微專題35幾何圖形的折疊問題

一階基礎技能

1.折疊問題常見的類型有：

，求紋-長度］T利用方程思想、勾股定1

——由一線段的最俏卜---------------------

--------卜府而置的折樵問題

H動京間購卜1-------------------

2.與折疊有關的計算常用性質

⑴折疊問題的本質是全等變換，折疊前的部分與折疊后的部分是全等圖形.

此工

①線段相等：C'D=,BC=；

②角度相等：Zl=,Z3=；

③全等關系：bBCDQ.

(2)折痕可看作垂直平分線(對應的兩點之間的連線被折痕垂直平分，即BD垂直

平分CC)；

(3)折痕可看作角平分線.

二階方法訓練

方法解讀

1.利用折疊出現的直角三角形求解

情形：折疊中頂點落在邊上得到直角三角形

結論：在Rt△。下跟中，利用勾股定理，得/=足+3—%)2

方法總結：由于矩形的四個內角均為直角，故折疊后易出現與設問相關聯的直角

三角形，可利用勾股定理或三角函數列方程求解

方法一利用折疊出現的直角三角形求解(2020.9)

例1如圖，在矩形中，AB=6,BC=9,點E,尸分別在邊A。，BC±.,

將四邊形A即石沿"折疊，點5的對應點夕恰好落在CD邊的中點處，則5尸

的長為.

;VI

BKC

例1題圖

變式1如圖，在R3ABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,D,E分別是AB

上的點.將△AC石沿AE折疊，使點。的對應點落在點。處，則△5。石的面

積為.

CF.R

變式1題圖

方法解讀

2.利用折疊出現的等腰三角形求解

情形：折疊中利用角平分線(折痕)性質得到等腰三角形

E

b-xA/ZX/J

…少

a：

HA"""C

結論：△5下。為等腰三角形，DF=BF=x,AF=b-x

方法總結：當折痕過特殊四邊形對邊或對角線時，可利用角平分線（折痕）與平行

線（特殊四邊形的對邊）的性質得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性質求解

方法二利用折疊出現的等腰三角形求解

例2如圖，在矩形A5CD中，CD=4,BC=8,將45CD沿5。翻折得到^BED,

BE交AD于點F,則A尸

例2題圖

變式2如圖，已知矩形紙片的寬為2,將矩形紙片沿折疊，得到重合部分

AAMN,若NM4N=45°,則AAMN的面積為

變式2題圖

方法解讀

3.利用折疊出現的全等、相似求解

情形：折疊中常出現的全等、相似模型

結論：①“正8字”：4AFEsACFD；②“斜A字”：XAFEs叢&C

（2）如圖②，一線三垂直模型

圖②

結論：①八BEFs^CFD；

②AAED咨AFED

方法總結：結合折疊的性質，找出與設問相關聯的全等三角形或相似三角形，再

利用全等、相似三角形的性質求解

方法三利用折疊出現的全等、相似求解[6年2考：2024.23(3),2021.23]

例3如圖是一張矩形紙片，點E在A5邊上，把△臺做沿直線CE折疊，使點5

落在對角線AC上的點尸處，連接。尸.若點E,F,。在同一條直線上，AE=2.

(1)DF=；

(2)BE=.

例3題圖

例4如圖，E是矩形A5C。中CZ)邊上一點，將△臺虛沿5E折疊得到尸E,

點。的對應點下恰好落在A。上.若sinNO下石=|,則tanNEBC的值為.

FI)

例4題圖

變式3(2024河南)如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊AB在X軸

上，點A的坐標為(一2,0),點E在邊8上.將△⑶虛沿BE折疊，點。落在

點F處.若點F的坐標為(0,6),則點E的坐標為.

變式3題圖

三階綜合應用

1.（2020廣東9題3分）如圖，在正方形A5CZ）中，A5=3,點E,尸分別在邊A5,

CD±,NE7Z>=60°.若將四邊形尸沿E尸折疊，點5恰好落在A。邊上，

則BE的長度為（）

A.1B.V2C.V3D.2

第1題圖

2.（2024佛山二模）在如圖所示的矩形中，M■為CZ）中點，將△MBC沿

翻折至若NAME=15°，則NA5E=

第2題圖

3.如圖，在矩形ABC。中，AB>AD,把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點

5落在點E處，AE交CD于點F,連接。E.

（1）求證：八ADEEMED；

（2）求證：ADE尸是等腰三角形.

第3題圖

4.（2021廣東23題8分）如圖，邊長為1的正方形A5C。中，點石為的中點.

連接5E,將△A5E沿5E折疊得到△E5E,5/交AC于點G,求CG的長.

第4題圖

一階基礎技能

①CD,BC\②N2,Z4；③ABCD

二階綜合應用

例15【解析】\'AB=6,且9是8邊的中點，.?.5匕=:。。=/5=3,由

折疊可知，B'F=BF,設BF=BF=x,則=9一%.在RS中，，：BF=CF

+VC2,.*.x2=(9-x)2+32,解得％=5,：.BF=5.

變式16【解析】由折疊可知，CE=OE,AC=AZ)=6,NAC5=NADE=90°,

：.BD=AB~AD=10-6=4,ZBDE=180°-ZADE=180°-90°=90°,設

CE=x,則Z)E=x,BE=8—x,在R35OE中，根據勾股定理得，BEr=BD2+

11

DE2,.*.(8-X)2=X2+42,解得％=3,：.DE=3,：.BDE=^DE-BD=^X3X4=

6.

例23【解析】?.?四邊形A5C。為矩形，.?.AZ)=JBC=8,CD=A5=4,

ZA=90°,ZADB=ZCBD,由折疊性質得NC50=NE5Z),ZADB=

ZEBD,：.BF=DF,設A尸=%,則=5F=A。一A尸=8一%,在R3AB尸中，

BF2=AB2+AFQ,即(8一%)2=42+%2,解得％=3,：.AF=3.

變式22近【解析】如解圖，過點“作“PLAN于點尸，...紙條為矩形，

：.MB//AN,：.Z1=ZANM,由折疊的性質可知N1=NAMN,ZAMN=

ZANM,.?.△4MN是等腰三角形.?.?NMAN：45。，MP=2,：.AN=AM=-^~

'sin45°

=4=2V2,SAAMN=-AN-MP=-X242X2=2近.

.22

2

_____WB

Ar

IiM一一J

變式2題解圖

例3(1)2；【解析】?.?四邊形A5C。是矩形，.?.AD=5C,ZDAE=ZB=ZDAE

=90°,由折疊的性質得，CF=BC,ZCFE=ZB=9Q°,EF=BE,：.CF=AD,

ZCFD=ZDAE=90°,ZADE+ZCDF=ZCDF+ZFCD=90°,：./ADE

=ZFCD,：.△AFCD(ASA),：.DF=AE=2.

(2)V5-1【解析】?.?NAFE=NCFD=90°,：.ZAFE=ZDAE^90°,,：ZAEF

=ZDEA,.'.^AEF^ADEA,.\石尸=遮一1(負值已舍

DEEA2+EF2

去)，：.BE=EF=VS~1.

一題多解法

(1)'.'AB//CD,:?SAACD=S&DCE,-?SAACD—SADCF=SADCE—SADCF，?'?5AADF=

SAECF，由題意知，BC=CF,SAACD—SLABCJSAECF=SABCE，?,?SAACD5AADF-ABC

11

—S&CEF=SAABC-BCE9???SADCF=S&ACE9：.-DFCF=-AEBC.'：CF=BC,：.DF

~一22

=AE=2；

(2)設\"AE//CD,:.XAEFS&CDF,解得％=通

')CDDF2+x2

—1(負值已舍去)，:.BE=A—I.

例4y【解析】?.?四邊形A5C。是矩形，ZA=ZC=ZD=90°.

由折疊的性質可知，ZBFE=ZC=9Q°,ZEBF=ZEBC,EF=EC,：.ZABF

+NA/5=90°,ZAFB+ZDFE=90°,：.ZDFE=ZABF,：.ADFE^/\ABF,

VsinZDFE=-=-,，設。E=2a,則石尸=3Q,.?.45=8=5億在

FBABEF3

R3QE尸中，由勾股定理，得。尸=返“，.?.竺=竺=回=在，tanZEBC=

FBAB5a5

tanZEBF=—.

FB5

變式3(3,10)【解析】由折疊的性質可知，,點A的坐標(一2,

0),點尸的坐標為(0,6),.?.04=2,OF=6,如解圖，設與y軸交于點尸，

設正方形的邊長為。，則05=a—2,OP=BF=a,在R350尸中，OB2+OF^

=BP,即62+3—2)2="，解得Q=10,：.OP=10,05=8,:.PF=OP—OF

=4,?：/EFP+/FEP=9b°,ZEFP+ZBFO=90°,AZFEP=ZBFO,

PPPJ7P/74—1

,：ZEPF=ZF0B=9Q°，：.^EFP^AxFBO,解得PE=3,

OFOB68

點E的坐標為(3,10).

41P.__p

IFK\

-jrA----:VI

變式3題解圖

三階綜合應用

1.D【解析】?.?四邊形A5C。是正方形，，/人;為。，AB//CD,VZEFD

=60°,：.ZBEF=60°,由折疊的性質知，ZB'EF=ZBEF=60°,ZAEB'

=60°,ZAB'E=3Q°.設BE=B，E=x,則AE=3—%,在RtAAEB'中，3-%

=/，解得％=2,:.BE=2.

2.40°【解析】如解圖，延長BE交A。于點N,設BN交AM于點O,?.,四

邊形A5C。是矩形，：.ZD=ZC=9Q°,AD=BC,丁〃為CD中點，：.DM=

MC,：.^ADM^ABCM,：.ZDAM=ZCBM,BWE是由△翻折得至U,

ZCBM=ZEBM=^(9Q°-ZABE),VZDAM=ZCBM=ZMBE,ZAON=

/BOM,：.ZOMB=ZANB=90°-ZABE,在△血石中，ZEMB+ZEBM=

90°,ZAME+(9Q°-ZABE)+|(90°-ZABE)=90°,整理得|/A5E=

60°,ZABE=40°.

,Vk/7\

I\i

*、

AA

第2題解圖

3.證明：（1”.?四邊形A5C