專題2-2基本不等式提高版十大題型匯總

。常考題型目錄

題型1公式法....................................................................1

題型2多次使用均值不等式........................................................5

題型3消元法...................................................................10

題型4多元均值不等式...........................................................15

題型5基本不等式與二次不等式結(jié)合...............................................19

題型6換元法...................................................................23

題型7三角換元法...............................................................28

題型8萬能k法.................................................................31

題型9因式分解法...............................................................33

題型10不等式鏈...............................................................36

U題型分類

題型1公式法

【方法總結(jié)】

基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù)；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大

值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則

這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方

【例題1】(2022秋?河南鄭州?高一新密市第一高級中學校考階段練習)已知久〉0,y>0滿

2

足2/y+Xy-y-8x-0,則y+2久的最小值為()

A.2V2B.4C.3V2D.V2

【答案】C

【解析】由題意可得y+2%=i+^,結(jié)合目標式即可構(gòu)造出(y+2x)2=(y+2x)(i+；)

進而利用基本不等式求y+2久的最小值

2

【詳解】由2%2y+xy—y—8x=0知：xy(2x+y)=y+8%,而％>0ry>0

.'.y+2x='+；,則(y+2x)2=(y+2x)(：+；)=(+等+1022—4-10=18

:.y+2x>3/

故選：C

【點睛】本題考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目標式的等價形式，應(yīng)用等價

代換構(gòu)造出基本不等式的形式求最值

【變式1-1]1.(2022秋?上海徐匯?高一上海市南洋模范中學校考期中)已知a,b均為正

數(shù)，且ab-a+4b,則登~^+b2-前勺最小值為.

【答案】6

【分析】由已知有&+，=1,則+房-：=1+廬-2，利用基本不等式求其最小值，

ClDloCLDlo

注意取值條件.

【詳解】由a,b均為正數(shù)，且ab=a+4b,則(+[=1,

222

又《--+6--=—+h-(-+-)=—+h-2z

16ab16%b，16

3+6=(3+36+6)=2+”+￡22+2=4,當且僅當竺=1，即￡1=83=2取等號，

4ab4a4ba4b

所以2(q+b2)>(^+b)2>16,當且僅當a=8,b=2取等號，則(+爐28,

2

所以高+b2-2>6,當且僅當a=8,b=2取等號，目標式最小值為6.

故答案為：6

【變式1-1]2.(2023春?湖南衡陽?高一衡陽市衡鋼中學校考開學考試)已知正實數(shù)a,6滿

足2a+b=1,則"+寢的最小值是

ab+2-----------

【答案】:

【分析】由2a+6=1,得到2a+b+2=3,化簡必+窸=2a+2+(*2)：普+2)+2

結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】由正實數(shù)。，匕滿足2a+b=1,所以2a+b+2=3,

則四出+上二=2a+工+(b+2)J4(b+2)+2

ab+2ab+2

1212

=2a+(b+2)+—+■-4=—Fb+2-1

ab+2:a

112

=-[2a+(b+2)]-(-+---)-l

OCXUI乙

1b+24a

=y(4+------十)-1

am

、I.,clb+24ay5

之式4+2』[為y-1.

當且僅當比=會且2a+b=3,即a=：,b=[時等號成立，

ab+242

口門2a2+i

即一+W的最小值是j.

a

故答案為：|.

【點睛】本題主要考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，其中解答點關(guān)鍵是基本不等式的條

件的配湊，利用"1"的代換技巧的應(yīng)用，著重考查推理與運算能力.

【變式1-1]3.（2022?天津?高三專題練習）.已知實數(shù)久,y滿足x>y>0,則言+老的

最小值是

【答案】2+2V2

【分析】將所求代數(shù)式變形為2(%y)+篝+2,然后利用基本不等式可求最小值

x+y

【詳解】X>y>0,

???x+y>x—y>0,4汽=2[(x+y)+(%—y)],

4xx+y2(x+y)+2(x-y)x+y2(x-y)x+y.QQQ

-------1-------卜十甯嘗=2+2夜,當且僅

x+yx-y=---x-+-y---1-x--y=--x+-y-1-x---yZNzz

當夜（%一y）=%+y時，即當％=（3+2/）y時,等號成立,

因此言+慧的最小值為2+2V2.

故答案為：2+2V2

【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求代數(shù)式的最值，解題的關(guān)鍵就是對所求代數(shù)式進

行變形，考查了計算能力，屬于難題.

【變式1-U4.(2022?全國?校聯(lián)考一模汜知正實數(shù)a,b滿足2a>b,S.ab=之Z則喑ZCL—盧D的

最小值為

【答案】2V3

【分析】將式子竺沖1結(jié)合條件變形為(2a-與+六，再運用基本不等式求解即可.

2a—b2a—b

【詳解】由題意得2a-b>0,且ab=|,

4a2+b2+l_4a2+b2-4ab+3_(2a-Z5)2+3

2a-b2a-b2a-b

=3-)+白22?2a-b)x急=2b,

當且僅當2a-6=告，等號成立，即口="隹，匕=與2

故答案為：2V3

【變式1-1]5.(2023春?天津河西?高三天津市新華中學校考階段練習)已知正實數(shù)a,b

滿足2a+6=2,則(4a2+1).&+1)的最小值為不潦+竺祥的最小值

為.

【答案】4|+V2

【分析】空1先把2a+b=2兩邊平方，再對所求式子進行換元，利用二次函數(shù)求解最值,

(或根據(jù)柯西不等式直接求解)；空2先分離常數(shù)，然后根據(jù)均值不等式求解.

【詳解】空1方法一,由2a+b-2得4a2+4ab+b2-4,4a2+b2-4—4ab,

(4a2+1)-(b2+1)=4a2b2+4a2+b2+1=4a2b2—4ab+5=4(ab—0+4,

當ab=阻2a+b=2時,即a,b=1時，(4a?+1)?(62+1)取得最小值4.

空1方法二，由柯西不等式得

(4a2+1)?(b2+1)=(4a2+1)-(1+Z?2)>(2a+b)2=4.

當a=|,b=1時，(4M+1)?(廬+i)取得最小值4.

故答案為：4.

2a2一匕+4+b2-2a-22a+2a+2+b+匕-42a(a+l)+2+匕2-16+匕+4+8

空2,

a+1b+4a+1b+4a+1b+4

2828

=2aH------+b-3+=-14------+-

a+1b+4a+1b+4

=-1+81(/^2Tl+FT84)\[(2(a+l)+(b+4)]

12(b+4)16(a+1)\

=-1+84+8+

a+1b+4/

=T+X】2+2(匕+4)16(a+1)\

a+1b+4/

1,l、

>-l+-(12+8V2)

o

當a=4V2—5,b=12—8/取等號.

故答案為：|+魚.

題型2多次使用均值不等式

【方法總結(jié)】

一般情況下均值用兩次，要保證相同字母"取等"條件和數(shù)值一致。

【例題2】（2023?全國?高三專題練習）已知正實數(shù)居y滿足4/+25y2=1,貝吟+和最小

值為（）

A.20B.40C.20V2D.40V2

【答案】C

【分析】由（三+三）2=（2）2=4/+25J+20町兩次應(yīng)用基本不等式即可求解.

\xyj\xyJxzyz

【詳解】(-+-)2=(^)24x2+25y2+20xy40xy400400

\xyj\xyJ-%2y2—x2y2-2%.5y-4/+25y2

X-VT2

當且僅當2x=5y=三，即―時等號成立,

y-V-2

10

故:+2的最小值為20vl

故選：C.

【變式2-1]1.(2023?全國?高一專題練習)設(shè)。>26〉0,則+4+〒口的最小值

aba{a-2b)

為.

【答案】6

【分析】對式子進行變形，然后利用基本不等式求解即可.

【詳解】。2+總+e^=a(a—26)+2ab+煮+就合

22ja(”2b)x^+2j2abx/=2+4=6,

(1zr-

abf=左a=\3

當且僅當,、助1取等號，即L6取等號，

a(a-2b)=-—b=工

Ia(a-2b)3

所以。2+[+7%的最小值為6.

aba{a—2b)

故答案為：6

【變式2-1J2.(多選X2022秋?安徽合肥?高一校考階段練習)設(shè)。>b>c>0，則當2a2+

4+7、-10四+25c2取最小值時，下列說法正確的是().

aba^a-b)

A.a=V2B.b=2-\/2C.c=9D.a+b+c=3V2

【答案】AC

【解析】將原式整理為2+防+1+a(a-h)+a2-lOac+25c2,根據(jù)基本不等式和

aba(a-d)'

二次函數(shù)的性質(zhì)可得選項.

【詳解】因為a>6>c>0,所以

原式=—+ah+,1、+a(a—h)+a2—lOac+25c2

aba^a-b)

———+ubH—----+d(d—b)+(a-5c)2

aba(a—b)

當且僅當a(a-/?)=1,即a=迎，b=曰，c=爭寸,等號成立，此時a+b+c=,

-ct=5c

故選：AC.

【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù)；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大

值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則

這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

【變式2-1J3.(2020秋?廣東?高二校聯(lián)考階段練習)已知機>0zn>0，則當81W+4+

盧取得最小值時，n的值為()

【答案】D

【分析】直接利用基本不等式用即可得解.

【詳解】由7n>0,n>0得81血2+*2+->18mn+>81,

zn8mn8mn

1

9m=n9m=nm=-

9=-

當且僅當Wmn=—mn=-I時，等號成立

8mnn=-2

故選：D.

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正"就是各項必須為正數(shù)；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大

值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則

這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

【變式2-1]4.(2022?全國?高三專題練習)a,b,c是不同時為0的實數(shù)，則黑：；：韻勺最

az+2oz+cz

大值為()

A.iB.-C.-D.恒

2422

【答案】A

【分析】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.

【詳解】若要使a上z+2黑&z+：cz最大,貝！1時,兒均為正數(shù)，即a,b,c符號相同，

不妨設(shè)a,b,c均為正實數(shù)，

m.|ab+bc_a+ca+c_a+c

小+2塊+〃一駕匕2b-二#2yx2b-2J23+CZ)

_1la2+2ac+c2_111ac111ac_1

-2Q2(a2+c2)-212+a2+c2-2《2+2\/a2xc2~2'

當且僅當手=2b,且。=c取等，即a=b=c取等號，

即則我鬻鼻的最大值為|,

故選：A.

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù)；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大

值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則

這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，注意多次運用不等式，等號成

立條件是否一致.

【變式2-1]5.(2022?全國?高三專題練習)設(shè)0,b,c＞。，且不等式點+"或一看2。恒

成立，則實數(shù)t的最大值為()

A.13B.6C.8D.62.

【答案】C

【分析】將不等式5+l+r-Jr20恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式t<(a+b+c)仔+：+9

2ab2ca+b+c\2ab2c/

恒成立，利用基本不等式求解.

【詳解】因為a,b,c>0,且不等式;+：+；—>0恒成立，

2ab2ca+b+c

所以不等式t工S+人+。)(或+》—恒成立，

而(a+b+c)(―+：+工)=3+與+&+巴+二+2+等

''\2ab2cJb2a2c2a2cb

>3+21.2+2I---+2l---=8,

7b2a72c2a72cb

當且僅當6=2a=2c時，等號成立，

所以tW8,則實數(shù)t的最大值為8.

故選：C.

【變式2-1]6.(2022?高一單元測試)已知a>b>0,那么當代數(shù)式a?+"右取最小值

D^CL—D)

時，點P(a,b)的坐標為

【答案】(2,1)

【分析】根據(jù)題意有b(a-6)W(絲產(chǎn))2,當且僅當6=a-6,即。=2b時取等號，所以

a2+-^―2a2+If216，結(jié)合a>b>0以及兩個不等式等號成立的條件可求出a,b的值,

b{a—b)Q/

從而可求得答案

【詳解】解：由a>6>0,得a-6>0,

所以b(a-6)W(嚀丫=?,當且僅當b=a-b,即。=2b時取等號，

所以a?+3下>?2+^>16,其中第一個不等式等號成立的條件為a=2b,第二個不等

b{a—b)a￡

式等號成立的條件為。2=當，

r716

CL——z_Q

所以當取最小值時，a=2b，解得仁:

<a>b>0

所以點P(a,b)的坐標為(2,1),

故答案為：(2,1)

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是多次使用基本不等式，但

不要忽視每次取等號的條件，考查計算能力，屬于中檔題

【變式2-1】7.(2023?全國?高一專題練習)若a,beR,ab>0,則舄島的最大值為

()

A.iB.-C.2D.4

42

【答案】A

【分析】利用基本不等式即可求解.

【詳解】a4+4b4=(a2)2+(2的2>4a2b2,當且僅當a?=2b2時，等號成立；

abab1

?________________v______________—____________

=+464+1—4a2爐+1一+±

ab

又4ab+^->2\\ab-=4,當且僅當4ab=々時，即a2b2=1等號成立；

abAJabab4

11ab

=2b2加/日2/271

」?a2b2=工，解信a?=[爐=/；?W；-

I4

所以扁片的最大值為9

故選：A

題型3消元法

【方法總結(jié)】

如果不容易直接觀察出均值，可以反解代入消元，在構(gòu)造"單變量”均值形式求解

【例題3](2023秋?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習)已知a,b,c均為

正實數(shù)，ab+ac=4,則？+旨+占的最小值是

ab+ca+b+c

【答案】4

【分析】將b+c看成一個整體，將所求式轉(zhuǎn)化為常見二元最值問題，借助"1"的代換，適

當變形后利用基本不等式求解即可.

【詳解】設(shè)。=乂，b+c=y,

原題轉(zhuǎn)化為：已知%>0,y>0,且成=4,求|+；+W的最小值.

由三+-+=-（-+-）+-^―=-（y+%）+>2V4=4.

xyx+y2xyx+y2x+y

當且僅當3（y+%）=京即x=y=2時，等號成立.

所以馬+馬+會的最小值為4.

故答案為：4.

【點睛】方法點睛：一般地，處理多元最值問題的思考角度有以下幾個：

從元的個數(shù)角度，關(guān)鍵在于減元處理，代入消元、整體換元、三角換元等方法；

從元的次數(shù)角度，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化目標函數(shù)（代數(shù)式），如一次二次比分式型，齊次比型，雙

勾函數(shù)型等等；

從元的組合結(jié)構(gòu)角度，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)分析，將問題轉(zhuǎn)化為整體元的和、積、差、平方和、倒

數(shù)和等并列結(jié)構(gòu)的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等號取到的條件.

【變式3-1]1.（2017?北京?高三強基計劃）已知a,b,c為正實數(shù)，則代數(shù)式*;+-^-+

D-roC8c十4a

擊的最小值為（）

A.-B.1C.-D.-

48364

【答案】A

【分析】利用換元法結(jié)合基本不等式可求最小值.

【詳解】設(shè)題中代數(shù)式為M，令b+3c=x,8c+4a=y,3a+2b=z，則a=-|x+|y+|z,

DOO

b,=-1x----3-y+,-1z.

2164

c=-1x.11z,

6——16zy---1-2-

于是M=_%+（Z+工）+（里+二）+（"+三）

48\8x2yJ\16z4yJ\2z6x7

等號當％:y:z=1:2:3時，也即a:b\c=10:21:1時取得,

因此代數(shù)式的最小值為巳.

48

故選：A.

【變式3-1]1.（2023?全國?高一專題練習）已知a>0,b>0,a+26=l,則甯1的

最小值為（）

A.yB.yC.6+V10D.3+VTo

【答案】D

【分析】根據(jù)條件得b=”，代入式子化簡，結(jié)合基本不等式即可求得最小值.

【詳解】因為a+2b=1,所以6

b2+a+lb,1,11-a,1,a+2b11,1,11

即---r---1----=-----1----1-----=-------1----1----1—

2ab2a2b2ab4a2b2ab4a42b2ba

51115ba

(a+2/,)--=3+-+-

4a64信+力

r--f5b_a(a=氈丑

23+2怦q=3+aU,當且僅當元=3，即J時，等號成立

72abia+2b=l卜=孑

所以(嗡％n=3+VIU

故選:D.

【變式3-1]2.（2021秋?江蘇?高一專題練習）已知ab=；,a,be（0,1）,則2+三的

41—CL1—D

最小值為

A.4B..6C.3+延D.4+—

33

【答案】D

【解析】根據(jù)b=:代入++7^：/變形為』-+7^7+2/等價處理成|+-^—)((4-

4a1-a1-b4-4a4a-l3v4-4a4a-l八'

4a)+(4a-1))+2,利用基本不等式求最值.

【詳解】由題：ab=]a,b￡(0,1),力=?

121218。-2+2

一+~~r=------+-------=---------+—：---:—

42

=—F-------+2

4—4a4a—1

221

=Q<G~^+Z^~T）（（4-4a）+（4a-1））+2

34—4a4a—1

=-（2+1+^^+—）+2>-（3+2V2）+2,

314-4a4a-l73'7

當且僅當好2=白勺時，取得最小值，

4-4a4a-l

解得當a==二時，取的最小值4+等

43

故選：D

【點睛】此題考查利用基本不等式求最小值，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給條件準確變形，根據(jù)積

為定值求最值，注意考慮等號成立的條件.

【變式3-1]3.（2022?全國?高三專題練習）已知a>0,且a?-b+4=0,則急有（）

A.最大值*B.最小值:C.最大值;D.最小值J

5544

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得到W,從而利用基本不等式即可求出w的最大值.

a+ba+a-+la+b

【詳解】因為a?—+4=0,所以b=a2+4,

所以捻=—=含，

a

因為a>0,所以a+3+1>2[^+1=5,當且僅當a=&,即。=2時等號成立，

avaa

所以W=7―W；，當且僅當a=2時等號成立.

a+ba+l+l5

故選：A.

【變式3-1]4.（2023春?湖南長沙?高一長沙麓山國際實驗學校校考開學考試）已知a>

0,b>0且a?-b+4<0,則（）

A.有最小值昔B.有最大值昔C.有最小值？D.有最大值？

5566

【答案】A

【解析】根據(jù)-b+4w0，變形為b>a2+4，再利用不等式的基本性質(zhì)得到a+b>a2+

a+4,進而得到一W2—*工,然后由暗=3-弋，利用基本不等式求解.

a+baz+a+4a+ba+b

【詳解】因癡2_b+4wo,

所以b>a2+4,

所以a+b>a2+a+4,

所以高三百，

所以-

a+b~a2+a+4'

所以2a+3b=3-23-^^

a+b

當且僅當a=2,b=8時取等號,

故選：A.

【點睛】思路點睛：本題思路是利用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為號=3-W,再由6>?2+4,

a+ba+b

利用不等式的性質(zhì)構(gòu)造-W>,再利用基本不等式求解.

a+baz+a+4

【變式3-1]5.（2023?全國?高三專題練習）已知a,6,c6R且a+b+c=0,a>b>c，則巴：。一

的取值范圍是（）

A.[2,+oo）B.（—oo,—2]C.（-1，-2]D.Q|]

【答案】C

【分析】首先求得a，。及工的取值范圍，再把立包轉(zhuǎn)化為關(guān)于￡的代數(shù)式巴+￡,利用函數(shù)

aacaca

f?=t+的單調(diào)性去求￡+（的取值范圍即可解決

【詳解】由a+b+c=0,a>b>c,可彳導a>0,c<0fb=—a—c

貝>-a-c>c,貝[]-2<-<令t=-,貝！]一2<tV一工

a2a2

又f(t)=t+?在(-2,-1)單調(diào)遞增，在(-1,一分單調(diào)遞減

/(-2)=-2+^=-|,/(-1)=-1+)=_2,/(一"—"$=一

則<—2,即一|<0一<—2

22ac

故選：C

題型4多元均值不等式

x—2y—z+2w=0,

【例題4】(2020?北京?高三強基計劃)設(shè)正實數(shù)x,y,z,w滿足2yz-wx=0,則

z>y,

話的最小值為()

y

A.6+V2B.6+2V2C.6+3V2D.6+4近

【答案】D

【分析】消元后根據(jù)基本不等式可求話的最小值.

y

【詳解】考慮消元，由于『十非二寒+Z'

Ixw—/yz,

根據(jù)均值不等式，2y+z=x+2w>2A/2=W=4^/yz.

從而2+->4R,基本解得三>6+4A/2,

y7yy

等號當％=2w時取得.因此所求的最小值為6+4V2.

故選：D

【變式4-1J1.(2023秋?高一單元測試)已知正數(shù)x,y,z滿足/+*+=1，則5=強

的最小值為.

【答案】4

【分析】變化條件，利用基本不等式求解即可.

【詳解】由條件得/+y2=1-z2=(1-z)(l+z),則1+z=,

1+z_x2+y22xy_1

:S=-2-xyz=2xyz(l-z)-2xyz(l-z)z(l-z)

>「z+：a?=4,當且僅當x=y，且z=l—z,即z=，=y=1時取等號.

故答案為：4.

【變式4-1]2.(2023?江蘇?高三專題練習)設(shè)實數(shù)a,b,c，滿足a+b=2c-1,a2+b2=

c2+2c-3,則ab的取值范圍是.

【答案】上言，卜啕

【分析】用c表示帥,再根據(jù)基本不等式求出c的取值范圍后可求成的取值范圍.

【詳解】因為ab=/(a+b)2-a2-的，

所以ab=|[(2c—l)2—c2—2c4-3]=|(3c2—6c+4),故ab=|[3(c—l)2+1],

222

又小+ft>2ab,所以/+2c—3>2x|[3(c—l)+1]=3c—6c+4z

整理得到2c2—8c+7<0即萼<c<^.

又子>1,故y-j[3(c-1)2+i]在[等，竽]為增函數(shù)，

當‘=竽時,y=—=+喙當c=竽時,丫=5+苧；

所以處的取值范圍是件-乎中+誓]

【點睛】多元變量的最值問題，基本的處理策略是利用消元法盡量降低變元的個數(shù)，從而把

問題歸結(jié)為一元函數(shù)的值域，另外消元時可用整體消元的方法且需注意變量范圍的傳遞.

【變式4-1】3.(2022秋?四川?高一四川省平昌中學校考階段練習)設(shè)2,b,ce(0,+8)且

a?_2ab+962_°=0,則當段取最大值時，三+：—2的最大值為

cabc---

【答案】3

【分析】將c表示為a"的形式，利用基本不等式求得當也取最大值時，a=36,c=12b2,

c

再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得三+:-2的最大值.

abc

2

【詳解】a,b,CE(0,+8)且小_2ab+9h—c=0z

即c=a2—2ab+9fe2,

ab_ab_1

22

'ca-2ab+9bba-

當且僅當g=—,a=3b時等號成立，止匕時c=a2-2ab+9b2=12b2,

ba

r-|\|3,291,2331,1

所C以-o

八aH--b----c-=-bH---b----4-b-2-=--4-X—b2+3X-b,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當>-斗=2,b=粗寸，

2

一：x白+3x，取得最大值為一:x22+3x2=3.

4bzb4

故答案為：3

【點睛】結(jié)論點睛：求一個表達式的最值，可以考慮以下兩種方法，一種是利用基本不等式

來求最值，利用基本不等式求最值，要注意"一正二定三相等"；一種是利用二次函數(shù)的性

質(zhì)來求最值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值，要注意開口方向和對稱軸.

【變式4-1]4.(2022?江蘇?高一專題練習)設(shè)a,b,c,d均為大于零的實數(shù)，且abed

=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,則a2+b2+m的最小值為()

A.8B.4+2V3C.5+2V3D.4^3

【答案】B

【分析】根據(jù)條件可得a?+b2+ma2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd,然后利用重要不

2

等式和基本不等式可求出a?+b+m的最小值.

【詳解】解：a,6,c,d均大于零且abed_1,m-a(b+c+d)+b(c+d)+cd,

a2+b2+m=a2+b2+(<a+b)(c+d')+ab+cd.

>2ab+2y[ab-2Vcd+ab+cd=4+3ab+cd

》4+273abcd-4+2v5,

當且僅當a=b,c-d,3ab-cd,即a—b—(1)J,c-d—3a時取等號，

a2+b2+tn的最小值為4+2v5.

故選：B.

【點睛】本題考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔

題.

【變式4-1]5.（2022?全國?高三專題練習）已知正數(shù)x,y,z滿足/+y2+z2=1,則5=

莊+工的最小值是（）

xyz

A.2+3V2B.3+2V2C.3+2V3D.4+3A/2

【答案】B

【分析】利用不等式進行變型，轉(zhuǎn)化為莊>2,所以原式

xy1-z

s=l^l>-^i=^-（ze（0,1））,結(jié)合基本不等式即可得到答案.

xy+z1-z+zz（l-z）、'/

【詳解】?:x2+y2+z2=1,A1-z2=x2+y2>2%y（當且僅當%=y時取等號）

???1—z2>2xy,???>2

xy

又因為已知正數(shù)x,y,Z滿足/+y2+z2=1,所以0<z<1即/>g

故S=^+}NE+}=（￡+》（1—Z+Z）=3+W+?23+2/，

當且僅當z=&-1時等號成立，

故S=莊+工的最小值是3+2V2

xyz

故選：B

【點睛】本題主要考查了不等式綜合，利用基本不等式進行變型，然后還考查了導函數(shù)的應(yīng)

用，利用單調(diào)性求最值，屬于較難題.

【變式4-1】6.（2020春?新疆伊犁?高二校考期末圮知a,b,c都是正數(shù)目4a+96+c=3,

則：+"+為勺最小值是.

【答案】12

【分析】由三+：+工=G+!+3譚+3b+今，展開后利用基本不等式，即可求解.

abcabc33

【詳解】由4a+96+c=3,可得費+3d+f=1,

所以鴻+E=K+鴻+3匕+5I+?+^+3+￡+^+I+S+T

=3+|+需+第+/+菜+森+9=3+

54

-+4+-+2=12,

當且僅當a=；,b=Jc=§時取等號，

4oZ

所以為勺最小值是12.

故答案為：12.

【點睛】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，著重考查式子的變形能，以及推理與

運算能力，屬于中檔試題.

【變式4-1】7.（2023?全國?高三專題練習）已知x,y,z均為正數(shù)，？+工=2,久+2y+2z=

xy

xyz,則孫z的最小值為.

【答案】16

【分析】》等+（=2化簡，代入久+2y+2z=久yz可得2xy+2z=xyz,再根據(jù)基本不等式

求解最小值即可.

【詳解】?|+；==2,2y+x=2xy,x+2y+2z—2xy+2z=xyz,因為x,y,z均

為正數(shù),所以xyz=2（xy+z）>2x2^xy-z,故xyz>4dxyz,即Jxyz>4,xyz>16,

當且僅當xy=z=4,即x=4+2V2,y—2—V2,z-4或x=4—2vxy-2+V2,z-4時

取等號，所以孫z的最小值為16.

故答案為：16.

題型5基本不等式與二次不等式結(jié)合

【例題5］（2021秋?江蘇?高一專題練習）已知實數(shù)a,b,c滿足a?+b2+2c2=1，則2ab+c

的最小值是

A?一”?3C?TD.V

【答案】B

【解析】根據(jù)題意利用小+爐與2帥的基本不等式，再轉(zhuǎn)換為含c的二次不等式求解即可.

【詳解】若2ab+c取最小值，顯然a,b異號且c<0.故1-2c2=a2+b2>2\ab\=-2ab,

即2ab>2c2—1,故2ab+c>2c2+c—l=2（c+工）-->-

\4/88

當且僅當c=-1a,b分別取士￥時等號成立.

44

故選：B

【點睛】本題主要考查了基本不等式以及二次不等式的綜合運用，需要注意分析a,6,c的正負

再利用基本不等式，屬于中等題型.

?

【變式5-1]1.（2023全國?高一專題練習）若正數(shù)滿足工+?=1,則4/+y2_16xy

xy

的最小值是（）

A.-108B.-100C.-99D.-96

【答案】B

【分析】由!+j=1可得2x+y=xy=>xy>8,原式化為（孫7-2Oxy,利用二次函數(shù)的性

質(zhì)求解即可.

【詳解】由工+2=1可得2x+y-xyxy>2j2xy=>xy>8,x-2,y-4時等號成立，

xy

所以4/+y2-16xy=（2x+y）2-2Oxy=（xy）2—2Oxy=（xy—10）2—100,

所以xy=10時，4%2+y2-16孫的最小值是一100,

故選：B

【變式5-1]2.（2021秋?高一單元測試）已知正實數(shù)滿足町2（%+y）=由則2x+y的

最小值為.

【答案】2V2

【解析】根據(jù)/必+町^_4=0,利用一元二次方程的解法結(jié)合x>0,y>0,

得到X=-f+1ly2+^，進而得到2x+y=Jy2+患,利用基本不等式求解.

【詳解】因為正實數(shù)與y滿足xy2（久+y）=4,

所以％2y2_|_Xy3_4=0z

解得％=心筍！=一

當且僅當x=-l+V2,y=2,取等號,

所以2x+y的最小值為2a

故答案為：2V2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是利用方程思想，由條件解得X,將問題轉(zhuǎn)化為"+y=

y2+凸解決.

【變式5-1J3.（2020?浙江衢州?衢州二中校考一模）已知實數(shù)a,b,c滿足a?+肝+2c?=1,

則ab+c的最小值是

【答案】一"

lo

【解析】先分離出a?+b2,應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于C的二次函數(shù)，進而求出最小值.

【詳解】解:若ab+c取最小值,則洋異號,c<0,

根據(jù)題意得：1一2。2=小+爐，

又由a?+ft2>2\ab\=—2ab,即有1—2c2>—2ab,

貝！Jab+c>c2+c-|=（^c4-i）一看，

即2ab+c的最小值為一盤,

lo

故答案為：-4

lo

【點睛】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值，屬于中檔題.

+

【變式5-1]4.(2020?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知實數(shù)x,y,z滿足匕片2^V.o，

則xyz的最小值為

【答案】72y/2—104

【解析】利用基本不等式求得z的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得孫z的最小值.

【詳解】由%y+2z=2得%y=2-2z,

2222222

所以8=4%+y+z>2，4%2.y2+z=4|xy|+z=4|2—2z|+z=8|1—z|+z,

當且僅當|%|=|y|時等號成立.

222

所以5/+z=8,5x=8-z>0z所以—2a<z<2V2.

由于8Z8|1-Z|+Z2,

當z<1時，即8>8(1—z)+z2=>z2—8z<0=>0<z<8,所以0<z<1.

當z>1時,即8>—8(1—z)+z2nz2+8z—16工0=—4—4&<z<—4+4A/2,所以

1Vz<—4+4^2.

綜上所述r0<z<—4+4A/2.

所以久yz=(2-2z)?z=-2z2+2z=-2(z-0+1,其對稱軸為z=j,開口向下，所以