第頁，共頁第19頁，共19頁高三數學考試注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求集合，判斷各元素與集合關系，即可得答案.【詳解】由題設，結合各選項，A、B、D錯，C對.故選：C2.的內角的對邊分別為.已知，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理，得，所以，又，所以，所以.故選：A.3.已知是函數的極值點，則（）A.8 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據極值點處導數值為0求參數，注意驗證，即可得答案.【詳解】由題設，則，可得，此時且，所以時f′x<0，時f即函數在上單調遞減，在上單調遞增，故是的極小值點，符合題意.故.故選：D4.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據各項中線線、線面的位置關系，結合平面的基本性質判斷線線、線面的位置關系即可.【詳解】A：若，則、相交、平行、異面都有可能，錯；B：若，則、平行、異面都有可能，錯；C：若，則或，又，所以，對；D：若，則、平行、相交或都有可能，錯.故選：C5.已知變量和的統計數據如下表：40050060070080034667若線性相關，且經驗回歸方程為，則據此可以預測當時，（）A.18.2 B.19.2 C.20.2 D.21.2【答案】B【解析】【分析】求出和，根據經驗回歸直線必過樣本點中心求出，即可求解.【詳解】，，因為在經驗回歸直線上，所以，解得，即，當時，.故選：B.6.若定義在上的增函數滿足，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題設易得，結合函數單調性有，再由的單調性及零點確定不等式解集.【詳解】由，即y=fx的圖象關于點對稱，所以，而，即，則，又y=fx在R上為增函數，故，即，，因在上單調遞增，且，由，可得，即不等式的解集為1,+∞.故選：C.7.如圖，高度為的圓錐形玻璃容器中裝了水，則下列四個容器中，水的體積最接近容器容積一半的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設圓錐的頂點到水面的距離為，圓錐的底面半徑為，根據水體積和容器容積關系得到，再逐項檢驗即可．【詳解】設圓錐的頂點到水面的距離為，圓錐的底面半徑為，則水面半徑為．當水的體積等于容器容積的一半時，有，整理得．因為，，，，則D選項更接近.故選：D．8.已知，若不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式同構變形為，分類討論，在時，引入函數，確實單調性后轉化為，，由導數求得的最大值，從而可得參數范圍．【詳解】因為，，所以等價于．若，則，，顯然恒成立．若，令，則在1,+∞上恒成立，則在1,+∞上單調遞增，由，得，則，則在1,+∞上恒成立．令，，則，當時，，在單調遞增，當時，，在單調遞減，則，從而，解得．綜上所述，的取值范圍為．故選：B【點睛】方法點睛：不等式同構變形：若不等式能變形為，而是單調的如遞增，則轉化為，經常用到的如對數與指數間的互化：，，，，等等．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為虛數單位，虛數滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】首先對式子進行因式分解，解得，再分別對每個選項逐個計算得答案.【詳解】由得，，所以或(舍)選項A，因為，所以，A正確；選項B,，B錯誤；選項C,，所以C正確；選項D，，所以D錯誤.故選：AC10.已知函數，則（）A.是的一個周期B.的最大值為C.是非奇非偶函數D.關于的方程有無數個實數解【答案】ACD【解析】【分析】對于A，計算可得，可判斷A；利用輔助角公式可得，計算可知可得與不能同時取得最大值，可判斷B；計算可得，可判斷C；令，可得有無數個零點，可判斷D.【詳解】，所以是的一個周期，故A正確；，由，可得，當時，，此時，當時，，此時，當時，可得，當時，，此時，根據周期性可得與不能同時取得最大值，所以的最大值小于，故B錯誤；，所以，所以是非奇非偶函數，故C正確；由，可得，所以，令，由，所以是以為周期的周期函數，又，，所以有無數個零點，從而可知關于的方程有無數個實數解，故D正確.故選：ACD.11.我們把形如的曲線叫作拉梅曲線，該曲線是法國數學家加布里埃爾?拉梅在研究圓錐曲線方程時進行拓展而得的．下列說法正確的是（）A.若，則拉梅曲線圍成的封閉區域的面積為B.若，則拉梅曲線圍成的封閉區域的面積小于C.若拉梅曲線與曲線恰有4個公共點，則D.若Px0,y【答案】BCD【解析】【分析】對拉梅曲線理解后，根據在特定參數下曲線的性質和所圍成區域面積的計算，通過分析各個選項，結合拉梅曲線的基本定義和性質，逐一驗證每個選項的正確性即可求解．【詳解】當時，拉梅曲線方程為為菱形，與坐標軸交于點，，則拉梅曲線圍成的封閉區域的面積為2ab，A不正確．當時，根據對稱性，不妨考慮拉梅曲線在第一象限的情形，此時由可得，下證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，這顯然成立．因為（）表示圓心為，半徑為a的四分之一圓弧，所以其與第一象限圍成的封閉區域的面積為，則拉梅曲線與第一象限圍成的封閉區域的面積小于，則拉梅曲線圍成的封閉區域的面積小于，B正確．當拉梅曲線與曲線恰有4個公共點時，根據對稱性可知，它們在第一象限恰有1個公共點，由，整理得恰有1個正根，則，解得，即，C正確．若為拉梅曲線上第一象限內一點，則，從而，D正確．故選：BCD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若非零向量與單位向量共線，且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據向量共線得，將兩邊同時平方，化簡求出即可求解.【詳解】因為非零向量與單位向量共線，則，且，因為，則，即，整理得，解得（舍）或，所以.故答案為：.13.已知為雙曲線的左焦點，是的右頂點，是上一點，且，，則的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】根據雙曲線的定義以及余弦定理得到關于和的齊次式，求解即可.【詳解】設雙曲線的右焦點為，因為為雙曲線的左焦點，是雙曲線上一點，根據雙曲線的定義知，，因為是雙曲線的右頂點，所以，又，，所以，所以，在中，根據余弦定理得，即，整理得，等式兩邊同時除以得，，解得（舍）或，所以的離心率為.故答案為：.14.如圖，在的方格中，每一行隨機設置1個陷阱（起點和終點處無陷阱）.玩家從起點方格出發，每次可以向右或向下移動一格到達下一格.若遇到含有設置陷阱的方格，則被重置回起點，然后該玩家會尋找未走過的路線繼續挑戰，直至到達終點.若重置若干次以后始終未能到達終點，則挑戰失敗.該玩家挑戰失敗的概率為__________.【答案】【解析】【分析】根據古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由題知，玩家從起點方格出發，每次向右或向下移動一格，可以順利到達終點，即為挑戰成功，反之挑戰失敗.用表示第行第列含有陷阱的方格，則第1行含有陷阱的方格為，第2行含有陷阱的方格為，第3行含有陷阱的方格為，所以每一行隨機設置1個陷阱（起點和終點處無陷阱）共有個基本事件，具體如下：，，，，，，，，，，，，玩家挑戰失敗的基本事件有，，，，，，，共個，所以玩家挑戰失敗的概率為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.甲，乙，丙三人計劃參加某項800米跑步比賽，規定比賽成績不超過為優秀．為了預測三人中比賽成績優秀的人數，收集了這三人近8次的比賽成績，并整理得到如下數據：甲乙丙用頻率估計概率，且甲，乙，丙三人的比賽成績相互獨立．（1）分別求甲，乙，丙三人比賽成績優秀的概率；（2）記為甲，乙，丙三人中比賽成績優秀的總人數，求的分布列和數學期望．【答案】（1）甲，乙，丙三人比賽成績優秀的概率分別為，，（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）直接利用古典概型進行求概率即可；（2）根據相互獨立求出，，，，列出分布列，利用分布列求出數學期望即可．【小問1詳解】由題意可知，甲，乙，丙三人比賽成績優秀的概率分別為：，，，故甲，乙，丙三人比賽成績優秀的概率分別為，，；【小問2詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值為，，，；，，，，故的分布列如下：0123故數學期望為：．16.如圖，在三棱臺中，平面，，為的中點，.（1）證明：.（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，證明四邊形是平行四邊形，再由線面垂直證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標系，由面面角的向量求法求解即可.小問1詳解】取的中點，連接，，因為為的中點，所以且，又三棱臺，，所以且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以；【小問2詳解】因為平面，平面，所以，，又，則以為原點，分別以，，為軸，軸，軸正向建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，，，設平面的一個法向量為m=x則，取，則，，所以，設平面的一個法向量為n=x，取，則，，所以，設平面與平面的夾角為，，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知數列滿足.（1）若為遞增數列，求的取值范圍；（2）當時，證明：數列是等比數列，并求數列的前項之積.【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）由題設，恒成立，利用二次函數性質求右側最大值，即可得參數范圍；（2）根據已知可得，結合等比數列定義證明結論，進而可得，應用等比數列的前n項和公式求.【小問1詳解】由題設，即，恒成立，而在上單調遞減，則，所以；【小問2詳解】由題設，則，又，所以是首項為，公比為2的等比數列，故，所以，則，所以.18.已知點，平面內過一動點（異于）的直線分別與直線4相交于兩點，且，記動點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）若斜率為1的直線與相交于兩點，且，求的方程；（3）記與外接圓的半徑分別為，求的最小值.【答案】（1）（）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）設Px,y（2）設l方程為，，，聯立曲線，應用韋達定理及弦長公式列方程求參數m，即可得結果；（3）設直線PA的方程為，則直線PB的方程為，進而求出坐標及，應用正弦定理求外接圓半徑，結合可得，最后應用基本不等式求最值即可.小問1詳解】設Px,y，由，得，整理得.因為點P異于點A，B，所以C的方程為（）.【小問2詳解】設l的方程為，，，則.聯立方程組，整理得，則，即，所以，，則，解得，滿足題設，所以l的方程為.【小問3詳解】設直線PA的方程為，則直線PB的方程為.令，得，同理得，則.在中，由正弦定理知，同理可得.因為，所以，從而，當且僅當時等號成立，故的最小值為.19.設是定義在上的函數，若對于任意的，存在，均有，則稱為“函數”．（1）若函數，證明：不是“函數”．（2）若函數，證明：是“函數”．（3）對于區間，定義，已知，且為“函數”，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）不妨假設是“函數”，得出，通過取特殊值時，判斷出不等式不成立，得出假設不成立即可判斷；（2），求導后，進一步令，利用導數研究單調性，并且結合零點存在定理解決隱零點問題，進一步判斷出原函數的單調性求解；（3）根據是“函數”，得出在區間上也滿足題目給定的不等式的條件，利用導數研究函數的單調性，從而進一步求出的取值范圍，最后再利用作差法比較兩者的大小．【小問1