎn)共線,則可設(shè)
AG=yAE+(\-y)AC,然后根據(jù)題意都用a,6表示,從而可求出工。的值,進(jìn)而可求得答
案
【詳解】
答案第2頁(yè),共14頁(yè)
B
因?yàn)槊馟,尸三點(diǎn)共線,所以可設(shè)AG=xAB+(l-x)Ab,
所以AG=xaH■——b,
因?yàn)镃,G,E三點(diǎn)共線,所以可設(shè)AG=yAE+(l-y)AC,
因?yàn)锳B=a,AD=b,所以AC=AB+AO=a+6,
a+(l-y)b,
21
所以+/,
故選:A.
7.D
【分析】根據(jù)給定條件,利用必要不充分條件的定義逐項(xiàng)分析判斷即得.
【詳解】對(duì)于A,令a=g,b=g,顯然有工+:24,但/+/片1,A不是;
23ab
對(duì)于B,當(dāng)〃>0,Z?>0時(shí),a+b>4ab<^—+—>4B不是;
abf
對(duì)于C,a=~,b=—,顯然有—H:24,但a+Z?wl,C不是;
23ab
J_+J_Q+J_
對(duì)于D,^-+->4,則〃/2金工
>4,即
ab22
I
反過來(lái),令a3=2,不等式與+3會(huì)成立,m-+7=3.5<4,D是.
3abab
故選:D
8.A
答案第3頁(yè),共14頁(yè)
【分析】根據(jù)y=〃T-x)是偶函數(shù),可得函數(shù)圖象關(guān)于%=-1對(duì)稱,敗v=f0)y=f0)在
[-L”)上為減函數(shù),討論玉兩種情況,分別利用單調(diào)性比較大小,即可得
答案.
【詳解】不妨設(shè)1(力=設(shè)(一1—上,
由F⑴是偶函數(shù),則P(-X)=P(X),即/(—l+X)=/(-l—X),
即函數(shù)y=/(“)的圖象關(guān)于x=—l對(duì)稱,且/(—2T)=/(X),
因?yàn)閥=/(久)在上為增函數(shù),所以y=/0)在上為減函數(shù),
因?yàn)椴?lt;0,%2>0,且%1+%2+2>0,所以一2-%2<%,
若占VT,則-2-%<%"I,則/(一2-巧)</(再),即/伉)</(%);
若-1<%<0,因?yàn)椋?gt;0,則苫2>占>-1,所以/(%)</(%);
綜上可得:/(芭)>/(馬).
故選:A.
9.ACD
【分析】由最小正周期為求得。,即可判斷選項(xiàng)B;計(jì)算/(0)即可判斷選項(xiàng)A;然后
利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可判斷選項(xiàng)C;由圖象的平移伸縮變換求解函數(shù)的解析式即可
判斷選項(xiàng)D.
【詳解】函數(shù)〃力=2$?8+£|(。>0)的最小正周期為|_,
所以空=[,解得。=4,故B錯(cuò)誤;
①2
所以/(x)=2si?4x+。,所以"0)=2sint=l,故A正確;
,兀?兀,兀2071kli冗ku
由---F2lai<4x+—<—+2lai,得——H<x<1,
26262122
所以〃元)的單調(diào)遞增區(qū)間為一尹當(dāng)令+^(八Z),故C正確;
將函數(shù)/(X)的圖象向右平移B個(gè)單位后,得到
6
7C“4717cle7lA入“
+—=2sin4x----F—=2sin4x——=-2cos4x,
,H6jI66jI2;
答案第4頁(yè),共14頁(yè)
再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍,得到g(x)=-2cosx,故D正確;
故選:ACD.
10.AC
【分析】由為=%包(1+3?!埃﹥蛇呁瑫r(shí)取倒數(shù)即可證明是等差數(shù)列,判斷選項(xiàng)A;從
而得到。"的通項(xiàng)公式,即可判斷選項(xiàng)B;由弓出+-+裂項(xiàng)相消即可求解
〃判斷選項(xiàng)C;由是等差數(shù)列,其前〃項(xiàng)和為“3;一1),即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】因?yàn)?=。用(1+3%)=。.+3“必用,所以安乎=3,
UnUn+\
即'--'-=3,所以[工]是以'=1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,故A正確;
%+i%[an\%
—=l+3(?-l)=3n-2,所以4=丁二,故B錯(cuò)誤;
an3〃一2
111
若%%+%%+…++訪+…+(3〃_2)(3“+1)
l
=lLl+l_l+...+_________M=U1_一M=—=-
3|_447(3/1-2)(3/7+l)J31(3n+l)J3〃+149)
所以“=16,故C正確;
11111”(1+3/Z-2)72(3/2-1)
-----1-------1------F...H---------1-----------------------------=---------------故D錯(cuò)誤;
%a2a3an-\凡22
故選:AC.
11.ABD
【分析】設(shè)直線4和4的方程,與拋物線方程聯(lián)立,再利用焦半徑公式求解弦長(zhǎng),結(jié)合基本
不等式判斷ABC,利用兩點(diǎn)求斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程,求解直線恒過定點(diǎn),將面
積分割,結(jié)合韋達(dá)定理,再利用基本不等式求解最值判斷D.
【詳解】對(duì)于A,由題意得以1,0),尸&,%),Q(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),
當(dāng)直線乙的斜率為四時(shí),直線乙方程為丁=石(*-1),
fy=y/3(x-l)10
由V”2,可得3/一10x+3=0,貝!)X1+%=-7,
=4x3
答案第5頁(yè),共14頁(yè)
所以|尸0=|尸尸|+1。尸|=%+1+%+1=$+z+2=+2=,A正確;
對(duì)于B,設(shè)直線4方程為x=2y+i,則6方程為x=-'y+i,
m
?[x=my+1c
聯(lián)立直線4方程與拋物線方程2,得/一47町-4=0.
[y=4x
則乂+%=4m①,%%=-4②,同理為+以=-△,y3y4=-4,又|「尸|=2|。同,
m
所以%=-2%,結(jié)合①②可得/=:,所以
O
年|=鼻+匕+2=廿(%+%)+2+2=白+4=>4=36,R正確
8
對(duì)于C,\MN\=X+X+2=(%+%)+2+2=—z-+4,
34mm
|PQ|=玉+々+2=機(jī)(石+々)+2+2=4機(jī)2+4,
2
所以|P0+MM=4療+4+3+4=4m2+A+8>2L/i-3+8=16,
mVm
當(dāng)且僅當(dāng)4%2=3,即加=±1時(shí)等號(hào)成立,所以|尸。|+|加用的最小值為16,故C錯(cuò)誤;
m
22
對(duì)于D,由B知,yG=%%=2m,%=rnyG+1=2m+1,G(2m+1,2m),
%+%2112[〃
?如=---=一,XH=——%+1=丁+1,”
2mmm
c2
2m+—
所以直線GH:y-2m=(x-2m2-l),
令y=0得尤=3,所以直線GH恒過定點(diǎn)A(3,0);
所以sFGH=7忻小|兀-%|=尻-詞=2/〃+—=\2m\+—>4,
2mm
當(dāng)且僅當(dāng)加=±1時(shí),等號(hào)成立.故D正確;
故選:ABD
答案第6頁(yè),共14頁(yè)
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:1.直線與圓錐曲線相交問題時(shí),有時(shí)需要考查斜率不存在和存在兩種情
況,斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題;2.一般涉及
三角形面積問題時(shí),采用面積分割法,結(jié)合韋達(dá)定理,利用基本不等式法求解范圍或最值.
12.3
【詳解】因?yàn)椤?瓦,所以3+初=(a+4)(1—。=。+6+。一。)九又因?yàn)槎紴閷?shí)數(shù),
1—i
Q+Z?=3,。=0,
故由復(fù)數(shù)的相等的充要條件得{,,解得{八。所以a+6=3.
b-a=b,b=3,
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的相等即相關(guān)運(yùn)算.本題若首先對(duì)左邊的分母進(jìn)行復(fù)數(shù)有理化,也可
以求解,但較繁瑣一些.來(lái)年需注意復(fù)數(shù)的幾何意義,基本概念(共輾復(fù)數(shù)),基本運(yùn)算等的
考查.
13.4
【分析】設(shè)至少經(jīng)過〃個(gè)小時(shí)后才能駕駛,由題意有60x(1-30%)“<20,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)
得lg07<lgg,然后求解即可.
【詳解】設(shè)至少經(jīng)過〃個(gè)小時(shí)后才能駕駛,則有60x(1-30%)"<20,
即0.7”<;,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lg0.7"<lgg,即出g0.7<lg;,
lga加3T-lg3-048
因?yàn)閘g0.7<0,所以
lg0.7]lg7-lgl00.85-1
gTo
所以即至少經(jīng)過4個(gè)小時(shí)才能駕駛.
故答案為:4.
14.50
【分析】先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)整理%=4+2%可得公比9,再利用通項(xiàng)公式代入
答案第7頁(yè),共14頁(yè)
師中,可得出加與〃的關(guān)系,最后結(jié)合基本不等式即可求解。
【詳解】由題,因?yàn)椤?=4P,。5=",
q
所以。6,4=。6+2,%,
q
2
因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù),所以〃6>。,則4=1+—,解得9=2或q=T(舍去),
q
又^KT=16%,貝IjJq.2小1.4.21=16%,
a-..m+n-2口口m+n-2._,s
所以=2,,即-------=4,則加+〃=10,
所以蘇+/2?=5。,
當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=5時(shí),可得病+〃2的最小值為50.
故答案為:50
15.⑴乎
⑵叵
2
【分析】(1)先算出sinB的值,再利用正弦定理得sir?8=sinAsinC進(jìn)行化簡(jiǎn),然后得到
相應(yīng)的值;
3
⑵由BA."一]得到凡再由余弦定理,得到小,,從而得到HC.
2
【詳解】(1)由cos5=§,且0<5<兀,
又因?yàn)閆?2=ac,由正弦定理得sin?B=sinAsinC,
sinB_sinB_1_3y/5
sinAsinCsin2Bsin35
33
(2)因?yàn)锳4?3C=5,得QLCOS3=5,
99
所以QC=:,即。2=
44
由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB
71
所以得片十°2=',
4
答案第8頁(yè),共14頁(yè)
所以(Q++C2+2aC=—,
所以Q+C=.
2
16.⑴a=12,b=-3
(2)減區(qū)間為(。,1),增區(qū)間為(1,+8)
【分析】(1)求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)/(e)=48e3,以及切點(diǎn)處曲線的函數(shù)值與切線的
函數(shù)值相等列方程組求解即可.
(2)由(1)求出函數(shù)解析式,判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
(3)結(jié)合(2)求出/(x)的最小值,再解一元二次不等式求解即可.
【詳解】(1)函數(shù)/'(x)定義域?yàn)?。,+8),求導(dǎo)得
/'(%)=4辦inx+ax4?—+4bx3=d(4〃lnx+a+46),
x
因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ax4Inx+Zzx4-c在%=e處的切線方程為y=48e%一39e“-。,
所以/(e)=?e4lne+be,-c=ae4+Z?e4-c=48e3xe-39e4-c,
可得=9e,,化為a+Z?=9①,
由/(e)=48e3=>e3(4tzlne+di+4Z?),可得5〃+48=48②,
由①②解得〃=12/=—3,
所以a=12,Z?=—3.
(2)由(1)知jT(x)=48/inx(x>0),
當(dāng)0<x<l時(shí),f\x)<0,/(x)在(0,1)上為減函數(shù),
當(dāng)x>l時(shí),/?>0,/(%)在(1,+8)上為增函數(shù),
所以函數(shù)/(%)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8).
(3)由(1)/(x)=12x4lnx-3x4-c,
由(2)知,/(尤)在1=1處取得最小值/(D=—3—c,
3
因Vx>0,/(%)之一4(?恒成立,則—3—cN—4c2,解得。工一1或cNl,
所以C的取值范圍為,8,-.
答案第9頁(yè),共14頁(yè)
17.(1)證明見解析
【分析】(1)利用線面垂直的判定定理可得答案;
(2)取A8的中點(diǎn)E,設(shè)04=4(。>0),以。為原點(diǎn),£>瓦。仁£胤所在的直線分別為%y,z
軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)AC;-3二。求出。,求出平面AA12、平面ABC的一個(gè)法向
量,由二面角的向量求法可得答案.
【詳解】(1)因?yàn)锳QJ■平面ABC,BCu平面ABC,所以
又A41//CG,BCJ_.CC],所以BCJ.AA],
因?yàn)锳A[CA]B=A,AA[、ABu平面ACGA,
所以BC_L平面ACGA;
(2)
xB
取AB的中點(diǎn)E,連接。E,因?yàn)?。是AC的中點(diǎn),所以DE〃3C,
因?yàn)锽C_L平面ACGA,ACu平面ACC|A,所以3C_LAC,
可得DE1AC,設(shè)。4=。(。>°),
以。為原點(diǎn),DE,DC,DA,所在的直線分別為%Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則4(0,-2,0),B(4,2,0),C(0,2,0),Q(0,4,a),A(0,0,a),
AC1=(0,6,a),3A=(^4,-2,a),
因?yàn)锽ALAC],所以AC「54,=0,即一12+片=0,
解得/=12,a=26',a=-26舍去,
答案第10頁(yè),共14頁(yè)
AB=(4,4,0),BA=(-4,-2,2A/3),BC=(^,0,0),
設(shè)〃=(占,加4)為平面胡2的一個(gè)法向量,
AB?〃二0即,+“。
則<,令芯=3,則%=-3,Z|=6,
BA^.〃=0-4冗]-2必+2A/3Z]—0
設(shè)加=(馬,上*2)為ABC的一個(gè)法向量,
BCm=04%2=0
則,即二「2必+2禺=0'令必",貝—6,
B\'m=0
所以加=(0,3,抬),
n-m-9+377
所以cosn,m=
\n\-\m\V9+9+3XV9+3-7
設(shè)二面角4_48-(?的平面角為e(o<^<180),
所以二面角4-42-(^的正弦值為31.
7
2
18.⑴土尤2+匕V=1
43
⑵證明見解析,[-不°]
【分析】(1)由左焦點(diǎn)到P點(diǎn)的距離及離心率可求解;
(2)聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理可得占3和%%,把£>4£>5=0用%%和%%表
示化簡(jiǎn)可得出答案.
【詳解】(1)設(shè)左焦點(diǎn)耳
???|Pf;|=^(-C-3)2+(O-3)2=5,解得c=l,
C11
e=-=—=-,:.a=2,由/=/一。2=3,
aa2
答案第11頁(yè),共14頁(yè)
22
...橢圓方程為土+工=1.
43
由(1)可知橢圓左頂點(diǎn)。(-2,0),
設(shè)3(々,%),:以AB為直徑的圓過。(-2,0),
二即AA_LD8,-'-DADB=Q>
DA=(^xl+2,yl),。3=(犬2+2,%),
ZM-D5=(x,+2)(xj+2)+%%=+2(玉+w)+4+%%=0①
聯(lián)立直線與橢圓方程:
T+4^-12,整理得@+軟?卜?+8tnkx+4(病-3)=0
.Smk4(m2-3)
.f+%=-中2=^r'
1
yxy2=(煙+加)(區(qū)2+rri)-kxlx2/+x2)+rrr,
22l
4k(m-3)8mhmk23m-12kz
--二---------+rrr=--------------,代入到①
44?+34k2+34k2+3
2
4(m-38mk.3m2—11k2
DADB=^—,_—、——+4+--------------
4左2+34左2+34左2+3
.4m2-12-16mk+16k2+12+3m2-12k2
?,Z=0n,
4左2+3
?**7m2-16mk+4k2=0,即(Jm-2k)(m-2k)=0,
2、
m=—k或m=2k,
7
當(dāng)機(jī)=:上時(shí),/:y=丘+[左=左恒過
當(dāng)根=2左時(shí),,:y=丘+2左=%(犬+2),?,?/恒過(—2,0),但(-2,0)為橢圓左頂點(diǎn),不符題意,
答案第12頁(yè),共14頁(yè)
故舍去,
?e?/恒過,.
19.(1)0.48;
(2)0.3<p<l;
(3)證明見解析.
【分析】(1)根據(jù)條件概率公式即可得到答案;
(2)記甲運(yùn)動(dòng)員在第〃球比賽中獲勝的概率為匕,可推得
匕=(0.8-)嚴(yán)(0.6--^―)+—^―,再對(duì)P分類討論即得;
p+0.2p+0.2
⑶根據(jù)⑵得到勺=-4(:尸+*則£=4*4,化簡(jiǎn)計(jì)算白,最后利用累加法
134134+1
和等比數(shù)列求和公式即可得證.
【詳解】(1)記第一球比賽甲運(yùn)動(dòng)員獲勝的事件為
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