專題18三角函數概念與誘導公式

【考點預測】

知識點一：三角函數基本概念

1、角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形;

②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，構成的角的集合是S={尸忸=h360。+a,此Z}.

(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,

就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：［a\2k7r<a<2kTr+^-,kEZ)

象

限第二象限角：{aM+3<a<2"+TT#eZ}

-角

的

m集第三象限角：{al2房+b<a<2"+要,AGZ}

\合

第四象限角：算<a<24F+2TTMeZ}

2、弧度制

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.正角

的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°=^rad,1°=—rad,lrad=—.

1807t

(3)扇形的弧長公式：/=,“，扇形的面積公式：S=^lr=^\a\-r2.

3、任意角的三角函數

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點尸(x,y)時，貝！Jsine=y,cosa=x,tana=—(x^O).

(2)推廣：三角函數坐標法定義中，若取點尸P(x,y)是角a終邊上異于頂點的任一點，設點尸到原

點。的距離為r,貝!Jsine=2,cosa=—,tana=—(x0)

rrx

三角函數的性質如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函數定義域

限符號符號限符號限符號

sinaR++一一

cosaR+一—+

71

tana{aaw左〃+萬,女￡Z}+—+—

記憶口訣：三角函數值在各象限的符號規律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4、三角函數線

如下圖，設角a的終邊與單位圓交于點尸，過尸作軸，垂足為過/（1,0）作單位圓的切線

與a的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.

孫（1,0）

*1,6)\oUx

三角函數線

(I)(D)(ID)(IV)

有向線段九。為正弦線；有向線段為余弦線；有向線段NT為正切線

知識點二：同角三角函數基本關系

1、同角三角函數的基本關系

（1）平方關系：sin2a+cos2a=1.

（2）商數關系：S^na=tana（a^—+kn）；

cosa2

知識點三：三角函數誘導公式

公式--二三四五六

7171

角2k1+a(keZ)7ia-an-a-----a—Fa

22

正弦sina一sina-sinasin。cosacosa

余弦COS6Z-COS6ZCOS6Z-COS6Zsina-sina

正切tanatana-tana一tana

口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數式中的角統一寫作〃?工土（2）

2

無論有多大，一律視為銳角，判斷"?王土a所處的象限，并判斷題設三角函數在該象限的正負；（3）當〃為

2

奇數是，“奇變”，正變余，余變正；當”為偶數時，“偶不變”函數名保持不變即可.

【典型例題】

例1.（2024?山東青島一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯展”在山東孔子博物館

舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案.出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就

是這樣一件珍寶.玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S，型雙龍，造型精美.現要

3

計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數據（圖2）:N8。8cm,ND。2cm,NO。5cm,若sin370名w

計3.14,則璜身（即曲邊四邊形/BCD）面積近似為（）

D'、、、

0

圖2

A.6.8cmB.9.8cm:C.14.8cm,D.22.4cm'

【答案】c

J_JR3

【解析】顯然-03為等腰三角形，O4=OB=5,AB=8，貝%=2^=3，^ZOAB=-,

即/0/5b37°,于是4403=106°=不二

所以璜身的面積近似為|ZAOB-（OA2一O02）=g*需*伊-3?卜14.8（cm?）

故選：C

例2.（2024?北京懷柔?模擬預測）攢尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構樣式，多見于亭閣式建筑、園林建

筑等，如圖所示的亭子帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積為167t,屋頂的體積為“無兀,

3

算得側面展開圖的圓心角約為（）

【答案】C

【解析】底面圓的面積為16兀，得底面圓的半徑為廠=4,

所以底面圓周長為既，即圓錐側面展開圖扇形的弧長為/=8兀，

屋頂的體積為學好兀,由』xl6兀公藥5兀得圓錐的高〃=2遍,

333

所以圓錐母線長，即側面展開圖扇形半徑=同市=6,

78兀47r

得側面展開圖扇形的圓心角約為?=-=—=v

R63

故選：C.

a

例3.（2024?高一四川內江期末）已知sinc>0,cosa<0，則§的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因為sincr>0,coscif<0,

兀

所以a為第二象限角，即,+2配<a<7t+2析#eZ,

兀2klia兀2E7）

所以針亍<7'十亍人z，

則y的終邊所在象限為居［,四,兀）榜著）所在象限，

即?的終邊在第一、二、四象限.

故選：D.

例4.（2024高三?海南省直轄縣級單位?階段練習）若a是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（）

A.90°-aB.90°+aC.360°-aD.3600+a

【答案】c

【解析】因為。是第一象限角，所以一￡是第四象限角，

則90。-a是第一象限角，故A錯誤；90。+a是第二象限角，故B錯誤；

360。-a是第四象限角，故C正確；360。+a是第一象限角，故D錯誤.

故選：C.

cc

例5.（2024?高三?上海靜安?期末）設a是第一象限的角，則，所在的象限為（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

【答案】C

【解析】因為。是第一象限的角，

兀

所以2fal<a<2kn+—,keZ,

所以+左￡Z,

（yjrr/

當月=2〃,"〃Z時,2nn<—<2nn+~,neZ,彳為第一象限角；

（X71CX,

當上=2"+l,〃eZ時，2rni+it<—<2rm+ii+-,n&7.,萬■為第三象限角.

故選：C

__Qjr

例6.（2024高一?全國?課后作業）下列與角—的終邊相同的角的表達式中正確的是（）

A,2標+45°（左eZ）B,左?360°+?（左eZ）

57r

C.k360—315。ReZ）D.fot+—（A;eZ）

【答案】c

【解析】對于A,B,2析+45。（丘Z）,h360。+當（上）中角度和弧度混用，不正確；

Qjrjr

對于C,因為7=2兀+了與—315。是終邊相同的角，

44

故與角彳97r的終邊相同的角可表示為h360。-315。（左eZ）,C正確；

對于D,祈+^（%eZ）,不妨取左=0,則表示的角彳與］終邊不相同，D錯誤，

故選：C

例7.（2024?高三?安徽?階段練習）《擲鐵餅者》取材于希臘的現實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強

健的男子在擲鐵餅過程中具有表現力的瞬間（如圖）現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，

擲鐵餅者的手臂長約為[m，肩寬約為?m，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為

4o4

（參考數據：71=1.414,6。1.732）（）

A.1.012mB.1.768mC.2.043mD.2.945m

【答案】B

5兀

【解析】如圖所示，由題意知“弓”所在的弧石的長/=￡+[+3壽，其所對圓心角a=-|-=3,

44oo。2

4

5TC

則兩手之間的距離|叫=2|/必=2xzxsina"768（m）.

故選：B.

例8.（2024?高三?全國?階段練習）tan2400sin660。的值為（）

【答案】D

3

【解析】tan2400sin660°=tan(180°+60°}in。20。-60°)=tan60°卜.60。卜也

2

故選：D.

.42+2cos2a-3sin2a

例9.（2024?遼寧?一模）若tan2a=],則)

1-cos2a

A.彳或21

B.-2或0C.2

【答案】c

42tana4g或-2,

【解析】tan2a=—=—=>tana=

=1----ta--n2a-3

2+2cos2a-3sin2a

1-cos2a

2+2(2C0S2a-l)-6sinacosa

1-(1-2sin2a

4cos2a—6sinacosa

2sin2a

2-3tan<7

tan2a

代入tana求得值均為：2.

故選：c.

sin2a

例10.(2024?全國—模)若tana=2，則sin2a+)

tana

61C-26

AB-i口?一?

-7-5

【答案】A

2

sin2a.22sinacosa.32sina+2cos2a

sin2a+-------sinaH-------：---------=sin2a+2cos(y----------------------

【解析】tanasma“si?n2a+cos2a?

cosa

l,smasin2a+2cos2atan2a+26

因tana=-------,則

cosasin2a+cos2atan2a+15

故選：A

例11.（2024?全國?模擬預測）已知sin8=：,則sin26

)

tan。

71515

A-ic-7D-T

【答案】D

2

isin262sin6cos。=2cos20=2(l-sin26?)=2x1-1j15

【解析】因為sin。="所以小sin。8.

COS。

故選：D.

例12。024?海南省直轄縣級單位一模）已知直線/：2x+3yT=0的傾斜角為。，則cos（6+兀）?sin1/。

()

6

D.-

13

【答案】B

2（71

【解析】由題意可知，tan0=--,兀

.25.A2而

sin。_2asine=-------sintz=---------

1313

。,解得＜或＜

則＜cos3e35(舍)，

2a3用

sin6+cos20=1cos6=---------cose=-------

11313

所以3（6+71）應噌-可=

-cos28=---.

13

故選：B

例13.（2024?廣東江門?一模）已知角a的終邊上有一點尸，則（）

【答案】A

【解析】由題意知角a的終邊上有一點尸Hl],則|0尸|=’[一3；+t1=1,

故sina=—,貝[]c0S—+a=-sincr=——

故選：A

例14.(2024河北?一模)已知x是第二象限角，若cos(x-70o)=g,則sin(x+l10。)=

【答案】-孚

【解析】sin(x+l10°)=sin[(x-70°)+180°]=-sin(x-70°),

因為X是第二象限角，若COS（尤-70。）=：,所以X-70。是第一象限角,

所以sin（x-70°）=Jl-cos?（尤-70。）=~~，

所以sin（x+110。）=-^^.

故答案為：一半

例15.（2024高三廣東云浮?開學考試）已知sin[+*=],則cos、-。：

【答案】-/3-0.6

3

故答案為：--

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?陜西安康?模擬預測）折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧

音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇

的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧小，NC所在圓的半徑分別

是6和12,且AABC=120°,則該圓臺的體積為（）

圖2

7行兀「28亞兀八112A兀

333

【答案】D

【解析】設圓臺上下底面的半徑分別為不々，由題意可知gx2兀X6=2跖，解得4=2,

gx27rxi2=2叫，解得4=4，作出圓臺的軸截面，如圖所示：

DOQ

過點。向4P作垂線，垂足為T,則/7=馬-彳=2,

所以圓臺的局j〃=VAD123—AT2=V62-22=4A/2,

則圓臺上下底面面積為1=7tx22=4兀,5=71x42=16兀，

由圓臺的體積計算公式可得：展+S2）x/2=gx287ix4收="2,兀.

故選：D.

2.（2024?高三?山東青島?開學考試）中國傳統折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形環（扇形環是一個圓環

被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時，其扇形環扇面尺寸（單位：cm）如圖所示，則該

扇面的面積為（）

A.2700cm2B.3500cm2C.4300cm2D.4800c”一

【答案】A

【解析】設福字下面的小扇形所在圓的半徑為尺,

貝11品=與，解得：尺=30,

3U+1\.lx

11,

所以扇形環的面積為-xl20x60--x60x30=2700cm2.

故選：A

3.（2024?高一山東棗莊期末）已知集合/=｛鈍角｝,3=｛第二象限角｝,C=｛小于180。的角｝,則（)

K.A=BB.B=C

C.AcBD.ScC

【答案】c

【解析】因為鈍角大于90。，且小于180。的角，一定是第二象限角，所以n=8,故選項C正確，

又第二象限角的范圍為｛切90。+上360。＜￡＜180。+h360。,左eZ｝,

不妨取￡=480°,此時尸是第二象限角，但480。＞180。，所以選項ABD均錯誤，

故選：C.

aaa

4.（2024?全國?模擬預測）已知角a第二象限角，且cos-=cos-，則角§是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

【解析】因為角。第二象限角，所以＞2E＜a＜n+2E伍eZ）,

所以:+阮＜￡＜與+配化eZ）,所以角羨是第一象限角或第三象限角.

cinnci

又因為COS-=cos-,gpcos-＞0,所以角5是第一象限角，

故選：A.

5.（2024?高三?貴州?階段練習）已知數列｛%,｝滿足%=singleN*），貝［j%+%-q-%=（）

A.0B.1C.V3D.2

【答案】A

【解析】因為a“=sinW（〃eN*）,

-7兀.871.71.2,71

a7+。8—%—。2=sin——Fsin——sin——sin

.（C兀）2兀、.71.271

I3jI3；33

.71.2兀.71.2兀

=sm—+sm---sinsm——=0.

3333

故選：A

6.（2024?高三?全國?專題練習）若a是第二象限角，貝［］（）

A.cos(-cr)>0B.tan—>0

C.sin(兀+a)〉0D.cos(兀-a)<0

【答案】B

【解析】若a是第二象限角jjj[]cos(-a)=c0sa<o,故A錯誤；

今為第一、三象限角，則ta吟>0,故B正確；

sin(兀+a)=—sina<0,故C錯誤;

cos(兀-a)=-cosa〉0,故D錯誤.

故選：B.

7.(2024?高三?四川?階段練習)若角a的終邊位于第二象限，且sina=g，則sin6+“=()

A.yB.C.立

2222

【答案】D

【解析】由誘導公式有：sin[^+a)=coso:，

因為角。的終邊位于第二象限，則cosa=-Vl-sin2a=-3,

2

所以sinq+a]=cosa=一4.

故選：D.

8.(2024?高三?內蒙古赤峰?開學考試)sin1650cos525°=()

111

A.-B.--C.--

424D--T

【答案】c

【解析]sin165°cos525°=sin(180°-15°)cos(540°-15°)=sin15(-cosl5°)=-;sin30°=

故選：C.

9.(2024?高三?河南專題練習)若sinQ-芻=：,則sin(?+?)=()

636

11

A-IB-iD--T

【答案】C

【解析】因為；-/5兀、.「,兀/兀、1

sin(a-?)=,sin(6r+——)=sinlii+(a---)J=-sin(?---)=——

o36663

故選:c.

二、填空題

10.(2024?全國?模擬預測)已知a是第二象限角，且其終邊經過點(-3,4),貝L|tan：=

【答案】2

【解析】因為。是第二象限角，可得+2析，兀+2版MGZ,

(y(Tt7Tin

則,￡匕+配5+阮j左￡Z，所以tan,>0,

,a

42tan^4

又因為。的終邊經過點(-3,4),可得tana=-7，可得tana=--------匕=-丁,

31-tan2-3

2

解得tan5=2或tan￡=T(舍去).

故答案為：2.

2冗

11.(2024?高三?浙江金華?期末)已知一圓錐的側面展開圖是圓心角為彳且半徑為1的扇形，則該圓錐的側

面積為.

【答案】

【解析】圓錐的側面積即是側面展開圖對應的扇形的面積，

1110TTJT

所以側面積s=-lr=-r2?=-xl2x—=-.

jr

故答案為：y.

12.(2024?高三?全國?專題練習)已知扇形的周長為7cm,則這個扇形的面積為3cm,，則該扇形圓心角的弧

度數為.

Qq

【答案】3或;

【解析】設扇形半徑為,>0,

由題意可知：扇形的弧長為7-2r>0,

13

則扇形的面積為5=5、年（7-2廠）=35192,解得，?=］或2,

=3-號Q

可得扇形的弧長為4或3,所以該扇形圓心角的弧度數為a=3=3或a=5.

2

O4

故答案為：§或V

13.（2024云南昆明?一模）已知cosa=,公嗚,則tan2a=

3

【答案】-2V2

V6

【解析】由cosa=——，aG,sina=

3%3

sinarr

tana=-------=72

cosa

2tana上烏=一2后

/.tan2a=

1-tan2a5）

故答案為：-20.

-^1-,貝［Jsin2a=

14.（2024?高三?江蘇連云港?階段練習）已知tana=

2

【答案】半彳血

【解析】因為tan”彳6

2x叵

2sinacosa2tana2r2

所以sin2a=2sinacosa='2

cos2a+sin2a1+tan2a3.

1+

故答案為：平

cin（y

15.（2。24?陜西渭南?模擬預測）已知tan”4,則嬴工

【答案】14/0.8

cincitana_4_4

【解析】由tana=4,所以^---------

sma+cosatana+14+15

4

故答案為：

3

16.（2024?高三?上海?專題練習）角。的終邊在直線y=]X上，貝Ucosa的值是

【答案】土誓

3

【解析】:角。的終邊在直線丁=5、，

.3

..tana--,

2

si.n7