數學模型---手拉手復習教案

有些同學在學習數學時無從下手，找不到突破的方法，做不到舉一反三，所以在數學的學習過程中，

必須深入本質，做到知識、規律、法則掌握準確，及時反思。下面先給大家介紹一種常見的數學模型一手

拉手模型，通過對模型的理解和掌握，把模型的結論融會貫通，理解透徹，那么這一類題型，都是

可以迎刃而解的。

一、模型類別

二、相關結論的運用

(-)有公共頂點的等邊三角形

條件：AABC和AADE是等邊三角形，BD與CE相交于點O

結論1：AABD^AACE,BD=CE（左手拉左手等于右手拉右手）

結論2：ZBOC=60°

結論3：AO平分NBOE

\7

典例精講：

［問題提出］

（1）如圖①,VA8CVADE均為等邊三角形，點￡）、￡分別在邊AB、AC上.將“IDE繞點A沿順時

針方向旋轉，連結BD、CE.在圖②中證明"Dfi也△AEC.

［學以致用］

（2）在（1）的條件下，當點。、E、C在同一條直線上時，NEDB的大小為度.

［拓展延伸］

（3）在（1）的條件下，連結CD.若3c=6,AD=4,直接寫出△05。的面積S的取值范圍.

【思路點撥】

（1）根據“手拉手”模型1,證明△ADfiZAAEC即可;

(2)分“當點E在線段CD上”和“當點E在線段CD的延長線上”兩種情況，再根據“手拉手”模型1中的

結論2即可求得NEZ汨的大小；

(3)分別求出ADBC的面積最大值和最小值即可得到結論

【詳解】

(1)△ABCqADE均為等邊三角形，

:.AD=AE,AB=AC,

:.ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

即NSAZ)=NC4E

在△4￡出和AAEC中

AD=AE

<ZBAD=ZCAE

AB=AC

:.^ABD=^ACE(SAS)；

(2)當。,E,C在同一條直線上時，分兩種情況：

①當點E在線段CD上時，如圖，

??.△ADE是等邊三角形，

：.ZADE=ZAED=^）°,

:.ZAEC=1SO°-ZAED=12O°,

由（1）可知，AADBVAAEC,

ZADB=ZAEC=120°,

NEDB=ZADB-ZADE=120°-60°=60°

②當點E在線段CD的延長線上時，如圖,

E

???△ADE是等邊三角形，

：.ZADE=ZAED=a)°

ZADC=1800-ZADE=120°,

由(1)可知，&ADB*AEC

:.ZADB=ZAEC=60°,

NEDB=ZADB+ZADE=60°+60°=120°

綜上所述，NEDS的大小為60。或120。

(3)過點A作"，5c于點F,當點D在線段AF上時，點D到BC的距離最短，此時，點D到BC的

距離為線段DF的長，如圖：

?.?△ABC是等邊三角形，AFLBC,BC=6

.-.AB=BC=6,BF=-BC=3

2

AF=VAB2-BF2=JG-于=3出

:.DF=36-4

此時56為==?6—4)=9^—12；

當D在線段FA的延長線上時，點D到BC的距離最大，此時點D到BC的距離為線段DF的長，如圖,

D

?「△ABC是等邊三角形，AF±BC,BC=6

/.AB=BC=6,BF=—BC=3,

2

AF=A/AB2-BF2=162—32=3』

AD=4

:.DF=AF+AD=36+4

此時，SnRC=-BC-DF=-x6x(3y/3+4)=9y/3+12；

綜上所述，△￡)BC的面積S取值是9G-12<5<96+12

【解題技法】“手拉手”模型1中，對應邊“拉手線”組成的兩個三角形全等

實戰演練：

1.(1)如圖1,已知ACAB和ACDE均為等邊三角形，D在AC上，E在CB上，易得線段AD和BE的數

量關系是.

(2)將圖1中的ACDE繞點C旋轉到圖2的位置，直線AD和直線BE交于點F.

①判斷線段AD和BE的數量關系，并證明你的結論；

②圖2中NAFB的度數是.

(3)如圖3,若ACAB和ACDE均為等腰直角三角形，ZABC=ZDEC=90°,AB=BC,DE=EC,直線

AD和直線BE交于點F,分別寫出NAFB的度數，線段AD、BE間的數量關系.

(二)有公共頂點的等腰直角三角形

條件：AABC和AADE是等腰直角三角形，BD與CE相交于點O

結論1：AABD^AACE,BD=CE(左手拉左手等于右手拉右手)

結論2：ZBOC=90°

結論3:AO平分NBOE

典例精講:

如圖，AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=a,AC、BD交于M

(1)如圖1,當a=90。時，/AMD的度數為'

(2)如圖2,當a=60。時，NAMD的度數為

(3)如圖3,當AOCD繞O點任意旋轉時，/AMD與a是否存在著確定的數量關系？如果存在，請你用

表示NAMD,并圖3進行證明；若不確定，說明理由.

【思路點撥】

(1)如圖1中，設0A交BD于K.根據“手拉手”模型2證明ABOD之△AOC,推出NOBD=/OAC,由

ZAKM=ZBKO,可得/AMK=NBOK=90。；

(2)如圖2中，設OA交BD于K.根據“手拉手”模型1證明△BODgZ\AOC,推出NOBD=/OAC,由

ZAKM=ZBKO,推出/AMK=NBOK=60。；

(3)如圖3中，設OA交BD于K.根據“手拉手”模型3證明△BODgAAOC,根據“手拉手”模型中的結

論2可得NAMD=18(T-a.

【詳解】

(1)如圖1中，設OA交BD于K.

圖1

VOA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,

???NBOD=NAOC,AABOD^AAOC,

???NOBD=NOAC,

VZAKM=ZBKO,JNAMK=NBOK=90°.

故答案為90.

(2)如圖2中，設OA交BD于K.

圖2

VOA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=a,

.\ZBOD=ZAOC,

AABOD^AAOC,AZOBD=ZOAC,

VZAKM=ZBKO,AZAMK=ZBOK=60°.

故答案為60.

(3)如圖3中，設OA交BD于K.

VOA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=a,

.\ZBOD=ZAOC,AABOD^AAOC,

.\ZOBD=ZOAC,

VZAKO=ZBKM,AZAOK=ZBMK=a.

???NAMD=180。-a.

【解題技法】“手拉手”模型2中，兩條“拉手線”所在直線的夾角與初始圖形中公共頂點對應的角相等或互

補

實戰演練：

1.已知：如圖，AABC和AADE都是等腰直角三角形，NBAC=NDAE=90。，點E在BC邊上.

(1)求證：AACD@ZkABE；

(2)若/CDE=60。，求/AEB的度數.

2.AABC和AADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°

E

(1)如圖1,點D,E在AB,AC上，貝|BD,CE滿足怎樣的數量關系和位置關系？

(2)如圖2,點D在AABC內部，點E在AABC外部，連結BD,CE,貝!|BD,CE滿足怎樣的數量關系

和位置關系？請說明理由.

(3)如圖3,點D,E都在AABC外部，連結BD,CE,CD,EB,BD與CE相交于F點.

①若BD=4,求四邊形BCDE的面積.

②若AB=2,AD=1,設CD2=x,EB2=y,求y與x之間的函數關系式.

3.如圖乙，AABC和AADE是有公共頂點的等腰直角三角形，/BAC=NDAE=90。，點P為射線BD,

CE的交點.

(1)如圖甲，將AADE繞點A旋轉，當C、D、E在同一條直線上時，連接BD、BE,則下列給出的四個

結論中，其中正確的是哪幾個.(回答直接寫序號)

①BD=CE；②BD_LCE；③/ACE+/DBC=45。；@BE2=2(AD2+AB2)

(2)若AB=6,AD=3,把ZkADE繞點A旋轉：

①當NCAE=90。時，求PB的長；

②直接寫出旋轉過程中線段PB長的最大值和最小值.

(三)頂角相等的等腰三角形

條件：AABC和AADE是等腰三角形，且NBAC=NDAE,BD與CE相交于點O

結論1：AABD^AACE,BD=CE（左手拉左手等于右手拉右手）

結論2：ZBOC=ZBAC

結論3:AO平分NBOE

\）

典例精講：

觀察猜想

如圖1,有公共直角頂點A的兩個不全等的等腰直角三角尺疊放在一起，點5在AD上，點。在AE上.

（1）在圖1中，你發現線段5。，CE的數量關系是,直線50,CE的位置關系是

操作發現

（2）將圖1中的AAMC繞點A逆時針旋轉一個銳角得到圖2,這時（1）中的兩個結論是否成立？作出

判斷并說明理由；

拓廣探索

（3）如圖3,若只把“有公共直角頂點A的兩個不全等的等腰直角三角尺”改為“有公共頂角為NA（銳

角）的兩個不全等等腰三角形”，△A5C繞點A逆時針旋轉任意一個銳角，這時（1）中的兩個結論仍然

成立嗎？作出判斷，不必說明理由.

⑴BD=CE,BD±CE；（2）將圖1中的△相。繞點A逆時針旋轉一個銳角時，兩個結論成立.理

由見解析；（3）結論5。=。后成立；結論BDLCE不成立.

【思路點撥】

(1)根據AABC和AADE是等腰直角三角形，得至UAB=AC,AD=AE,ZA=90°,即可得出結論;

(2)由旋轉的性質得到/DAB=/EAC.根據“手拉手”模型2證明△ABDgAACE,得出BD=CE.再根

據“手拉手”模型2的結論2可得出BDLCE.

(3)根據“手拉手”模型3證明△ABDgZ^ACE,可得BD=CE成立，再根據“手拉手”模型3的結論2可得

出BD±CE不成立.

【詳解】

(1):△ABC和AADE是等腰直角三角形，/.AB=AC,AD=AE,ZA=90°,；.BD=CE,BDXCE.

故答案為：BD=CE,BDXCE.

(2)將圖1中的AABC繞點A逆時針旋轉一個銳角時，兩個結論成立.理由如下：

由旋轉得：ZDAB=ZEAC.

又；AB=AC,AD=AE,

.,.△ABD^AACE(SAS).

/.BD=CE.

如圖，延長DB,交CE于點F,交AE于點O.

VAABD^AACE,

ZADB=ZAEC.

,/ZAOD=ZEOF.

ZOFE=ZOAD.

,/ZOAD=90°,

ZDFE=90°,即BD±CE.

(3)結論BD=CE成立，結論BDLCE不成立.理由如下:

由旋轉得：ZDAE=ZBAC,

.\ZDAB=ZEAC.

又：AB=AC,AD=AE,

AAABD^AACE(SAS).

.*.BD=CE.

延長DB交CE于M,BD與AE交于點N.

VAABD^AACE,/.ZMEA=ZBDA.

,/ZENM=ZDNA,AZEMN=ZEAD.

VZEAD#90o,/.ZEMN#90°,.?.BDLCE不成立.

【解題技法】對于以等腰三角形的頂點為旋轉點，進行適當旋轉的題目，連接對應點構造新的三角形，根

據“手拉手,，模型3證明三角形全等即可解決問題

實戰演練：

1、如圖，在△ABC中，A5=AC=4,D、E分別是AB、AC的中點，Z￡L4C=40°.

圖12-1圖12-2

(1)如圖12-1,若DE=a,求5C的長度(用含a的代數式表示)；

(2)如圖12-2,將/XADE繞點A順時針旋轉，旋轉角為a(0°＜。＜180°),連接BD、CE,判斷

5。與CE的數量關系，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，當△ACE的外心在三角形的外部時，請直接寫出a的取值范圍.

2、如圖，aABC中，AB=AC=1,NBAC=45。，AAEF是由AABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連

接BE,CF相交于點D,

(1)求證：BE=CF；

(2)當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長.

(四)有公共頂點的正方形

典例精講:

規定：有一角重合，且角的兩邊疊合在一起的兩個相似四邊形叫做“嵌套四邊形”，如圖，四邊形ABCD和

AMPN就是嵌套四邊形.

圖①

(1)問題聯想

如圖①，嵌套四邊形ABCD,AMPN都是正方形，現把正方形AMPN以A為中心順時針旋轉150。得到正

方形AMPN,連接BM；DN，交于點O,則BM與DN的數量關系為,位置關系為；

(2)類比探究

如圖②，將(1)中的正方形換成菱形，ZBAD=ZMAN=60,其他條件不變，則(1)中的結論還成立嗎？

若成立，請說明理由；若不成立，請給出正確的結論，并說明理由；

(3)拓展延伸

如圖3,將(1)中的嵌套四邊形ABCD和AMPN換成是長和寬之比為2:1的矩形，旋轉角換成a(90°<a

<180。)，其他條件不變，請直接寫出BM，與DN的數量關系和位置關系.

【思路點撥】

⑴根據“手拉手”模型4證明△ABMNZ\AN。，得到5"=。"，再根據“手拉手”模型4的結論2得

出BM'LDN'；

(2)根據“手拉手”模型4和菱形的性質證明AABM'gAADN',再推N3OD=4AD=60°,故可求

解；

(3)根據“手拉手”模型4和矩形的性質證明AABM'=AADN',得到BM'=2DN',再推出

ZBOD=ZBAD=90°即可求解.

【詳解】

(1)如圖設A3,￡>N'交于點H,,

四邊形ABCD,AMPN都是正方形，把正方形AMPN以A為中心順時針旋轉150。得到正方形

AM'P'N',

/.AB=AD,AM,=AD,,ZBAM'=ADAN'=150°

△ABM名△AND,

/.BM'=DN',ZABM,=ZADN,,

ZADN5+ZDHA+ZDAH=180°,NABM，+/BHO+/BOD=180。，

XZDHA=ZBHO

?.ZBOD=ABAD=90°,即BM'LDN'

故答案為：BM'=DN',BM'±DN'；

cB

□*<

DNA\^>P,

M'

四①

(2)BM'=DN'成立,BM'LDN'不成立,瀏夕與。N'相交，且夾角為60°.

理由：設A5,DN'交于點E,

由旋轉的性質可得ZBAM'=ADAN'=150°.

.四邊形ABC。，AMPN'都是菱形，

/.AB=AD,AM'=AN',

：.BM'=DN',ZABM'=ZADN'.

又：ZBEO^ZDEA,

ZBOD^ZBAD=60°；

故與DN'相交，且夾角為60。；

圖②

(3)BM'=2DN',BM'±DN',理由如下：

設AB,ON'交于點E,

由旋轉的性質可得NBAM'=ZDAN'=a.

四邊形ABCD和AMPN是長和寬之比為2:1的矩形

AAB=2AD，AM'=2AN',

ABAM'

,,ADAN'

：.AABM'-AADN',

BM'=2DN',ZABM'=ZADN'.

又,:ZBEO^ZDEA,

：.ZBOD=/BAD=90°

：.BM'=2DN',BM'±DN'.

圖③

【解題技法】利用“手拉手”模型4證明三角形全等，再把特殊情況推廣到一般情況，再運用類比的思想方

法是一種常用的數學方法.

實戰演練：

（1）在正方形ABCD中，G是CD邊上的一個動點（不與C、D重合），以CG為邊在正方形ABCD外

作一個正方形CEFG,連結BG、DE,如圖①.直接寫出線段BG、DE的關系；

（2）將圖①中的正方形CEFG繞點C按順時針方向旋轉任意角度a,如圖②，試判斷（1）中的結論是否

成立？若成立，直接寫出結論，若不成立，說明理由；

（3）將（1）中的正方形都改為矩形，如圖③，再將矩形CEFG繞點C按順時針方向旋轉任意角度a,如

圖④，若AB=a,BC=b；CE=ka,CG=kb,（a16）試判斷（1）中的結論是否仍然成立？并說明理由.

（五）有公共頂點的直角三角形

D

"條件:CD//AB,且NAOB=NCOD=90。,BD與CA相交于點E

結論1：AAOC-ABOD

結論2：AC1BD

典例精講：I

結論3:四邊形ABCD的面積GAC.BD

二.(1)問題發現----------------------------------------------------------/

如圖1,在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40°,連接AC,BD交于點M.填

空：

①土Ar的值為；

BD

②/AMB的度數為.

(2)類比探究

如圖2,在AOAB和△OCD中，/AOB=/COD=90。，ZOAB=ZOCD=30°,連接AC交BD的延長線于

點M.請判斷一上的值及/AMB的度數，并說明理由;

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，將AOCD繞點。在平面內旋轉，AC,BD所在直線交于點M,若OD=1,OB=J7,

請直接寫出當點C與點M重合時AC的長.

【思路點撥】

(1)①根據“手拉手”模型3證明△COA0ADOB,得AC=BD；

②根據“手拉手”模型3的結論2得出/AMB=/AOB；

(2)根據“手拉手”模型5證明△AOCs^BOD,則任=空=6，再根據“手拉手”模型5的結論2

BDOD

得出NAMB的度數；

(3)正確畫圖形，當點C與點M重合時，有兩種情況，如圖3和4,根據在旋轉過程中，始終有“手拉

線"AC與BD垂直，據此設出未知數，運用勾股定理求解即可.

【詳解】

(1)問題發現：

①如圖1,

.'.ZCOA=ZDOB,

VOC=OD,OA=OB,.,.ACOA^ADOB(SAS),

AC

AAC=BD,——

BD

②:△COA2DOB,AZCAO=ZDBO,

VZAOB=40°,.\ZOAB+ZABO=140°,

在AAMB中，ZAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+ZABD)=180°-(ZDBO+ZOAB+ZABD)=180°-

140°=40°,

(2)類比探究:

sr

如圖2,——=，3,ZAMB=90°,理由是:

BD

白△COD中，ZDCO=30°,ZDOC=90°,

.ODy/3

=tan30°=

*oc~T

同理得：金烏=勿〃30°=1，

0A3

ODOB

：.——=——，ZAOB=ZCOD=90°,

OC0A

：.ZAOC=ZBOD,/.AAOC^ABOD,

ACOC后

：.——=——=J3,ZCAO=ZDBO,

BDOD

在AAMB中，ZAMB=180°-(ZMAB+ZABM)=180°-(ZOAB+ZABM+ZDBO)=90°；

(3)拓展延伸：

①點C與點M重合時，如圖3,

ACr-

同理得：AAOC^ABOD,.\ZAMB=90o,——=,

BD

設BD=x,貝|AC=&x,

RtZ\COD中，ZOCD=30°,OD=1,

；.CD=2,BC=x-2,

RtZ\AOB中，ZOAB=30°,GB=@,

.\AB=2OB=2V7,

在Rt^AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(6x)2+(x-2)2=(2行尸，

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

xi=3,X2=-2,

；.AC=3后；

②點C與點M重合時，如圖4,

c

o

ACr-

同理得：NAMB=90。，——=J3,

BD

設BD二x,貝!JAC二百x,

在RtZ^AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(A/3X)2+(X+2)2=(2J7)2.

x2+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

xi=-3,X2=2,

.?.AC=25.

綜上所述，AC的長為36或2君.

【解題技法】用運動和變化的眼光觀察和研究圖形，把握圖形旋轉過程中的等量關系，抓住利用“手拉手”

模型5得出△AOCs/\BOD是解題的關鍵.

實戰演練：

1、如圖1,在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=4,BC=2,點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接

DE.將4CDE繞點C逆時針方向旋轉，記旋轉角為a.

(1)問題發現

Ap

①當a=0。時，一=；

BD

②當a=180。時，一=.

BD

(2)拓展探究

AE

試判斷：當0。女＜360。時，一的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明.

BD

(3)問題解決

△CDE繞點C逆時針旋轉至A、B、E三點在同一條直線上時，求線段BD的長.

2、如圖（1）,在MAABC中，4=90。,BC=2AB=8,點O,E分別是邊3C,AC的中點，連接

DE.

BD

(2)將AEDC繞點C順時針旋轉到如圖（2）的位置時，——的大小是否發生變化,若不變化，請說明

BD

理由；若發生變化，請求出它的值;

（3）將AEZJC繞點C順時針旋轉到直線5c的下方，且AE,。在同一直線上時,如圖（3）,求線段

的長.

（六）有公共頂點的任意三角形

條件：CD//AB,BD與CA相交于點E

結論1:AAOC-ABOD

結論2：ZAEB=ZCOD=ZAOB

結論3:點E在ABOA的外接圓上

y

典例精講:

在AABC,CA=CB,NACfi=a.點P是平面內不與點A,C重合的任意一點.連接AP,將線段AP

繞點P逆時針旋轉a得到線段DP,連接AD,BD,CP.

(1)觀察猜想

如圖1,當［=60°時，筆的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是.

(2)類比探究

如圖2,當a=90。時，請寫出"的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數，并就圖2的情形說

CP

明理由.

(3)解決問題

當a=90°時，若點E,F分別是CA,CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C,P,D在同一直線

上時---的值.

CP

【思路點撥】

(1)如圖1中，延長CP交BD的延長線于E,設AB交EC于點O.根據“手拉手”模型1證明

ACAP=ABAD,得出CP=BD,.根據“手拉手”模型1的結論2即可解決問題.

(2)如圖2中，設BD交AC于點O,BD交PC于點E.根據“手拉手”模型6證明ADAB?得

出=J5即可解決問題.

1OAC

(3)分兩種情形：①如圖3-1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H.證明

40=。。即可解決問題.

②如圖3-2中，當點P在線段CD上時，同法可證：=。解決問題.

【詳解】

解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E,設AB交EC于點0.

圖1

ZPAD=ZCAB=60°>

:.ZCAP=ZBAD,

\-CA=BA,PA=DA，

AC4PsABAD(SAS),

PC=BD,ZACP=ZABD,

ZAOC^ZBOE,

ZBEO=ZCAO=60°.

：.—=1,線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是60°，

PC

故答