2025年中考數學總復習《勾股定理》專項測試卷（附答案）

學校:班級：姓名：考號：

一、單選題

1.在VABC中，若NAfiC=90。，則下列正確的是（）

A.BC=AB+ACB.BC2=AB2+AC2

C.AB2=AC2+BC2D.AC-=AB2+BC2

2.如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，

若圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3,則中間小正方形的周長是（）

C.12D.16

3.一艘輪船以16海里，小時的速度從港口A出發向東北方向航行，另一輪船12海里，小時從

港口A出發向東南方向航行，離開港口3小時后，則兩船相距（）

A.36海里B.48海里C.60海里D.84海里

4.《九章算術》是我國古代數學的重要著作，其中有一道題，原文是：今有戶不知高、廣，

從之不出二尺，斜之適出，不知其高、寬，有竿，竿比門寬長出4尺；豎放；斜放，竿與門

對角線恰好相等問.問門高、寬、對角線長分別是多少？若設門對角線長為x尺，則可列方

程（）

A.X2—（尤-4）2+（%-2）2B.2x2—（尤-4）2+（%-2）2

C.x2=42+（x-2）2D.x2=（尤-4）2+22

5.如圖，在MAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,點D是2C上一動點，連接AD,

將△AC。沿折疊，點C落在點E處，連接。E交A2于點憶當/。仍是直角時，DF

的長為（）.

cD.2

-I4

二、填空題

6.如圖所示，點A為小紅家的位置，點B為小明家的位置，點C為學校的位置，三地之間

的距離如圖，已知學校在小明家的正西方向，則小紅家在小明家的方向.

3

7.VABC中，若NA=jN2=3NC,AC=2A/3CIH,則zL4=度，NB=度,

ZC=度，BC=cm,S*=cm2.

8.如圖是一棵勾股樹，它是由正方形和直角三角形拼成的額，若正方形A、B、C、D的邊

長分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是一

9.如圖，由趙爽弦圖變化得到,它是由八個全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD，

正方形EFGH,正方形跖VKT的面積分別為S-邑，S3,若岳+S?+風=15,邑=1,則凡

的值是—.

D

B

10.如圖所示，長方體的高為3cm,底面是正方形，邊長為2cm,現使一繩子從點A出發,

沿長方體表面到達C處，則繩子最短是cm.

三、解答題

11.“中華人民共和國道路交通管理條例”規定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千

米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速

檢測儀A正前方30米B處，過了2秒后，測得小汽車C與車速檢測儀A間距離為50米，這

輛小汽車超速了嗎？

小汽車小汽車

觀測點

12.如圖，一艘船由A港沿北偏東60。方向航行lOfon至B港，然后再沿北偏西30。方向航行

10km至C港.

（1）求A,C兩港之間的距離（結果保留到O.lfow,參考數據：及81.414,73-1.732）；

（2）確定C港在A港的什么方向.

13.如圖，折疊長方形一邊4D,點。落在8C邊的點尸處，BC=10cm,AB=8cm,求EC

的長.

14.如圖，在VA2C中，AD.LBC,AB=W,BD=8,CD=26.

⑴求AO的長.

(2)求VABC的周長.

15.據傳當年畢達哥拉斯借助如圖所示的兩個圖驗證了勾股定理，你能說說其中的道理嗎?

ba

參考答案

題號12345

答案DBCAC

1.D

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三

角形中，兩條直角邊分別為。、b,斜邊為c,那么4+62=.根據勾股定理進行計算即可.

【詳解】解：???在VABC中，若NABC=90。，

AC2=AB2+BC2.

故選：D.

2.B

【分析】根據圖形分析可得小正方形的邊長為兩條直角邊長的差，據此即可求解.

【詳解】圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3,則中間小正方形的周長是

4x(3—1)=8.

故選B.

【點睛】本題考查了以弦圖為背景的計算題，理解題意是解題的關鍵.

3.C

【詳解】解：如圖，二.兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，

ZBAC=90°,

兩小時后，兩艘船分別行駛了16x3=48,12x3=36海里，

根據勾股定理得：,48?+362=60(海里).

故選：C.

4.A

【分析】根據題中所給的條件可知，竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構成

直角三角形，運用勾股定理可求出門高、寬、對角線長.

【詳解】解：根據勾股定理可得：

x2=(x-4)2+(x-2)2,

故選：A.

【點睛】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數學思想運用到實際問題中是解

答本題的關鍵，難度一般.

5.C

【分析】如圖，由題意知ZA￡D=NC=90。，AE=AC=3,DE=CD,ZAED=ZDEB=90°,

可知A、E、3三點共線，E與尸重合，在RMABC中，由勾股定理得3C=jAB2一a。？，求

BC的值，設=DE=CD=x,=4-x,在Rt^BDE中，由勾股定理得BE2=BD2-DE2，

計算求解即可.

【詳解】解：如圖，

,/NDEB是直角

/.ZDEB=90°

由題意知/AED=/C=90。，AE=AC=3,DE=CD

：.ZAED=NDEB=90。

AE、3三點共線

，E與尸重合

在Rt^ABC中，由勾股定理得BC=y/AB2-AC2=4

設DF=DE=CD=x,BD=4-x

在RMBDE中，由勾股定理得BE2=BD2-DE2即2?=(4-*丫-d

3

解得x

二叱的長為：

2

故選C.

【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理等知識.解題的關鍵在于明確A旦3三點共

線，E與尸重合.

6.正北

【分析】根據題中給出的三條邊的關系，可知82+152=17、也就是說這個三角形是直角三

角形，而學校在小明家的正東方，所以小紅家在小明家的正北方，據此解答即可.

【詳解】解：因為8?+152=172,所以小明家、小紅家、學校三點構成了一個直角三角形,

而學校在小明家的正東方，則小紅家在小明家的正北方向.

故答案為

小紅家在小明家的正北方向.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和方向問題，若三角形三條邊的關系滿足一條邊的平

方加上另一條邊的平方等于第三條邊的平方，據此可判定是直角三角形.

7.90603042石

【分析】根據三角形內角和定理和已知條件可求得VABC的三個內角的度數，然后根據勾股

定理可求得AB,8C的長，最后根據三角形的面積公式求得其面積.

3

【詳解】解：?.?在VABC中，ZA=-ZB=3ZC,

21

ZB=—ZA,NC=—NA,

33

ZA+ZB+ZC=90°,

ZA+-ZA+-ZA=180°,

33

???ZA=90°,

21

ZB=-ZA=60°,ZC=-ZA=30°,

33

AAB=^BC,BC2=AB2+AC2,

,**AC=2^cm，

：.BC2+(2回,

即BC=4cm,AB=2cmf

2

s△/.indr=-2AC.AB=-2x2yl3x2=2y/3cm.

【點睛】本題考查了勾股定理，三角形內角和定理，含30度角的直角三角形.該性質是直

角三角形中含有特殊度數的角（30。）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應

用.

8.47

【分析】由正方形的面積公式求出正方形A、B、C、D的面積，再由勾股定理得出正方形

GHMN的面積，同理得出正方形MKLS的面積，即可得出結果.

【詳解】解：如圖所示：

:正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3,

，正方形A、B、C、D的面積分別是32=9,52=25,22=4,32=9,

ZGFH=90°,

GH2=GF2+FH2=9+25=34,

正方形GHMN的面積=34,

同理：正方形MKLS的面積=4+9=13,

同理：正方形E的面積=34+13=47；

故答案為：47

【點睛】本題考查了正方形的性質、勾股定理、正方形面積的計算；熟練掌握正方形的性質

和勾股定理，并能進行推理計算是解決問題的關鍵.

9.9

【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形

的性質，根據已知得出3GF2=27是解決問題的關鍵.

根據八個直角三角形全等，四邊形ABCD,EFGH,MNKT是正方形，得出CG=NG,

22

CF=DG=NF,再根據H=(CG+DG)2,S2=GF,S3=(NG-NF),^+^+^=15^

出3G尸2=15,求出G產的值即可.

【詳解】解：,?,八個直角三角形全等，四邊形ABC。，EFGH,MAKT是正方形，

:.CG=NG,CF=DG=NF,

S]=(CG+DG)2

^CG2+DG2+2CGDG

=GF2+ICGDG,

2

S2=GF,

222

S3=(NG-NF)=NG+NF-2.NG-NF,

H+邑+S3=GF2+2CG-DG+GF2+NG2+NF2-2NG-NF=3GF2=15,

GF2=5,

邑=1,

:.St=15-52-S3=15-5-1=9.

故答案為：9.

10.5

【解析】略

11.小汽車超速了

【分析】根據題意，運用勾股定理可求出3C的長，由此可求出小汽車的速度，與限速比較

即可求解.

【詳解】解：根據題意可得，AB1.BC,即/ASC=90。，AB=30m,AC=50m,

...在RtZXABC中，BC=4AC1-AB1=7502-302=40(m)，

?,?小汽車的速度為—=20(m/s),

175

70(km/h)=-^-(m/s)?19.4(m/s)<20(m/s),

小汽車超速了.

【點睛】本題主要考查勾股定理的運用，掌握勾股定理求線段長度是解題的關鍵.

12.(1)A、C兩地之間的距離為14.1b"；(2)C港在A港北偏東15。的方向上.

【分析】(1)根據方位角的定義可得出/A8C=90。，再根據勾股定理可求得AC的長為14.1.

(2)由(1)可知△A8C為等腰直角三角形，從而得出/BAC=45。，求出/CAM=15。，所而

確定C港在A港的什么方向.

【詳解】(1)由題意可得，ZPBC=30°,ZMAB=60°,：.ZCBQ=60°,ZBAN=30°,：.ZABQ=30°,

：.ZABC=9Q°.

,/AB^BC=1Q,：.AC=ylAB2+BC2=10A/2?14.1.

答：A、C兩地之間的距離為14.1hw.

(2)由(1)知，△ABC為等腰直角三角形，

AZBAC=45°,：.ZCAM=15°,

；.C港在A港北偏東15。的方向上.

【點睛】本題考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正確理解方位角是解題的關鍵.

13.3cm

【分析】由矩形和折疊的性質可知AB=CD=8cm,AD=BC=AF=10cm,DE=EF.在

無中利用勾股定理可求出5尸=6011,從而可求出_FC=4cm.設EC=xcm,則

DE=EF=(S-x)cm,在比“EFC中利用勾股定理可列出關于尤的方程，解出x即可.

【詳解】解：,??四邊形A58是矩形，

.-.AB=CD=8cm,AD=BC=10cm,

由折疊可知：AD=AF=10cm,DE=EF,

在咫AAB尸中：BF=JAF?-AB?=6cm，

..FC=BC—BF=4cm.

設EC=xcm,則￡>￡1=EF=(8-x)cm,

在RAEFC中：EF2=FC2+EC2,即（8-尤＞=4?+x?,

解得：x