2025年中考數學一輪復習學案（全國版）

第二章方程與不等式

2.2分式方程

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1分式方程的解法☆☆數學中考中，有關分式方程的部分，每年考查1道題,

分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的形

式考查。但三種形式只會出現一種。解答題基本以三

種形式考查：一是給出分式方程，讓學生解這個方程；

考點2分式方程的應用☆☆

二是列方程求解；三是結合不等式、函數知識綜合考

查。這類問題要注意解分式方程需要驗根，同時注意

得出結果和實際問題相符合。

☆☆代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。

夯實基礎

考點1.分式方程的解法

1.分式方程定義：_____里含有未知數的方程叫做分式方程．

分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知數；③是方程．

2．解分式方程的一般方法：

（1）解分式方程的基本思想：

把分式方程轉化為_____方程，解這個整式方程，然后_____，從而確定分式方程的解．

（2）解分式方程的一般方法和步驟：

①______：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程；

②解_____方程：去括號、移項、合并同類項等；

③_____：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式

方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．

3．分式方程的特殊解法——換元法：

換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般

的去分母不易解決時，可考慮用換元法．

4．增根：使分式方程的最簡公分母為的根．

（1）產生增根的原因：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，將其轉化為整式方程后沒有此條件

限制了．

（2）分式方程的增根與無解的區別：分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方

程無解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根．

考點2.分式方程的應用

1.工程問題等量關系：工作量=工作時間×______。靈活掌握它的兩個變式。

2.解決工程問題的基本思路

（1）題中有“單獨”字眼通常可知工作效率；

（2）通常間接設元，如××單獨完成需x（單位時間），則可表示出其工作效率；

（3）弄清基本的數量關系.如本題中的“合作的工效=甲乙兩隊工作效率的和”.

（4）解題方法：可概括為“321”，即3指該類問題中三量關系，如工程問題有工作效率，工作時間，

工作量；2指該類問題中的“兩個主人公”如甲隊和乙隊，或“甲單獨和兩隊合作”；1指該問題中

的一個等量關系.如工程問題中等量關系是：兩個主人公工作總量之和=全部工作總量.

（5）各部分工作量之和等于1，常從工作量和工作時間上考慮相等關系．

3.行程問題等量關系：路程=速度×_______.靈活掌握它的兩個變式。

4.解決問題注意事項：

（1）注意關鍵詞“提速”與“提速到”的區別；

（2）明確兩個“主人公”的行程問題中三個量用代數式表示出來；

（3）行程問題中的等量關系通常抓住“時間線”來建立方程.

5.利潤問題等量關系：批發成本=批發數量×______；批發數量=批發成本÷批發價；打折銷售價=

定價×折數；銷售利潤=銷售收入一批發成本；每本銷售利潤=定價一批發價；每本打折銷售利潤=打

折銷售價一批發價，利潤率=利潤÷進價。

6.數字問題：在數字問題中要掌握十進制數的表示法；

溶質

7.濃度問題的基本關系是：=_______．

溶液

.

8.順水逆水問題：v順＝v靜＋v水流，v逆＝v靜－v水流

注意：列分式方程解應用題的一般步驟

(1)審清題意，并設未知數；

(2)找相等關系；

(3)列出方程；

(4)解這個分式方程；

(5)驗根（包括兩方面:是否是分式方程的根；是否符合題意）；

（6）寫答案.

【易錯點提示】

解分式方程過程中，易錯點主要體現在：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不

要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解

才是原方程的解．具體情況表現在一下幾點：

1.忘記驗根。

2.檢驗方法不正確。

3.忽視分子為零。

4.考慮問題不全面。

5.沒有真正理解分式方程有“增根”的含義。

6.去分母時漏乘不含分母的項。

7.解分式方程錯符號。

考點1.分式方程的解法

3x

【例題1】（2024福建省）解方程：1．

x2x2

xx1

【對點變式練1】（2024哈爾濱一模）分式方程的解是（）

x3x1

A.x3B.x3C.x2D.x0

x3

【對點變式練2】（2024蘇州一模）方程的解是_______．

x12x2

x4

【對點變式練3】（2024山東威海一模）解方程：1

x1x21

2x1x22x1

【對點變式練4】（2024上海一模）在分式方程5中，設y，可得到關于

x22x1x2

y的整式方程為（）

A.y25y50B.y25y50

C.y25y10D.y25y10

1m

【例題2】（2024黑龍江齊齊哈爾）如果關于x的分式方程0的解是負數，那么實數m的

xx1

取值范圍是（）

A.m1且m0B.m1C.m1D.m1且m1

m3

【對點變式練1】（2024湖北武漢一模）已知關于x的分式方程2的解為非負數，

x11x

則正整數m的所有個數

為（）

A．3B．4C．5D．6

xmx1

【對點變式練2】（2024黑龍江龍東一模）關于x的方程1的解為非負數，則m的取

x22x

值范圍是____________．

考點2.分式方程的應用

【例題3】（2024甘肅臨夏）端午節期間，某商家推出“優惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷

售．細心的小夏發現，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？

設每袋粽子的原價是x元，所得方程正確的是（）

240240240240

A.10B.10

xx2xx2

240240240240

C.10D.10

x2xx2x

【對點變式練1】（2024新疆一模）某鎮的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛，也是饋贈親友的尚佳禮

品，首批“脆紅李”成熟后，當地某電商用12000元購進這種“脆紅李”進行銷售，面市后，線上訂

單猛增供不應求，該電商又用11000元購進第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價

比第一批每件便宜了5元，但數量比第一批多購進了40件，求購進的第一批“脆紅李”的單價．設

購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，根據題意可列方程為（）

12000110001200011000

A.40B.40

xx5xx5

12000110001100012000

C.40D.40

x5xxx5

【對點變式練2】（2024云南一模）某校組織學生去郭永懷紀念館進行研學活動．紀念館距學校72

千米，部分學生乘坐大型客車先行，出發12分鐘后，另一部分學生乘坐小型客車前往，結果同時到

達．已知小型客車的速度是大型客車速度的1.2倍，求大型客車的速度．

【對點變式練3】（2024山西一模）某公司不定期為員工購買某預制食品廠生產的雜醬面、牛肉面兩

種食品．

（1）該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為

15元、20元，求購買兩種食品各多少份？

（2）由于公司員工人數和食品價格有所調整，現該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬

面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數比牛肉面的份數多50％，每份雜醬面比每份牛肉面的

價格少6元，求購買牛肉面多少份？

考點1.分式方程的解法

12

1.（2024四川瀘州）分式方程3的解是（）

x22x

75

A.xB.x=1C.xD.x3

33

2m

2.（2024四川遂寧）分式方程1的解為正數，則m的取值范圍（）

x1x1

A.m3B.m3且m2

C.m3D.m3且m2

xx1

3.（2024武漢市）分式方程的解是______．

x3x1

2

4.（2024湖南省）分式方程=1的解是_______．

x1

13

5.（2024四川成都市）分式方程的解是____．

x2x

3kx1

6.（2024四川達州）若關于x的方程1無解，則k的值為______．

x2x2

4x1

x1

7.（2024重慶市A）若關于x的不等式組3至少有2個整數解，且關于y的分式方

2x1xa

a13

程2的解為非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為______．

y11y

2x1

3

8.（2024重慶市B）若關于x的一元一次不等式組3的解集為x4，且關于y的分

4x23xa

a8y

式方程1的解均為負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是________．

y2y2

13

9.（2024廣州）解方程：．

2x5x

2x

10.（2024陜西省）解方程：1．

x21x1

考點2.分式方程的應用

1.（2024黑龍江綏化）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h，它以該航速沿江順流航行120km所

用時間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時間相等，則江水的流速為（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

2.（2024四川達州）甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加工

30分鐘后，甲開始加工．甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的1.2倍，最后兩人同時完成．求

乙每小時加工零件多少個？設乙每小時加工x個零件．可列方程為（）

120120120120

A.30B.30

1.2xxx1.2x

1201203012012030

C.D.

1.2xx60x1.2x60

3.（2024山東棗莊）為提高生產效率，某工廠將生產線進行升級改造，改造后比改造前每天多生

產100件，改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同，則改造后每天生產的產品件

數為（）

A.200B.300C.400D.500

4.（2024云南省）某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀，已知A地到B地的路程為300

千米，乘坐C型車比乘坐D型車少用2小時，C型車的平均速度是D型車的平均速度的3倍，求D型

車的平均速度．

5.（2024江蘇揚州）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、B兩種機器，A型機器比B型

機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數與B型機器處理300噸垃圾所用天數

相等．B型機器每天處理多少噸垃圾？

6.（2024山東威海）某公司為節能環保，安裝了一批A型節能燈，一年用電16000千瓦·時．后購進

一批相同數量的B型節能燈，一年用電9600千瓦·時．一盞A型節能燈每年的用電量比一盞B型節能

燈每年用電量的2倍少32千瓦·時．求一盞A型節能燈每年的用電量．

7.（2024內蒙古赤峰）一段高速公路需要修復，現有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每

天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單

獨修復90千米公路所需要的時間相等．

（1）求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；

（2）為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那

么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？

8.（2024廣西）綜合與實踐

在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節約用水策略．

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃

度達到洗衣目標．

假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%，每次擰干后校服上都殘留0.5kg水．

0.5d前

濃度關系式：d后．其中d前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單

0.5w

次漂洗所加清水量（單位：kg）

【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動手操作】請按要求完成下列任務：

（1）如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？

（3）比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．

考點1.分式方程的解法

1．把分式方程﹣＝1化為整式方程正確的是（）

A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1

C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2

32

2.方程的解是：x__________．

x2x1

13

3.解方程：1．

x12x2

xx3

4.小丁和小迪分別解方程1過程如下：

x22x

小丁：小迪：

解：去分母，得x(x3)x2解：去分母，得x(x3)1

去括號，得xx3x2去括號得xx31

合并同類項，得3x2合并同類項得2x31

解得x5解得x2

∴原方程的解是x5經檢驗，x2是方程的增根，原方程無解

你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出

你的解答過程．

5．解分式方程：

小明同學是這樣解答的：

解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．

去括號，得：x+4＝3x﹣6．

移項，合并同類項，得：﹣2x＝﹣10．

兩邊同時除以﹣2，得：x＝5．

經檢驗，x＝5是原方程的解．

小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．

6．觀察下列算式：

＝＝，＝＝，＝＝﹣，……

（1）由此可推斷：＝；

（2）請用含字母m（m為正整數）的等式表示（1）中的一般規律；

（3）仿照以上方法解方程：+＝．

3xm3

7．若關于x的分式方程1有增根，則m______．

x2x2

x3a

8．若關于x的分式方程=2a無解，則a的值為_____．

x33x

x3m

9.若關于x的方程2解為正數，則m的取值范圍是（）

x12x2

24242

A.mB.mC.m且m0D.m且m

33333

2x13x2

10．若關于x的一元一次不等式組xa的解集為x≥5，且關于y的分式方程

1

2

ya

1有非負整數解，則符合條件的所有整數a的和為（）

y22y

A．-1B．-2C．-3D．0

11．“若關于x的方程無解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：

尖尖：