專題35最值模型之費馬點模型

費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數學思想，在各類考

試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費馬點問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶?德?費馬，17世紀法國數學家，有“業余數學家之王”的美譽，之所以叫業余并非段位不夠，

而是因為其主職是律師，兼職搞搞數學.費馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢獻，除此之外，費

馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等.費馬點：三角形內的點到三個頂點距離之

和最小的點。

模型1.費馬點模型

模型解讀

結論：如圖1,點M為AABC內任意一點，連接AM、BM、CM,當M與三個頂點連線的夾角為120。時,

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述結論成立的條件是AABC的最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此時費馬點就

是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常只考查三角形的最大頂角小于120。）

模型證明

證明：如圖2,以AB為一邊向外作等邊三角形AABE,將8M繞點B逆時針旋轉60。得到BN,連接EN.

:△ABE為等邊三角形，：.AB=BE,ZABE=60°.而NA/BN=60。，:./ABM=/EBN.

AB=BE

在"MB與4ENB中，VJZABM=ZEBN，4AMB"AENB（SAS）.

BM=BN

連接MN.由△AM20ZXEN8知，AM=EN.〈/MBN=60°,BM=BN,△BMN為等邊三角形.

；.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM..?.當E、N、M、C四點共線時，AM+8M+CM的值最小.

此時，ZBMC=180°-ZWB=120°；/AMB=/ENB=1800-NBNM=120°；

ZAMC=3600-ZBMC-ZAMB=120°.

費馬點的作法：如圖3,分另IJ以“BC的A&AC為一邊向外作等邊"BE和等邊"CR連接CE、BF,設

交點為則點M即為AABC的費馬點。

【最值原理】兩點之間，線段最短。

模型運用

例1.（23-24九年級上廣東江門?階段練習）如圖，在.ABC中，ZBAC=90。,A3=5,AC=2有，點尸為ABC

內部一點，則點尸到.ABC三個頂點之和的最小值是.

例2.（2024?江蘇宿遷?模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,8C=6,E是A3的中點，F是BC邊上一

動點，將ABEF沿著跖翻折，使得點B落在點9處，矩形內有一動點P,連接尸？,PC,尸￡>,則p?+PC+PD

的最小值為.

例3.（23-24九年級下?河南周口?階段練習）【問題背景】在已知,ABC所在平面內求一點P,使它到三角形

的三個頂點的距離之和最小（如圖1）.這個問題是有著“業余數學家之王”美譽的法國律師費馬在1640年前

后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”.解決方法如下：如圖2,把繞

A點逆時針旋轉60。得到一AP'C'（點P,C的對應點分別為點P,C）,連接PP，,則ZPAP=60°,P'C=PC.

APP'為等邊三角形，:.AP=PP,：.PA+PB+PC=PP'+PB+P'C,

...當8,P,P',C'四點在同一直線上時，PA+P3+PC的值最小，即點尸是ABC的“費馬點”.

任務：（1）橫線處填寫的條件是；（2）當點P是.A3C的“費馬點”時，ZAPB=ZBPC=ZAPC=；

（3）如圖3,AABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E,尸為BC上的點，且ZE4F=45。，判斷BE,EF,FC

之間的數量關系并說明理由;

【實際應用】圖4所示是一個三角形公園，其中頂點A,B,C為公園的出入口，ZA=75。，4B=20km，

AC=4km,工人師傅準備在公園內修建一涼亭P,使該涼亭到三個出入口的距離最小，則R4+P3+PC的

最小值是.

例4.（2023春?重慶?九年級專題練習）背景資料：在已知ABC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個

頂點的距離之和最小.這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點

被人們稱為“費馬點”.如圖1,當"LBC三個內角均小于120。時，費馬點尸在11ABe內部，當

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。時，貝!JR4++PC取得最小值.

AAD

（1）如圖2,等邊ABC內有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求/APB的度數，為

了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉到△ACP'處，此時一ACPqABP這樣就可以利用旋轉變換，

將三條線段24、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出N4PB=；

知識生成：怎樣找三個內角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與，ABC的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點.請同學們探索以下問

題.（2）如圖3,ABC三個內角均小于120。,在ABC外側作等邊三角形一連接CBL求證：C9過ABC

的費馬點.（3）如圖4,在RTABC中，ZC=90°,AC=1,NABC=30。，點尸為ABC的費馬點，連接AP、

BP、CP,求PA+P3+PC的值.（4）如圖5,在正方形ABC。中，點E為內部任意一點，連接AE、BE、

CE,且邊長AB=2；求AE+3E+CE的最小值.

例5.（2024?江蘇?校考三模）如圖，四個村莊坐落在矩形ABCD的四個頂點上，AB=10公里，BC=15公

里，現在要設立兩個車站E,F,則￡A+￡B+EF+FC+FD的最小值為公里.

B

模型2.加權費馬點模型

模型解讀

結論：點P為銳角內任意一點，連接AP、BP、CP,求xAP+yBP+zCP最小值。(加權費馬點)

模型證明

證明：第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。

如：保持不變，xAP+yBP+zCP=y(-AP+BP+-CP),如圖，B、P、P2>4四點共線時，取得最小值。

模型運用

例1.(2024?廣東廣州?一模)如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4,AE=2,AB=6AD,

AG=y/3AE.矩形AG/芯繞著點A旋轉，連接BG,CF,AC,AF.

⑴求證：A5Gs.AB；(2)當CE的長度最大時，①求2G的長度；②在△AC9內是否存在一點尸，使得

CP+AP+^PB的值最小?若存在，求CP+AP+石尸廠的最小值；若不存在，請說明理由.

例2.（2024?重慶?二模）已知ABC中AB=3C,點。和點E是平面內兩點,連接BD,DE和BE，ABED=90°.

（1）如圖1,若BD=BA,ZABC=2ZD,BE=2,求AC的長度；（2）如圖2,連接AD和CD,點尸為AQ中

點，點G為C￡>中點，連接E尸和BG,若EF=BG,求證：ZBAC=ZDBE；（3）若NABC=60。，AB=2,

當立BD+C。取得最小值，且AE取得最大值時，直接寫出.8DE的面積.

22

圖1圖2備用圖

例3.（23-24九年級上?重慶?階段練習）在等邊VABC中，點。是邊BC上一點，連接AD,將線段AD繞點

（1）如圖1,當點。為3c中點時，且AD=3,求“ABE的面積；（2）如圖2,猜想線段A3、BD、AH之間的

數量關系，并證明你的猜想；（3）如圖3,若AB=8,在VABC內部有一個動點P,連接以、PB、PC,直

接寫出3E4+4尸3+5PC的最小值.

習題練模型

1.（2023春?湖北武漢?九年級校考階段練習）如圖，點M是矩形ABCD內一點，且AB=5,AD=8,N為邊

3C上一點，連接M4、MD、MN,則的4+MD+MV的最小值為.

2.（2023?廣東深圳?二模）如圖，_ABE是等邊三角形，M是正方形ABC。對角線3。（不含2點）上任意

一點，BM=BN,ZABN=15°（點N在A3的左側），當AM+BM+CM的最小值為6+1時，正方形的邊長

為.

3.（24-25九年級上?湖南長沙?階段練習）法國數學家費馬提出：在4人臺。內存在一點P,使它到三角形頂點

的距離之和最小.人們稱這個點為費馬點，此時出+P8+PC的值為費馬距離.經研究發現：在銳角AA8C

中，費馬點尸滿足NAP3=/BPC=/CE4=120。，如圖，點尸為銳角AABC的費馬點，且以=3,PC=4,

ZABC=60°,則費馬距離為.

4.（2023?四川成都?二模）如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點E是A3的中點，點尸是3C邊上一動

點.將BE尸沿著跖翻折，使得點B落在點方處，若點尸是矩形內一動點，連接P3、PC、PD,則

PB'+近PC+PD的最小值為.

5.（2023?四川?校聯考模擬預測）如圖，在JLBC中，P為平面內的一點，連接AP、PB、PC,若

ZACB=30°,AC=8,BC=10,貝U4PA+2P3+26收的最小值是（）

A.4A/89B.36C.4M+2書+6幣D.16710-10

6.（23-24九年級上?重慶渝中咱主招生）如圖，￡是邊長為8的正方形ABC￡>的邊AD上的動點，DFLEC

于點EG在EC上，且/G=M>,P是平面內一動點，H是BC上的動點，則10（PA+PG+P"）+5B〃+26GB

的最小值為.

7.（2024?湖北?模擬預測）閱讀以下材料并完成問題

材料一：數形結合是一種重要的數學思想如病方可看做是圖一中A3的長，gif可看做是AD的

長.

材料二：費馬點問題是一個古老的數學問題.費馬點即在VABC中有一點P使得叢+PB+PC的值最小.著

名法學家費馬給出的證明方法如下：

將-AB尸繞8點向外旋轉60。得到用G，并連接PA易得△尸［8是等邊三角形、PA=P,AI,則尸8=6々，

則尸A+P3+PC=《A+2A+PC,所以PA+PB+PC的值最小為Ac.

請結合以上兩材料求出7%2+y2+7%2+y2+l-2x+卜+/+12-4后的最小值

8.（2023上?廣東珠海?八年級校考期中）綜合與實踐：

［問題情境】學完等邊三角形后，老師在課堂上提出了一個問題并證明了：如圖1,等邊與等邊oBMN

共一個頂點時，無論怎么擺放可通過SAS恒有二△DBN.于是提出了如下問題.

圖1圖2

【問題證明】（1）如圖2,M是等腰RtAABC內一點，N是等邊△ABD內一點，且滿足△的//ZsOBN.求

證：BMN是等邊三角形.

【遷移應用】（2）在（1）的基礎上，知點M是等腰Rt^ABC內一點，當點M到三角形3個頂點的距離之

和，即M4+MB+MC最小時，我們把M點稱為等腰Rt^ABC的“紫荊點”.若加是等腰的紫荊點，

求4MC.

完成以下推導過程：（①填理由；②填線段；③與④填關系式）

解：如圖3,令N'分別是等腰RCABC,等邊△鈿￡）內一點，且滿足MA=ZW'

,?即0V'是等邊三角形:.M'B=MN,ZMNB=ZN'BM'=NBMN=祈

由一①一可知：MA+MB+ATC的最小值=DV'+W+MC的最小值=_②一

如圖4,當。、N、M、C在一條直線上時.M是等腰Rt^ABC的紫荊點

AZAMB=?=120°；NBMC=④=120°ZAMC=360°-ZAMB-ZBMC=120°

圖3圖4

圖5

【拓展提升】（3）甲同學發現等腰“紫荊點”的作法：如圖5,已知AB=3C,在AB的左側作等邊

AABD.連接C。，與-ABC的角平分線仍交于點M,點M就是“紫荊點”，甲同學發現是否正確？請說明

理由.

9.（2024?陜西西安?二模）問題提出

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,在等邊VABC內部有一點P,PA=3,PB=4,PC=5,則NAP3=

問題解決（2）如圖2,五邊形ABCDE是某公園局部平面圖，BC±CD,ED±CD,ZABC=165°,AB=300^2m，

CD=400m,BC=ED=50m.現需要在該五邊形內部修建一條人工小溪，并建造一座觀賞橋梁尸。和三條

觀光路AP,CQ,DQ,且PQ=3C,PQ//BC.已知觀賞橋梁修建費用每米2a元和觀光路修建費用每米a

元.是否存在點P,使得修建橋梁和觀光路總費用最低？若存在，請用含有a的代數式表示出總費用最小值;

若不存在，請說明理由.

10.（2024?陜西咸陽?模擬預測）（1）如圖①，在VA3C中，AB=AC=4,ZCAB=30°,尸為VA3C內一點，

求卓+PB+PC的最小值.為了求R4+P3+PC的最小值，小明是這樣做的：將一R4B繞點A順時針旋轉

60。得到△P'AB,則尸石=尸3,連接PP.此時小明發現NB4P=60。，且AP=AP,則為等邊三角

形，于是PA=PP.試著根據小明的思路，求出PA+P3+尸C的最小值.

（2）如圖②，某牧場有一塊矩形空地ABCD,其中AD=200米，AB=1004米，點后在AD邊上且AE=50

米，尸為AB邊上任意一點，點A關于砂的對稱點為4.牧場主欲在四邊形但N的四條邊上裝上柵欄飼

養土雞，并將8點、C點分別作為牛棚和羊棚的入口，若要在矩形ABCD內一點尸處打一口井，并修建地

下管道上4',PB,PC.請問：是否存在一點P,使上4'+PB+PC的值最小？如果存在，請求出已4'+尸3+尸。

的最小值及此時的長；如果不存在，請說明理由.

11.（23-24八年級下?陜西?階段練習）課本再現：

（1）把兩個全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如圖1的圖案，則/ACF的度數為

BCG

圖1圖2圖3

遷移應用：（2）如圖2,在正方形ABC。中，E是8邊上一點（不與點C、。重合），連接BE,將防繞點

E順時針旋轉90。至FE,作射線FD交BC的延長線于點G,求證：CG=BC；

拓展延伸：（3）如圖3,在菱形A3CD中，ZA=120°,E是CO邊上一點（不與點C、。重合），連接BE,

將BE繞點E順時針旋轉120。至FE,作射線陽交BC的延長線于點G.

①線段CG與8C的數量關系是②連接AG,點P為，ABG內一點，連接上4,PB,PG.若AB=6,

則AP+3P+PG的最小值為.

12.（23-24九年級上?重慶江津?階段練習）如圖，在，ABC中，/BAC=90。，AB=AC=2形,于

點。.點G是射線A。上一點，過G作GE_LGF分別交A3、AC于點E、F：

①②③

⑴如圖①所示，若點E,尸分別在線段AB,AC上，當點G與點。重合時，求證：AE+AF=@AD;

（2）如圖②所示，當點G在線段外，且點E與點B重合時，猜想AE,AF與AG之間存在的數量關系并說

明理由；（3）當點G在線段AD上時，請直接寫出AG+3G+CG的最小值.

參考公式：（&+揚）=a+b+2y[ab

13.（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學家、被譽為業余數學家之王的

皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題.1643年，在一封寫給意大利數學家和物理學家托里拆利的私人

信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直

線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最短的點尸的位置.托里拆利成功地解決了費馬

的問題.后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A,B,C距離之和最小的點稱為，ABC的費馬-托里

拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點.問題解決：

（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將繞點8順時針

旋轉60。得到BDE,連接尸口，可得為等邊三角形，故尸口=尸8,由旋轉可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由一可知，E4+P2+PC的最小值與線段一的長度相等；

（2）如圖2,在直角三角形ABC內部有一動點P,ZBAC=90°,ZACB=30°,連接必，PB,PC,若A8=2,

求出+PB+PC的最小值；（3）如圖3,菱形ABC。的邊長為4,ZABC=60°,平面內有一動點E,在點E運

動過程中，始終有/2EC=90。，連接AE、DE,在.ADE內部是否存在一點P,使得B4+PD+PE最小，若存

在，請直接寫出B4+PO+PE的最小值；若不存在，請說明理由.

14.（23-24九年級上.湖北襄陽咱主招生）（1）如圖在內部有一點P,△ABD是正三角形，連接上4、

PB、PC,將線段AP繞A順時針反向旋轉60。至AE,①求證：PA+PB=DE+EP-,②調整P點的位置，使

R4+PB+PC最小，求此時/AP8和/APC的大小.（2）如圖在直角三角形RQT中，RQ±QT,RQ=QT=2,

在其內部任取一點"，求"R+MQ+MT的最小值.

R

CQ

圖(1)圖⑵

15.（2023?湖北隨州?統考中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一

條直線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家

托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角

形的某個頂點）

當,ABC的三個內角均小于120。時，如圖1,將aAPC繞，點C順時針旋轉60。得到A'PC,連接尸P,

由PC=P'C,ZPCP'=60°,可知為①三角形,故尸尸'=PC,又P'A=P4,故

PA+PB+PC=PA+PB+PF/>AB,

由②可知,當B,P,P',A在同一條直線上時，B4+P3+PC取最小值，如圖2,最小值為A3,此時

的尸點為該三角形的“費馬點”，且有ZAPC=N3PC=ZAP3=③；

已知當1MBe有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若NBAC2120。，

則該三角形的“費馬點”為④點.

⑵如圖4,在cABC中，三個內角均小于120。，且AC=3,BC=4,NACB=30。，已知點P為ABC的“費

馬點”，求以+9+PC的值；

CBCB

（3）如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km,8C=2瓜m,ZACB=60°.現欲

建一中轉站P沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A,B,C的鋪設成本分別為。

元/km,。元/km,J力元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元.（結果

用含。的式子表示）

16.(2024?廣東?一模)如圖，"CB和△DCE均為等腰直角三角形,

ZACB=NDCE=90°,AC=BC,DC=EC.現將ADCE繞點C旋轉.

(1)如圖1,若ARE三點共線，AD=5求點8到直線CE的距離；(2)如圖2,連接點尸

為線段3D的中點，連接CP,求證：AE1CF；(3)如圖3,若點G在線段45上，且AC=8,AG=7近,

在內部有一點O,請直接寫出"OC+0OA+巫。G的最小值.

22

專題35最值模型之費馬點模型

費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數學思想，在各類考

試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費馬點問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶?德?費馬，17世紀法國數學家，有“業余數學家之王”的美譽，之所以叫業余并非段位不夠，

而是因為其主職是律師，兼職搞搞數學.費馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢獻，除此之外，費

馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等.費馬點：三角形內的點到三個頂點距離之

和最小的點。

模型1.費馬點模型

模型解讀

結論：如圖1,點M為AABC內任意一點，連接AM、BM、CM,當M與三個頂點連線的夾角為120。時,

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述結論成立的條件是AABC的最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此時費馬點就

是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常只考查三角形的最大頂角小于120。）

模型證明

證明：如圖2,以A8為一邊向外作等邊三角形AABE,將繞點8逆時針旋轉60。得到BN,連接EN.

:△ABE為等邊三角形，：.AB=BE,NABE=60°.而NAffiN=60。，:./ABM=/EBN.

AB=BE

在AAMB馬4ENB中，VJZABM=ZEBN，AAMB咨4ENB（SAS）.

BM=BN

連接A/N.由△AMB0AENB知，AM=EN.〈/MBN=60°,BM=BN,△BMN為等邊三角形.

：.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM..,.當￡、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小.

此時，ZBMC=180°-ZWB=120°；NAMB=NENB=180°-NBNM=120°；

ZAMC=360°-ZBMC-ZAMB=120°.

費馬點的作法：如圖3,分另I」以AABC的A&AC為一邊向外作等邊及4附和等邊AACF,連接CE、BF,設

交點為M,則點〃即為AABC的費馬點。

【最值原理】兩點之間，線段最短。

模型運用

例1.（23-24九年級上廣東江門?階段練習）如圖，在一ABC中，NBAC=90。,A8=5,AC=2—，點P為

內部一點，則點P到一ABC三個頂點之和的最小值是

A

【答案】南

【分析】將AB尸繞著點4順時針旋轉60。，得到連接EP,CH,過點C作CNLAH,交的

延長線于N,由旋轉的性質可得NS4P=N/i4E,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE，易得

△AEP是等邊三角形，可得/a=AP=￡P,進而得到AP+3P+PC=￡P+E//+PC,當點H、E、P、C共

線時，AP+3P+PC有最小值8C,再求出。'和9的長度，由勾股定理可求解.

【詳解】解：將繞著點A順時針旋轉60。，得到連接EP,CH,過點C作。VLAH,交XA

的延長線于N,

:.ZBAP=NHAE,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,

：.ZHAB=ZEAP=60°,，是等邊三角形，/.AE^AP=EP,

：.AP+BP+PC=EP+EH+PC,，當點H、E、P、C共線時，AP+3P+PC有最小值HC.

,?ZNAC=180°-Z.BAH-ABAC=180°-60°-90°=30°,AC=2yf3,

:.CN=；AC=6,；.AN=《AC2-CN。=J(2⑹y⑹°=3,；.HN=AH+AN=5+3=8.

在Rtaa陽中，CH=1HN?+CN。=Jj+(⑹2=屈,即點P到ABC三個頂點之和的最小值是標'.

故答案為：^67.

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角

形的性質，構造旋轉圖形是本題的關鍵.

例2.(2024?江蘇宿遷.模擬預測)如圖，在矩形ABCD中，ABn4BCuaE是A3的中點，尸是BC邊上一

動點，將ABEF沿著所翻折，使得點3落在點8,處，矩形內有一動點P,連接則尸？+PC+PD

的最小值為.

【答案】4+26

【分析】將ADPC繞點D逆時針旋轉60。得到DP'C',連接尸尸'、CC,從而將尸B'+PC+PD轉化到

PB'+PP'+P'C,當點E、B'、P、P、C'在同一條直線上時，P3'+PC+PD=PB'+PP+PC'取得最小

值.

如圖，將△DPC繞點D逆時針旋轉60。得到.DPC,連接PP、CC,則有：

..DPP'、ADCC是等邊三角形，；.PD=PP；PC=P'C'PB'+PC+PD=PB'+PP'+PC

由折疊的性質可知，？的運動軌跡是以E為圓心，EB長為半徑的圓（如圖所示），故當E、B'、P、P、C

在同一直線上時取最小值；

AB=4,BC=6,E是A8的中點，DPP、△DCC'是等邊三角形，

DC=4,EB=EB'=-AB=2,：.PD=PP'=—DC=,PC=P'C'=PD=--

2333

PB，32.空“空,

33

P8'+PC+PD的最小值為：PB'+PC+PD^PB'+PP'+PC=4-—+—+^-=4+2y/3；

333

故答案為4+2后.

【點睛】本題考查了圖形中求最短距離的問題，解題的關鍵是把所求線段轉化到同一直線中求解.

例3.（23-24九年級下?河南周口?階段練習）【問題背景】在已知_ABC所在平面內求一點尸，使它到三角形

的三個頂點的距離之和最小（如圖1）.這個問題是有著“業余數學家之王”美譽的法國律師費馬在1640年前

后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”.解決方法如下：如圖2,把△APC繞

A點逆時針旋轉60。得到..AP'C'（點P,C的對應點分別為點P',C）,連接PP',則47y=60°,PC=PC.

,/,APP'為等邊三角形,/?AP^PP,：.PA+PB+PC=PP'+PB+PC,

，當8,P,P',C'四點在同一直線上時，P4+PB+PC的值最小，即點尸是ABC的“費馬點”.

任務：（1）橫線處填寫的條件是；（2）當點P是.ABC的“費馬點”時，ZAPB=/BPC=ZAPC=；

（3）如圖3,中，ZCAB=90°,AB=AC,E,尸為BC上的點，且NE4F=45。，判斷3E,EF,FC

之間的數量關系并說明理由；

【實際應用】圖4所示是一個三角形公園，其中頂點A,B,C為公園的出入口，ZA=75°,AB=2伍m，

AC=4km,工人師傅準備在公園內修建一涼亭P,使該涼亭到三個出入口的距離最小，則2+PB+PC的

最小值是.

【答案】問題背景：（1）見解析；（2）120°；（3）EF2=BE2+CF1，理由見解析；實際應用；2回km

【分析】問題背景：（1）先證明，APP'為等邊三角形，得到AP=PP，貝UX4+P3+PC=PP+P3+PC',

由此可得當2,P,P',C'四點在同一直線上時，上4+尸3+尸。的值最小，即點P是ABC的“費馬點”.

（2）由旋轉的性質可得NC4C'=60。，ZC'=ZACP,進而利用三角形內角和定理得到

ZCPO=ZCAC'=60°,再由等邊三角形的性質得到ZAPP=60。，則NAPC=120。，ZAPC=120°,即可

利用周角的定義得到NBPC=360°-ZABP-ZAPC=120°；

（3）將繞點A逆時針旋轉90。，得到CAD,連接。尸，利用旋轉的性質和等邊對等角，得到CD=跖,

/CD為直角三角形，進而得到。產=。2+。產，證明△AFE之△AED,得到￡F=DF,即可得出結論;

實際應用：如圖所示，將.C4P繞點A逆時針旋轉60。得到△CAT,連接PP,由問題背景（1）可得當8,

P,P',C四點在同一直線上時，R4+PB+PC的值最小，最小值為8C',過點C'作3A交54延長

線于。，證明△C2M是等腰直角三角形，得到AD=CD=且MC=20km,則8。=A8+A￡>=4伍m,

2

利用勾股定理得到BC=yJCD2+BD2=2^/15km，則叢+PB+PC得最小值為2而km.

【詳解】解：問題背景：（1）如圖2,把繞A點逆時針旋轉60。得到_4P'C'（點產，C的對應點分別

為點P',C'）,連接PP',則4P=60。，P'C=PC.

■：AP=AP',：.APP為等邊三角形，,=二9+網+2。=正尸'+尸3+尸。'，

...當8,P,P',C'四點在同一直線上時，PA+PB+PC的值最小，即點尸是ABC的“費馬點”.

（2）如圖2所示，設尸P,AC交于。，由（1）可得當2,P,P',C'四點在同一直線上時，PA+PB+PC

的值最小，由旋轉的性質可得ZCAC'=60°,ZC'=ZACP,又,/ZAOC=ZPOC,：.ZCPO=ZCAC=60°

,?APp為等邊三角形，ZAPP,=60°,ZAP'C=180°-ZAP'P=120°,ZAPC=120°,

：.ZBPC=360°-ZABP-ZAPC=120°,ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°,故答案為：120°；

(3)EF2=BE2+CF2,理由如下：,：AB=AC,/朋C=90°,：.ZB=ZACB=45°,

如圖所示，將AH場繞點A逆時針旋轉90。，得到，C4。，連接O歹，

則：NBAE=ADAC,ZACD=NB=45°,AD=AE,BE=CD,

：.ZDCF=ZACB+ZDCA=90°,DF2=CF2+CD2=CF2+BE2,

NEAF=45。，/.ZDAC+ZCAF=ZBAE+ZCAF=NBAC—NEAF=45°,ZDAF=ZEAF=45°,

XVAF=FA,AD^AE,△AFE四△AED,:.EF=DF,：.EF2=CF2+BE2

實際應用：如圖所示，將.C4P繞點A逆時針旋轉60。得到△CAP,連接PP,

由問題背景(1)可得當8,P,P',C'四點在同一直線上時，刈+抬+尸。的值最小，最小值為3C',

過點C作C79XBA交84延長線于。，由旋轉的性質可得NC4C'=60。，AC,=AC=4km,

"?ABAC=75°,二NC'AD=180O-ZCAC-NBAC=45°,：./\C'DA是等腰直角三角形，

AD=C'D=—AC=2V2km,二BD=AB+AD=4y/2km,

2

?>.BC'=yjc'D1+BD1=2715km，；?"+PB+PC得最小值為2&ikm,故答案為：2西協.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質與判定，勾股定理，全等三角形的性質與判定，

等腰直角三角形的性質與判定等等，通過旋轉構造全等三角形是解題的關鍵.

例4.（2023春?重慶?九年級專題練習）背景資料：在已知ABC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個

頂點的距離之和最小.這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點

被人們稱為“費馬點”.如圖1,當_ABC三個內角均小于120。時，費馬點尸在_ABC內部，當

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120°時，貝！|R4+PB+PC取得最小值.

AAA

B

圖

圖23

（1）如圖2,等邊ABC內有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求NAPB的度數，為

了解決本題，我們可以將一一繞頂點A旋轉到△ACP處，此時4cp'空ABP這樣就可以利用旋轉變換，

將三條線段上4、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出N4P8=；

知識生成：怎樣找三個內角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與4ABe的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點.請同學們探索以下問

題.⑵如圖3,三個內角均小于120。,在ABC外側作等邊三角形,連接CB',求證：CB'過一ABC

的費馬點.（3）如圖4,在ATABC中，ZC=90°,AC=\,NABC=3O。，點尸為-ABC的費馬點，連接AP、

BP、CP,求El+PB+PC的值.（4）如圖5,在正方形ABCD中，點E為內部任意一點，連接AE、BE、

CE,且邊長AB=2；求AE+3E+CE的最小值.

【答案】（1）150。；（2）見詳解；（3）近；（4）?+行.

【分析】（1）根據旋轉性質得出ABP咨△ACP,得出ZBAP=ZCAP',ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP^PM,

根據"BC為等邊三角形，得出NA4c=60。，可證A4PP為等邊三角形，PP，=AP=3,ZAP'P=60°,根據勾股

定理逆定理勿，2+2,（72=32+42=25=/<:2,得出八口'。是直角三角形，ZPP'C=90°,可求N/PC=NAPP+

/PPC=600+90°=150°即可；

（2）將AAPB逆時針旋轉60°,得至U△/8'尸'，連結尸P,根據AAPB名△/8'P,AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根據NHP=NA4〃=60。，△///'和△482'均為等邊三角形，得出PP'=AP,根據PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

根據兩點之間線段最短得出點C,點尸，點P,點皮四點共線時，P4+PB+PC最小=。戌，點尸在C皮上即

可;

(3)將AAPB逆時針旋轉60。，得到A/P/，連結58。PP',得出△APBg/X/P夕，可證A4PP和均

為等邊三角形，得出尸P=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,PA+PB+PC=PP+PB'+PC,可得點C,點P,

點P,點夕四點共線時，PA+PB+PC^=CB',利用30。直角三角形性質得出AB=2AC=2,根據勾股定理

BC=^AB--AC2=A/22-12=73-可求2B'=AB=2,ZCBB'=ZABC+ZABB,=30°+60°=90°,在RsCBB，

中，B，C=4BC2+BB，2=Q(呵+2?=#即可;

(4)將△BCE逆時針旋轉60。得到ACE皮，連結EE',BB',過點皮作2戶L4B,交延長線于尸，得出

2CEE,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可證△￡(?￡，與Z^C9均為等邊三角形，得出EE'=EC,BB'=BC,Z

B'BC=6Q°,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',得出點C,點E,點？，點皮四點共線時，

AE+BE+CE=AE+EE+EB最小=4B，,根據四邊形ABC。為正方形，得出AB=BC=2,ZABC=90°,可求

ZFBB'=180°-ZABC-ZCBB'=180o-90°-60o=30°,根據30。直角三角形性質得出=-x2-1,勾股定

22

理BF7BB°-B'F2=5可求AB=AB+B尸=2+依，再根據勾股定理

yjAF2+B'F2=J(2+商+7="+0即可.

【詳解】(1)解：連結PP,：“ABP0AAeP,.?./a4P=/CNP,ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

△ABC為等邊三角形，；.ZBAC=60°：.APAP'=ZPAC+ZCAP'=ZPAC+ZBAP=60°,

.?.△APP為等邊三角形，，；.PP，=AP=3,ZAP'P=6Q°,在APPC中，PC=5,PP'2+P'C2=：32+42=25=PC2,

是直角三角形，/PP，C=90。,：.ZAP'C=ZAPP+ZPPC=60°+90°^l50°,

：.ZAPB=ZAP'C=15Q°,故答案為150。；

(2)證明：將AAPB逆時針旋轉60。，得到A/BP,連結PP,,:4APB沿44BP,：.AP=AP',PB=PB',

AB=AB',

VZPAP'=ZBAB'=60°,.*.△/%'和A/8"均為等邊三角形，：.PP'=AP,

,：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,...點C,點P,點P,點5'四點共線時，PA+PB+PC^-CB',

...點尸在C夕上，CB'過ABC的費馬點.

(3)解：將AAPB逆時針旋轉60。，得到△/2反，連結B皮，PP',

:.AAPB這LAPB,：.AP'=AP,AB'=AB,

,/ZPAP'=ZBAB'=6Q°,；.△NPP'和A/BB'均為等邊三角形，：.PP'=AP,BB'=AB,ZABB'=60°,

■;PA+PB+PC=PP+PB&PC：.點、C,點、P,點P,點方四點共線時，PA+PB+PC^=CB',

VZC=90°,AC=1,ZABC=30°,：.AB=2AC=2,根據勾股定理BC=履==萬丁=6二

BB'=AB=2,

?..NCB8'=NABC+NABB'=30°+60°=90°,.?.在RtACBB'中，B'C=y]BC2+BB,2=+22=S

：.PA+PB+PC最小=CB'=用；

(4)解：將ABCE逆時針旋轉60。得到ACEb，連結EEIBB',過點皮作3斤，A3,交A3延長線于R

:.ABCE空ACEB,：.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

VZECE'=ZBCB'=60°,:.AECE與ABCB，均為等邊三角形,：.EE'=EC,BB'=BC,ZB'BC=60°,

,：AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

.?.點C,點E,點？，點皮四點共線時，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'最小=/"，

:四邊形ABC。為正方形，：.AB=BC=2,ZABC=9Q°,：.ZFBB'=180°-AABC-ZCBB'=180o-90°-60o=30°,

22

?：B'F±AF,.\BF=|BB,=1X2=1,BF=^BBI2-B'F2=72-I=73>

.,.AF=AB+BF=2+y/3,.,.AB-yjAF2+B'F2=^2+V3j2+12=&+0，；.AE+BE+CE最『AB三娓+吏.

AD

【點睛】本題考查圖形旋轉性質，等邊三角形判定與性質，勾股定理，直角三角形判定與性質，兩點之間

線段最短，四點共線，正方形性質，30。直角三角形性質，掌握圖形旋轉性質，等邊三角形判定與性質，勾

股定理，直角三角形判定與性質，兩點之間線段最短，四點共線，正方形性質，30。直角三角形性質是解題

關鍵.

例5.（2024?江蘇?校考三模）如圖，四個村莊坐落在矩形ABC。的四個頂點上，AB=10公里，3c=15公

里，現在要設立兩個車站E,F,則E4+EB+EF+FC+FD的最小值為公里.

【答案】15+10班

（分析】將“班繞A順時針旋轉60。得"GW,連接BH、EG,將繞點D逆時針旋轉60。得到

連接CM、F