2025年中考數學總復習《圓的綜合題》專項測試卷含答案

學校:班級：姓名:考號：

1.如圖，溟的外接圓，BD為直徑,連接04,C是上一點,^0A//BC.

(1)求證：AC=AD；

(2)過點8作阻LAC于點E,延長BE交于點R若/BE=6,求

AF的長.

第1題圖

2.(2024合肥蜀山區一模)如圖，A3是半圓。的直徑，C是半圓上不同于A,B的一點,

/是△A8C的內心，A/的延長線交半圓。于點。，連接8/,BD,IO.

(1)求證：DI=DB-,

(2)若BD=2,IO±BI,求A/的長.

第2題圖

3.如圖，四邊形ABC。是O。的內接四邊形，E為BC延長線上一點，BD=AD.

(1)如圖1,若/Z)CE=60°,求證：ZkABO為等邊三角形；

(2)如圖2,對角線AC,BD交于點、F,AC±BD,若。尸=3,A尸=4,求的半徑.

圖①圖②

第3題圖

第1頁共29頁

4.如圖，在△ABC中，AB=AC,以4B為直徑作G)O,交8c于點。，DE是。。的切線且

交AC于點E.

(1)求證：DE±AC；

(2)延長CA交。。于點E若sbiC=皚，DE=3,求EF的長.

第4題圖

5.(2024合肥新站區二模)已知：如圖，在。。中，A8為直徑，8C為弦，切。。于點

B,DOLBC,垂足為點R交。。于點E,連接CE.

(1)求證：ZDBE=ZC；

(2)若。。的半徑為|,AE=4,求BC.

第5題圖

6.(2024阜陽二模)已知直線/是。。的切線，點A是切點，點8是。。上一點，過點8

作8C，/于點C,BC與O。交于點。，連接OD

第2頁共29頁

圖1圖2

第6題圖

(1)如圖1,若NODB=70°,求/BAC的度數;

（2）如圖2,延長。。交于點E,連接AE,若NB0D=2/E,0D=4,求CZ）的長.

7.（2024?東營）如圖，△ABC內接于。。，42是O。的直徑，點￡在O。上，點C是屏的

中點，AELCD,垂足為點。，OC的延長線交的延長線于點尸.

（1）求證：C。是O。的切線；

（2）若CD=6,60°,求線段AF的長.

8.（2024?眉山）如圖，BE是。。的直徑，點A在。。上，點C在BE的延長線上，ZEAC

=AABC,AO平分/8AE交。。于點。，連結。E.

（1）求證：CA是。。的切線；

（2）當AC=8,CE=4時，求。￡的長.

9.（2024?西寧）如圖，PA,PB是O。的切線，A,B為切點，連接OA,OB,過點O作

OC//PA交PB于點C,過點C作CD1AP,垂足為D.

第3頁共29頁

(1)求證：OC=AD.

(2)若。。的半徑是3,PA=9,求OC的長.

10.(2024?通遼)如圖，ZsABC中.ZACB=90°，點。為AC邊上一點，以點。為圓心,

OC為半徑作圓與AB相切于點。，連接CZ).

(1)求證：ZABC^2ZACD；

(2)若AC=8,BC=6,求。。的半徑.

11.(2024?北京)如圖，AB是。。的直徑，點C,。在OO上，平分/AOC.

(1)求證：ODUBC；

(2)延長。。交。。于點E,連接CE交于點R過點B作。。的切線交。E的延長

線于點P.若第=；,PE=1,求。。半徑的長.

BF6

12.(2024?濟寧)如圖，△ABC內接于OO,。是上一點，AD=AC.E是。。外一點,

ZBAE=ZCAD,ZADE=ZACB,連接BE.

(1)若AB=8,求AE的長；

(2)求證：E2是的切線.

第4頁共29頁

A

13.(2024?臨夏州)如圖，直線/與。。相切于點。，為O。的直徑，過點A作

于點E,延長AB交直線/于點C.

(1)求證：AO平分/CAE；

(2)如果8C=1,OC=3,求。。的半徑.

14.(2024?綿陽)如圖，OO為△ABC的外接圓，弦CZ)_LA8,垂足為E,直徑BE交CZ)

于點G,連接AHAD.若AB=AC=5,BC=2代.

(1)證明：四邊形ADGF為平行四邊形;

(2)求布的值;

(3)求sin/CAD的值.

第5頁共29頁

15.如圖，。。是AABC的外接圓，AB=AC,。于點。，8。的延長線交CQ于點E.

(1)求證：ZDBE=ZDCB；

(2)若3c=4&,BE=4,求0E的長.

第20題圖

16.(10分)已知△A3。內接于O。，AB是。。的直徑，點C為優弧A3。的中點，連接

AC,CD,OC.

(1)如圖1,連接。求證：CO平分NACZ)；

(2)如圖2,延長AC,相交于點E,過。作。口LA。于_F,若/CAO=60°,BE

=6,求的長.

圖1圖2

17.(10分)如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點，。是08的中點，ZADC=2ZACD,

延長CO交。。于點”，連接OH.

(1)求證：AB=2DH；

(2)ISHELAB,垂足為E,連接A”，求tan/BC￡)的值.

第17題圖

第6頁共29頁

18.(10分)如圖，AB為。。的直徑，CD為。。的弦，A8LCD于點E,點尸是上一

點，連接8月，CF,DF,ZBFD=60°.

(1)求證：OF平分NBEC；

(2)設AB交。尸于點G,且。E=GE,求/。CP的度數.

19.(10分)(2024池州三模)已知，A8是。。的直徑，點C是半圓AB的中點，點。在。。

上，且點。與點C在的兩側，直線DE是。。的切線，點。是切點.

(1)如圖1,DE//AC,求。的度數;

2

(2)如圖2,若4BDE=專乙ABC,BD=5,求AC的長.

第19題圖

20.(10分)如圖，△ABC內接于。。，AC(不是直徑)與08相交于點。，且AD=C。,

AE與O。相切點A,連接。1.

(1)求證：A8平分/D4E；

(2)若BD=6,4。=12,求AE的長.

第7頁共29頁

第20題圖

22.(10分)已知四邊形A8C。是。。的內接四邊形，8。是。。的直徑，連接AC,ZACB

=45。.

(1)如圖1,AB=V2,求。。的半徑；

(2)如圖2,過點0作OELBC于點E,延長EO交AC于點F,連接DF,OC.已知

OF=2OE,求證：四邊形OCOP是平行四邊形.

參考答案

1.(1)證明：如解圖，延長A。交于點"，

■:BD為的直徑，ZBC￡>=90°

'：OA//BC,

：.ZAHD^ZBCD^90°,

第8頁共29頁

AAH±CD,

1

JCH=DH=^CD,

???A”是線段CD的垂直平分線，

：.AC=AD.

rn

(2)解：在RtZXBC。中，tan/CBD=^=

??tanNBDC=二手

?；/BAC=NBDC,

2

tanZBAC=tanZBDC=

9：BELAC,

：.ZAEB=ZAEF=9Q°.

在Rt^ABE中，tanN5AC=^=|,BE=6,

62

—=一,>\AE=9.

AE3

9

：ZCAD=ZCBDf

3

tanZEAF=tanZCBD=于

在RtZ\A跖中，tanZEAF=45=

27

：.EF=

F

9

X2-

：.AF=yjAE2+EF2=712

2.(1)證明：???/是△ABC的內心，

AZBAD=ZCAD=ZCBD,/ABI=/CBI,

：.ZBID=ZBAD+ZABI=ZCBD+ZCBI=ZIBD.

：.DI=DB.

(2)解：如解圖，過點。作OH,A。于點〃，

第9頁共29頁

AOB

第2題解圖

：.AH=HD.

???點。為A5的中點，

1

：?0H=押9=1.

;AB為直徑，

：.ZD=90°.

*：DI=DB,

???△3。/是等腰直角三角形，

：.ID=BD=2.ZB/Z)=45°.

'：IO±BL即NO/B=90°,

???/0田=45°,

???AOHI是等腰直角三角形，

???OH=HI=\,

：.AH=HD=HI+DI=HI+DB=1+2=3,

：.AL=AH+HI=4.

3.(1)證明：???四邊形ABC。是。。的內接四邊形，E為8C延長線上一點,

：.ZDCE=ZBAD=60°.

9

：BD=ADf

???△A3。為等邊三角形；

(2)解：如解圖，作。HLA3于點”，連接05,

'：BD=AD,：.AH=BH,

???0H過圓心0.

'：AC±BD,DF=3,AF=4,

第10頁共29頁

：.AD=y/DF2+AF2=5.

\'BD=AD,：.BD=5,

:.BF=5-3=2,

：.AB=VBF2+AF2=2V5,

：.BH=V5,

：.DH=<BD2-BH2=V25-5=2倔

設。。的半徑為r,則0H=2遙-r,

在RtABOH中，OB2=BH2+OH2,

/.?=(V5)2+(2V5-r)2,

解得，r=苧，

5V5

???OO的半徑為一〔.

4

EiD

圖②

第3題解圖

4.(1)證明：連接OD,如解圖1所示:

圖1

第4題解圖1

'：AB=AC,；.NC=NB.

；OB=OD,:./B=/ODB,

；./C=/ODB,：.OD//AC.

：DE是。。的切線，

C.ODLDE,

：.DE.LAC.

第11頁共29頁

（2）解：連接尸D,如解圖2所示:

9：AB=AC,；?/C=/B.

又?：/F=/B,

:./F=/C,

sinC=sinF=

由(1)可知：DELAC；

???在心DEF中，sinb=^=造，

?：DE=3,：.FD=3V5,

由勾股定理得，EF=y/FD2-DE2=6.

5.(1)證明：???。5切OO于點3,

???OBLBD,

：.ZOBD=90°,

:.NDBE+/OBE=90°.

?：OB=OE,

：.ZOBE=ZOEB,

：.ZDBE+ZOEB=90°.

9

：DO±BCf

：.BE=EC,ZOEB+ZEBF=90°,

：.BE=EC,

：.ZC=ZEBF,

：.ZC+ZOEB=90°,

???ZDBE=ZC.

第12頁共29頁

（2）解：：。。的半徑為I，.?.A3=5.

為直徑，AZA￡B=90°,

：.BE=7AB2—AE2=3.

i

'：DO±BC,：*BF=FC=^BC.

設OF=x,貝ijEF=OE-OF=|-x,

；BF2=0B2-OF2,8尸=35_EF2,

：.OB2-OF2=BE2-EF2,

._7_

..x—奇

???“=騰）2—扁）2=卷

：.BC=2BF=學

6.解：（1）如解圖1,連接。4.

???直線/是。。的切線，

：.OAU,：,ZCAO=90°.

VBCXZ,

：?OA〃BC,ZACB=90°,

AZAOD=ZODB=1Q°,

1

:,（B=*乙4。。=35°.

在RtZXABC中，ZBAC=90°-ZB=55°.

（2）如解圖2,連接04,AD,則NAO0=2NE.

由（1）知OA//BC,

：.ZODB=ZAOD.

9

：ZBOD=2ZE,ZAOD=2ZEf

：.ZBOD=ZAOD=ZODB.

?：0B=0D,

：.ZOBD=ZODB=/BOD,

第13頁共29頁

???△30。是等邊三角形，

：.ZBOD=ZAOD=60°.

?：0A=0D,

：.AAOD是等邊三角形，

：.ZOAD=60°,AD=OD=4,

：.ZCAD=ZCAO-ZOAD=30°.

在RtZXACD中，ZCAD=30°,AO=4,

ACD=iAD=Jx4=2.

第6題解圖

7.(1)證明：連接。C,

??,點C是曲的中點，

：.BC=CE,

：.ZBAC=ZCAEf

???0C=0Af

：.ZOCA=ZOAC,

：.ZOCA=ZCAD,

：.OC//AD,

VAE±CZ),

JOCLDF,

???0C是OO的半徑，

???C0是。。的切線；

(2)解：TAB是。。的直徑,

第14頁共29頁

AZACB=9Q°,

VZABC=60°,

：.ZBAC=30°,

：.ZCAD=ZBAC=30°,

VZZ)=90°,C￡>=V3,

：.AD=V3CD=3,

VZF=180°-ZD-ZBAD=30°,

：.AF=2AD=6.

8.(1)證明：連接。4,

?「BE是。。的直徑，

AZBAE=90°,

：.ZBAO^-ZOAE=90°,

?：OA=OB,

：.ZABC=ZBAO,

VZEAC=ZABC,

：.ZCAE=ZBAO,

：.ZCAE+ZOAE=90°,

：.ZOAC=90°,

???Q4是。。的半徑，

???CA是。。的切線；

(2)解：u：ZEAC=ZABC,/C=NC,

：.AABC^AEAC,

.ACCE

??—,

BCAC

.84

??—―,

BC8

第15頁共29頁

：.BC=16,

：.BE=BC-CE=12,

連接BQ,

9CAD平分N8AE,

：.ZBAD=ZEAD,

：.BD=DE,

：.BD=DE,

?「BE是。。的直徑，

：.ZBDE=90°,

9.(1)證明：TH,尸5是OO的切線，。4,是。。的半徑,

：.OALPA,OBLPB,

VOC//PA,CD±AP,

：.CDA.OC,

：.ZOAD=ZCDA=ZOCD=9Q°,

???四邊形。4。。是矩形，

???OC=AD；

(2)解：設OC=A0=x,

???四邊形04。。是矩形，。。的半徑是3,PA=9,

：.0A=0B=CD=3,BD=PA-AD=9-x,

OC//PA,

/OCB=/P,

VOB±PB,CD±AP,

第16頁共29頁

：.ZOBC=ZCDP=90°,

在△0C8和△CP。中，

ZOBC=4CDP=90°

Z.OCB=乙P,

OB=CD

:AOCB"ACPD(AA5),

:?BC=BD=9-x,

在RtZkOCB中，由勾股定理得：OC'OBZ+Bd2,

.,.X2=32+(9-x)2,

解得：尤=5,

OC=x=5.

10.(1)證明：連接O。，如圖，

TAB為。。的切線，

???0D±ABf

：.ZODA=ZODB=90°,

VZACB=90°,

ZABC+ZCOZ)=180°,

VZA0D+ZC0Z)=180°,

???ZABC=NA00,

,ZZAOD=2ZACD,

：.ZABC=2ZACD；

(2)解：設。。的半徑為r,貝IJOD=OC=r,0A=8-r,

在Rt/VICB中，

VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：.AB=V62+82=10,

'：Z0AD=ZBAC,ZADO=ZACB,

：.AAOD^AABC,

ODAOr8-r

---=—,艮fl-=,

BCAB610

解得r=3,

第17頁共29頁

即。。的半徑為3.

11.(1)證明：連接AC交。。于H,

?「AB是。。的直徑，

AACXBC,

平分NAOC,

???ZAOD=ZCOD,

：.AD=CD,

：.OD±AC,

JOD//BC；

(2)解：U：OE//BC,

?,.△OEFs^BCF,

.OEOF5

??BC-BF-6’

???設OE=5x,BC=6x,

9

：AO=OBfOH//BC,

:?AH=CH,

,1

???0H=^BC=3x,

??,尸5是。。的切線，

：.ZOBP=90°,

：.ZPBO=ZAHO,

9：ZBOP=ZAOH,

：.△AOHS^POB,

?POOB

99AO~OH'

.5%+l5x

"5%3%'

.3

…而,

第18頁共29頁

3

：.OE=^

9

12.(1)解：：ZBAE=ZCADf

：./BAE+/BAD=NCAD+NBAD,

即NEW=N8AC,

XVZADE=ZACB,AD=AC,

：.AADE^AACB(ASA),

：.AE=AB,

VAB=8,

：.AE=S；

(2)證明：如圖，連接BO并延長交。。于點R

??,5尸是。。的直徑，

：.ZBAF=9Q°,

AZAFB+ZABF=90°,

?.?ZAFB=ZACBf

：.ZACB+ZABF=90°,

在△AOC中，AD=AC,

第19頁共29頁

???/ACB=/ADC,

：.2ZACB+ZCAD=180°,

由(1)知AE=A8,

J/AEB=NABE,

：.2ZABE+ZBAE=180°,

\9ZBAE=ZCAD,

：.ZACB=ZABE,

：.ZABE^-ZABF=90°,

即NO5E=90°,

〈OB為半徑，

???班是。0的切線.

13.(1)證明：連接0。，如圖，

???直線/與。。相切于點。，

JODLCE,

VAEXCE,

J.OD//AE,

：.ZODA=ZEAD,

?：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

：.ZOAD=ZEAD,

：.AD平分NCAE；

(2)解：設。。的半徑為r,貝1］。5=0。=/，

在RtZXOCD中，°：OD=r,CD=3,OC=r+l,

.\?+32=(r+1)2,

解得r=4,

即。。的半徑為4.

第20頁共29頁

14.(1)證明：???B尸是OO的直徑,

：.ZBAF=90°,

：.AF.LABf

〈CD，AB,

J.CD//AF,

：.DG//AF,

：.NAFB=NBGD,

'：AC=AC,

：.ZADC=ZABCf

9：AB=AB,

：.ZACB=ZAFB,

：.NADC=NBGD,

J.AD//GF,

???四邊形ADGF為平行四邊形；

(2)解：設

9：AB=AC=5,

.\AE=AB-BE=5-x,

u：ABLCD,

：.ZBEC=ZAEC=9Q°,

ABC2-BE2=AC2-AE2=C￡2,

,:BC=2亞,

：.(2V5)2-X2=52-(5-x)2,

解得尤=2,

：.BE=2,AE=3,

第21頁共29頁

.BE2

??—―,

AE3

由(1)知，NADC=/BGD,

???/AED=NBEG,

：.△ADEsdBGE,

.BGBE2

AD~AE~

.BG2

??——;

AD3

(3)解：過點。作。于H,

在RtZkBCE中，CE=7BC2-BE2=(2V5)2-22=4,

BD=BD,

NBAD=/BCD,

NAED=NCEB,

△AED^ACEB,

BCBECE

AD~DE~AE9

2V524

AD~DE~3’

n_3-/5_3

AA.D=-2-,DE=于

311

CD=CE+DE=4+^=蕓

1

S〉ACD=2CD?AE=DH,

11

—x3=5DH,

2

33

DHR

第22頁共29頁

五n八4?.TTADH33211V5

在RtZ\AZ)”rr中，sinZ-HAD=—^-gx—T=———,

?-/<-?4八11A/5

??sinZCAD=25.

15.(1)證明：如解圖，延長BE交。。于點R連接CR

廠是OO的直徑，AZBCF=90°,

：.ZF+ZFBC=9Q°.

u：CDLAB,

：.ZBDC=ZADC=90°,

：.ZA+ZACD=90°.

VZA=ZF,/.ZACD=ZFBC.

'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,

：.ZABC-ZFBC=ZACB-ZACD,

：.ZDBE=ZDCB,

(2)解：9：ZBDC=90°,

：.ZDBE+ZDEB=90°,

VZFCB=90°,

：.ZFCE+ZDCB=90°.

?.?ZDBE=/DCB,：.ZDEB=ZFCE.

'：ZDEB=ZFEC,

：?NFEC=NFCE,：.FE=FC.

設FE=FC=x,

在RtZ\C5/中，BC=40,BF=BE+EF=4+x,

：.BC1+CF1=BF2,

.\32+X2=(4+X)2,

第23頁共29頁

解得，x=2,.?.BF=4+x=6,

1

JOB=2=3,

：.OE=BE-OB=4-3=lf

???0E的長為1.

16.(1)證明：??,點。為痂的中點，

：.AC=DC,

：.AC=DC.

9：0A=0D,OC=OC,

：.AAOC^ADOC(SSS),

???ZACO=ZDCO,

：.OC平分NACD

9

(2)證明：：OA=OCf

：.ZCAO=ZACO,

由(1)知：ZACO=ZDCOf

：.ZCAO=ZDCO.

?:BC=BC,

：.ZCDB=ZCAB,

：.ZCDB=ZDCO,

：.OC//BE.

'：OA=OB,

1

???OC=^BE=3,

：.OA=OD=3,

?.,NCAD=60°,AC=CD,

???△AC。為等邊三角形，

：.ZOAD=30°,

OF=1oA=1,AF=V3OF=

???AO=2A尸=3百.

17.(1)證明：由題意得，ZBOH=2ZBCH,

'：ZADC=2ZACD.

第24頁共29頁

AZADC+ZBOH=2ZBCH+2ZACD=2QNBCH+NACD)=2ZACB.

?「AB是。。的直徑，

AZACB=90°,

AZADC+ZBOH=180°.

VZAZ)C+ZOZ)H=180o,

:?NBOH=NODH,

：.OH=DH.

9：AB=2OH,

：.AB=2DH.

(2)解：9：0H=DH,

：.OE=DE.

??,。是03的中點，

JOH=OB=2OD=4OE.

設OE=x,貝!JOH=4x,AE=5x,

：.EH=70H2一。。2=Vi5%,

：.tan4BAH=器=里^=孚.

?:NBCD=NBAH,

?.Dm

??tan乙BCD=-g—.

18.(1)證明：如圖，連接OC,OD,

9：0A=0D.ZBAD=ZBFD=6Q°,

???△AOO是等邊三角形.

VOC=OD.OALCD,

：.ZAOC=ZAOD=60°,

:.zcoD=no°,

i

ZCFD=^ZCOD=60°,

：.ZBFD=ZCFD,

：.DF^^ZBFC.

第25頁共29頁

(2)解：9：ABLCD,

:?NDEB=90：

■:DE=GE,

：.ZCDG=45°,

根據(1)ZCFD=60°,

：.ZDCF=180°-45°-60°=75°.

第18題解圖

19.解：（1）如圖1.連接。O