面積的存在性問題

1.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=|久2_|%一4與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y

軸交于點C.

⑴求點A、B、C的坐標;

⑵點P從點A出發,在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發，在線

段BC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動.設運動時間為

t秒，求運動時間為多少秒時，APBQ的面積最大，并求出最大面積；

⑶在(2)的條件下，當APBQ面積最大時，在BC下方的拋物線上是否存在點M,使ABMC的面積是APBQ面

積的L6倍？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由.

2如圖1,在平面直角坐標系中，函數y=?(m為常數m>l,x>0)的圖像經過點P(m,l)和Q(l,m),直線PQ與x

軸、y軸分別交于C、D兩點.點M(x,y)是該函數圖像上的一個動點，過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別

為A、B.

(1)求/OCD的度數；

⑵當m=3,l<x<3時存在點M使得△OPMsaocP,求此時點M的坐標；

圖1

⑶當m=5時矩形OAMB與AOPQ的重疊部分的面積能否等于4.1?請說明你的理由.

3如圖1,拋物線y=/+版+5與x軸交于點A和點B(5,0),與y軸交于點C,拋物線的頂點為P.

(1)求拋物線的表達式并寫出頂點P的坐標；

⑵在x軸上方的拋物線上有一點D,若/ABD=/ABP,試求出點D的坐標；

⑶設在直線BC下方的拋物線上有一點Q,若SABCQ=15,試求出點Q的坐標.

專題直擊

如圖，拋物線y=好—6%+5與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,設在直線BC下方的拋物線上有一點

Q,若SABCQ=15,試求出點Q的坐標.

4.如圖，矩形ABCD的頂點C在y軸右側沿拋物線.y=x2-6x+10滑動，在滑動過程中CD〃x軸，CD=1,

AB在CD的下方.當點D在y軸上時AB落在x軸上.當矩形ABCD在滑動過程中被x軸分成兩部分的面積比為1：

4時，求點C的坐標.

5.如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為(3,0),(0,1).點D是線段BC上的動點(與端點B、C不重

合)，過點D作直線y=-1+b交OA邊于點E.若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形0小正￡1,試

探究四邊形OiAiB1cl與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請

說明理由.

6如圖，已知扇形AOB的半徑為2,圓心角/AOB=90。，點C是弧AB上的一個動點,(CD1OA于D,CE

±OB于E,求四邊形ODCE的面積的最大值.

B

7.如圖，二次函數y=(%+m)2+k的圖象與x軸交于A、B兩點，頂點M的坐標為(1,-4).

(1)求A、B兩點的坐標；

⑵設直線AM與y軸交于點C,求ABCM的面積；

(3)在拋物線上是否還存在點P,使得SAPMB=SABCM,如存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理

由.

8如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=x+3的圖像與y軸相交于點A,二次函數.y=-x2+bx+c的圖像

經過點A、B(1,O),D為頂點.

(1)求這個二次函數的解析式，并寫出頂點D的坐標；

(2)將上述二次函數的圖像沿y軸向上或向下平移，使點D的對應點C在一次函數y=x+3的圖賃上,求平移

后所得圖像的表達式；X

(3)設點P在一次函數y=x+3的圖像上，且SAABP=2SAABC,求點P的坐標./一十

9.(1)如圖1,已知平行四邊形ABCD,如果直線1同時平分平行四邊形ABCD的周長和面積，那么直線1一定

經過哪個確定的點？

⑵如圖2,已知等腰梯形ABCD,如果直線1同時平分等腰梯形ABCD的周長和面積，那么直線1也經過一個

確定的點嗎？

(3)如圖3,已知梯形ABCD,是否存在直線1同時平分梯形ABCD的周長和面積？如果存在,那么直線1也經

過一個確定的點嗎？

⑷如圖4,在AABC中,NC=9(T,AC=6,BC=8,設直線1與斜邊AB交于點E,與直角邊交于點F,設AE=x,是否存

在直線1同時平分AABC的周長和面積？若存在直線1,求出x的值；若不存在直線1,請說明理由.

10.如圖1,已知邊長為2的正方形ABCD中，AC為對角線，點E在線段AC上(點E與點A、C不重合)，過點

E作EFLBC,垂足為點F,聯結ED和DF.

(1)說明AEFD與AEFC的面積相等；

⑵設.AE=x,SAEDF=y(SAEDF表示AEDF的面積),求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)當AEDC為等腰三角形時.求線段AE的長.

11.如圖1,在正方形ABCD中，AB=4,點M是邊BC的中點，點E是邊AB上的一個動點，作EGXAM交

AM于點G,EG的延長線交線段CD于點F.

⑴如圖1,當點E與點B重合時，求證:BM=CF;

⑵設BE=x,梯形AEFD的面積是y,求y與x的函數解析式，并寫出定義域.

備川圖

12.如圖1.在矩形ABCD中,AB=1,對角線AC、BD相交于點O,過點O作EFXAC分別交射線AD與射線CB于

點E和點F,聯結CE、AF.

(1)如圖,求證:四邊形AFCE是菱形;

⑵當點E、F分別在邊AD和BC上時,如果設AD=x，菱形AFCE的面積是y,求y關于x的函數關系式，并寫

出x的取值范圍；

(3)如果AODE是等腰三角形，求AD的長度.

13.如圖1.在梯開?ABCD中,AD〃BC,AB=CD,BC=10,對角線AC、BD相交于點O,且AC_LBD.設AD=X,AAOB

的面積為y.

(1)求/DBC的度數；

⑵求y關于X的函數解析式，并寫出自變量X的取值范圍；

(3)如圖2,設點P、點Q分別是邊BC、AB的中點，分別聯結OP、OQ、PQ.如果AOPQ是等腰三角形，求AD

的長.

14.如圖1,已知正方形ABCD的邊長為3,菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形的邊AB、CD、

DA上,AH=1,聯結CF.

⑴當DG=1時，求證:菱形EFGH為正方形；

(2)設DG=x,AFCG的面積為y,寫出y關于x的函數解析式，并指出x的取值范圍；

⑶當DG=竽時，求NGHE的度數

DGD

備用圖

15.如圖1,已知在等腰梯形ABCD中,AD〃BC,AD=AB=CD=6厘米NB=60。.點P在邊AD上以每秒2厘米的

速度從點D出發,向點A運動，?點Q在邊AB上以每秒1厘米的速度從點B出發,向點A運動.已知P、Q兩

點同時出發，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設兩個點運動的時間為t秒，聯結PC、QD.

(1)如圖1,若四邊形BQDC的面積為S平方厘米，求S關于t的函數解析式并寫出函數定義域；

⑵若PC與QD相交于點E,且/PEQ=60。,求t的值

16.如圖1,在梯形ABCD中,AD〃BC,AC=BC=4,/D=9(T,M、N分別是AB、DC的中點，過點B作BE,AC交

射線AD于點E,BE與AC交于點F.

(1)當/ACB=3O。時，求MN的長;

(2)設線段CD=x,四邊形ABCD的面積為y,求y與x的函數關系式及其定義域；

⑶聯結CE,當CE=AB時，求四邊形ABCE的面積.

17.如圖1,在梯形ABCD中,AD//BC,ZB=90°,NC=45°,AB=8,BC=14,點E、F分別在邊AB、CD上,EF〃

AD,點P與AD在直線EF的兩側,/EPF=90。,PE=PF.射線EP、FP與邊BC分別相交于點M、N,設AE=x,MN=y.

(1)求邊AD的長;

⑵如圖，當點P在梯形ABCD內部時，求y關于

⑶如果MN的長為2,求梯形AEFD的面積.圖1

18如圖1梯形ABCD中,/BCD=90。,AD=2,BC=4,CD=4次,對角線AC、BD相交于點0點E為BD上一動

點(不與點B、D重合).聯結AE、CE.設DE=x,AAED的面積為y.

(1)求y關于X的函數關系式，并寫出定義域；

⑵當AE=CE時，求x的值；

⑶當x取何值時，AAOD與AEOC面積相等？寫出你的猜想，并證明你的結論.

19如圖1,在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0,4),點B是x軸上一點，以AB為邊.在AB的一側作正方

形ABCD,對角線AC、BD相交于點E,過點C向x軸作垂線，垂足為F,點G是OF的中點，聯結EG.

(1)如果點B的坐標為(1,0),求點C的坐標;

⑵當點B在x軸正半軸上時，如果點B的坐標為(a,0),ABEG的面積為S,寫出S關于a的函數解析式及定

義域；

⑶當ABEG的面積為|時，求線段EG的長.

1.滿分解答

⑴由y=|%2-|x-4=|(x+2)(x-3工得A(-2,0),B(3,0),C(0,-4).

⑵如圖2.在RtABOC中,OB=3,OC=4,所以BC=5,sinz5=

作QH_Lx軸于H在RtABQH中，QH=BQ-sinzB="

所以SPBQ=-QH=|(52t)x|t=-|(t2-|t)?

當t=3時，APBQ的面積最大，最大值為Tx[(|)2-g)]=1

⑶如圖3,過點M作y軸的平行線交BC于N.

由B(3,0)、C(0,-4]得直線BC的解析式為y=^x-4.

設%(%，]%一4),加卜，|一一|久一4),那么NM=-|x2+2%.

所以SMBC=SMBN+SMCN=^NM.OB=|(—1%2+2久)=—x2+3%.

解方程-x2+3x=1,6x三，整理，得x2-3x+2=0.

4

解得x=l,或x=2.所以點M的坐標為(1,-4)或((2--|).

考點伸展

第⑶題中，△MBC面積的最大值是多少呢？

由S=r2+3久=一(久一I?+*可知當x=時，AMBC的取得最大值，最大值為△MBCt這是一個典型

結論，當點N是BC的中點時，△MBC的面積最大.

2.滿分解答

(1)如圖2,作PP1±x軸于P,作QQ'±y軸于Q：設PP與QQ交于點K.由tan/KQP=黑=二=1,得/

QK771—1

KQP=45°.所以/OCD=45°.

⑵如圖3,當m=3時.y=1,P(3,1),Q(l,3).所以OP=V10.

由直線PQ的解析式y=-x+4得C(4,0).所以0C=4.

如果△OPMs^ocP,那么黑=等=箸所以?！?竇=5=*

由M（x-：）,OM2=爭得上2+0=

整理，得4x4-25/+36=0.解得%2=4,或x2=

4

所以x=2,或x=|.所以M色|),或(|,2).

檢驗：當Mg2)時，=孚

所以"=9十同=漁產=四+四=竺

OP24CP24

所以器豐署所以M(|，2)要舍去.所以符合條件的點M的坐標是(Q|).

⑶如圖4,設MA與OP交于點G,MB與OQ交于點H.

由"=注=3得G4=工。4=；所以S。4G

OAOP'51552510

由些=空=L,得HB=l0B=1所以s=lx-xi=-^.

OBOQr5"5x。叫2xx2x2

y2t

所以重疊部分的面積s=S^AMB-S0AG-S0BH=5----,

解方程5—=養整理，得%4-9%2+25=0.

因為A=81-100<0,所以此方程無實數根.所以重疊部分的面積不能為4.1.如圖5,當x>5時，重疊部分的面積

小于AOPP的面積，所以不可能為4.1.當0<x<l時，重疊部分的面積小于ACIQQ，的面積，所以不可能為4.1.

考點伸展

第(3)題情景下，重疊部分的面積的最大值是多少呢？

由S=5—高—與=—.(/+-50)=—5-1。+為一50+1。］=—白(久—3)+4,可知重疊部分

102xz10\X2/10L\x2/」10\X/

面積的最大值為4.

3.滿分解答

(1)將點B(5,0)代入y=x2+bx+5彳導.解得b=-6.

所以y=%2-6%+5=-(%-3)2-4,頂點P的坐標為(3,-4).

(2)如圖2，作DN±x軸于N.設拋物線的對稱軸與x軸交于點M.

由tan/ABD=tan/ABP,得—=—.

BNBM

設點D的坐標為3/—6久+5)那么=；=2.

5—%2

解得X=-1.所以點D的坐標為(-1,12).

(3)由B(5,0)、C(0,5),可知BC=5近，直線BC與x軸負半軸的夾角為45。.

設BC邊上的高為h,那么SBCQ=jx5V2/i=15解得h=3a.

如圖3，設y軸上點C下方的點G到直線BC的距離(GH=3企,那么CG=6,G(0,-1)過點G作BC的平行

線與拋物線的交點就是要求的點Q,這條直線為y=-久-1.解方程組［，=2一”］,得［J-2或:A所

(y=%—6%+5,(y——J,(y——4.

以<?(2，—3)或(3,—4).

4.滿分解答

當x=l時,y=x2-6x+10=5,所以BC邊的長為5.

如圖1,當矩形ABCD在x軸上方部分的面積與這個矩形面積的比為1：5時，點C的縱坐標為1.

2

解方程x—6x+10=1,得Xi=x2—3.

此時點C的坐標為(3,1).

如圖2,當矩形ABCD在x軸上方部分的面積與這個矩形面積的比為4：5時，點C的縱坐標為4.

解方程x2-6x+10=/得/=3+板,％2=3-

此時點C的坐標為(3+V3-4)或(3-百，4).

5.滿分解答

如圖1,因為四邊形OiAiBiCi與矩形OABC關于直線DE對稱，因此DM=DN,那么重疊部分是鄰邊相等的平行

四邊形，即四邊形DMEN是菱形.

作DHLOA,垂足為H.

由于CD=2b-2QE=2b,所以EH=2.

設菱形DMEN的邊長為m.

在RtADNH中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以I2+(2-m)2=/解得m=~.

4

所以重疊部分菱形DMEN的面積為-|

4

6.滿分解答

如圖1,圖2,設矩形ODCE的對角線交于點F,那么OF=1為定值.

作OH_LDE于H,那么OH<OF.

因為DE=2為定值，因此當0H與OF相等時(如圖3),ADOE的面積最大，最大值為1.所以矩形ODCE的面

積的最大值為2.

7.滿分解答

(1)由y=(%-I)2-4=x2-2x-3=(%+1)(%-3),得A(-l,0),B(3,0).

(2)因為A、M到y軸的距離相等，所以C是AM的中點.所以C(0,-2).

因止匕SBCM=SBCA=5aB-OC--x4x2=4.

⑶過點C作BM的平行線與拋物線有兩個交點，這兩個交點都是符合條件的點P.設P(x,r-2%-3),由PC

〃BM狷/CPE=/BMF.所以g=言解方程/=-3+2=:得％=2土遮所以P(2+遍，2+2遙)或

(2-V5-2-2A/5).

8.滿分解答

(1)由y=x+3得A(0,3).

(b=-2

將A(0,3)、B(l,0)分別代入y^-x2+bx+g得｛1』二’?解得I=3.

所以二次函數的解析式為y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,頂點為D(-l,4).

(2)如圖1,當x=-l時,y=x+3=2.

所以點C的坐標為(-1,2).

所以平移后的拋物線的解析式為.y=-0++2=-%2—2x+1.

⑶如圖2,AABP與AABC是共底三角形,AB是公共的底邊.

當SABP=2S.C時，點P到直線AB的距離等于點C到直線AB的距離的2倍.

所以PA=2PC.因此xp=±2xc=±2(如圖3).

所以點P的坐標為(2,5)或(-2,1).

9.滿分解答

⑴如圖1,直線1一定經過平行四邊形的對角線的交點.

⑵如圖2,直線1一定經過梯形中位線的中點.

⑶如圖3,如果直線1經過梯形中位線的中點，并且與兩底相交，那么直線1平分梯形的面積，但不一定平分

梯形的周長.當等腰梯形時，直線1同時平分周長和面積.

D

圖1圖3

(4)AABC的周長為24,面積為24.

如圖4,點F在AC上，假設直線EF同時平分4ABC的周長和面積，那么AE=x,AF=12-xtEG=^x.

解方程!(12-%)x|x=12彳導%=6±V6.

當％=AE=6—V6,AF=12—%=6+顯,,此時點F不在AC上.所以取X=6+V6.

如圖5,點F在BC上，假設直線EF同時平分4ABC的周長和面積，那么AE=x,BE=10-x,BF=12-(10-x)=2+x,EH=

|(10-x).

方程|(2+%)x|(10-x)=12整理，得/-8x+20=0.此方程無實數根.

10.滿分解答

⑴如圖2,因為四邊形ABCD為正方形，所以/BCD=90。.

因EF_LBC,所以/EFC=90。.所以EF//DC.

由平行線間的距離處處相等，得AEFD與AEFC為同底等高三角形.

所以AEFD與AEFC的面積相等.

⑵如圖2,因為四邊形ABCD為正方形，所以/ACB=/ACD=45。.圖2

在RtAABC中,AB=BC=2,所以.AC=2V2.

所以.EC=AC-AE=2^2-x.

在RtAEFC中,^ACB=45。,EC=2&-久，設.EF=FC=m.

由勾股定理，得病+zn2=（2y/2-%）整理，得2m2=（2A/2-x）.

所以/=6守.

所以y=SEDF=SECF=/F*FC=|m2=仁與"=\x2-V2x+2.

自變量的取值范圍是（0<x<2A/2.

⑶分三種情況討論AEDC為等腰三角形.

①如圖3,當CD=CE時,CE=2.所以.AE=AC-CE=2y/2-2,

②如圖4,當EC=ED時,/EDC=NECD=45。.所以/ADE=45。.

所以DE為等腰直角三角形ADC的角平分線.

由等腰三角形三線合一，AE=EC=V2.

③如圖5,當DC=DE時,NDEC=NECD=45。.

此時點E與點A重合，不符合題意，舍去.

11.滿分解答

(1)如圖2,由正方形ABCD彳導AB=BC,NABC=/C=90。.

所以N2+N3=90°.

因為EG_LAM,所以/EGA=90。.

所以/1+/3=90。.

所以/1=/2.

在AABM與ABCFC|：I,Z1=Z2,AB=BC,ZABC=ZC,^TIUAABM^ABCF.^TI^BM=CF.

圖3

(2)如圖3,過點E作EH±DC于H得矩形BCHE.

所以EH=BC=AB,CH=BE,ZEHF=90°.

由⑴，得N1=N2.

在AABM與AEHF中

所以HF=BM=2.

因為BE=x，所以AE=4-x,DF=DC-CH-HF=2-x.

所以y=\(。4+4E)?4。=[(2—x+4—十)?4=-4x+12,定義域是0<x<2.

12滿分解答

⑴因為四邊形ABCD是矩形.所以OA=OC,DA〃CB.

所以Nl=/2.

在AAOE和ACOFZ1=Z2,OA=OC,ZAOE=ZCOF,^LUAAOE^ACOF.^IUOE=OF.

又因為EFLAC,所以四邊形AFCE是菱形.

圖3

⑵設菱形的邊長為m.

在RtADEC中,EC=m,DE=x-m,DC=l,由勾股定理得((%-m)2+I2=m2.

整理，得一2久m+x2+1=0.解得m=匚口.

2x

所以y=s=AE-AB=m要■.定義域是x>0.

(3)因為四邊形ABCD是矩形，所以OC=OD,N5=/6.

當AODE是等腰三角形時，分兩種情況討論.

①如圖4,當點E在線段AD上時，AODE為鈍角三角形，所以只可能存在EO=ED.此時，Z3=Z4.

因為/ADC=90。,所以N3+N5=90。.

因為/EOC=90°,所以N4+/7=90°.

根據等角的余角相等相N5=N7.所以/5=/6=/7=60。,/3=30。.

在RtZiADB中,/3=6(T,AB=l,所以BD=2.所以.AD=V3.

②如圖5,當點E在線段AD的延長線上時，AODE為鈍角三角形，所以只可能存在DO=DE.此時,/8=/4.

因為/EDC=90。,所以N8+/EMD=90。.

因為/EOC=90。,所以N6+/OMC=90。.

根據等角的余角相等，得.N8=N6.所以Z4=Z5=Z6=48.因為乙4。。=45+N6,所以乙4。。=2/4.所以

3/4=90。,N4=30。在Rt△4DC中，Z6=Z4=30°,DC=1,設AD=a,CD=2a而勾股定理，得+拶=

(2以,解得a1=—當(不符合題意，舍去),a2=當所以AD=當

E

13滿分解答

(1)如圖3,過點D作DK〃AC交BC延長線于點K彳導平行四邊形ADKC.

所以AC=DK,AD=CK=x.

由等腰梯形的對角線相等，得AC=BD.所以BD=DK.

又AC_LBD,所以NBOC=90。.

所以NBDK=90°,/DBC=45°.

(2)如圖3,過點D作DNLBC于N,過點O作OHLBC于H.

由(1),在等腰直角三角形DBK中，DN=抑=/x+10).

在等腰直角三角形OBC中，0H=加=5.

所以SABC=|sC-D/V=ixl0x|(x+10)=|(x+10)

SB0C=jBC-O//=|xl0x5=25.

所以y=SABC-SBOC=［久,自變量的取值范圍是x>o且X力10.

⑶如圖4.過點A作AMJ_BC于M.

由⑵在RtABND中，DN=BN=-(x+10),所以AC=BD=—(x+10).

在RtAABM中，AM=DN=^(x+10),BM=CN或(10-久),所以AB=DC=^-Vx2+100.

在AABC中,PQBAABC的中位線，PQ=+10).

在RtAAOB中,OQ是斜邊上的中線，。Q=2ZB=f?Vx2+100.

在等腰直角三角形BOC中，OP==5.

如圖5,AOPQ是等腰三角形，分三種情況討論.

①當PQ=PO時，+10)=5,解得x=10V2-10.此時AD=10V2-10.

2

②當OQ=OP時，乎-V%+100=5,解得小=-10,%2=10(均不符合題意，舍去).

③當QO=QP時，￥.Vx2+100=彳(％+10),解得x=0(不符號題意，舍去).

綜上所述，如果AOPQ是等腰三角形，AD=10V2-10.

14.滿分解答

(1)如圖2,因為四邊形ABCD是正方形，所以/D=/A=90。.

因為四邊形EFGH是菱形，所以HG=EH.

在RtADGH^W中,HG=EH,DG=AH=1,所以Rt△DGH=Rt△AHE,所以N1=N2.

因為N2+N3=90。,所以Z1+Z3=90。.所以/GHE=90。.

所以菱形EFGH為正方形.

圖2圖3

⑵如圖3,過點F作DA的平行線，交DC延長線于M.

所以FM1DC,ZM=NA=90°.

因為正方形ABCD和菱形EFGH,所以HE=FG,DC〃AB,GF〃HE.

所以乙MGF=Z^EH.^TIUAHAEAFMG,MF=AH=1.

所以y=|GC-MF=|(3-久)，定義域為0<x<V6

⑶過點G作GKLAB于K.

在RtADGH中，DH=2,DG=誓，所以HG=收+(竽?=率.

在Rt△AHE中，AH=1,HE=HG=率，所以AE=J(穿了—1?=乎.

在Rt△GKE中，GK=DA=3,KE=AE-DG-所以GE=^32+=號.

所以HE=HG=GE,AGHE是等邊三角形.所以.乙GHE=60°.

15.滿分解答

(1)如圖2.過點A作AG±BC于G.過點D作DHLBC于H得到矩形AGHD.

因為四邊形ABCD為等腰梯形，所以/C=/B=60o,NBAD=/ADC=120。.

在RtAABG中,/B=60°,AB=6cm,所以NBAG=30°,BG=3cm,AG=3V3cm.

同理可得,CH=3cm,BC=3+6+3=12cm.

2

所以S梯形ABCD=^AD+BC)?4G=*6+12)?3魂=2743cm.

如圖3,過點D作DMLAB交BA延長線于點M.

在RtAADM中，Z.MAD=NB=60。,4。=6cm,所以AM=3cm,MD=3值cm.因為BQ=tcm,所以AQ=(6-t)

cm.

所以SAQD=-MO=|(6-t)-3V3=誓(6-t)cn?2.

+1873)cm2.

S=S四邊形BQ/x：=5梯形八收力—S&AQD=27①一苧（6-，）=（苧z

所以

定義域是0<t<3.

(2)如圖4,在AEDC中，因為/DEC=NPEQ=60。,所以/1+/3=120。.

又因為/ADC=/2+/3=120。,所以/l=/2.

在△4QD和△DPC中,N4=^ADC,AD=DC,Z1=N2,所以△AQD=△DPC.所以AQ=DP.所以6-t=2t.

解得t=2.

BC

圖4

16.滿分解答

(1)如圖2,因為AD〃:BC,所以NCAD=NACB=30。.

在RtAACD中,NCAD=3(F,AC=4,所以CD=2.

由勾股定理，得力。=2V3.

如圖3,因為MN是梯形ABCD的中位線,所以MN=）AD+BC）=|（2遍+4）=舊+2.

⑵如圖4,在RtAACD中,AC=4,CD=x,由勾股定理得.AD=VIE所以y=^rcie46^=|(^+^)-

CD=|x(V16—x2+4)=|xV16—x2+2%.定義域是0<x<4,

圖4

⑶如圖5,當CE=AB時.四邊形ABCE是等腰梯形.

此時對角線BE=AC=4.

【方法一】如圖5,過點E作AC的平行線交BC的延長線于點H.所以四邊形ACHE是平行四邊形.

所以AE=CH.根據等底等圖的三角形面積相等，得SAABE=SAECH.

所以$四邊形ABCE=SEBH-

因為BE_LAC,所以BE±EH.

所以△是等腰直角二角形,SEBH=8.所以S；力汨=8.

【方法二】如圖6,因為BE1AC,

所以$四邊形ABCE=SABC+SAEC=lAC^BF+^)=|XC-BE=|X4X4=8.

圖5圖6

17.滿分解答

(1)如圖2,作DD'_LBC于D：

在RtADD'C中，ZC=45°,DD'=4B=8,所以D'C=8.

所以.AD=BC-D'C=14-86.

⑵如圖3,過點F作AB的平行線交AD的延長線于點A；交BC于點B.

在等腰直角三角形DA'F中，A'D=A'F=2E=x.

在等腰直角三角形FB'C中，B'C=B'F=BE=8—x.

過點P作PQLEF于Q,PQ交AD于G,交BC于H.

在等腰直角三角形PEF中，PQ=|FF=|(6+%).

在等腰直角三角形PMN中，PH==|y.

由GH=GQ+PQ+PH=8彳導x+1(6+x)+|y=8.

整理彳導y=-3x+10.定義域是|<%<y.

定義域是這樣確定的：

當MN=y=O時，由-3x+10=0,得x=如圖4所示).

當MN=y=AD=6時，由-3x+10=6,得x=[(如圖5所示).

(3)MN=2存在兩種情況：

①如圖6,當點P在梯形內部時,MN=2.

解方程-3x+10=2得光=*

圖4圖5

此時在梯形AEFD中，2E=|,4D=6,EF=6+：=與

所以梯形AEFD的面積為等.

②如圖7,當點P在梯形外部時,MN=2.

由GH=GQ+PQ-PH=8彳導%+1(6+x)-|y=8.

整理彳導y=3x-10.

解方程3x-10=2彳導x=4.

此時在梯形AEFD中,AE=4,AD=6,EF=6+4=10.所以梯形AEFD的面積為32.

圖6圖7

18滿分解答

(D如圖2,在R3BCD中,BC=4,CD=4e，所以BD=8,/BDC=30。.

由ZkAED和AABD是等高三角形，可得醇=黑=*

^ABDHD?

因為SABD=|71￡)-CO=jX2X4V3=4遍，所以SAED=苧.

定義域是0<x<8.

圖2

⑵如圖3,在RtADEM中,/BDC=30。,DE=x，所以EM=^x,DM=yx.

如圖4,作EN1.AD于N,作EMXDC于M.

在RtAAEN中，NE=DM=~x,NA=EM-AD=^x-2,所以AE2=(fx)+Qx-2丫=x2-2x+4.

在R3EMC中，EM=^x,MC=DC-DM=4舊一與x,所以CE?=+（4V3-yx）=%2-12%+48.

因為AE=CE,所以.AE2=CE2.

所以x2—2x+4=x2-12x+48.解得x=y.

（3）【方法一】①如圖5,當點E在OB上