專題20三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【考點(diǎn)預(yù)測】

1、“五點(diǎn)法”作圖原理

在確定正弦函數(shù)^=5畝W工€[0,2幻)的圖像時(shí)，起關(guān)鍵作用的5個(gè)點(diǎn)是(0,0),(事,1),(肛0),(1,-1),(2肛0).

在確定余弦函數(shù)了=cosx(xe[0,2汨)的圖像時(shí)，起關(guān)鍵作用的5個(gè)點(diǎn)是(0,1),(1,0),(^,-1),(y,0),(2^,1).

2、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

y=sinxy=cosx

iJJ

11

在[0,2句上

，2兀=

的圖像00一a2萬x

-1.NJ%-1

定義域(-00,+oo)(-00,+oo)

值域(有界性)[-M][T，l]

最小正周期

2%2TI

(周期性)

奇偶性(對(duì)稱性)奇函數(shù)偶函數(shù)

_j71_71

單調(diào)增區(qū)間2k兀---,2k77iH—(keZ)[2k7i-〃,2左〃](左GZ)

L22J

_,71_.3〃

單調(diào)減區(qū)間24TTH--,LK.71H---(左￡z)\2k兀,2k兀+(左eZ)

22

對(duì)稱軸方程x=kjr+GZ)x=ATT(左￡Z)

[左》+1?,())keZ)

對(duì)稱中心坐標(biāo)(ki,0)(keZ)

最大值及對(duì)應(yīng)自

x=2k7r+—時(shí)[sinx]=1工=2左萬時(shí)[cosx|=1

變量值2LJmaxLJmax

最小值及對(duì)應(yīng)自

x=2k7i+——時(shí)[inx].二一1X-2k7l+萬時(shí)[cos%]一=-1

變量值2LJmin

(1)最小正周期：T=—.

(2)定義域與值域：y=Asin(wx+,y=4cos(wx+°)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)?4力］.

(3)最值

假設(shè)A>0,w>0.

①對(duì)于y=4sin(wx+敢),

當(dāng)wx+(/)=—+2k兀*GZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值4；

<一

77

當(dāng)wx+。=——+2k7i(kGZ)時(shí),函數(shù)取得最小值-A;

、2

②對(duì)于>=/cos(wx+°)，

f當(dāng)松+。=2左4(左eZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值4

［當(dāng)wx+。=2左〃+7i(kGZ)時(shí),函數(shù)取得最小值-A;

(4)對(duì)稱軸與對(duì)稱中心.

彳段設(shè)A>Ofw>0.

①對(duì)于>=/sin(wx+°)，

冗

當(dāng)W/+(l)=k7i+—(keZ),BPsin(wx0+°)

<=±1時(shí)，>=sin(wx+°)的對(duì)稱軸為r=X。

當(dāng)w/+(/)=kji(kGZ),即sin(w/o+°)=0

時(shí)，y=sin(wx+°)的對(duì)稱中心為(%o,O).

②對(duì)于y=4cos(wx+°)，

當(dāng)皿X。+0=左九(左￡Z),即COS(WXo+°)=±1

時(shí)，y=cos(wx+°)的對(duì)稱軸為r=。

v71

3wx0+(/)=k7V-\——(keZ),SPcos(wx0+^)

=0時(shí)，y=cos(wx+。)的對(duì)稱中心為(％0,0).

正、余弦曲線的對(duì)稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大(小)值的位置.正、余弦的對(duì)稱中心是相應(yīng)函數(shù)與1軸交點(diǎn)的位

置.

(5)單調(diào)性.

假設(shè)/>0,w>0.

①對(duì)于>=4sin(wx+°),

jrJT.

WX+(/)E[---F2k兀,——F2左4](kGZ)=>增區(qū)間；

<一~~

wx+G[^+2k兀,甘+2k兀\(kGZ)=>減區(qū)間

②對(duì)于>=4cos(wx+°)，

]wx+°￡[-71+2左肛2左〃](左￡Z)n增區(qū)間；

[+左肛2左〃+%](左eZ)=>減區(qū)間.

(6)平移與伸縮

y=Asin(6yx+cp)(A>0,①>0)的圖象，可以用下面的方法得到：

①畫出函數(shù)》=sinx的圖象；

②把〉=sinx的圖象向左(0〉0)或向右(0<0)平移|同個(gè)單位長度，得到函數(shù)〉=sin(x+0)的圖象；

③把y=sin(x+?)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓け?縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)歹=sin(ox+e)的圖象；

G)

④把ksin(ox+e)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=/sing：+Q)的圖象.

【典例例題】

JT

例1.(2024?陜西西安一模)將函數(shù)Ax)=2sin(2x-§)的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位，所得圖象關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱，則m的值可以是().

兀r「4兀5兀

A.§B.nc-TD-T

【答案】D

TT

【解析】將函數(shù)f(X)=2Sin(2x-7的圖象向左平移機(jī)個(gè)單位，

彳導(dǎo)y=2sin12（x+??）_（=2sin|2x+2m~—

I3的圖象,

因?yàn)閥=2sin(2x+2的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.c兀，Trrr71M~

所以2冽—=kn,kGZ,即加=—H-，左EZ,

362

當(dāng)斤=3時(shí)，得"三5兀，

,.71^7171兀左兀71kit471々J#4匚一——

使加=不+5=3，加=%+萬=兀,一丁7的整數(shù)1f人7不存在.

故選：D

丫X

例2.（2024?高三?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）函數(shù)/⑺=sin5cosmcosx的最小正周期是（）

兀

A.—B.兀C.2兀D.4兀

2

【答案】B

【解析】/（x）=singcosgcosx=jsinxcosx=；sin2x，故最小正周期為7=§=".

故選：B

例3.（2024?高三?全國?階段練習(xí)）函數(shù)"X）=sin3x在［0,%）上沒有最小值，則看的取值范圍是（）

A.（0,1-）B.（0,y）C.q，gD.qg）

【答案】C

【解析】函數(shù)"x）=sin3x中,當(dāng)xe［O,Xo）時(shí)，3xe［O,3xo）,

37rjrIT

由〃尤）=sin3x在［0,x0）上沒有最小值，得兀＜3/43，解得§。。〈萬,

TTTT

所以％的取值范圍是（于夕.

故選：C

例4.（2024?全國?二模）若函數(shù)/。）=38$（2云+夕-9（0＜。＜71）的圖象關(guān)于〉軸對(duì)稱，則9=（）

兀7L2兀57r

A.-B.-C.-D.—

6336

【答案】B

7T7T

【解析】依題意，函數(shù)/（尤）=3cos（2x+0-g）是偶函數(shù)，則O_§=板左",

IT7T

即夕=§+版,后eZ，而0＜夕＜無，所以°=

故選：B

例5.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知/（x）=sinx+x3+l,若/（一。）=加，貝！］/（"）=（）

A.~mB.\-mC.2-mD.m-\

【答案】C

【解析】設(shè)8(力=5也工+V，顯然它定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且g(-x)=sin(-x)+(-x)3=-(sinx+x3)=-g(x),

所以g(”為奇函數(shù)，

f(-a)=g(~a)+l^m,貝［］g(-a)=_g(a)=TMT,

所以g(a)=l-加,/(a)=g(a)+l=l-m+l=2-/n.

故選：C.

例6.(2024?高三?江蘇專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=2sin［2x+。］，把/⑺的圖象向左平移］個(gè)單位長度得

到函數(shù)g(x)的圖象，則()

A.g(x)是偶函數(shù)

B.g(x)的圖象關(guān)于直線、=-弓對(duì)稱

C.g(“在0e上單調(diào)遞增

D.不等式g(?V。的解集為析+方,析+兀,keZ

【答案】B

(27r7c)

【解析】A選項(xiàng)，g(x)=2sinl2x+—+yI=2sin(2x+7i)=-2sin2x,

由于g(x)的定義域?yàn)镽,且g(r)=-2sin(-2x)=sin2x=-乩q,

故g(x)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

-TT--TT"

B選項(xiàng),由選項(xiàng)A可知g(x)=-2sin2x故g(x)的圖象的對(duì)稱軸為2x=,+帆(丘Z)，即x=^+萬，(左eZ),

令人=-1可得x=_￡,即g(x)的圖象關(guān)于直線x=-：對(duì)稱，故B正確；

C選項(xiàng)，xe0,|-時(shí)，2xe［0,兀］，其中尸-sinz在ze［0,7i］上不單調(diào)，

故g(x)=-2sin2x在xe嗚上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，g(x)<0，貝(]sin2xN0,貝[]2xe[2E,2E+7r],左eZ,

兀

故工￡kn,kTi+-,keZ,D錯(cuò)誤.

故選：B

TTTT

例7.（2024?高三?安徽?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=3sin（2x+0）（0〈幸的圖象向右平移三個(gè)單位長度后,得

2O

到函數(shù)g（x）的圖象若g（x）是偶函數(shù)，則。為（）

兀7TTT7T

'6B'6'JD.一1

【答案】B

【解析】依題意，g（x）=/^x-^=3sin|^2x--|+^,

TTTT57r

由g（x）是偶函數(shù)，得一w+0=加+彳，左eZ,（p=kn+—,k&Z,

326

TTTT

而,貝！］后=-l#=一嚏.

26

故選：B

例8.（2024?北京門頭溝一模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在（0,+功上單調(diào)遞增的是（）

A1?_1

A.y-x1B.y-x

C.y=tanxD.7=x|x|

【答案】D

【解析】對(duì)于A:y=/定義域?yàn)椋邸悖?8），為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：y=g定義域?yàn)椋?“，。”（。，笆），為奇函數(shù)，但是函數(shù)在僅,+。）上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C:N=tanx為奇函數(shù)，定義域?yàn)?丘z1，但是函數(shù)在（0,+動(dòng)上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：令V=/（x）=x|X定義域?yàn)镽，且/（-x）=-xH卜-了卜卜-/（x）,

所以V=x|x|為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)尸X?,函數(shù)在（0,+"）上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D

7T

例9.（2024?山東淄博一模）已知函數(shù)7'（x）=sin（2x-y）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)〃x）的最小正周期T=2n

B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（五,0）中心對(duì)稱

7T

C.函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線X='對(duì)稱

O

7T

D.函數(shù)A》）在區(qū)間［0q］上單調(diào)遞增

【答案】D

7T27r

【解析】對(duì)于A,函數(shù)/（x）=sin（2x弋）的最小正周期7=胃=兀，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由/蕓）=sin（2x|jT=lH0，得函數(shù)於）的圖象不關(guān)于點(diǎn)偌，0）對(duì)稱，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由/d=sin（2x/T=°H±l，得函數(shù)/W的圖象不關(guān)于直線x=巳對(duì)稱，c錯(cuò)誤；

TTTTTT7TTTTT

對(duì)于D,當(dāng)xe［0,1］時(shí)，2x—€［--，］,而正弦函數(shù)）=sinx在［-不？上單調(diào)遞增，

4337636

TT

因此函數(shù)"X）在區(qū)間［0,R上單調(diào)遞增，D正確.

故選：D

例10.（2024高三?全國專題練習(xí)）若/（〃）=1211?（〃€4），則〃1）+/（2）+……+/（2022）=（）

A.-273B,-V3C.0D.V3

【答案】C

【解析】由題意知〃〃）=tan￥（〃eN*）的最小正周期為三一,

i

且"1）=ta吟=百J（2）=tany=-&〃3）=0,

故/⑴+/⑵+……+/（2022）=/⑴+〃2）+……+/（674x3）

=674［/（1）+/（2）+/（3）］=0,

故選：C

例11.（2024?高三?全國專題練習(xí)）要得到余弦曲線產(chǎn)cosx,只需將正弦曲線產(chǎn)sinx（）

TT

A.向左平移，個(gè)單位長度

TT

B.向右平移萬個(gè)單位長度

C.向左平移兀個(gè)單位長度

D.向右平移兀個(gè)單位長度

【答案】A

TF7T

【解析】V=cosx=sin[x+-),所以要得到余弦曲線y=cosx,只需將正弦曲線)=sinx向左平移]個(gè)單

位長度.

【考查意圖】考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象的關(guān)系.

例12.(2024?高一上海寶山?期末)函數(shù)/(x)=sin(ox+e)>0,|同<的部分圖象如圖所示，則

【解析】由已知可得，7T=J11-THl=lI4，所以「=兀，所以。=2,7r=2,

所以/(x)=sin(2x+0).

又因?yàn)椤▁)在x三處取得最大值，

7r7T

所以有2X1+夕=5+2析水￡Z,

所以。+2版，左eZ.

6

又因?yàn)橥韵?4,

zO

所以/(x)=sin[2x-",

故答案為：亭

例13.（2024河北邯鄲三模）寫出一個(gè)。（。＞0）,使得函數(shù)/（x）=sinh^+^1的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，則

0可以為__________

【答案】g（答案不唯一）

【解析】因?yàn)椤▁）=sin［2。尤+曰的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，

JT"兀7T

所以sin+三=0,貝[]2。+7=防:(后eZ),^(o=---(keZ),

326

「丁r-r-iM兀5兀471

又0>0,所以0=w—

3b3

jr

故答案為：J（答案不唯一）.

例14.（2024?高三?上海浦東新?期中）向量方=（2cosx,cos2x）,ft=（sinx,l）,令f^x）=a-b.

⑴求〃x）的周期：

⑵求xe時(shí)，仆）的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑶求》［。，口/（"的值域.

【解析】（1）f（x^=a-b=2cosx-sinx+cos2x=sin2x+cos2x=V2sin2x+^,

所以/（無）的周期T=g=兀

TTJLJi

(2)令t2kli—?2xH—V2kn—kEZ

242

rr3兀，一171,r

即----FkitWxWkitH—k￡Z

88tz

3兀兀］r兀713兀71

當(dāng)左=0時(shí)，

2T51

當(dāng)x十號(hào)］時(shí)，小）的單調(diào)遞增區(qū)間是

,、」_/八兀、/DC兀（兀兀、

（3）由I,+5I,

/■1/

故sin12x+；G一-三,11所以xw1。，71J(X)的值域?yàn)椴?,0]

\

例15.(2024?高三?上海靜安?期末)記/(x)=sin2、-cos2%+2百sinxcosx+4(X￡R),其中4為實(shí)常數(shù).

⑴求函數(shù)＞=/(%)的最小正周期；

⑵若函數(shù)V=/(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)[方8],求該函數(shù)在區(qū)間0,1K上的最大值和最小值.

【解析】(1)/(x)--cos2x+V3sin2x+2=2sin^2x-^-j+2.

???函數(shù)y=/(x)的最小正周期為兀.

(2)/g]=l+4=0,

.*.Z=-1,則/(x)=2sin(2x_k]一].

.7i,_,..?2?.兀7兀

令2工一々=(，因?yàn)闊oe0,-71，則te.

613」|_O0

當(dāng)2x-e=一e或m,即x=0或，時(shí)，/(x：=-2.

當(dāng)2xJ=g,即x=g時(shí)，/(x)1mx=1.

oZJ

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2024?湖北?二模)已知函數(shù)/(x)=2sinxcos]嗚)+停，5,[,則函數(shù)小)的值域是(

)

「66]「gJ「I1]「1廣

A?b-[-TJ]c/七]D.卜二

【答案】B

【解析】由題意可知：/(^)=2sinxcosf》+，]+坐=2siiu』cosx^-sinxl

=sinxcosx-6sin2x+組=、n2x+Ros2x=sin2x+烏

222I3

當(dāng)xe0弓時(shí)，貝！|2x+gc，所以sin卜x+g]e-半J

L'」JJ」ki)2

故選：B.

2.（2024?高三?云南?階段練習(xí)）將函數(shù)/3=2$也12》+總的圖象向右平移己個(gè)單位后得到g（x）的圖象，

則xe一看《時(shí)，g（x）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,2]B.[-1,2]C.[-2,1]D.[-1,1]

【答案】C

【解析】由題意彳導(dǎo)g（x）=2sin[2[x-e]+e=2sin[2x[],

l一,一、1,兀兀._7T7T7T_.?_兀、「cri

所以當(dāng)時(shí)，2x--G,2sin|^2x--JG[-2,1].

故選：C

3.（2024?高三?陜西安康?階段練習(xí)）若函數(shù)”x）=sin[s-鼻（。＞0）的最小正周期為6兀，則/（x）的圖象

的一條對(duì)稱軸方程為（）

712兀c

A.x=~B.x=—C.x=7iD.x=2兀

23

【答案】D

[解析】依題意義27r=6兀1,由17;r=E+7gT,

co3362

得x=3E+27T#eZ，所以/（無）的圖象的一條對(duì)稱軸為x=2兀，

D選項(xiàng)正確,ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：D

4.（2024?陜西榆林二模）若函數(shù)/（力=3（6+9）（0＜。＜兀）的圖象關(guān)于直線戈=；對(duì)稱，則9=（）

兀兀—2兀57r

A.—B.—C.--D.——

3636

【答案】C

【解析】因?yàn)?（力=3（6+協(xié)（0＜/＜兀）的圖象關(guān)于直線尤[對(duì)稱，

JTJT

所以§+夕=磯左eZ）,得夕=-§+航化eZ）,

2兀

因?yàn)?＜夕＜兀,所以以=7.

故選：C.

5.（2024?陜西咸陽?二模）已知函數(shù)〃x）=3sinx+氐osx，若尤十今用時(shí)，函數(shù)/'⑴的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.［-3,2司B.［-3,3］C.一號(hào)八D.一停，停

【答案】A

【解析】f（x）=3sinx+V§cosx=2/3sin1%，］

L.、J兀兀LLIJ兀,兀，2兀

因?yàn)閄E，所以_=1十24丁

_22J5O5

貝卜等45出口+力41,

所以函數(shù)/⑴的值域?yàn)椋?3,2百］.

故選：A.

6.（2024?吉林延邊一模）將函數(shù)/（切=5苗［8+t］（。＞0）的圖象向左平移5個(gè)單位長度后得到曲線。，

若。關(guān)于了軸對(duì)稱，則卬的最小值是（）

1245

A'3B-3C'30-3

【答案】B

【解析】結(jié)合題意可得/',+3=甫11,卜+3+?=5詒（次+扣+,,（0＞0）,

因?yàn)榍€C關(guān)于〉軸對(duì)稱，所以90+?=阮+。（左eZ）,

202

27

解得。=24+§,化eZ）,因?yàn)椤＃?，所以當(dāng)左=0時(shí)，。有最小值

故選：B.

7.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）將函數(shù)〃x）=sin［ox-鼻（。＞0）的圖象向右平移曰個(gè)單位長度后得到函數(shù)

g（x）的圖像，且函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，則。的最小值是（）

1215

A.-B.C.-D.-E.均不是

3366

【答案】A

【解析】由題意知，g(x)=sin[0(尤-9-g=sin((y尤-等-$(。>0)

又因?yàn)間(x)為偶函數(shù),所以g(x)關(guān)于V軸對(duì)稱.

〃)兀

所以一mWIT7T+E，k",解得°=-§5一2左，keZ,

又。>0,所以當(dāng)上=-1時(shí)，。取得最小值為

故選：A.

8.(2024?四川瀘州?二模)已知函數(shù)"x)=sinm+6cosox3>0)的最小正周期為兀，且/'(x)的圖象關(guān)于直

線x=弓對(duì)稱，則6的值為()

O

A.--B,-1C.—D.1

22

【答案】D

【解析】/(x)=sina)x+bcoscox=Vl+Z?2sin+^)(tan),

27r

又1(X)的最小正周期為兀,?>0,所以一=兀，則0=2,

CD

所以/(%)=sin2x+bcos2x=Jl+6?sin(2%+0)，

又函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=?對(duì)稱，

o

所以J1+/=sin：+6cos：,

1

所以1+/=](1+6)9，解得6=1.

故選：D

7T

9.(2024?四川瀘州?二模)已知函數(shù)/■(》)=$吊2工+6(：。$2》的圖象關(guān)于直線*=石對(duì)稱,貝必的值為()

O

A.--B.-1C.—D.1

22

【答案】D

【解析】因?yàn)?（x）=sin2x+bcos2x=VITP\in（2x+e）（其中匕11。=，），

又函數(shù)〃X)的圖象關(guān)于直線X=?對(duì)稱，

O

所以J1+/=sin：+6cos：,

所以1+〃=](1+6)2,解得6=1.

故選：D

10.(2024?四川南充?二模)將函數(shù)/(切=2《2尸口的圖象向左平移巳個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖

象，則曲線.v=g(x)與直線＞的所有交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)距離的最小值為()

兀兀一兀

A.—B.—C.—D.兀

632

【答案】A

【解析】函數(shù)〃x)=2cos12x-j的圖象向左平移[個(gè)單位長度，

得到函數(shù)g(x)的圖象，g(x)=2cos(2x+^--^)=2cos(2x-,

32o

令2cos(2x-B)=石,cos(2x-—)=—,

662

則2%一4=2左]兀+工，k[SZ,^2x--=2k2n--,左2￡Z,

6666

兀

HPX=kTt+—,左1￡Z,或工=后2加，左2￡Z,

i6

一,口717兀13兀

可得X=：,—,—,…，

666

x=0,兀,2兀,…,

7?

相鄰交點(diǎn)距離的最小值為3.

6

故選：A.

11.(2024?陜西渭南模擬預(yù)測)將函數(shù)〃x)=3cos(2x-3的圖象向左平移獲個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)

的圖象，則g(x)的圖象的一條對(duì)稱軸為()

A.直線x=[B.直線x=JC.直線x=gD.直線工=手

6324

【答案】D

(3兀7L|

【解析】由題意可彳導(dǎo)g(x)=3c°s［2x+2x不一aj=-3sin2x,

■jr7T左

令2x=3+kK(keZ)，貝|］%=1+萬兀(左wZ)t

兀

當(dāng)人=1時(shí),有》=莖3,其余選項(xiàng)均不符合.

故選：D.

二、多選題

12.(2024云南昆明一模)已知函數(shù)/(x)=sin2x,g/(X1)=/(x2)=|，則匕-6的值可以為()

7171712兀

A-2B.7C7D-T

【答案】BD

【解析】令〃x)=sin2x=；=715兀

>2x=—+2左］兀或2,x~——+2左2兀,左1，左2^Z,

66

故廣。網(wǎng)

兀或％二區(qū)+尢兀，左］，左2￡Z1

71

故西-引二=一+加兀，加￡Z,

3

兀2兀

取加=0和加=-1可得§或彳,

故卜-X2怕勺值可以為方或會(huì),

故選：BD

13.(2024?山東棗莊一模)已知函數(shù)〃x)=sin(2x+3+cos12x-3，貝()

A./(X)的最大值為2

B.7(尤)在卜上單調(diào)遞增

_oo

c./(X)在［0,兀］上有2個(gè)零點(diǎn)

D.把/(x)的圖象向左平移三個(gè)單位長度,得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

【答案】AC

【解析】函數(shù)〃x)=sin［2x+—1+cos—巴］=sinj2x+工］+cos+巴一二］

/⑴=sin+yj+sin+yj=2sin+yj.

選項(xiàng)A:7（x）=2sin^2x+j^|,xeR,故/（x）最大值為2,A正確；

選項(xiàng)B:時(shí)，,/卜）=2$吊,+弓］不單調(diào)遞增，故8錯(cuò)誤；

A<2X+^<|E

_oOJ1233vJJ

選項(xiàng)C：xe［0,7i］時(shí)，［V2X+/V=，可知當(dāng)2x+g=7T以及2x+/=2兀時(shí)，即x=?以及x=等時(shí)，/（x）=0

555355o

在［o,兀］上有2個(gè)零點(diǎn)，故C正確；

jrI7T7T?

選項(xiàng)D:［（X）的圖象向左平移高個(gè)單位長度，得到g0）=2sin2x+—+—=2cos2x,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

12V

故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

14.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=3si?3x+3+l，則下列結(jié)論正確的是（）

A./（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

B.若〃x+/）是偶函數(shù)，貝V=g,kwZ

jr］5

C.〃尤）在區(qū)間0,-上的值域?yàn)?/p>

D./(X)的圖象關(guān)于直線尤=仁對(duì)稱

【答案】ABD

【解析】對(duì)A：-^^^=3sin^3x|^+^+1=1-故A正確.

對(duì)B:因?yàn)?(x+%)=3sin3(x+0+?+1=x+3t《]+l是偶函數(shù)，

6

.c兀T兀Irrrkll711rL_.

所以^t+—=kTi+—,keZ,BP—+―/keZ，故lB正確.

6239

TI~\JIJI7兀sin13X+￡

對(duì)C:當(dāng)％￡0,—時(shí)，3x+2,—G

_JJ0^00

所以/(耳=3國110工+聿]+1€]—,4],故C錯(cuò)誤.

對(duì)D:當(dāng)x=t時(shí)，3x+^=3x1+i=^，故D正確

yovo2

15.（2024?河南南陽一模）已知函數(shù)〃x）=/sin（ox+9）1/>0,o>0何3］的部分圖像如圖所示、則下列

結(jié)論正確的是（）

C.函數(shù)了=/［尤-段的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱D.若|〃西）-〃制|=4,則人-司的最小值為兀

【答案】AC

【解析】由題圖知/=2,%=普一，外=勺=7=*"=空=2,

412I3J471

所以/（x）=2sin（2x+。）,

5兀5兀T11兀

由圖象可知/（X）在X=F時(shí)取得極大值，則在X=不+5=工歹時(shí)取得極小值，

所以［。，句上有兩個(gè)極值點(diǎn)，A正確；

又/［l^］=2sin［2x1^+4=2,所以*"=2析+JeZ,

IT

所以夕=2E一］，左eZ.

JT

因?yàn)?如<5，所以令左=0,即。=《TT.

所以/（x）=2sin［2x-W］所以/'（一g）=2sin12x子一三）=道,B錯(cuò)誤；

JT

因?yàn)楹瘮?shù)/⑴的周期為兀，將y=/（x）圖象上的所有點(diǎn)沿?zé)o軸向右平移77個(gè)單位長度后得到

V=/']x-^|J=2sin[2x-^J=-2cos2x的圖象,為偶函數(shù)，

所以函數(shù)＞=小-目的圖象關(guān)于，軸對(duì)稱，C正確；

若|/(網(wǎng))-/伉)|=4,則上7的最小值為會(huì)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

16.(2024?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=2sin12x+g

,下列說法正確的是()

A./(x)的周期為兀

B.函數(shù)了=/1了一:)為偶函數(shù)

5

c.函數(shù).y=〃x)的圖像關(guān)于直線尤=-五7r對(duì)稱

D.函數(shù)了=/(x)在一三七上的最小值為百

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,1(X)的周期7=；=無,故A正確；

對(duì)于B,令g(x)=/=2sin[2x-三+1)=2sin2x

因?yàn)間(-x)=-2sin2x=-g(x),所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù),

即數(shù)V=/[x-弓)為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?[石J=2sin[-+-J=-2,

所以函數(shù)＞=/(x)的圖像關(guān)于直線》=-□對(duì)稱，故C正確；

,,兀兀，「八兀兀兀

對(duì)于D,由入￡~J9i2，得2X+§￡一§｝，

所以函數(shù)y=/(x)在4*上的最小值為2sin,3="

,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

17.(2024?高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=2COS(2X+EJ,則下列描述正確的是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為兀

B.尤=4是函數(shù)/(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱軸

O

C.是函數(shù)/(X)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

D.若函數(shù)〃x)的圖象向左平移7個(gè)單位長度可得函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)為奇函數(shù)

O

【答案】ACD

【解析】函數(shù)/(x)=2cos(2x+^J的最小正周期7=g=兀,故A正確;

0，所以/(x)關(guān)于g0j對(duì)稱，故B錯(cuò)誤;

,胃=2cos［-y+^=2cos,3=o，所以,今,oJ是函數(shù)/(X)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確;

根據(jù)題意g(無)=2cos2[x+~\+~=2cos2無+^=-2sin2

I2

則g(t)=-2sin(-2x)=2sin2r=-gk)，所以g(x)為奇函數(shù)，故D正確.

故選:ACD.

18.(2024浙江?二模)關(guān)于函數(shù)/(x)=2sinx-cosx+2Gcos2x,下列說法正確的是()

B.關(guān)于點(diǎn):己,用

A.最小正周期為2元中心對(duì)稱

5冗7T

C.最大值為6+2D.在區(qū)間-石，正上單調(diào)遞減

【答案】BC

【解析】f(x)=2sinx-cosx+25/3cos2x=sin2x+^3(cos2x+l),

=2sin[2x+()+6，

函數(shù)的最小正周期T=苛=兀，故人錯(cuò)誤；

［-￡|=2$出］->?+6=0+6=6，所以函數(shù)/(x)圖象關(guān)于點(diǎn)［吟6］中心對(duì)稱,故B正確；

/（x）=2sinl2x+1j+V3,所以函數(shù)的最大值為2+6,故C正確；

57r冗7T7T7T7T7T

由一77，1572X+TG，函數(shù)N=sinx在區(qū)間-5,不單調(diào)遞增，

J.乙JL乙J乙乙乙乙

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間卜口57r,方7T］上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選:BC

19.（2024?福建莆田?二模）已知函數(shù)/（x）=sinrcosr，則（）

B./（尤）的最大值為1

C./⑴在（。京上單調(diào)遞增

D.將函數(shù)/（x）的圖象向右平移兀個(gè)單位長度后與/（無）的圖象重合

【答案】AD

【解析】對(duì)于AB,f(x)=sim;cosx=；sin2x41,==；

，故A對(duì)B錯(cuò);

，故C錯(cuò)誤；

將函數(shù)/（無）的圖象向右平移兀個(gè)單位長度后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為/（無）=gsin2（無-無）=；sin2x,

故D正確.

故選：AD.

JT

20.（2024?河北?模擬預(yù)測）要得到函數(shù)y=sin（2x+§）的圖象，可將函數(shù)ksim;的圖象（）

IT

A.向左平移公個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

0

B.向左平移三JT個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?;

3Z

C.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?,再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移721個(gè)單位長度

/O

7T

D.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長度

【答案】BC

|IT

【解析】對(duì)于A,