重慶高三2025屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)（第一次）

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知集合"={—1,3},N={x|k）g3x41},則MN=（）

A.0B.{-1}C.{3}D.{-1,3}

22

2.已知雙曲線3一斗=1的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）

ab

A.qB.2C.y/3D.0

3.有4位同學(xué)各擲骰子5次（骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1,2,3,4,5,6）,分別記錄自

己每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四位同學(xué)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并對(duì)自己的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以

判斷一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1的是（）

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為4B.中位數(shù)為3,眾數(shù)為5

C.平均數(shù)為4,方差為1.2D.中位數(shù)為4,方差為1.6

4.己知a,b是空間中的兩條直線，a,/3是兩個(gè)平面，則（）

A.若aua,bu0,貝ija涉是異面直線

B.若aua,bua、allB，bllB,則?！?/p>

C.若aua,bu,則W/萬(wàn)

D.若aLa,b工,則W/萬(wàn)

5.某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動(dòng)物體重W（單位：克）與心率/（單位：次/

分鐘）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（叱，1）?=1,2,…,8）.根據(jù)生物學(xué)常識(shí)和散點(diǎn)圖得出了與W近似滿足

f=cWk（c#為參數(shù)），令%=lnW.,y=lnf,計(jì)算得到元=7,1=4.由最小二乘法得

到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為勺=R+6.8,則上的值為（）

A.-0.4B.0.4C.-0.2D.0.2

6.在平行四邊形ABCD中，AE=—AB,AF=—AD,CE與BF相交于G，若AB=

43

AD=b，則AG=(

A.-ciH—bB.—ci-\—b

5555

c3rli427

C.-ciH—bD.-6ZH—b

7777

7.已知a>0,b>0，則使—+y>4成立的一個(gè)必要不充分條件是()

ab

A.a2+b2=lB.a+b^^ab

C.a+b=1D.-7H—

a2b2

8.已知函數(shù)y=f(%)滿足:①y=/(-l-x)是偶函數(shù);②在(3,-!］上為增函數(shù).若

玉<0,x2>0且xl+x2+2>0,則〃匹)與/(々)的大小關(guān)系是()

A.”西)>/伍)B.

C./(%)=/仇)D.無(wú)法確定

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有

選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)〃x)=2sin10x+W(o>O)的最小正周期為，則()

A.f(O)=l

B.CL)=2

C.””的單調(diào)遞增區(qū)間為4++g(AeZ)

D.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移與個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)

6

的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，貝ljg(x)=-2cosx

10.已知數(shù)列｛an｝滿足4=1,an=an+l(l+3an),nsN*，則()

A.數(shù)列是等差數(shù)列

B.an=3n-2

C.若。必2+〃2。3+…+〃〃。鹿+1=，貝|幾=16

n(3n-l)

D.%+%+/+,??++4=------------

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

11.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為歹，過F作兩條互相垂直的直線卜%，4與C交

于P，。兩點(diǎn)，L與C交于M,N兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為G,線段的中點(diǎn)為

H,則()

A.當(dāng)直線4的斜率為舊時(shí)，|P0=]

B.當(dāng)\PF\=2\QF\時(shí)，|ACV|=36

C歸@+|肱v|的最小值為18

D.的面積最小值為4

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若苧包=。+6?。力為實(shí)數(shù)，，為虛數(shù)單位)，則4+6=.

13.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100ml血

液中酒精含量大于或者等于20mg且小于80/ng認(rèn)定為飲酒駕車，大于或者等于80mg

認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

0.6777g/mZ.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少，那么他

至少經(jīng)過個(gè)小時(shí)后才能駕駛？(結(jié)果取整數(shù).參考數(shù)據(jù):lg3a0.48,lg7*().85)

14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛風(fēng)｝滿足%=4+2%，若存在兩項(xiàng)%，an使得

=16q,貝I]1+n2的最小值為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或

演算步驟.

2

15.在VA5c中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為％b,c,已知b2=ac,且cos5=1

「、上sinB,,_

(1)求.4.「的值;

sinAsinC

.3

⑵設(shè)BABC=3,求a+c的值.

16.已知函數(shù)f[x)=axt\n.x+bxt-c在x=e處的切線方程為＞=48?3%一39?4-。,其

中a,b,C為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)試確定a,b的值;

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

⑶若對(duì)任意x>0,不等式/(%)>-4c2恒成立，求c的取值范圍.

17.如圖，在斜二棱柱ABC—A4G中，±AC],BCJ-CCt,AC=BC=4,A在底面

ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)。.

⑴證明：BC1平面ACQA,；

(2)求二面角A-A8-C的正弦值.

22

18.橢圓C*+1=l(a>6>0)的離心率為其左焦點(diǎn)到點(diǎn)二(3,3)的距離為5.

⑴求橢圓C的方程；

⑵若直線/：>=履+加與橢圓C相交于A8(48不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過橢

圓C的左頂點(diǎn)，求證:直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

19.在某場(chǎng)乒乓球比賽中，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入到了比賽決勝局，且在該局中的比分為10:10,

接下來(lái)比賽規(guī)則如下：兩人輪流各發(fā)一個(gè)球，誰(shuí)贏此球誰(shuí)就獲得1分，直到有一方得分超

過對(duì)方2分時(shí)即可獲得該局的勝利.已知甲先發(fā)球，且甲此球取勝的概率為0.6.比賽既是

實(shí)力的較量，也是心態(tài)的比拼，以后每球比賽，若上一球甲獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的

概率為0.8,若上一球乙獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為。(。<。<1).

⑴求甲以12:10的比分贏得比賽的概率；

(2)若要使甲運(yùn)動(dòng)員以后每球比賽獲勝的概率都大于0.6,求P的范圍；

(3)若〃=0.55,設(shè)甲運(yùn)動(dòng)員在第n球比賽中獲勝的概率為匕，數(shù)列｛2｝滿足

32,nbn

b?=-4,求證：-…H-----<

2+14

(參考知識(shí)：當(dāng)ce(O,l)時(shí)，若“—田，則.)

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

1.c

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解對(duì)數(shù)不等式得集合N,再求McN即得.

【詳解】由log3%Vl可得。＜xV3,故雙={彳|0＜*43},

又“={-1,3},則MN={3}.

故選：C.

2.B

【分析】先判斷雙曲線的焦點(diǎn)位置，由漸近線方程得到勺=石，再求離心率即可.

a

22〃.

【詳解】因雙曲線3-當(dāng)=1的焦點(diǎn)在X軸上，由其漸近線方程＞=氐，可得2=若,

aba

則雙曲線的禺心率為e=￡=J"■=Jl+(")2=A/1+(A/3)2=2.

a\aVa

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)數(shù)字特征的定義，依次對(duì)選項(xiàng)分析判斷即可

【詳解】對(duì)于A,由于平均數(shù)為3,中位數(shù)為4,所以這5個(gè)數(shù)從小到大排列后，第3次是

4,當(dāng)?shù)?,4,5次為4,4,4時(shí)，總和為12,第1,2次總和為3,故這5個(gè)數(shù)可以是1,2,4,4,4,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由于中位數(shù)為3,眾數(shù)為5,所以這5個(gè)數(shù)從小到大排列后，第3次是3,則第4

和5次為5,所以這5個(gè)數(shù)可以是1,2,3,5,5,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由于平均數(shù)為4,方差為1.2,則5次總和為20,

y[(X]-4)2+(無(wú)2-4)2+佑-4)2+伍-4)2+(尤5-4)1=1.2,

若有一個(gè)數(shù)為1,取士=1,則值一4)2+(毛-4)2+(匕-4)2+伍-4)2=-3,不合題意，則一

定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,故c正確；

對(duì)于D,由中位數(shù)為4,方差為1.6,所以這5個(gè)數(shù)從小到大排列后，第3次是4,平均數(shù)

最小值為2.8,

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

若有一個(gè)數(shù)為1，取%=1,(1-X)2<8,(4-X)2<8,

若取平均數(shù)為3,則(1-3)2+(%-3)2+(4-3)2+(%-3)2+(%-3)2=8,

(x2—3)+(%—3)+(%5—3)=3,則超=2,%=%=4符合要求，這5個(gè)數(shù)為1,2,4,4,4,故D

錯(cuò)誤，

故選：C.

4.D

【分析】根據(jù)線面，線線位置關(guān)系逐選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,若aua,bu/3,a/3=l,當(dāng)a〃/,b///時(shí)，則”/力，所以。涉不是異面直

線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若aua,bua,allf3,blip,當(dāng)a(3=1,R/b〃/也滿足題意，不一定?！ㄋ?，故

B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若aua,bu/3,all/3,則a//Z?或。涉為異面直線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若，根據(jù)線面垂直性質(zhì)，則。，尸,?！ㄈf(wàn)，故D正確；

故選：D.

5.A

【分析】根據(jù)回歸直線方程9=R+6.8必過樣本中心點(diǎn)G，G)求出心，即可求出％.

【詳解】因?yàn)?=cW",兩邊取對(duì)數(shù)可得ln/=lnc+HnW,

又玉=lnW；,y=lnf,

依題意回歸直線方程j=嬴+6.8必過樣本中心點(diǎn)(xJ),

所以4=74+6.8,解得】=-0.4,所以左=-0.4.

故選：A.

6.A

【分析】由民G,尸三點(diǎn)共線，則可設(shè)AG=xAB+(l-x)AE由C,G,E三點(diǎn)共線，則可設(shè)

AG=yAE+(\-y)AC,然后根據(jù)題意都用a,6表示，從而可求出工。的值，進(jìn)而可求得答

案

【詳解】

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

B

因?yàn)槊馟,尸三點(diǎn)共線，所以可設(shè)AG=xAB+(l-x)Ab,

所以AG=xaH■——b,

因?yàn)镃,G,E三點(diǎn)共線，所以可設(shè)AG=yAE+(l-y)AC,

因?yàn)锳B=a,AD=b，所以AC=AB+AO=a+6，

a+(l-y)b,

21

所以+/,

故選：A.

7.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用必要不充分條件的定義逐項(xiàng)分析判斷即得.

【詳解】對(duì)于A,令a=g,b=g,顯然有工+：24,但/+/片1,A不是;

23ab

對(duì)于B,當(dāng)〃>0,Z?>0時(shí)，a+b>4ab<^—+—>4B不是；

abf

對(duì)于C,a=~,b=—,顯然有—H：24,但a+Z?wl,C不是；

23ab

J_+J_Q+J_

對(duì)于D,^-+->4,則〃/2金工

>4,即

ab22

I

反過來(lái)，令a3=2,不等式與+3會(huì)成立，m-+7=3.5<4,D是.

3abab

故選：D

8.A

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

【分析】根據(jù)y=〃T-x）是偶函數(shù)，可得函數(shù)圖象關(guān)于％=-1對(duì)稱，敗v=f0）y=f0）在

[-L”）上為減函數(shù)，討論玉兩種情況，分別利用單調(diào)性比較大小，即可得

答案.

【詳解】不妨設(shè)1（力=設(shè)（一1—上,

由F⑴是偶函數(shù)，則P（-X）=P（X）,即/（—l+X）=/（-l—X）,

即函數(shù)y=/（“）的圖象關(guān)于x=—l對(duì)稱，且/（—2T）=/（X）,

因?yàn)閥=/（久）在上為增函數(shù)，所以y=/0）在上為減函數(shù)，

因?yàn)椴?lt;0,%2>0，且%1+%2+2>0,所以一2-％2<%，

若占VT，則-2-%<%"I，則/（一2-巧）</（再）,即/伉）</（%）；

若-1<%<0,因?yàn)椋?gt;0,則苫2>占>-1,所以/（%）</（%）；

綜上可得：/（芭）>/（馬）.

故選：A.

9.ACD

【分析】由最小正周期為求得。，即可判斷選項(xiàng)B；計(jì)算/（0）即可判斷選項(xiàng)A；然后

利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可判斷選項(xiàng)C；由圖象的平移伸縮變換求解函數(shù)的解析式即可

判斷選項(xiàng)D.

【詳解】函數(shù)〃力=2$?8+￡|（。>0）的最小正周期為|_,

所以空=[,解得。=4,故B錯(cuò)誤；

①2

所以/（x）=2si?4x+。，所以"0）=2sint=l,故A正確；

,兀?兀,兀2071kli冗ku

由---F2lai<4x+—<—+2lai,得——H<x<1,

26262122

所以〃元）的單調(diào)遞增區(qū)間為一尹當(dāng)令+^（八Z）,故C正確；

將函數(shù)/（X）的圖象向右平移B個(gè)單位后，得到

6

7C“4717cle7lA入“

+—=2sin4x----F—=2sin4x——=-2cos4x,

,H6jI66jI2；

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，得到g（x）=-2cosx,故D正確;

故選：ACD.

10.AC

【分析】由為=%包（1+3?！埃﹥蛇呁瑫r(shí)取倒數(shù)即可證明是等差數(shù)列，判斷選項(xiàng)A；從

而得到。"的通項(xiàng)公式，即可判斷選項(xiàng)B；由弓出+-+裂項(xiàng)相消即可求解

〃判斷選項(xiàng)C；由是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為“3；一1）,即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】因?yàn)?=。用（1+3%）=。.+3“必用，所以安乎=3,

UnUn+\

即'--'-=3,所以［工］是以'=1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故A正確；

%+i%［an\%

—=l+3（?-l）=3n-2,所以4=丁二，故B錯(cuò)誤；

an3〃一2

111

若%%+%%+…++訪+…+（3〃_2）（3“+1）

l

=lLl+l_l+...+_________M=U1_一M=—=-

3|_447（3/1-2）（3/7+l）J31（3n+l）J3〃+149）

所以“=16,故C正確；

11111”(1+3/Z-2)72(3/2-1)

-----1-------1------F...H---------1-----------------------------=---------------故D錯(cuò)誤;

%a2a3an-\凡22

故選：AC.

11.ABD

【分析】設(shè)直線4和4的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用焦半徑公式求解弦長(zhǎng)，結(jié)合基本

不等式判斷ABC,利用兩點(diǎn)求斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程，求解直線恒過定點(diǎn)，將面

積分割，結(jié)合韋達(dá)定理，再利用基本不等式求解最值判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由題意得以1,0）,尸&,%）,Q（x2,y2）,M（x3,y3）,N（x4,y4）,

當(dāng)直線乙的斜率為四時(shí)，直線乙方程為丁=石（*-1）,

fy=y/3（x-l）10

由V”2,可得3/一10x+3=0,貝！）X1+%=-7,

=4x3

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

所以|尸0=|尸尸|+1。尸|=%+1+%+1=$+z+2=+2=,A正確；

對(duì)于B,設(shè)直線4方程為x=2y+i,則6方程為x=-'y+i，

m

?[x=my+1c

聯(lián)立直線4方程與拋物線方程2,得/一47町-4=0.

[y=4x

則乂+%=4m①，%%=-4②，同理為+以=-△，y3y4=-4,又|「尸|=2|。同，

m

所以％=-2%,結(jié)合①②可得/=：,所以

O

年|=鼻+匕+2=廿(％+%)+2+2=白+4=>4=36,R正確

8

對(duì)于C,\MN\=X+X+2=(%+%)+2+2=—z-+4,

34mm

|PQ|=玉+々+2=機(jī)(石+々)+2+2=4機(jī)2+4,

2

所以|P0+MM=4療+4+3+4=4m2+A+8>2L/i-3+8=16,

mVm

當(dāng)且僅當(dāng)4%2=3,即加=±1時(shí)等號(hào)成立，所以|尸。|+|加用的最小值為16,故C錯(cuò)誤;

m

22

對(duì)于D,由B知，yG=%%=2m,%=rnyG+1=2m+1,G(2m+1,2m),

%+%2112[〃

?如=---=一，XH=——%+1=丁+1，”

2mmm

c2

2m+—

所以直線GH：y-2m=(x-2m2-l),

令y=0得尤=3,所以直線GH恒過定點(diǎn)A（3,0）；

所以sFGH=7忻小|兀-%|=尻-詞=2/〃+—=\2m\+—>4,

2mm

當(dāng)且僅當(dāng)加=±1時(shí)，等號(hào)成立.故D正確；

故選：ABD

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1.直線與圓錐曲線相交問題時(shí)，有時(shí)需要考查斜率不存在和存在兩種情

況，斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題；2.一般涉及

三角形面積問題時(shí)，采用面積分割法，結(jié)合韋達(dá)定理，利用基本不等式法求解范圍或最值.

12.3

【詳解】因?yàn)椤?瓦，所以3+初=(a+4)(1—。=。+6+。一。)九又因?yàn)槎紴閷?shí)數(shù)，

1—i

Q+Z?=3,。=0,

故由復(fù)數(shù)的相等的充要條件得｛,，解得｛八。所以a+6=3.

b-a=b,b=3,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的相等即相關(guān)運(yùn)算.本題若首先對(duì)左邊的分母進(jìn)行復(fù)數(shù)有理化，也可

以求解，但較繁瑣一些.來(lái)年需注意復(fù)數(shù)的幾何意義，基本概念(共輾復(fù)數(shù))，基本運(yùn)算等的

考查.

13.4

【分析】設(shè)至少經(jīng)過〃個(gè)小時(shí)后才能駕駛，由題意有60x(1-30%)“<20,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)

得lg07<lgg,然后求解即可.

【詳解】設(shè)至少經(jīng)過〃個(gè)小時(shí)后才能駕駛，則有60x(1-30%)"<20,

即0.7”<；,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lg0.7"<lgg,即出g0.7<lg；,

lga加3T-lg3-048

因?yàn)閘g0.7<0,所以

lg0.7]lg7-lgl00.85-1

gTo

所以即至少經(jīng)過4個(gè)小時(shí)才能駕駛.

故答案為：4.

14.50

【分析】先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)整理%=4+2%可得公比9，再利用通項(xiàng)公式代入

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

師中，可得出加與〃的關(guān)系，最后結(jié)合基本不等式即可求解。

【詳解】由題，因?yàn)椤?=4P，。5="，

q

所以。6,4=。6+2,%,

q

2

因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以〃6＞。，則4=1+—，解得9=2或q=T(舍去),

q

又^KT=16%,貝IjJq.2小1.4.21=16%,

a-..m+n-2口口m+n-2._,s

所以=2，，即-------=4,則加+〃=10,

所以蘇+/2?=5。，

當(dāng)且僅當(dāng)根=〃=5時(shí)，可得病+〃2的最小值為50.

故答案為：50

15.⑴乎

⑵叵

2

【分析】(1)先算出sinB的值，再利用正弦定理得sir?8=sinAsinC進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后得到

相應(yīng)的值;

3

⑵由BA."一］得到凡再由余弦定理，得到小，，從而得到HC.

2

【詳解】(1)由cos5=§,且0＜5＜兀，

又因?yàn)閆?2=ac,由正弦定理得sin?B=sinAsinC,

sinB_sinB_1_3y/5

sinAsinCsin2Bsin35

33

(2)因?yàn)锳4?3C=5，得QLCOS3=5，

99

所以QC=：,即。2=

44

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB

71

所以得片十°2='，

4

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

所以(Q++C2+2aC=—,

所以Q+C=.

2

16.⑴a=12,b=-3

(2)減區(qū)間為(。,1),增區(qū)間為(1,+8)

【分析】(1)求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)/(e)=48e3,以及切點(diǎn)處曲線的函數(shù)值與切線的

函數(shù)值相等列方程組求解即可.

(2)由(1)求出函數(shù)解析式，判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

(3)結(jié)合(2)求出/(x)的最小值，再解一元二次不等式求解即可.

【詳解】(1)函數(shù)/'(x)定義域?yàn)?。,+8),求導(dǎo)得

/'(%)=4辦inx+ax4?—+4bx3=d(4〃lnx+a+46),

x

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ax4Inx+Zzx4-c在％=e處的切線方程為y=48e%一39e“-。,

所以/(e)=?e4lne+be，-c=ae4+Z?e4-c=48e3xe-39e4-c,

可得=9e,,化為a+Z?=9①，

由/(e)=48e3=>e3(4tzlne+di+4Z?),可得5〃+48=48②，

由①②解得〃=12/=—3,

所以a=12,Z?=—3.

(2)由(1)知jT(x)=48/inx(x>0),

當(dāng)0<x<l時(shí)，f\x)<0,/(x)在(0,1)上為減函數(shù)，

當(dāng)x>l時(shí)，/?>0,/(%)在(1,+8)上為增函數(shù)，

所以函數(shù)/(%)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8).

(3)由(1)/(x)=12x4lnx-3x4-c,

由(2)知，/(尤)在1=1處取得最小值/(D=—3—c,

3

因Vx>0,/(%)之一4(?恒成立，則—3—cN—4c2,解得。工一1或cNl,

所以C的取值范圍為,8，-.

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

17.（1）證明見解析

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得答案；

（2）取A8的中點(diǎn)E,設(shè)04=4（。＞0）,以。為原點(diǎn)，￡＞瓦。仁￡胤所在的直線分別為％y,z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)AC；-3二。求出。，求出平面AA12、平面ABC的一個(gè)法向

量，由二面角的向量求法可得答案.

【詳解】（1）因?yàn)锳QJ■平面ABC,BCu平面ABC,所以

又A41//CG，BCJ_.CC],所以BCJ.AA],

因?yàn)锳A[CA]B=A，AA[、ABu平面ACGA，

所以BC_L平面ACGA；

（2）

xB

取AB的中點(diǎn)E,連接。E,因?yàn)?。是AC的中點(diǎn)，所以DE〃3C,

因?yàn)锽C_L平面ACGA,ACu平面ACC|A，所以3C_LAC,

可得DE1AC,設(shè)。4=。（。＞°），

以。為原點(diǎn)，DE,DC,DA,所在的直線分別為％Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,-2,0）,B（4,2,0）,C（0,2,0）,Q（0,4,a）,A（0,0,a）,

AC1=（0,6,a）,3A=（^4,-2,a）,

因?yàn)锽ALAC]，所以AC「54,=0,即一12+片=0,

解得/=12,a=26'，a=-26舍去,

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

AB=(4,4,0),BA=(-4,-2,2A/3),BC=(^,0,0),

設(shè)〃=（占,加4）為平面胡2的一個(gè)法向量,

AB?〃二0即，+“。

則<，令芯=3,則％=-3,Z|=6,

BA^.〃=0-4冗]-2必+2A/3Z]—0

設(shè)加=（馬,上*2）為ABC的一個(gè)法向量,

BCm=04%2=0

則,即二「2必+2禺=0'令必",貝—6,

B\'m=0

所以加=（0,3,抬），

n-m-9+377

所以cosn,m=

\n\-\m\V9+9+3XV9+3-7

設(shè)二面角4_48-（？的平面角為e（o<^<180）,

所以二面角4-42-（^的正弦值為31.

7

2

18.⑴土尤2+匕V=1

43

⑵證明見解析，[-不°]

【分析】（1）由左焦點(diǎn)到P點(diǎn)的距離及離心率可求解;

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得占3和%%，把￡>4￡>5=0用%%和%%表

示化簡(jiǎn)可得出答案.

【詳解】（1）設(shè)左焦點(diǎn)耳

???|Pf；|=^（-C-3）2+（O-3）2=5,解得c=l,

C11

e=-=—=-,:.a=2,由/=/一。2=3,

aa2

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

22

...橢圓方程為土+工=1.

43

由(1)可知橢圓左頂點(diǎn)。(-2,0),

設(shè)3(々,%),:以AB為直徑的圓過。(-2,0),

二即AA_LD8，-'-DADB=Q>

DA=(^xl+2,yl),。3=(犬2+2,%),

ZM-D5=(x,+2)(xj+2)+%%=+2(玉+w)+4+%%=0①

聯(lián)立直線與橢圓方程:

T+4^-12,整理得@+軟?卜？+8tnkx+4(病-3)=0

.Smk4(m2-3)

.f+%=-中2=^r'

1

yxy2=(煙+加)(區(qū)2+rri)-kxlx2/+x2)+rrr,

22l

4k(m-3)8mhmk23m-12kz

--二---------+rrr=--------------，代入到①

44？+34k2+34k2+3

2

4(m-38mk.3m2—11k2

DADB=^—,_—、——+4+--------------

4左2+34左2+34左2+3

.4m2-12-16mk+16k2+12+3m2-12k2

?,Z=0n，

4左2+3

?**7m2-16mk+4k2=0,即(Jm-2k)(m-2k)=0,

2、

m=—k或m=2k,

7

當(dāng)機(jī)=：上時(shí)，/：y=丘+［左=左恒過

當(dāng)根=2左時(shí)，，：y=丘+2左=%(犬+2),?，?/恒過(—2,0),但(-2,0)為橢圓左頂點(diǎn),不符題意,

答案第12頁(yè)，共14頁(yè)

故舍去，

?e?/恒過,.

19.(1)0.48；

(2)0.3<p<l；

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)條件概率公式即可得到答案；

(2)記甲運(yùn)動(dòng)員在第〃球比賽中獲勝的概率為匕，可推得

匕=(0.8-)嚴(yán)(0.6--^―)+—^―，再對(duì)P分類討論即得；

p+0.2p+0.2

⑶根據(jù)⑵得到勺=-4(：尸+*則￡=4*4,化簡(jiǎn)計(jì)算白，最后利用累加法

134134+1

和等比數(shù)列求和公式即可得證.

【詳解】(1)記第一球比賽甲運(yùn)動(dòng)員獲勝的事件為