專題32最值模型之將軍遛馬模型與將軍過橋（造橋）模型

將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎上加入了平移的

思想，主要還是考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型

和將軍過橋（造橋）模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長

度方向平移即可，即可以跨越長度轉化為標準的將軍飲馬模型，再依據同側做對稱點變異側，異側直接連

線即可。利用數學的轉化思想，將復雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造

橋）再也不是問題！.

目錄導航一

例題講模型

...........................................................................................................................................2

模型1.將軍遛馬模型..........................................................................2

模型2.將軍造橋（過橋）模型.................................................................6

習題練模型'

例題講模型I]

模型1.將軍遛馬模型

模型解讀

將軍遛馬模型：已知A、8是兩個定點，尸、。是直線機上的兩個動點，尸在。的左側，且尸Q間長度恒定,

在直線機上要求尸、。兩點，使得B4+PQ+Q8的值最小。

點A、2在直線相異側（圖1-1）；點A、B在直線相同側（圖1-2）；

A.

_________

pQ

B

圖1-1圖1-2

模型證明

將軍遛馬模型（異側型）：如圖1-1,過A點作AC〃根，且AC=PQ,連接BC,交直線根于0,。向左平移

PQ長，即為尸點，此時P、。即為所求的點。

'：PQ為定值，：.i^PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。

'：AC//m,AC=PQ,得至ij四邊形APQC為平行四邊形，ikAP=QCo：.PA+QB=QC+QB,

再利用“兩點之間線段最短”，可得B4+QB的最小值為C2,故出+尸。+。3的最小值=尸。+。區

圖1-1圖1-2

將軍遛馬模型（同側型）：如圖1-2,過A點作AE〃九且AE=PQ,作B關于根的對稱點方，連接夕E,交

直線加于。。向左平移尸。長，即為尸點，此時P、。即為所求的點。

'：PQ為定值，.,.求B4+PQ+Q8的最小值，即求PA+QB的最小值+P。。

,：AE//m,AE=PQ,得至！J四邊形APQE為平行四邊形，^AP=QE?：.PA+QB=QE+QB,

根據對稱，可得QB^QB,即QE+QB=QE+QB\

再利用“兩點之間線段最短”，可得0E+Q8'的最小值為班'，故E4+PQ+QB的最小值=2。+防'。

模型運用

例L（2023?陜西?模擬預測）如圖，菱形ABC。的邊長為3,&BAD=60。，點E、尸在對角線AC上（點E

在點尸的左側），且所=1,則。E+2F最小值為

【答案】何

【分析】作DM〃AC,使得。M=E尸=1,連接交AC于R由四邊形。EFM是平行四邊形，推出DE=FM,

推出ZJE+2代根據兩點之間線段最短可知，此時DE+F8最短，由四邊形A2C。是菱形，在

RfABOW中，根據勾股定理計算即可.

【詳解】解：如圖，作。M〃AC,使得。M=EF=1,連接交AC于凡

團DM=EF,DM//EF,回四邊形。是平行四邊形，SDE=FM,SDE+BF=FM+FB=BM,

根據兩點之間線段最短可知，此時DE+FB最短，回四邊形ABC。是菱形，AB=3,aBAD=60。

^AD=AB,EEABD是等邊三角形，0BD=AB=3,

0BDEMC,DMSAC,0BDBD/W,在RfABZM/中，BM=正+?

團DE+BF的最小值為回.故答案為V10.

【點睛】本題考查菱形的性質、平行四邊形的判定和性質、兩點之間線段最短、勾股定理等知識，解題的

關鍵是學會添加常用輔助線，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，屬于中考填空題中的壓軸題.

例21.（2023?安徽合肥?校考三模）在邊長為2的正方形ABCD中，點昆尸是對角線5D上的兩個動點，且

始終保持BF—BE=1,連接A￡\CF,則AE+CF的最小值為（）

A.2近B.3C.2A/5D.26+1

【答案】B

【分析】過點A作使AH=EF,易得四邊形AEFH為平行四邊形，得至=進而得到

AE+CF^HF+CF>CH,得到三點共線時，AE+CT有最小值即為CH的長，利用勾股定理進行

求解即可.

【詳解】解：過點A作使AH=￡F=斯-座=1,貝八四邊形AEFH為平行四邊形,

^AE=HF,SAE+CF=HF+CF>CH,回當C,E8三點共線時，A￡+CF有最小值即為CH的長，

團四邊形ABCD為正方形，^ACIBD,AB=BC=2,ZABC=90°,

團4c=20,AHLAC,^CH=4AC^+AHi=3^即：鉆+。尸的最小值為3.故選B.

【點睛】本題考查正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理.解題的關鍵是構造平行四邊形，

進行線段的轉化.

例3.（2024?河北邯鄲?三模）如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，ZABC=60°,將△AfiD沿射線3D的方

向平移得到△43'。'，分別連接A'C,AD,B'C,則A'C+B'C的最小值為（）

A.1B.后C.坦D.2

【答案】C

【分析】根據菱形的性質得到AB=1,/ABD=30。，根據平移的性質得到A?=AB=1,AB'//AB,推出

四邊形AZ'CD是平行四邊形，得到A'D=9C,于是得到AC+3'C的最小值=4。+4。的最小值，根據平

移的性質得到點A在過點A且平行于BD的定直線上，作點D關于定直線的對稱點E,連接CE交定直線于

A,則CE的長度即為AC+3'C的最小值，求得DE=CD,得到NE=/DCE=30。，于是得到結論

【詳解】解：在邊長為1的菱形ABCD中，NABC=60。，:.AB=CD=1,ZABD=30°,

■.?將△ABD沿射線3D的方向平移得到△A3Z>',.?.A8=AB=1,AB'//AB,

??,四邊形ABCD是菱形，.?.AB=CD,AB//CD,ZSAD=120°,

:.AB'=CD,A'3'〃CD,??.四邊形A'B'CD是平行四邊形，

A￡>=B'C,，AC+8C的最小值=AC+A'O的最小值，

???點A在過點A且平行于BO的定直線上，

作點。關于定直線的對稱點E,連接CE交定直線于4,則CE的長度即為AC+3'C的最小值,

:.ZADE=60°,DH=EH=-AD=-,:.DE=1,:.DE=CD,

22

ZCDE=ZEDB'+ZCDB=90°+30°=120°,ZE=ZDCE=30°,作。G_LEC,

?:DE=CD=1；.CE=2CG過點。作DG_LEC垂足為G

在RtACGZ）中，ZDCE=30°/.cosZDCG=—=—=—

CD12

:.CG=2:.CE=2CG=2x旦=日故選：C.

22

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，菱形的性質，矩形的判定和性質，解直角三角形，平移的性質，

求得AC+3'C的最小值=4。+47）的最小值是解題的關鍵.

例4.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，E,b是對角線AC上兩點（點E靠近點A）,

且E尸=20,當3E+3戶的最小值為2JQ時，A2的長為.

【答案】4

【分析】本題考查了正方形的性質，平行四邊形的性質與判定，線段和的最值問題，勾股定理；平移所至

GE,則W=GE,連接3G,%），得出四邊形GEF8是平行四邊形，則BG〃AC,BG=EF=2插,根據

題意可得GO=2j6,在Rt&G即中，勾股定理求得進而即可求解.

【詳解】解：如圖所示，平移所至GE,則陟=GE,連接

回四邊形GEEB是平行四邊形，^\BG//AC,BG=EF=2垃,^AC.LBD,0BD1BG

國在正方形ABCD中，E,尸是對角線AC上兩點

回BE=ED0BE+BF=BE+GE=BE+DE±GO=2M

在Rt^GBD中，BD=y/GD2-GB2=J(2回J—(2插j=4應

回42=交2。=4故答案為：4.

2

模型2.將軍造橋（過橋）模型

模型解讀

將軍造橋（過橋）模型:已知，如圖2,將軍在圖中點A處，現要過河去往2點的軍營，橋必須垂直于河岸建

造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：4W+MN+NB的值最小）。

圖2-1圖2-2

模型證明

將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2,過A點作AA，〃MN,且AT=MN,連接42,

'：AA'//MN,SLAA'=MN；.四邊形APQC為平行四邊形，故AM=4M

為定值，，求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。

再利用“兩點之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為42,故AM+MN+NB的最小值

模型運用

例1.（2023?陜西西安?校考模擬預測）如圖，YABCD中，AB=3,AD=2,ZDAB=60°,DF±AB,BE1CD；

垂足分別為點尸和E.點G和"分別是D尸和3E上的動點，GH〃AB,那么AG+GH+CH的最小值為

【答案】A/7+2

【分析】過點E作a〃短＞交A3于點/,連接印.易求出AF=1,DF=6,DE=GH=BF=2.易證四

邊形AGm為平行四邊形，得出AG=〃Z,即說明當m+C8最小時，AG+GH+CH最小.由當點/,H,

C三點共線時，m+CH最小.結合平行四邊形的判定和性質和勾股定理求出m=立，即得出C/=?,

2

即可得出答案.

SBF^AB-AF=2,DFNAEP-AF?=日^DF±AB,BEVCD,SGF//BH.

^\GH//AB,回四邊形G/ffiF為平行四邊形，^GH=BF=2.同理可得出3尸==2.

^AB//DE,AD//EI,回四邊形AD以為平行四邊形，

^\AI=DE=2=GH,回四邊形AG印為平行四邊形，

回AG=Hf,SAG+GH+CH=HI+2+CH,El當m+CH最小時，AG+GH+CW最小.

團當點/,H,C三點共線時，m+CH最小，回此時AG+GH+CH最小，如圖，

BAD//EI,^\BC//EI.EICE〃由回四邊形BCEZ為平行四邊形，^BH=~BE=-DF=—,CI=2HI,

222

EIAB=3,AI=2,國B/=l,EHZ=VBH2+BZ2=—,0cl=不，

2

回AG+GH+C”的最小值為C/+G/7=J7+2.故答案為：77+2.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行線的判定，兩點之

間線段最短等知識.正確作出輔助線，理解當點/,H,C三點共線時，m+CH最小,即此時AG+GH+C”

最小是解題關鍵.

例2.（2023,江蘇蘇州?校考二模）如圖，在RtZSABC中，ZACB=90。,/BAC=30。,AB=2g.如果在三角

形內部有一條動線段MN〃AC,且MV=1,則AM+3N+QV的最小值為.

【答案】屈

【分析】在AC上取一點A,使得A4'=MN=1,連接AN,如圖所示，首先證明

AM+BN+CN=AN+BN+CN,^ANCB繞點C順時針旋轉60°得到AGCT,連接NG,過點T作777，AC

交AC的延長線于H,證明AN+CV+BNuA'N+NG+GTAHT,求出AT可得結論.

【詳解】解：在AC上取一點A"使得A4'=MN=1,連接HN,如圖所示：

-.-AA!=MN,A4'〃M?V,四邊形AMA?是平行四邊形，=W+3N+C7V=A'N+3N+aV,

將△NCB繞點C順時針旋轉60°得到AGCT,連接NG,過點T作7W，AC交AC的延長線于H,如圖所示：

?;CN=CG,ZNCG=60°,二ZWCG是等邊三角形，:.CN=NG,AN+CN+BN=AN+NG+GT,

A!N+NG+GT>AT,vZACB=90°,ABAC=30°,AB=2痘,

：.BC=CT=gAB=6,AC=y/3BC=3,:.CA=CA-AA=3-1=2,

vZACH=90°,ZBCT=60°,:.NTCH=30°,-：ZTHC=90°,:.TH=-CT=—,CH=-j3TH=-,

222

A,H=A,C+CH=2+|=1,AT=^AH2+TH2=J+岑=瓜

:.AM+BN+CN>s/l3,.?.AM+3N+QV的最小值為JB,故答案為：屈.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，旋轉變換，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會利用旋

轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

例3.（2024?陜西西安?二模）如圖1,正方形A3CD的邊長為4,點E、R是對角線8。上兩動點，且￡F=2,

（1）①四邊形ECHF的形狀為；

②連接AC、AF,當點A,F,H共線時，CE+CF的值為.

⑵自古以來，黃河就享有"母親河"的美譽，是中華文明的發源地之一，也是中華民族生生不息、賴以生存

的搖籃.如圖2,某地黃河的一段出現了分叉，形成了字型支流，分叉口有一片三角形地帶的濕地，在

支流1的左上方有一村莊A,支流2的右下方有一開發區8,為促進當地的經濟發展，經政府決定在支流1

和支流2上分別修建一座橋梁尸。、MN（支流1的兩岸互相平行，支流2的兩岸也互相平行，橋梁均與河

岸垂直），你能幫助政府計算一下由村莊A到開發區8理論上的最短路程嗎？（即AP+PQ+QM+MN+A?和

的最小值）.經測量，A、B兩地的直線距離為2000米，支流1、支流2的寬度分別為1506米、250米，

且與線段所夾的銳角分別為60。、30°.

【答案】（1）①平行四邊形；②6.（2）（100歷+1506+250）米

【分析】本題主要考查了正方形的性質，平行四邊形的性質與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的

性質，平移的性質:

（1）①根據平行的性質得到CH〃EF,CH=EF=2,據此可證明四邊形ECH尸是平行四邊形；②由正方

形的性質得到/ACD=/3DC=45。，AD=CD=4,ZADC=90°,由勾股定理得AC=4&，由平行線的性

質得到NOa7=NBr>C=45。，貝UNAC”=90°,由勾股定理得到A8=6,再由正方形的性質和平行四邊形

的性質得到AF=CF,CE=FH,則CE+CF=FW+AF=A"=6；

（2）如圖所示，將點A沿著垂直于支流1的河岸的方向平移1504米得到A，，連接AQ,將點8沿著垂直

于支流2的河岸的方向平移250米得到連接笈則四邊形4尸。4和四邊形都是平行四邊形,

可得A'Q=AP,B'M=BN,則當A'、Q、M、8'四點共線時，++最小，即此時

AP+PQ+QM+MN+NB^.如圖所示，分別延長A4，、BB1交于H,則NBA//=30。，ZABH=60°,進

而得到NH=90。，則38==1000米，AH=1000宕米，進一步得到A"=8506米，3'"=750米，

則A?=+A"2=100近萬米,即可得至（JAP+PQ+QW+A/N+A?的最小值為

（100A/273+150昌250）米.

【詳解】（1）解：①由平行的性質可得CR〃EECH=EF=2,

回四邊形ECHF是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；

②團四邊形ABCD是正方形，BZACD=ZBDC=45°,AD=CD=4,ZADC=90°,

?AC=Jm+CD?=4百'

0CH〃EF,EZDCH=ZBDC=45°,ZACH=90°,0AHZAC+CH?=6,

由正方形的對稱性可得AF=CF,由平行四邊形的性質可得CE=FH,

SCE+CF=FH+AF=AH^6,故答案為：6；

（2）解:如圖所示，將點A沿著垂直于支流1的河岸的方向平移150/米得到A,連接AQ,將點B沿著

垂直于支流2的河岸的方向平移250米得到"，連接夕M,

團四邊形”如'和四邊形BB'MZV都是平行四邊形，回A'Q=AP,B'M-BN,

BAP+PQ+QM+MN+NB=A'Q+QM+B'M+150M+250,

團當A'、Q、M,8'四點共線時，AQ+QM+BM最小，即此時AP+尸。+加+MN+A?最小；

如圖所示，分別延長A4'、BB'交于H,

國支流1和支流2與線段所夾的銳角分別為60。、30°,

SZBAH=30°,/AB"=60°,回/〃=90°,回3〃=g=1000米,

^AH=yjAB2-BH2=IOOOA/3回A7/=850j5米，Q〃=750米,

團A3,=J37/2+A7/2=100^75米,^\AP+PQ+QM+MV+TVS的最小值為(10()7575+15og+250)米.

習題練模型

1.（2023安徽中考學二模）如圖，菱形ABCD的邊長為2/，回ABC=60。，點E、F在對角線BD上運動，且

EF=2,連接AE、AF,則AAEF周長的最小值是（）

A.4B.4+6C.2+26D.6

【答案】D

【分析】作AH回BD,使得AH=EF=2,連接CH交BD于F,則AE+AF的值最小，進而得出國AEF周長的最小

值即可.

【詳解】解：如圖作AH回BD,使得AH=EF=2,連接CH交BD于F,則AE+AF的值最小，即回AEF的周長最

小.

H

OAH=EF,AH0EF,回四邊形EFHA是平行四邊形，EIEA=FH,EIFA=FC,EIAE+AF=FH+CF=CH,

團菱形ABCD的邊長為2退，回ABC=60°,0AC=AB=2^,

回四邊形ABCD是菱形，0ACEIBD,0AHEIDB,0ACE1AH,EfflCAH=90°,

在RtlSCAH中，CH=7AC2+AH2=^（2A/3）"+22=4回AE+AF的最小值4,

EHAEF的周長的最小值=4+2=6,故選：D.

【點睛】本題考查菱形的性質與動點問題最小值，構造輔助線轉化相關的線段是解題關鍵.

2.（2023,廣西?二模）已知，在河的兩岸有A,B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB=10

千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為

靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為（）

A.2^/13B.1+375C.3+歷D.底

【答案】A

【分析】作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB，，與靠近A的河岸相交于M,作MN垂直于另一條河

岸，貝IjMNOBB，且MN=BB-于是MNBB，為平行四邊形，故MB，=BN；根據"兩點之間線段最短"，ABZ最短,

即AM+BN最短，止匕時AM+BN=AB，.

【詳解】解：如圖，作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接ABT與靠近A的河岸相交于M,作MN垂直

于另一條河岸，則MNI3BB,且MN=BB\于是MNBB，為平行四邊形，故MB，=BN.

根據"兩點之間線段最短"，AB，最短，即AM+BN最短.

E1AB=1O千米，BC=l+3+4=8千米，回在RTaABC中，AC=A/AB2-BC2=6,

在RTAAB'C中，B'C=l+3=4千米，EIAB'=JAC?+B'C、=2相千米;故選A.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路徑問題，要利用"兩點之間線段最短"，但許多實際問題沒這么簡單，需

要我們將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題.目前，往

往利用對稱性、平行四邊形的相關知識進行轉化.

3.（2024?四川瀘州?一模）如圖，在直角坐標系中，4（-2,0）,B（0,2）,C是OB的中點，點。在第二象限，

且四邊形AOCD為矩形，尸是上一個動點，過點尸作尸于H,。是點8關于點A的對稱點，則

BP+PH+HQ的最小值為.

【分析】本題考查了一次函數點的坐標的求法、三角形面積的求法和三點共線及最值，綜合性強，是中考

常見題型.連接CH,根據A、B的坐標先確定OA和。3的長,證明四邊形PHOC是矩形，得PH=OC=BC=1,

再證明四邊形是平行四邊形，則3尸=CH,在2尸+尸8+8。中，尸//=1是定值，所以只要CH+HQ

的值最小就可以，當C、〃、。在同一直線上時，CH+HQ的值最小，利用平行四邊形的性質求出即可.

【詳解】解：如圖，連接由,vA(-2,0),2(0,2),.?.05=2,OA=2,

??,C是。8的中點，?.?ZPHO=NCOH=ZDCO=90°,.,.四邊形PHOC是矩形，.?.PH=OC=8C=1,

■.?PH〃5C,...四邊形尸3cH是平行四邊形，:.BP=CH,BP+PH+HQ=CH+HQ+1,

要使CH+HQ的值最小，只需C、H、。三點共線即可，

???點。是點B關于點A的對稱點，二2(-4,-2),又?.?點C(0,l),根據勾股定理可得CQ=1(0+4)2+(1+2)2=5,

此時，BP+PH+HQ=CH+HQ+PH=CQ+l=5+]=6,即2尸+尸以+為2的最小值，6；故答案為：6

4.(2022?四川自貢?中考真題)如圖，矩形yl5c。中，AB=4,BC=2,G是AD的中點，線段班'在邊AB

上左右滑動；若瓦=1,則GE+CF的最小值為.

【答案】3亞

【分析】如圖，作G關于A8的對稱點G,在CD上截取CH=1,然后連接HG交AB于E,在EB上截取EF=1,

此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFC”是平行四邊形，從而得至UG'H=EG，+EH=EG+CF,再由勾股定理求出

的長，即可求解.

【詳解】解:如圖，作G關于AB的對稱點G',在8上截取CH=1,然后連接HG咬AB于E,在EB上截取

EF=1,此時GE+CF的值最小，

H

D

0G'￡=GE,AG=AG',回四邊形方8c。是矩形，EMB0CD,AD=BC=2^CHSiEF,

^CH=EF=1,El四邊形EFC”是平行四邊形，回EH=CF,^\G'H=EG'+EH=EG+CF,

EMB=4,BC=AD=2,G為邊AD的中點，EL4G=AG'=：L回DG'=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,

0HG=y/DH2+DG,2=732+32=372>即GE+CF的最小值為3亞.故答案為：3亞

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E,

F位置是解題關鍵.

5.（2023上?江蘇鹽城?九年級校聯考階段練習）如圖，正方形ABCD內接于回。，線段"N在對角線上運

動，若回。的周長為2萬，MN=1,則AAAW周長的最小值是.

【答案】A/5+1/1+75

【分析】過點C作。1'〃班>,令CA=MN=1；可推出四邊形MC4'N為平行四邊形，有AN=。/；根據

<^^=4加+加可+河=4"+4"+1244，+1可知當44」6，時，44MN周長有最小值.

【詳解】解：過點C作C4'〃3O,令CA=MN=1

aao的周長為2萬，03。的半徑為1EIBD=AC=2

團GT〃3。且C4'=A￡V=旭四邊形MCAN為平行四邊形

0AN=CM由正方形的對稱性可得：CM=AM0AN=AM

QCNAMN=AM+MN+AN=A'N+AN+1>AA'+1^：當時，“W周長有最小值

此時：/W=JAC"+CM=七回^AMN周長的最小值是q+1故答案為:V5+1

【點睛】本題考查了正方形的性質、平行四邊形的判定與性質等.推出當時，ATIAW周長有最小

值是解題關鍵.

6.（2023秋?河南南陽?九年級校聯考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABC。中將AABD沿射線8。平移，

得到AEG尸，連接召C、GC.求EC+GC的最小值為.

【答案】4方

【分析】將EIABC沿射線CA平移到EIAB，C的位置，連接C'E、AE、DE,證出四邊形ABGE和四邊形EGCD均為

平行四邊形，根據平行四邊形的性質和平移圖形的性質，可得CE=CE,CG=DE,可得EC+GC=CE+ED,當點C\

E、D在同一直線時，CE+ED最小，由勾股定理求出CD的值即為EC+GC的最小值.

【詳解】如圖，將回ABC沿射線CA平移到團AB9的位置,連接CE、AE、DE,

0AB0GE0DC且AB=GE=DC,回四邊形ABGE和四邊形EGCD均為平行四邊形，

0AEEIBG,CG=DE,EAEECC,由作圖易得，點C與點C'關于AE對稱，C'E=CE,

又團CG=DE,0EC+GC=CE+ED,當點C、E、D在同一直線時，CE+ED最小，

此時，在RtlSC'D'E中，C'B'=4,B'D=4+4=8,C'D=""再'=46，

即EC+GC的最小值為4百，故答案為：475.

【點睛】本題考查正方形的性質、圖形的對稱性、線段最短和平行四邊形的性質與判定，解題的關鍵是將

兩條線段的和轉化為同一條線段求解.

7.（2024?江蘇揚州?一模）如圖，在矩形ABCD中，點E、尸是對角線8。上的兩點，NCBD=30。,AB=EF,

DF

點G是邊3c的中點.當GE+AF取最小值時，二二的值為.

【分析】取8的中點H,連接FH.根據點G是邊8c上的中點，則G/f〃3D,GH=；3D,推出四邊形EGHF

是平行四邊形，所以EG=FH,因止匕GE+AF=FF/+AF,當A、F、H三點在同一直線上時，FH+AF最

小，^GE+AF=FH+AF>AH,由AD〃BC,推出VGBEsVAD尸，代入計算得出答案.

團點G是邊3C上的中點，回G”是△BCD的中位線，SGH//BD,GH=^BD.

EIABCD是矩形，NCBD=30。，0ZC=9O°,AB=CD,AD=BC^\CD=-BD,0GH=CD,

2

SAB=EF,SEF^GH,回四邊形EGHF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

SEG=FH,SGE+AF=FH+AF>AH,團當A、F、H三點在同一直線上時，GE+AF最小，

^AD//BC,GH//BD,0ZADF=NGBE,ZAFE=ZGEF,@ZAFD=NGEB,

^NGBE^NADF,0—=—=—=2,故答案為：2.

BEBGBG

【點睛】本題考查了矩形的性質，軸對稱，三角形中位線，平行四邊形的性質和判定，直角三角形的性質，

相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度適中，證明VGBEsVAD尸是解題的關鍵.

8.（2024?陜西西安?模擬預測）如圖，矩形A3CD中，AB=12,AD=6,E是AB邊上一動點，過點E作

對角線AC的垂線，分別交AC于點。、交直線。于點尸，則點E在運動過程中，Ab+EE+EC的最小值

是.

AEB

【答案】15+36/36+15

【分析】過點3作物/交。。于M,過點A作AN〃砂，使AN=EF,連接NE,NC,推出A/+EC

的最小值為NC的長度，用為定值，再分別求出NC、用的長度即可.

【詳解】解：過點3作BM〃￡F交。。于過點A作4V〃EF,使4V=EF,連接防，NC,如下圖，

N

團四邊形AA石廠是平行四邊形，^\AN=EF,AF=NE,由AF+EC=NE+ECNNC,

即AF+CE取最小值為NC的長度，回四邊形ABCD是矩形，AB=12,AD=6,

團AD=BC=6,AB=CD=12fAB//CD,AD//BC,ZD=ZABC=90°,

^AC=7Afi2+BC2=7122+62=6^/5^AB//CD,BM〃所,

團四邊形EFMB是平行四邊形，^\BM=EF,^\BM=EF=AN,

團EF1AC,0BM1AC,AN1AC,團NCW=90。，

團ZMBC+ZACB=900=ZACB+ZACD,^\ZMBC=ZACD,

又回NZ）=zL4BC=9。°,0/s.BCM^^,CDA---=,即----——,解得CA/=3,

ADDC612

^BM=SIBC2+CM2=V62+32=3y[5=AN=EF>^CN=^AC2+AN2=^（6^）2+（375）?=15,

^AF+FE+EC>NC+EF,0AF+FE+EC>15+3A/5,即AF+FE+EC的最小值為15+36.

故答案為：15+36.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、

三角形三邊關系等知識，正確作出輔助線，綜合運用相關知識是解題關鍵.

9.（2024?廣東廣州三模）如圖，正方形A3CD內接于。O,線段肱V在對角線上運動，若O。的面積為

2%,MN=1,則（1）。。的直徑長為；（2）AAW周長的最小值是.

【答案】2忘4

【分析】（1）根據正方形ABCD內接于。。，得到是。。，根據小C=2萬，解得加>=2加,即=-20

4

（舍去），解得即可.

（2）根據正方形的性質，得到點A與點C是對稱點，連接AC,交BD于點、O,連接MC,則AM=C恢，

過點C作CG||BD,CG=MV=1,連接NG,則四邊形MNGC是平行四邊形，繼而得到AM=CN=NG,

繼而得到AM+AV=4V+NG,結合⑷V+NG2AG,故當4G、N三點共線時，AM+4V取得最小值，

得到AAMN周長的最小值.

【詳解】（1）回正方形ABCD內接于。。，回3D是OO的直徑，回回二=2萬，

4

解得BD=26,BD=-26（舍去），故答案為：2應.

（2）根據正方形的性質，得到點A與點C是對稱點，AClBD,AC=BD=2yf2,

連接AC,交BD于點0,連接MC,則AM=Q0,

過點C作CG||BD,CG=MN=1,連接NG,AG,則四邊形MNGC是平行四邊形,

B1AM=CM=NG,SAM+AN=AN+NG,BAN+NG>AG,

故當4G、N三點共線時，AM+AN取得最小值，得到周長的最小值.

0CG||BD,CG^MN=1,0ZACG=90°,0AG=7AC2+CG2=3>

故AXAW周長的最小值為4.故答案為：4.

【點睛】本題考查了正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，三角形不等式的應用，圓的性

質，熟練掌握平行四邊形的判定和性質，勾股定理，三角形三邊關系的應用是解題的關鍵.

10.（2024?吉林長春?三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=f-4x+3與y軸交于點A,與X軸的一

個交點為點8,點B在拋物線對稱軸左側，線段8在對稱軸上，CD=2,則四邊形ABCD周長的最小值

【答案】2&U+2

【分析】本題考查了二次函數的幾何綜合，平行四邊形的判定與性質，勾股定理，兩點之間線段最短，正

確掌握相關性質內容是解題的關鍵.先得點A的坐標和3（1,0），“（3,0）,再證明四邊形CDW是平行四邊形,

得出￡>N=CM,結合兩點之間線段最短，故四邊形ABCD的周長是A3+CD+=&J+2+4V,運用兩點距離

公式列式計算，得出AN=JQ，代入計算即可作答.

【詳解】解：回拋物線y=f-4x+3與>軸交于點A,與尤軸的一個交點為點6,

團當x=0時，y=3,回點A的坐標是（0,3）,當y=。時，則0=爐-4》+3,回％=1，x2=3,

設拋物線與X軸的另外一個交點為M，fflM（3,o）,回對稱軸X=2；則48=萬方=亞

EIM?V_Lx軸，線段CD在對稱軸上，^\MN//CD

團MW=CD=2回四邊形CDM0是平行四邊形回ZW=CM

連接4V與對稱軸x=2相交于一點，即為點Q的位置，再連接BC,CM

0B（LO）,M（3,0）,對稱軸x=2,線段CD在對稱軸上，

^BC=CMSDN=BC此時四邊形ABC。周長有最小值

即AB+CD+BC+AD=>J10+2+CB+AD=y/10+?.+AN

?NM=2,M（3,0）,IBN（3,2）貝l|AN=J（3-2,+3?=質則加+2+m=而+2+加=2屈+2

團四邊形A3CD周長的最小值為2JQ+2故答案為：29+2

11.（2024?江蘇蘇州?二模）如圖，等邊AABC的邊長為3,點。在邊AC上，A￡）=1,線段PQ在邊54上

運動，PQ=g有下列結論：①CP與Q。可能相等；②AAQD與ABCP可能相似；③四邊形PCDQ面積

的最大值為挈；④四邊形周長的最小值為3+與，其中，正確結論的序號為.

【答案】②③/③②

【分析】①根據三角形三邊之間的關系得AQ+AO>3,進而得APNQD,同理得3尸+PO3C,即

BP+PC>AB,進而得PCN”,由此得CP與。。不可能相等.

②假設AA。。與ABCP相似，設4。=》，利用相似三角形對應邊成比例，列比例式得出x的值，再與x的

取值范圍進行比較，即可判斷相似是否成立；

③過尸作PEL3c于E,過。作OF,AB于凡過C點作CGLAB于G點，利用函數求四邊形面積的最

大值.設AQ=x,可表示出尸E=^（2.5-x）,DF=B,可用函數表示出S.BC，S△皿?，再根據

2'/4

S四嬲PC￡>e=S^ABC_S4PBe-S回Q,依據04x42.5,即可得到四邊形面積的最大值；

④作D點關于直線AB的對稱點R,作D。||A2,且D0=；，連接交A3于尸點，將尸點沿射線PA

平移!得。點，連接。。、2Q、AD{,則可得四邊形R2PQ是平行四邊形.進而可得則四邊形PC。。的

周長=CD+PQ+QD+PC=3+CN，此時四邊形PC。。的周長最小，計算出/24C=90。，根據勾股定理

即可求出CQ的值，進而可得四邊形PC。。周長的最小值，即可得解.

【詳解】①在AAQD中，AQ+AD>QD,--AD=PQ=^,AQ+PQ>QD,即AP>QD,

當。點與A點重合時AP=QD=；，

在ABCP中，BP+PC>BC,-：BC=AB,:.BP+PC>AB,：.BP+PC>AP+BP,：.PC>AP,

當P點與2點重合時尸C=AP=3,二產。？”.綜上，當。點與A點重合時，PC>AP>QD.

當尸點與8點重合時，PC>AP>QD.當尸、。不與A、2重合時PC>4P>QD.

團CP與。。不可能相等，故①錯誤.

②設人。=無，：尸。=；，9=3，.■.BP=3-1-x=2.5-x,r.OWxW2.5.假設AAQD與ABCP相似,

AnA（J_

ZA=ZB,——=--J.2_%,整理得，2%2—5%+3=0,解得：犬i=l,x2=1.5,

v0<x<2.5,回X=1或1.5者R符合題意，回一。。與力。可能相似，故②正確.

③如圖，過尸作尸石，于E,過。作少尸，于憶過C點作CGLAB于G點.

-.-ZB=60°,PE=PB-sin60°=（2.5-x）,ASAPBC=1-BC-P￡=1x3x^（2.5-x）=^（2.5-x）.

??-ZA=60°,AD=\,DF=ADsin60°=-x—=—,■,SAnn=--AQ-DF=--x-—=—x.

2224aADe2248

?.?△ABC中，AB=3C=3,^B=60°,CG=CBsin60°=3x^=^,

22

」」空=匝

qgCGx3x-c—c_v_c963石/<\布

UABC，??o四邊形PCDQ-QMBC。在BCIADQ=---------------1Z.J—XI------X

A222444\,8

=更尤+上叵，回S隨x的增大而增大，團當x取最大值2.5時，S的值最大,

88

s最大=垣乂2.5+之叵=處叵，故③正確.

8816

④如圖，作D點關于直線A3的對稱點2,作22IIAB,且口便=；,連接C2交A3于p點，將p點

沿射線9平移g得。點，連接OQ、D、Q、AD},

則AR=AZ)=g,QDX=QD,且四邊形。。?PQ是平行四邊形，，尸。2=。口=。，

則四邊形PC。。的周長=CD+PQ+QD+PC=2.5+0.5+P2+PC=3+CO,,

此時四邊形P8。的周長最小.連接

ZDtAB=NDAB=60°,且DR||AB,NAD。=180°-ZDtAB=120°,

O

?;R2=ADI=；,.-.ZD1AD2=ZD1D2A=^(180°-120)=30°,且ZD?AC=90°,

.?.AO2=2-A2-COS30°=2X；X^=￥.在RtA^AC中，CD?=小AD：+AC?=］咚+3?=亭，

團四邊形P。。的周長的最小值為3+與，故④錯誤.故答案為：②③

【點睛】本題綜合考查等邊三角形的性質、相似三角形的性質與判定、利用函數求最值、動點變化問題等

知識.解題關鍵是熟練掌握數形結合的思想方法，通過用函數求最值、作對稱點求最短距離，即可得解.

12.(2024?陜西咸陽?模擬預測)如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與3D交于點。，00=4,E是0D

的中點，PQ是對角線AC上的一條動線段，若8尸一石。的最大值為則P。的長為—.

【答案】1

【分析】本題考查正方形的性質，線段最值問題等知識點，正確作輔助線是解題關鍵.

過。點作3尸的平行線，過8點作尸。的平行線，兩平行線交于點8',取