專題2-12拋物線解答題十一大題型匯總

◎常考題型目錄

題型1弦長問題......................................................................1

題型2中點弦問題...................................................................7

題型3直線方程問題................................................................13

題型4面積問題.....................................................................19

題型5取值范圍問題................................................................26

題型6最值問題.....................................................................36

題型1定點問題.....................................................................47

題型8定值問題.....................................................................56

題型9定直線問題..................................................................64

題型10向量問題....................................................................72

題型11探索性問題..................................................................82

但題型分類

題型1弦長問題

2【方法總結】

弦長計算方法：

(1)由已知條件，應用點斜式寫出過焦點的直線方程，聯立拋物線方程得X1+久2，根據

拋物線的定義有|4B|=Xi+%2+P，求弦長；

、I

、(

(2)聯立直線與拋物線方程，結合弦長公式求弦長.

'Z.AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA.J

【例題1](21-22上?攀枝花階段練習)已知拋物線C:y2=2p%的焦點為F,M。。為拋物

線C上的點，且IMFI=|.

Q)求拋物線c的方程；

(2)若直線y=%與拋物線C相交于4,B兩點，求弦長|4B].

【答案】⑴y2=2x

(2)4

【分析】(1)由焦半徑公式得p=1,進而得拋物線方程;

(2)聯立方程，根據韋達定理，結合弦長公式求解即可.

2

【詳解】(1)解M(l,t)在拋物線C:y=2Px上，且|MF|=|\MF\=xM+=1+,

則p=1,

故拋物線C的方程為y2=2X;

(2)解：聯立?:“一之，可得--3X+：=0.

3=2久4

設，%)IB(X2,為)，貝！1巧+%2=3,萬/2—~,

\AB|—V2.%-%21=V2-'[x、+孫尸—4%1乂2=V2?/s2—4X1=4.

【變式1-1]1.(22.23上?南岸?期末)已知點M(1,O),直線「久=-2,平面內存在點P,

使得點P到點M的距離比到直線/的距離小1.

Q)求點P的軌跡方程C.

(2)已知直線G：y=1%+l,求％被曲線C截得的弦長.

【答案】⑴y2=4%

(2)4710

【分析】(1)根據拋物線的定義即可求解.

(2)將直線方程與曲線方程聯立，利用韋達定理和弦長公式即可求解.

【詳解】(1)因為點M(l,0),直線「久=-2,平面內存在點P,使得點P到點M的距離比

到直線1的距離小1,也即點P到點M的距離等于到直線x=-1的距離，

由拋物線的定義可知：點P的軌跡是以M(l,0)為焦點，以直線x=-1為準線的拋物線，

所以點P的軌跡方程為：y2=4%.

2

(2)由(1)可知:曲線C的方程為：y=4x,設直線Z2與曲線C交于4g,%)，B(x2,y2),

聯立方程組yyX+1,消元可得：y2-8y+8=0,

Iy2=4x

所以丫1+%=8,yvy2=8,由弦長公式可得：|力B|=J1+1|yx-y21=V5x

，(乃+、2)2—4yly2=V5x4A/2=4V10,

所以G被曲線C截得的弦長為4VTU.

【變式1-1]2.(21-22上?北京?期末)已知拋物線*=2PMp>0)的準線方程是x=-，

直線x-y-2=0與拋物線相交于M、N兩點.

(1)求拋物線的方程；

(2)求弦長|MN|；

⑶設。為坐標原點，證明：OM1ON.

【答案】⑴y2=2x;

(2)2710；

⑶詳見解析.

【分析】(1)根據拋物線的準線方程求解；

(2)由直線方程與拋物線方程聯立，利用弦長公式求解；

(3)結合韋達定理，利用數量積運算證明；

【詳解】(1)解：因為拋物線*=2Px(p>0)的準線方程是x=~1，

所以一]=解得P=l,

所以拋物線的方程是7=2%;

(2)由「17~0'得/-6x+4=0,

Iyz=2x

設M(Xl，%),N(%2，y2)，

則久1+孫=6,K1,乂2=4,

2

所以|MN|=72/(%!+%2)-4%1-x2=2V10；

(3)因為。M-ON=%％，

=2工1?x2-2(%+x2)+4,

=2x4-2x64-4=0,

所以而1而,

即。M1ON.

【變式1-1]3.(20-21上福州期中)已知直線1經過拋物線產=6x的焦點尸,且與拋物線

相交于4B兩點.

(1)若直線/的傾斜角為60。,求|明的值;

(2)若以線段AB為直徑的圓截y軸所得到的弦長為6,求此圓的半徑.

【答案】(1)\AB\=8；(2)]

【分析】(1)由傾斜角求直線的斜率k,拋物線方程求F點坐標，由直線過拋物線焦點F,

寫出直線方程，聯立直線與拋物線方程，應用韋達定理得巧，結合拋物線定義知|力團=

+%2+P即口」求弦k；

(2)先討論直線1的斜率不存在時得不滿足條件，再討論直線，的斜率存在時，設直線Z的方

程為y=fc(%-|)(fc^O)，聯立方程得以線段4B為直徑的圓的圓心為(嚓要()，半徑為r=

施訓=吟進而根據題意得(空了+32=(筌丫，解方程得k=±2代入r=1\AB\=

衰即可得答案.

【詳解】解：(1)由直線珀勺傾斜角為60。，則斜率k=tan60°=遮.又F(|,0),

「.直線/的方程為y=百-.

y2=6xc

聯AZy=遮_3)，消去y得%2—5%+[=0.

若設4(%i，%),8(%2①)-則％i+%2=5,

而1=\AF\+\BF|=%+]+久2+T+%2+P/且P=3,

：.\AB\=5+3=8.

(2)當直線珀勺斜率不存在時，直線2的方程為x=|,\AB\=2p=6,

此時以線段48為直徑的圓的方程為(x—I?+*=9,截y軸所得到的弦長為3b,不滿足

條件；

當直線1的斜率存在時，設直線珀勺方程為y=fc(x-|)(fc^O),

2

y=6xQ

聯立b=k(x_力，消去y得―(6+3k2)x+.2=0,

設4(%1，%)，B(x2,y2).貝hi+乂2=，工1久2=；，

所以%+y2=fc(%1-I)+fc(x2-I)=/<:(%1+x2)-3k=3k=,

所以|4B\=xr+x2+p=xr+x2=+3=

所以以線段AB為直徑的圓的圓心為,半徑為r=\\AB\=空,

因為以線段AB為直徑的圓截y軸所得到的弦長為6

所以(空)2+232=(喑)，整理得9k2(右一4)=0,解得人=4,

所以圓的半徑r=[MB|=空=4=學.

22H84

【點睛】關鍵點點睛：

【變式1-114.(20-21上?沙坪壩期中)已知點M(-3,0)，點P在y軸上，點Q在x軸的

正半軸上，點N在直線PQ上,且滿足赤.PN=0,PN=^PQ.

(1)當P點在y軸上移動時,求動點N的軌跡C的方程；

(2)過點7(2,0)作一直線交曲線C于A,B兩點，O為坐標原點，若△2。7的面積是4BOT

面積的2倍，求弦長|4B|.

【答案】(l)y2=|x(*>o)；(2)等

【解析】(1)設N(x,y),由已知向量的數量關系及位置關系得(3,2y)?(x,-y)=0,即可知

N的軌跡C的方程；

(2)由直線與拋物線相交關系,令直線AB的方程為:x=my+2,4(%”力，B(x2,y2),

J>0

a

聯立方程，應用根與系數關系有｛yi+y2^-m,結合已知條件、弦長公式即可求MB

為力=-3

【詳解】(1)設點N(x,y),由麗=]而，得P(0,2y),Q(2x,0),

由加?麗=。得(3,2y)?(%,-y)=0,

所以y2=|x.又因為點Q在x軸的正半軸上，

.'.y2=|x(x>0).

(2)設直線AB的方程為：x=my+2,4(%,力),夕⑸㈤，

x=my+24>03

聯立｛2=3X，消去X得：2必-3my-6=0,故出+%=”，

27172=-3

又&4。7的面積是八BOT面積的2倍，得力=-2y2,聯立方程解得爪2=|,

2

由弦長公式可得：|=V1+m-|yi-y21="史'-

【點睛】關鍵點點睛：

(1)由向量的數量關系，應用向量的坐標表示求動點軌跡方程.

(2)根據直線與拋物線相交，設直線方程“=my+2并聯立拋物線方程，得到為+%、%%

結合已知求參數m,根據弦長公式求弦長.

【變式1-U5.(20-21上?全國?期末)在平面直角坐標系久Oy中,已知點F(0,3),E(2,-3),

動點C滿足關系式1b-EC\=3\CF\.

(1)求動點C的軌跡”的方程；

(2)過點F作一直線43交用于48兩點，若ABOF的面積是44。尸的面積的2倍，求弦長|4B].

【答案】(1)/=I2y；(2)條

—>—>—>

【分析】(1)設動點CQ,y),則有。F=(0,3)下。=(久-2/+3),。9=(一居3-)/).由

\0F-EC\-3時可得動點C的軌跡M的方程；

（2）設力（x“i）,B（X2，y2），由&BOF=2s44"得到乂2=-2%1,將其代入韋達定理可解得k,

進而由弦長公式得到弦長|力用.

【詳解】（1）設動點C（x,y）,則有。尸=（0,3）,FC=（萬一2,y+3）,CF=（-x,3-y）.

又由甘.朗=3同，得|3（y+3）|=3“2+（3—y）2,

化簡得/=12y.故所求動點C的軌跡M的方程為/=12y.

（2）如圖/設4（%1，月）,8（工2，、2）,由S/BOF=2s440F,

得茨。F|■\x2\=2x||OF|-IxJ,且久1%2<0,可得%2=

由于直線4B過點尸（0,3）,顯然直線與x軸不垂直，

設直線28的方程為y=日+3,代入方程久2=12y中,

整理得/-12kx-36=0,其/>。顯然成立，

由韋達定理得％i+x2=12k②,%]K2=-36③.

由①②得X[=-12k,x2-24k，代入③得k=±乎；

22

由弦長公式得[4引=Vl+k-\xr—x2\—V1+k?|36/c|=多

【點睛】關鍵點點睛：第（2）問的關鍵點是：設4（%1，%）4（%2，、2），由a80尸=2sMO尸得

-

至！］%2=2xv

題型2中點弦問題

【方法總結】

(1)求二次曲線的標準方程的方法有：待定系數法、定義法、直接法、代入法、參數方程

法；彳

(2)“設而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問

題.

(3)針對中點弦這一特殊問題的專用方法一點差法.

LA.AA.A.A,A.A,A.A.A,A.A,A,A.A.A,A.A,A.A,A,A.A.A,A.A.AA.A.A.A.A,A.A,A.A,A,A.A.A,A.A,A.A,A,A.A.AA.A.A.A.A.AA.A.A.A,A.A,A,A.A,A,A,A,A.A,

【例題2](23-24上漢中模擬預測)已知拋物線C:y2=2Pxe＞。)的焦點為尸，點4(6,%)

在拋物線C上，且|4F|=10.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/交拋物線C于M,N兩點，且點(4,2)為線段MN的中點，求直線珀勺方程.

【答案】⑴y2=16x

(2)4x—y—14—0

【分析】(1)利用拋物線定義可求得P=8,即可求出拋物線C的方程；

(2)由弦中點坐標為(4,2)并利用點差法即可求得直線1的斜率為4,便可得直線方程.

【詳解】(1)點4(6,%)在拋物線C上,

由拋物線定義可得=6+?=10,解得p=8,

故拋物線C的標準方程為必=16%.

(2)設用(的,月)風％2，丫2)，如下圖所示:

則竹=，兩式相減可得比一躬=16(X1-孫)，

\yi=16久2

即(為一、2)(%+丫2)=%2)/

又線段MN的中點為(4,2),可得乃+為=4；

則上”=4,故直線泊勺斜率為4,

%］一%2

所以直線/的方程為y—2=40-4),

即直線/的方程為4x-y-14=0.

【變式2-1］1.(22.23上?貴港?期末)已知三是拋物線C:2=2py(p>0)的焦點,M(4,y0)

是拋物線C上一點,且|MF|=4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線1與拋物線C交于4B兩點，且線段的中點坐標為(8,12),求直線珀勺斜率.

【答案】(1*=8y

⑵2

【分析】(1)根據點在拋物線上及焦半徑公式，列方程組求解即可；

(2)設出4B坐標，代入拋物線方程，結合弦中點，利用點差法即可求得直線的斜率.

【詳解】(1)由題可知，｛:;皆，解得｛々二j，故拋物線C的方程為/=8y.

(2)設心,yj,*,%)，則卜產警，兩式相減得好一彩=8(%—%),

3=8y2

即皿=血詈.因為線段48的中點坐標為(8,12),所以/+上=16,則皿=2,

%］一%2oX1一%2

故直線I的斜率為2.

【變式2-1]2.(23-24上?全國?課時練習)已知拋物線C:*=2%的焦點為F,平行于x軸

的兩條直線k,12分別交C于A,B兩點，交C的準線I于P,Q兩點.

(1)若F在線段4B上,R是PQ的中點，力R與FQ平行嗎?

⑵若△PQF的面積是44BF的2倍，求4B中點的軌跡方程.

【答案】⑴2R//FQ；

(2)y2=x—1.

【分析】(1)求出拋物線C的焦點坐標、準線方程，設出直線Z〃2的方程，并求出點4B,P,Q,R

的坐標，利用共線向量的坐標表示推理作答.

(2)根據給定條件，求出直線48與X軸的交點坐標，設出28的中點坐標，利用共線向量

的坐標表示求解作答.

【詳解】(1)拋物線C：y2=2x的焦點F00),準線入=如圖，

設0:y=a，G：y=b,則帥70,得力得㈤,B(y,fa),P(-|,a),Q(-斯)，R(一等)，

則市=(竽-，a-b),瓦？=(手一支a),由F在線段AB上，得瓦?〃港，

于是a(5-y)=(a-h)(y-1),顯然a豐b,整理得ab=-1,

RA=等)=|(a2-ab,a-/?)=等(見1),QF=(1,-Z?)=(-ab,-b)=-b(a,l),

因此前〃證,顯然點R不在直線QF上，

所以AR〃/Q.

(2)如圖，設直線AB與x軸相交于點。區,0),

由(1加I,△4BF的面積S“BF=^\a-b\\FD\=^\a-b\\X1-^,△PQF的面積〃「。尸=呼，

依題意，SAPQF=2S&ABF，即用以=\a-b\-^|,而a-6H0,解得=?；?=1,

由于%i=。時，點。與4B之一重合，有ab=0,矛盾，則點D的坐標為(1,0),

設4B的中點為E(x,y),則尻=(x-l,y),由話〃瓦f，得丫(9一y)=(a-h)(x-1),

即等y=x-l,又等=y,于是*=x-1,

所以所求的軌跡方程為必=X-1.

【變式2-1]3.(22.23下?呼倫貝爾?階段練習)已知拋物線C:/=-2py(p>0)的焦點為

F,4(久0，-9)是拋物線。上的點，且|4F|=15.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/交拋物線C于M,N兩點,且MN的中點為(6,-4),求直線珀勺方程.

【答案】⑴/=-24y

(2)x+2y+2=0

【分析】(1)根據拋物線的定義求解；

(2)設點代入拋物線方程，然后利用點差法求解直線的斜率，然后根據點斜式即可解得直

線的方程；

【詳解】(1)因為1"1=9+卜15,

所以P=12,

故拋物線C的方程為產=-24y.

易知直線，的斜率存在，設直線/的斜率為k,M(Xi，yI),N(X2，y2)，

則付=—24%,

I據=-24y2,

兩式相減得就-蟾=-24(%-%),整理得上”=-華.

因為MN的中點為(6,-4),所以卜=皿=一卷=一巳

所以直線/的方程為y+4=(%-6),即x+2y+2=0.

【變式2-1J4.(22.23下?安康?期末)已知拋物線C爐=2PMp>0)上一點M(l,a)(m>

0)與焦點的距離為2.

(1)求p和m;

(2)若在拋物線C上存在點A,B,使得MA1MB,設4B的中點為D,且D到拋物線C的準

線的距離為9,求點D的坐標.

【答案】(l)p=2,m=2

(2)停,1)或得一3).

【分析】(1)根據拋物線的性質，求出P=2,然后將代入拋物線的方程即可求出

m;

(2)根據D到拋物線C的準線的距離求出D的橫坐標，將M41M8轉為的的=-1，從

而得到月%=-2(乃+%)-20,兩者結合即可求出月+%,即可求出點D的坐標.

【詳解】(1)設拋物線C的焦點為F,根據題意可知川=1+^=2,解得p=2.

故拋物線C：y2=4%.

因為M在拋物線C上,所以加2=4.又因為巾>0,所以巾=2.

（2）設力（F，yJ,B（9/2）,D（%o，y0）,直線AM的斜率為七，直線MB的斜率為的.

易知心，的一定存在，則的=*，的=*.

T-1T-1

由AM1MB,得的七=-1,即產?滬=一1,化簡得（月+2）（為+2）=-16,即%為=

7TV1

-2（%+先）-20.

因為D到拋物線C的準線的距離刈=x。+1=募，所以久。=皆=葭，

則Xi+x2=13,即?+牛=13,資+乃=52.

22

（71+y2）=52+2y,2=52+2[-2（乃+y2）-20],即（％+y2）+4（%+y2）-12=0,

解得+為二-6或yi+=2,貝!Jy。=汽絲=一3或%=巴”=1.

故點D的坐標為（￡,1）或-3）.

題型3直線方程問題

（人人人人人人人人人人人人人,人人人人人人人人,A人人人人人人人,A人人人人人人人,A人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人g

（【方法總結】

有關直線與拋物線的問題，解題方法如下：

（1）根據題意，列出等量關系式求得P的值，得到拋物線的方程，利用點在拋物線上點的

坐標滿足拋物線方程，求得機的值；

（2井艮據題意，設出點的坐標，根據重心坐標公式，列出等量關系式，根據點在拋物線上，

點的坐標滿足拋物線方程，聯立求得點的坐標，進而求得直線方程.

$$

【例題3]（22-23上眉山?期中）如圖，點4（2,8）,B（%i，yi），。（孫義）在拋物線元=2Px上,

且拋物線的焦點尸是△28C的重心，M為BC的中點.

yt

w

(1)求拋物線的方程和點F的坐標；

(2)求點M的坐標及BC所在的直線方程.

【答案】Q)y2=32x；F(8,0)

(2)M(11,-4)；4x+y-40=0

【分析】Q)將4(2,8)代入V=2Px求得p值，得到點F的坐標；

(2)設點M的坐標為(曲,光)，根據褊=2麗即可求出線段BC中點M的坐標；

由小得噎=T再求出直線所在直線的方程?

【詳解】(1)由點2(2,8)在拋物線必=2Px上，有8?=2pX2,解得p=16.

所以拋物線方程為必=32%,焦點F的坐標為(8,0).

(2)由于尸是4ABC的重心，M是線段BC的中點，

所以赤=2FM,設點M的坐標為(xo，%)，

則布=(6,-8),麗=(%—8,%)，

-{6］鱉2/)，解得g==一4，所以點M的坐標為(111),

由爆二黑得電+%)("%)=32&F，

因為M(11，-4)為為BC的中點，故yi+y2=-8,

所以濘i=—4=kBc，

因此BC所在直線的方程為y-(-4)=-4(x-11),

即4x+y-40=0.

【變式3-1]1.(20-21上紹興?期末)已知三角形ABC內接于拋物線C:y2=2px(p>0),

拋物線的焦點為F,三角形頂點4(2,m)(ni>0)到拋物線C準線的距離為10.

(1)求犯p的值.

(2)若△ABC的重心恰是拋物線的焦點F,求8C所在的直線方程.

【答案】(1)爪=8,p=16；(2)lBC:y=-4x4-40.

【分析】(1)根據拋物線上的點4(2⑹O>0)到準線的距離，列出等量關系式，求得p的

值，得到拋物線的方程，將點的坐標代入拋物線方程求得小的值；

(2)設8(%2，丫2)/C(x3,y3),利用三角形重心坐標公式得到了2+%3=22必+丫3=-8,根

據拋物線上的點滿足拋物線方程，求得點的坐標，進而求得直線方程.

【詳解】(1)因為A到拋物線C準線的距離為10=々+2np=16,

X(2,m)(m>0)代入拋物線C:y2=32%,得m=8.

(2)由(1)得F(8,0),4(2,8),設8(如先)，C(x3,y3),

貝!]2+久2+孫=24,8+%+為=0，

故1+%3=220，比+濟=704=(%=4V21-4于日卜2=H-A/21

*1、2+丫3=-8(y2+y3=-8(y3=-4VH-4'^1%3=11+V21

所以心。=泠=m票=一4,即％ci=-4%+40.

%2—%3-zyzi

【變式3-1]2.(20-21上?沈陽?期末)已知點M到點F(|,0)的距離與它到直線心支=-1的

距離相等

(1)求點M的軌跡方程；

(2)求過點。(0,-2)與點M的軌跡只有一個公共點的直線方程.

【答案】(1)y2=6%;(2)%=?；騳=-2或3%+4y+8=0.

【分析】(1)用定義法判斷M的軌跡為拋物線，寫出軌跡方程；

(2)設出直線方程，利用只有一個交點(分斜率不存在、斜率存在及與x軸平行或重合)

求出直線方程即可.

【詳解】解：(1)由點M到點尸r|,o>的距離與它到直線1%=司勺距離相等,

可得點M的軌跡為以Fr|,0;為焦點X=-9為準線的拋物線

?-M的軌跡方程為*=6x

(2)①當過點C(0,-1)的直線斜率不存在時

方程x=。與y2=6x恰有一-交點，符合題意.

②當過點C(0,-2)的直線斜率存在時，設方程y=kx-2

聯立.2消去y整理得，fc2x2-(4fc+6)%+4=0

當k=。時，方程為y=-2.解得x=|,有一個交點,-2),符合題意

2

當kW0時，△=(4k+6)-4X4fc2=0解得k=

4

方程為y=-|x-2§P3x+4y+8=0

綜上，過點C(0,-2)與點M的軌跡恰有一個交點的直線

方程為％=0或y=-2或3久+4y+8=0.

【變式3-1]3.(18-19下衡陽?階段練習)已知拋物線E:/=2py(p>0)上一點P的縱坐

標為4,且點P到焦點F的距離為5.

(1)求拋物線E的方程

(2)已知兩直線匕4分別經過點尸和”(。，-1)與拋物線E交于4B兩點，G與拋物線E在

第一象限相切于點M,且AABM的面積為8遍,求L的直線方程

【答案】(1)/=4y(2)y=2x+l

【分析】(1)根據拋物線的定義，由4+]=5求出p，得到拋物線方程；

(2)根據％與拋物線E在第一象限相切于點M,利用/=。求出%，得到M點坐標,

根據點到直線距離及弦長|4B|可得△4BM的面積，即可求出斜率，得到直線匕方程.

【詳解】(1)因為拋物線的準線為y=-：，則4+卜5,

解得P=2,

所以拋物線的方程為/=4y.

(2)由已知設直線L：y=kx+l,由消去y得/-4以-4=0,

這時4=16(fc2+1)>0恒成立，

\AB\=Vl+/c2V16(fc2+l)=4(fc2+l)

同理可得直線%：y=k'x-l,由F^1消去y得產―4k'x+4=0

/=16(/2-1)=0,

解得小=1

點”第一象限，則《=1

yM-(-1)攀+i1

XMXM

,,,%”-2

???M(2,l),

則M到匕的距離d=黑

2=卜4(修+1)、焉=8代，

解得k=2,

故直線匕方程為y=2x+1.

【點睛】本題主要考查了拋物線的定義、標準方程，直線與拋物線的位置關系，弦長公式，

三角形面積，屬于中檔題.

【變式3-1]4.(18-19下河南期中)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,過F的

直線/與拋物線C交于2,B兩點，弦4B的中點的橫坐標為|,\AB\=5.

(I)求拋物線c的方程；

(n)若直線/的傾斜角為銳角，求與直線［平行且與拋物線C相切的直線方程.

【答案】(I)y2=4x(II)y=2x+1

【分析】(I)由題得巖=I,再利用拋物線的定義求P的值，即得拋物線C的方程；(n)

設直線/的方程為y=fc(x-1),fc>0根據已知求出k=2,設與直線/平行的直線的方程為

y=2x+b,根據直線和拋物線相切求出b的值得解.

【詳解】(I)設401，%),8(X2，%)，

因為4B的中點的橫坐標為:,所以臂=|.

根據拋物線定義知|4B|=\AF\+\BF\=p+X1+x2=5.

所以p+3=5,解得p=2,

所以拋物線C的方程為必=4%.

(n)設直線，的方程為y=fc(x-1),fc>0.

^3/2,：4”,、得上2K2一(2k2+4)%+々2=0.

y=/c(x—1)

所以Xi+如=哈,即?=3,解得k=2.

設與直線/平行的直線的方程為y=2x+b,

由［y2=4%得4/+(4b-4)X+b2=0.

(y=2%+力

依題知4=(4b-4)2-16b2=0,解得b=

故所求的切線方程為y=2%+1

【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程的求法，考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的

位置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

【變式3-1J5.(20-21上清遠?期末圮知拋物線必=2Px(p>0)的焦點與雙曲線9-y2=

1的一個焦點重合.

(1)求拋物線方程；

(2)若直線Z：y-入-2=。與拋物線只有一個交點，求直線Z方程.

【答案】(1)*=8x;(2)y-2=0,或久-y+2-0

2

【解析】(1)利用拋物線Up=2PMp>0)的焦點與雙曲線必=1的一個焦點重合，

求出P,即可求拋物線C的標準方程;

(2)聯立直線與拋物線方程，消去x得-皈2+8y—16=0,分二次項系數為零與不為零兩

種情況討論，即可求出參數k的值，從而得到直線方程；

【詳解】解：(1)雙曲線9-*=1的一個焦點為(2,0),

???=2p=4,

拋物線c的標準方程為p=8%;

(2)因為直線y-kx-2=。與拋物線只有一個交點，

聯立方程得/i：U=Q,消去x得—砂2+8y-16=0,

(p=8%

當k=。時，8y-16=0顯然有一個交點，滿足條件，此時直線方程為y-2=0;

當k豐。時，4=8?-4X(-fc)X(-16)=0,解得k=1,此時直線方程為x-y+2=0；

綜上可得，直線方程為y-2=0或x-y+2=0

【點睛】本題考查拋物線的標準方程及直線與拋物線的位置關系求參數的值，屬于中檔題.

題型4面積問題

0人AA八八AAA八八八八八人A人八人人八人八A八八AA八八八人人人人A八八八A人八八人八人八人八人八人八人八人八人人八八人八人八人人人人人《

京【方法總結】

有關圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法

(1)涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數的關系、設而不求計算弦長；涉及垂直關

系時也往往利用根與系數的關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮

(2)面積問題常采用工=9底x高，其中底往往是弦長，而高用點到直線距離求解即可，

選擇底很重要，選擇容易坐標化的弦長為底.有時根據所研究三角形的位置，靈活選擇其

面積表達形式，若求多邊形的面積問題，常轉化為三角形的面積后進行求解；

(3)在求解有關直線與圓錐曲線的問題時，應注意數形結合、分類與整合、轉化與化歸及

函數與方程思想的應用.

￡

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAJ

【例題4](22-23下?內江?期中)已知F是拋物線C:y2=2PMp>0)的焦點,P(l,t)(t>0)

是拋物線上一點，且IPFI=2.

Q)求拋物線C的方程；

(2)斜率為1的且過焦點的直線1與拋物線C交于A,B兩點，求WAB的面積.

【答案】⑴y2=4%

(2)472

【分析】(1)由題可得2=1+1，即可求出P值，即可得到拋物線C的方程；

(2)聯立直線與拋物線方程，利用弦長公式可求出以用，利用點到直線的距離公式求出三

角形的高，最后利用面積公式即可.

【詳解】(1)由拋物線的定義得IPFI=2=1+，解得p=2，.少2=4%,

即拋物線的標準方程是P=4x.

(2)由題意得，拋物線的焦點為F(l,0)，令x=1,解得t=2(負舍)，貝!]P(1,2),

，斜率為1的直線/的方程為y=x-1,即x-y-1=0,設力(%1，%),8(久2，%)，

2

[y2=4：^x2_6x+1=0(A=6-4xlxl=32>0,

{.y=X—1

+%2=6ix-￡%2=1/

22

.'.\AB\=Vl+1?\xr—x2l=V2?J(%1+&)2-=V2?V6—4x1=8.

點P到直線1的距離為d==V2,

V1+1

所以△P4B的面積SAP.=IX8xV2=4V2.

【變式4-111.(2223?重慶模擬預測)如圖，已知拋物線C：y2=2PMp>0),F為其

焦點，點4(2,%)在C上,AOAF的面積為4.

⑴求拋物線C的方程；

⑵過點P0n,0)(m>0)作斜率為-1的直線L交拋物線C于點M,N,直線MF交拋物線C

于點Q,以Q為切點作拋物線C的切線%,fi/2///i,求AMNQ的面積.

【答案】⑴y2=Qx

⑵64

【分析】(1)根據題意列式求解P,即可得結果；

(2心艮據題意聯立方程結合韋達定理求點Q的坐標，根據切線結合△判別式求相應參數值，

進而可得結果.

【詳解】(1)由題意可知：拋物線C的焦點F&0),

將4(2,%)代入拋物線C的方程得：詔=4p,

且P>0,則仇|=2y/p,

因為9AF的面積為9WX2訴=呼=4,解得p=4,

所以拋物線C的方程為必=8%.

（2）由（1）可得拋物線C的方程為P=8%,焦點F（2,0）,

設直線L：x=~y+m（m>0）,M（Xi，yi）,N（>2，y2），Q（%3，y3），

聯立方程『2'1m，消去X得y2+8y-8m=0,

iy—ox

則A=64+32m>0,可得y1+y2=~S,y1y2=-87n,

因為點M（%i，yI）在拋物線上，貝!!無=，即X]=9，

o

Zl_2

所以直線MF的方程為x="y+2=且一2y+2=鏟y+2,

yiyi8yl

聯立方程卜=/'+2，消去x得p+My—16=0,

、y2=8%yi

可得y，3=-16,即丫3=-竽，

貝尾=吟x（技）+2逐，即嗚，-*

因為l2〃，i，可設I：%=~y+n,

代入嗚VMhi，聯噬-3

所以"=_y+"2

_32_16

%_一：.一五，消去x得y2+8y+8（/-■=0,

因為l為拋物線C的切線，則A=64—32照一登）=0,

整理得比一8%+16=0,解得%=4,

又因為%+y2=-8,%%=-8m,yry3=-16,

可得力=-12,m=6,y3=-4,

即Q(2,—4),l^.x=—y+6,

可得|MN|=Vl2+(-D2|4-(-12)1=16V2,

點Q(2,-4)到x+y-6=0的距離d=7===4/,

Viz+(-i)z

所以AMNQ的面積SAMNQ=||MW|xd=1xI6V2X4V2=64.

【變式4-l]2.(23.24上?南京?階段練習股拋物線CV=2PMp>0)的焦點為F,M&C,

Q在準線上，Q的縱坐標為遍p,F到點Q距離為4.

⑴求拋物線C的方程；

(2)過尸且斜率為2的直線1與C交于4B兩點，求44BQ的面積.

【答案】(l)y2=4%

(2)2A/5+V15

【分析】(1)根據拋物線的方程的得到Q(-(V5p),尸信。)，然后根據F到點Q的距離為

4列方程，解方程得到p=2即可得到拋物線的方程；

(2)聯立直線和拋物線方程，利用韋達定理得到,根據點到直線的距離公式得到三角

形4BQ的高，然后求面積即可.

【詳解】(1)由題意得Q(/Kp),產信0),

所以即I=卜+(一.丫=4,解得「=2或_2(舍去)，

所以拋物線的方程為P=4x.

(2)由(1)可得Qjl,28),尸(1,0),

所以直線48的方程為y=2(%-1),即y=2x-2,

設,B(x2,y2),

聯立可得——3久+1=0,

所以％1+0=3,+久2+P=5,

設點Q到直線48的距離為d,貝必=與尋=小誓，

所以SAABQ=IMBI.d=：X5X弋2后=2V5+V15.

【變式4-1]3.（22.23上?省直轄縣級單位?階段練習）已知點M（2,-2/）在拋物線。：必=

2PMp>0）上，傾斜角為45。的直線I經過拋物線C的焦點F.

⑴求拋物線C的標準方程；

⑵求線段AB的長及△力8。的面積

【答案】⑴y2=4%

⑵|4B|=8；SAABO=2V2

【分析】（1）將點M的坐標代入拋物線方程，即可得到結果；

（2）由題意可得直線/的方程，聯立直線與拋物線的方程，結合焦半徑公式即可得到|4川，

再由點到直線的距離公式，即可得到△力8。的面積

【詳解】（1）由題意可知，將點M（2,-2/）代入拋物線方程，可得（-2/『=2px2,解

得P=2,

則拋物線方程為y2=4x.

（2）由（1）可知，拋物線方程為物=4%，則尸（1,0）,則直線/的方程為y-0=1x（%-1）,

即y=x-1,設401，%）,B（x2,y2）,聯立直線與拋物線方程可得，*=,

消去y可得（X-I）2=4X，化簡可得/一6x+1=0,則%+%2=6,

由拋物線焦半徑公式可得，=\AF\+\BF\=久1+%2+。=6+2=8；

由點到直線的距離公式可知，點。到直線用勺距離d=f,

則S-BO=1\AB\'d.-Ix8x^7-2立.

【變式4-1J4.（22-23下?靜安期中）已知斜率為k的直線/經過拋物線C：P=4x的焦點F,

且與拋物線。交于不同的兩點43,為）鳳久2，%），記點M的坐標為（5,0）.

(1)若點4和B到拋物線準線的距離分別為粉3,求|力引；

(2)若斜率k=1,求△4MB的面積；

(3)若AAMB是等腰三角形且|M川=\MB\,求實數k.

【答案】⑴/引=：

(2)872

⑶1或—1

【分析】(1)由拋物線的定義求解即可