重慶高三2025屆學業質量調研抽測（第一次）

數學試題

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個

選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.已知集合"={—1,3},N={x|k）g3x41},則MN=（）

A.0B.{-1}C.{3}D.{-1,3}

22

2.已知雙曲線3一斗=1的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）

ab

A.qB.2C.y/3D.0

3.有4位同學各擲骰子5次（骰子出現的點數可能為1,2,3,4,5,6）,分別記錄自

己每次出現的點數，四位同學根據統計結果，并對自己的試驗數據分別做了如下描述，可以

判斷一定沒有出現點數1的是（）

A.平均數為3,中位數為4B.中位數為3,眾數為5

C.平均數為4,方差為1.2D.中位數為4,方差為1.6

4.己知a,b是空間中的兩條直線，a,/3是兩個平面，則（）

A.若aua,bu0,貝ija涉是異面直線

B.若aua,bua、allB，bllB,則。〃

C.若aua,bu,則W/萬

D.若aLa,b工,則W/萬

5.某校數學建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重W（單位：克）與心率/（單位：次/

分鐘）的對應數據（叱，1）?=1,2,…,8）.根據生物學常識和散點圖得出了與W近似滿足

f=cWk（c#為參數），令%=lnW.,y=lnf,計算得到元=7,1=4.由最小二乘法得

到經驗回歸方程為勺=R+6.8,則上的值為（）

A.-0.4B.0.4C.-0.2D.0.2

6.在平行四邊形ABCD中，AE=—AB,AF=—AD,CE與BF相交于G，若AB=

43

AD=b，則AG=(

A.-ciH—bB.—ci-\—b

5555

c3rli427

C.-ciH—bD.-6ZH—b

7777

7.已知a>0,b>0，則使—+y>4成立的一個必要不充分條件是()

ab

A.a2+b2=lB.a+b^^ab

C.a+b=1D.-7H—

a2b2

8.已知函數y=f(%)滿足:①y=/(-l-x)是偶函數;②在(3,-!］上為增函數.若

玉<0,x2>0且xl+x2+2>0,則〃匹)與/(々)的大小關系是()

A.”西)>/伍)B.

C./(%)=/仇)D.無法確定

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個

選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有

選錯的得0分.

9.已知函數〃x)=2sin10x+W(o>O)的最小正周期為，則()

A.f(O)=l

B.CL)=2

C.””的單調遞增區間為4++g(AeZ)

D.將函數/(x)的圖象向右平移與個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來

6

的4倍，縱坐標不變，得到函數g(x)的圖象，貝ljg(x)=-2cosx

10.已知數列｛an｝滿足4=1,an=an+l(l+3an),nsN*，則()

A.數列是等差數列

B.an=3n-2

C.若。必2+〃2。3+…+〃〃。鹿+1=，貝|幾=16

n(3n-l)

D.%+%+/+,??++4=------------

試卷第2頁，共4頁

11.已知拋物線C：V=4x的焦點為歹，過F作兩條互相垂直的直線卜%，4與C交

于P，。兩點，L與C交于M,N兩點，線段PQ的中點為G,線段的中點為

H,則()

A.當直線4的斜率為舊時，|P0=]

B.當\PF\=2\QF\時，|ACV|=36

C歸@+|肱v|的最小值為18

D.的面積最小值為4

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若苧包=。+6?。力為實數，，為虛數單位)，則4+6=.

13.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據國家有關規定：100ml血

液中酒精含量大于或者等于20mg且小于80/ng認定為飲酒駕車，大于或者等于80mg

認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

0.6777g/mZ.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%的速度減少，那么他

至少經過個小時后才能駕駛？(結果取整數.參考數據:lg3a0.48,lg7*().85)

14.已知各項均為正數的等比數列｛風｝滿足%=4+2%，若存在兩項%，an使得

=16q,貝I]1+n2的最小值為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

2

15.在VA5c中，內角AB,C的對邊分別為％b,c,已知b2=ac,且cos5=1

「、上sinB,,_

(1)求.4.「的值;

sinAsinC

.3

⑵設BABC=3,求a+c的值.

16.已知函數f[x)=axt\n.x+bxt-c在x=e處的切線方程為＞=48?3%一39?4-。,其

中a,b,C為常數，e為自然對數的底數.

(1)試確定a,b的值;

(2)求函數的單調區間;

⑶若對任意x>0,不等式/(%)>-4c2恒成立，求c的取值范圍.

17.如圖，在斜二棱柱ABC—A4G中，±AC],BCJ-CCt,AC=BC=4,A在底面

ABC上的射影恰為AC的中點。.

⑴證明：BC1平面ACQA,；

(2)求二面角A-A8-C的正弦值.

22

18.橢圓C*+1=l(a>6>0)的離心率為其左焦點到點二(3,3)的距離為5.

⑴求橢圓C的方程；

⑵若直線/：>=履+加與橢圓C相交于A8(48不是左右頂點)，且以為直徑的圓過橢

圓C的左頂點，求證:直線/過定點，并求出該定點的坐標.

19.在某場乒乓球比賽中，甲、乙兩運動員進入到了比賽決勝局，且在該局中的比分為10:10,

接下來比賽規則如下：兩人輪流各發一個球，誰贏此球誰就獲得1分，直到有一方得分超

過對方2分時即可獲得該局的勝利.已知甲先發球，且甲此球取勝的概率為0.6.比賽既是

實力的較量，也是心態的比拼，以后每球比賽，若上一球甲獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的

概率為0.8,若上一球乙獲勝則甲在下一球比賽中獲勝的概率為。(。<。<1).

⑴求甲以12:10的比分贏得比賽的概率；

(2)若要使甲運動員以后每球比賽獲勝的概率都大于0.6,求P的范圍；

(3)若〃=0.55,設甲運動員在第n球比賽中獲勝的概率為匕，數列｛2｝滿足

32,nbn

b?=-4,求證：-…H-----<

2+14

(參考知識：當ce(O,l)時，若“—田，則.)

試卷第4頁，共4頁

1.c

【分析】利用對數函數的單調性求解對數不等式得集合N,再求McN即得.

【詳解】由log3%Vl可得。＜xV3,故雙={彳|0＜*43},

又“={-1,3},則MN={3}.

故選：C.

2.B

【分析】先判斷雙曲線的焦點位置，由漸近線方程得到勺=石，再求離心率即可.

a

22〃.

【詳解】因雙曲線3-當=1的焦點在X軸上，由其漸近線方程＞=氐，可得2=若,

aba

則雙曲線的禺心率為e=￡=J"■=Jl+(")2=A/1+(A/3)2=2.

a\aVa

故選：B.

3.C

【分析】根據數字特征的定義，依次對選項分析判斷即可

【詳解】對于A,由于平均數為3,中位數為4,所以這5個數從小到大排列后，第3次是

4,當第3,4,5次為4,4,4時，總和為12,第1,2次總和為3,故這5個數可以是1,2,4,4,4,

故A錯誤；

對于B,由于中位數為3,眾數為5,所以這5個數從小到大排列后，第3次是3,則第4

和5次為5,所以這5個數可以是1,2,3,5,5,所以B錯誤；

對于C,由于平均數為4,方差為1.2,則5次總和為20,

y[(X]-4)2+(無2-4)2+佑-4)2+伍-4)2+(尤5-4)1=1.2,

若有一個數為1,取士=1,則值一4)2+(毛-4)2+(匕-4)2+伍-4)2=-3,不合題意，則一

定沒有出現點數1,故c正確；

對于D,由中位數為4,方差為1.6,所以這5個數從小到大排列后，第3次是4,平均數

最小值為2.8,

答案第1頁，共14頁

若有一個數為1，取%=1,(1-X)2<8,(4-X)2<8,

若取平均數為3,則(1-3)2+(%-3)2+(4-3)2+(%-3)2+(%-3)2=8,

(x2—3)+(%—3)+(%5—3)=3,則超=2,%=%=4符合要求，這5個數為1,2,4,4,4,故D

錯誤，

故選：C.

4.D

【分析】根據線面，線線位置關系逐選項判斷即可.

【詳解】對于A,若aua,bu/3,a/3=l,當a〃/,b///時，則”/力，所以。涉不是異面直

線，故A錯誤；

對于B,若aua,bua,allf3,blip,當a(3=1,R/b〃/也滿足題意，不一定。〃四，故

B錯誤；

對于C,若aua,bu/3,all/3,則a//Z?或。涉為異面直線，故C錯誤；

對于D,若，根據線面垂直性質，則。，尸,。〃萬，故D正確；

故選：D.

5.A

【分析】根據回歸直線方程9=R+6.8必過樣本中心點G，G)求出心，即可求出％.

【詳解】因為/=cW",兩邊取對數可得ln/=lnc+HnW,

又玉=lnW；,y=lnf,

依題意回歸直線方程j=嬴+6.8必過樣本中心點(xJ),

所以4=74+6.8,解得】=-0.4,所以左=-0.4.

故選：A.

6.A

【分析】由民G,尸三點共線，則可設AG=xAB+(l-x)AE由C,G,E三點共線，則可設

AG=yAE+(\-y)AC,然后根據題意都用a,6表示，從而可求出工。的值，進而可求得答

案

【詳解】

答案第2頁，共14頁

B

因為民G,尸三點共線，所以可設AG=xAB+(l-x)Ab,

所以AG=xaH■——b,

因為C,G,E三點共線，所以可設AG=yAE+(l-y)AC,

因為AB=a,AD=b，所以AC=AB+AO=a+6，

a+(l-y)b,

21

所以+/,

故選：A.

7.D

【分析】根據給定條件，利用必要不充分條件的定義逐項分析判斷即得.

【詳解】對于A,令a=g,b=g,顯然有工+：24,但/+/片1,A不是;

23ab

對于B,當〃>0,Z?>0時，a+b>4ab<^—+—>4B不是；

abf

對于C,a=~,b=—,顯然有—H：24,但a+Z?wl,C不是；

23ab

J_+J_Q+J_

對于D,^-+->4,則〃/2金工

>4,即

ab22

I

反過來，令a3=2,不等式與+3會成立，m-+7=3.5<4,D是.

3abab

故選：D

8.A

答案第3頁，共14頁

【分析】根據y=〃T-x）是偶函數，可得函數圖象關于％=-1對稱，敗v=f0）y=f0）在

[-L”）上為減函數，討論玉兩種情況，分別利用單調性比較大小，即可得

答案.

【詳解】不妨設1（力=設（一1—上,

由F⑴是偶函數，則P（-X）=P（X）,即/（—l+X）=/（-l—X）,

即函數y=/（“）的圖象關于x=—l對稱，且/（—2T）=/（X）,

因為y=/（久）在上為增函數，所以y=/0）在上為減函數，

因為不<0,%2>0，且%1+%2+2>0,所以一2-％2<%，

若占VT，則-2-%<%"I，則/（一2-巧）</（再）,即/伉）</（%）；

若-1<%<0,因為％>0,則苫2>占>-1,所以/（%）</（%）；

綜上可得：/（芭）>/（馬）.

故選：A.

9.ACD

【分析】由最小正周期為求得。，即可判斷選項B；計算/（0）即可判斷選項A；然后

利用正弦函數的單調性求解即可判斷選項C；由圖象的平移伸縮變換求解函數的解析式即可

判斷選項D.

【詳解】函數〃力=2$?8+￡|（。>0）的最小正周期為|_,

所以空=[,解得。=4,故B錯誤；

①2

所以/（x）=2si?4x+。，所以"0）=2sint=l,故A正確；

,兀?兀,兀2071kli冗ku

由---F2lai<4x+—<—+2lai,得——H<x<1,

26262122

所以〃元）的單調遞增區間為一尹當令+^（八Z）,故C正確；

將函數/（X）的圖象向右平移B個單位后，得到

6

7C“4717cle7lA入“

+—=2sin4x----F—=2sin4x——=-2cos4x,

,H6jI66jI2；

答案第4頁，共14頁

再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，得到g（x）=-2cosx,故D正確;

故選：ACD.

10.AC

【分析】由為=%包（1+3。“）兩邊同時取倒數即可證明是等差數列，判斷選項A；從

而得到。"的通項公式，即可判斷選項B；由弓出+-+裂項相消即可求解

〃判斷選項C；由是等差數列，其前〃項和為“3；一1）,即可判斷選項D.

【詳解】因為4=。用（1+3%）=。.+3“必用，所以安乎=3,

UnUn+\

即'--'-=3,所以［工］是以'=1為首項，3為公差的等差數列，故A正確；

%+i%［an\%

—=l+3（?-l）=3n-2,所以4=丁二，故B錯誤；

an3〃一2

111

若%%+%%+…++訪+…+（3〃_2）（3“+1）

l

=lLl+l_l+...+_________M=U1_一M=—=-

3|_447（3/1-2）（3/7+l）J31（3n+l）J3〃+149）

所以“=16,故C正確；

11111”(1+3/Z-2)72(3/2-1)

-----1-------1------F...H---------1-----------------------------=---------------故D錯誤;

%a2a3an-\凡22

故選：AC.

11.ABD

【分析】設直線4和4的方程，與拋物線方程聯立，再利用焦半徑公式求解弦長，結合基本

不等式判斷ABC,利用兩點求斜率，根據點斜式求出直線方程，求解直線恒過定點，將面

積分割，結合韋達定理，再利用基本不等式求解最值判斷D.

【詳解】對于A,由題意得以1,0）,尸&,%）,Q（x2,y2）,M（x3,y3）,N（x4,y4）,

當直線乙的斜率為四時，直線乙方程為丁=石（*-1）,

fy=y/3（x-l）10

由V”2,可得3/一10x+3=0,貝！）X1+%=-7,

=4x3

答案第5頁，共14頁

所以|尸0=|尸尸|+1。尸|=%+1+%+1=$+z+2=+2=,A正確；

對于B,設直線4方程為x=2y+i,則6方程為x=-'y+i，

m

?[x=my+1c

聯立直線4方程與拋物線方程2,得/一47町-4=0.

[y=4x

則乂+%=4m①，%%=-4②，同理為+以=-△，y3y4=-4,又|「尸|=2|。同，

m

所以％=-2%,結合①②可得/=：,所以

O

年|=鼻+匕+2=廿(％+%)+2+2=白+4=>4=36,R正確

8

對于C,\MN\=X+X+2=(%+%)+2+2=—z-+4,

34mm

|PQ|=玉+々+2=機(石+々)+2+2=4機2+4,

2

所以|P0+MM=4療+4+3+4=4m2+A+8>2L/i-3+8=16,

mVm

當且僅當4%2=3,即加=±1時等號成立，所以|尸。|+|加用的最小值為16,故C錯誤;

m

22

對于D,由B知，yG=%%=2m,%=rnyG+1=2m+1,G(2m+1,2m),

%+%2112[〃

?如=---=一，XH=——%+1=丁+1，”

2mmm

c2

2m+—

所以直線GH：y-2m=(x-2m2-l),

令y=0得尤=3,所以直線GH恒過定點A（3,0）；

所以sFGH=7忻小|兀-%|=尻-詞=2/〃+—=\2m\+—>4,

2mm

當且僅當加=±1時，等號成立.故D正確；

故選：ABD

答案第6頁，共14頁

【點睛】思路點睛：1.直線與圓錐曲線相交問題時，有時需要考查斜率不存在和存在兩種情

況，斜率存在的情況經常和曲線方程聯立，利用根與系數的關系解決幾何問題；2.一般涉及

三角形面積問題時，采用面積分割法，結合韋達定理，利用基本不等式法求解范圍或最值.

12.3

【詳解】因為“+瓦，所以3+初=(a+4)(1—。=。+6+。一。)九又因為都為實數，

1—i

Q+Z?=3,。=0,

故由復數的相等的充要條件得｛,，解得｛八。所以a+6=3.

b-a=b,b=3,

【點評】本題考查復數的相等即相關運算.本題若首先對左邊的分母進行復數有理化，也可

以求解，但較繁瑣一些.來年需注意復數的幾何意義，基本概念(共輾復數)，基本運算等的

考查.

13.4

【分析】設至少經過〃個小時后才能駕駛，由題意有60x(1-30%)“<20,兩邊同時取對數

得lg07<lgg,然后求解即可.

【詳解】設至少經過〃個小時后才能駕駛，則有60x(1-30%)"<20,

即0.7”<；,兩邊同時取對數得lg0.7"<lgg,即出g0.7<lg；,

lga加3T-lg3-048

因為lg0.7<0,所以

lg0.7]lg7-lgl00.85-1

gTo

所以即至少經過4個小時才能駕駛.

故答案為：4.

14.50

【分析】先根據等比數列的性質整理%=4+2%可得公比9，再利用通項公式代入

答案第7頁，共14頁

師中，可得出加與〃的關系，最后結合基本不等式即可求解。

【詳解】由題，因為。7=4P，。5="，

q

所以。6,4=。6+2,%,

q

2

因為各項均為正數，所以〃6＞。，則4=1+—，解得9=2或q=T(舍去),

q

又^KT=16%,貝IjJq.2小1.4.21=16%,

a-..m+n-2口口m+n-2._,s

所以=2，，即-------=4,則加+〃=10,

所以蘇+/2?=5。，

當且僅當根=〃=5時，可得病+〃2的最小值為50.

故答案為：50

15.⑴乎

⑵叵

2

【分析】(1)先算出sinB的值，再利用正弦定理得sir?8=sinAsinC進行化簡，然后得到

相應的值;

3

⑵由BA."一］得到凡再由余弦定理，得到小，，從而得到HC.

2

【詳解】(1)由cos5=§,且0＜5＜兀，

又因為Z?2=ac,由正弦定理得sin?B=sinAsinC,

sinB_sinB_1_3y/5

sinAsinCsin2Bsin35

33

(2)因為A4?3C=5，得QLCOS3=5，

99

所以QC=：,即。2=

44

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB

71

所以得片十°2='，

4

答案第8頁，共14頁

所以(Q++C2+2aC=—,

所以Q+C=.

2

16.⑴a=12,b=-3

(2)減區間為(。,1),增區間為(1,+8)

【分析】(1)求出函數/(X)的導數，根據/(e)=48e3,以及切點處曲線的函數值與切線的

函數值相等列方程組求解即可.

(2)由(1)求出函數解析式，判斷導函數符號，求出函數的單調區間即可.

(3)結合(2)求出/(x)的最小值，再解一元二次不等式求解即可.

【詳解】(1)函數/'(x)定義域為(。,+8),求導得

/'(%)=4辦inx+ax4?—+4bx3=d(4〃lnx+a+46),

x

因為函數/(x)=ax4Inx+Zzx4-c在％=e處的切線方程為y=48e%一39e“-。,

所以/(e)=?e4lne+be，-c=ae4+Z?e4-c=48e3xe-39e4-c,

可得=9e,,化為a+Z?=9①，

由/(e)=48e3=>e3(4tzlne+di+4Z?),可得5〃+48=48②，

由①②解得〃=12/=—3,

所以a=12,Z?=—3.

(2)由(1)知jT(x)=48/inx(x>0),

當0<x<l時，f\x)<0,/(x)在(0,1)上為減函數，

當x>l時，/?>0,/(%)在(1,+8)上為增函數，

所以函數/(%)的減區間為(0,1),增區間為(1,+8).

(3)由(1)/(x)=12x4lnx-3x4-c,

由(2)知，/(尤)在1=1處取得最小值/(D=—3—c,

3

因Vx>0,/(%)之一4(?恒成立，則—3—cN—4c2,解得。工一1或cNl,

所以C的取值范圍為,8，-.

答案第9頁，共14頁

17.（1）證明見解析

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得答案；

（2）取A8的中點E,設04=4（。＞0）,以。為原點，￡＞瓦。仁￡胤所在的直線分別為％y,z

軸建立空間直角坐標系，根據AC；-3二。求出。，求出平面AA12、平面ABC的一個法向

量，由二面角的向量求法可得答案.

【詳解】（1）因為AQJ■平面ABC,BCu平面ABC,所以

又A41//CG，BCJ_.CC],所以BCJ.AA],

因為AA[CA]B=A，AA[、ABu平面ACGA，

所以BC_L平面ACGA；

（2）

xB

取AB的中點E,連接。E,因為。是AC的中點，所以DE〃3C,

因為BC_L平面ACGA,ACu平面ACC|A，所以3C_LAC,

可得DE1AC,設。4=。（。＞°），

以。為原點，DE,DC,DA,所在的直線分別為％Xz軸建立空間直角坐標系,

則4（0,-2,0）,B（4,2,0）,C（0,2,0）,Q（0,4,a）,A（0,0,a）,

AC1=（0,6,a）,3A=（^4,-2,a）,

因為BALAC]，所以AC「54,=0,即一12+片=0,

解得/=12,a=26'，a=-26舍去,

答案第10頁，共14頁

AB=(4,4,0),BA=(-4,-2,2A/3),BC=(^,0,0),

設〃=（占,加4）為平面胡2的一個法向量,

AB?〃二0即，+“。

則<，令芯=3,則％=-3,Z|=6,

BA^.〃=0-4冗]-2必+2A/3Z]—0

設加=（馬,上*2）為ABC的一個法向量,

BCm=04%2=0

則,即二「2必+2禺=0'令必",貝—6,

B\'m=0

所以加=（0,3,抬），

n-m-9+377

所以cosn,m=

\n\-\m\V9+9+3XV9+3-7

設二面角4_48-（？的平面角為e（o<^<180）,

所以二面角4-42-（^的正弦值為31.

7

2

18.⑴土尤2+匕V=1

43

⑵證明見解析，[-不°]

【分析】（1）由左焦點到P點的距離及離心率可求解;

（2）聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理可得占3和%%，把￡>4￡>5=0用%%和%%表

示化簡可得出答案.

【詳解】（1）設左焦點耳

???|Pf；|=^（-C-3）2+（O-3）2=5,解得c=l,

C11

e=-=—=-,:.a=2,由/=/一。2=3,

aa2

答案第11頁，共14頁

22

...橢圓方程為土+工=1.

43

由(1)可知橢圓左頂點。(-2,0),

設3(々,%),:以AB為直徑的圓過。(-2,0),

二即AA_LD8，-'-DADB=Q>

DA=(^xl+2,yl),。3=(犬2+2,%),

ZM-D5=(x,+2)(xj+2)+%%=+2(玉+w)+4+%%=0①

聯立直線與橢圓方程:

T+4^-12,整理得@+軟?卜？+8tnkx+4(病-3)=0

.Smk4(m2-3)

.f+%=-中2=^r'

1

yxy2=(煙+加)(區2+rri)-kxlx2/+x2)+rrr,

22l

4k(m-3)8mhmk23m-12kz

--二---------+rrr=--------------，代入到①

44？+34k2+34k2+3

2

4(m-38mk.3m2—11k2

DADB=^—,_—、——+4+--------------

4左2+34左2+34左2+3

.4m2-12-16mk+16k2+12+3m2-12k2

?,Z=0n，

4左2+3

?**7m2-16mk+4k2=0,即(Jm-2k)(m-2k)=0,

2、

m=—k或m=2k,

7

當機=：上時，/：y=丘+［左=左恒過

當根=2左時，，：y=丘+2左=%(犬+2),?，?/恒過(—2,0),但(-2,0)為橢圓左頂點,不符題意,

答案第12頁，共14頁

故舍去，

?e?/恒過,.

19.(1)0.48；

(2)0.3<p<l；

(3)證明見解析.

【分析】(1)根據條件概率公式即可得到答案；

(2)記甲運動員在第〃球比賽中獲勝的概率為匕，可推得

匕=(0.8-)嚴(0.6--^―)+—^―，再對P分類討論即得；

p+0.2p+0.2

⑶根據⑵得到勺=-4(：尸+*則￡=4*4,化簡計算白，最后利用累加法

134134+1

和等比數列求和公式即可得證.

【詳解】(1)記第一球比賽甲運動員獲勝的事件為