專題03等式與不等式的性質

【知識點梳理】

1、比較大小基本方法

方法

關系做差法做商法

與。比較與1比較

a>ba-b>04>13,6>0）或q<1（。,6<0）

bb

a=ba-b=O4=30）

b

a<ba-b=O3<1（。，6>0）或0>l（q,匕<0）

bb

2、不等￡t的性質

（1）基本性質

性質性質內容

對稱性a>bob<a；a〈bob>a

傳遞性a>b,b>c^a>c；a<b,b<c^a<c

可加性a>b<^>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<Q^ac

同向a>c,c>d^a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>Q,c>d>Q^ac>bd

可乘性

可乘方性a〉b>G,neN*>bn

【方法技巧與總結】

1、應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，解題時要做到言必有據，特別提醒的是在

解決有關不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.

2、比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的單

調性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與。的大小；（4）下結論.

作商比較大小（一般用來比較兩個正數的大小）的步驟是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結論.

其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于。或1比較大

小.

作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，且是幕或者因式

乘積的形式，也可考慮使用作商法.

【典型例題】

例1.（2024?陜西西安?西安中學校考一模）已知a,6,ceR,則下列選項中是“a<6”的充分不必要條件的是

（）

A.@〉@B.ac2Vbe2C.a2<b2D.3a<36

ab

【答案】B

【解析】對于A,當a=-l,b=l,滿足a<6,但忖〉忖不成立，

ab

當a=l/=-l,c=l時，滿足封>包,但。〈匕不成立，故A錯誤；

ab

對于B,當c=0時，a<bcac2<be2,但ac2Vbe2，故B正確；

對于C,。二一2,/?=1時，a<b,但/V廿不成立，

。=1/=一2時，a2<b21但。<6不成立，故C錯誤；

對于D,因為指數函數>在R上單調遞增，故故D錯誤.

故選：B

例2.（2024?北京房山?高三統考期末）已知“，匕為非零實數，且則下列結論正確的是（）

11

A.a2>b2B.—>—.---->-----Z-

abcabab2a2b

【答案】D

【解析】對A：若0>。>人，則/<〃，故錯誤;

對B：若a>8>。,貝哈號,故錯誤;

b

對C：若a>6>0,則〃2>b2,ab>4,左右同除ab，有7>-,故錯誤;

ba

由a>b且。，6為非零實數，貝q*一2=鬻>0,即*故正確

對D：

故選：D.

例3.（2024.湖南株洲.高三株洲二中校考階段練習）若〃<6<0則（）

Qb

A.a2<b2B.ab<b-C.2a>2bD.-+->2

ba

【答案】D

【解析】A.因為。<匕<0,則|4>網,則">火故A錯誤;

B.因為a<b<0,所以外>/,故B錯誤；

C.y=2x在R上單調遞增，當a<b<0時，2"<2〃，故C錯誤;

D.因為所以一和7都大于0,JjllJ^+—>2.■—=2,

abba\ba

當『那,即a=〃<°時等號成立,所以『不能取到，所以>:>2,故D正確.

故選：D

例4.（2024?江蘇揚州?高三統考階段練習）設b,。為實數，且a>6>0,則下列不等式正確的是

（）

cc—ba-°c-11

A.ac2>be1B.—>—C.a2>ab>b2D.—

abab

【答案】C

【解析】A選項，當c=0時，ac2=bc2=0,A錯誤；

B選項，~=Z=（"a）（…）,

ababab

因為a>力>0,所以b—a<0,則=伍一耳<0,

ababab

,,ba入ba?

故-一工<0,—,B錯快；

abab

C選項，a>b>0兩邊同乘以。得a?>ab，

a>b>0兩邊同乘以b得必>〃，

故/>>/，C正確;

D選項，因為a>力>0,所以必>0,

a.>b>。兩邊同除以ab得:〉一，D錯誤.

ba

故選：C

例5.（2024?河南?方城第一高級中學校聯考模擬預測）"a>6>0,c>〃是“ac>仇7”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】由于。，"的正負性不確定，由“a>6>0,c>d”不能推出“的>〃”，故充分性不成立；同時

當“ac>6d”時也不能推出“a>b>0,c>d”,故必要性也不成立.

故選：D.

例6.（2024?陜西?校聯考模擬預測）已知-1<。<5,-3<6<1,則以下錯誤的是（）

A.-15<ab<5B.-A<a+b<6

—5aL

C.-2<a—Z?v8D.——<—<5

3b

【答案】D

【解析】因為——3<6<1,所以Tv—Z?v3,

\-\<a<5—1<a<5-l<a<5

對于A,_3<小=-15<"<3,nab=On—1<QZ?<5

b=00<b<l

綜上可得-15VH?<5,故A正確;

對于B,—3—1=—4va+Z?<l+5=6,故B正確；

對于C,—1-1=-2<a-Z?v3+5=8,故C正確;

對于D,當。=4S=!時，f=8,故D錯誤；

2b

故選：D.

例7.（2024?全國?高三專題練習）甲、乙兩人解關于尤的方程2'+"2一，+°=0,甲寫錯了常數6,得到的根

為尤=-2或x=log21,乙寫錯了常數c,得到的根為尤=0或x=l,則原方程的根是（）

A.x=-2或x=log23B.x=-l或x=l

C.尤=0或無=2D.x=-l或x=2

【答案】D

【解析】令f=2*,則方程丁+力2一工+0=0可化為』+cr+b=0,甲寫錯了常數b,

所以;和?是方程產+以+加=0的兩根，所以c=-[：+[]=-|，

乙寫錯了常數c,所以1和2是方程產+加+6=0的兩根，所以b=lx2=2,

o1

則可得方程/一1二+2=0,解得％=：氏=4,

22

所以原方程的根是x=-1或x=2

故選:D

例8.（2024?云南昆明?校聯考一模）人體的正常溫度大約是36℃,當人體溫度超過正常溫度的時認定為

高燒，則高燒溫度應滿足的不等關系式是.

【答案】/>39

13

【解析】依題意，r>36x-|=39.

故答案為：/>39

例9.（2024?全國?高三專題練習）已知lWa-萬W3,3<a+b<l,則5a+b的取值范圍為（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

\、[m+n=5[m=2

【角軍析】設5。+6=機（]一匕）+〃（。+））=（"2+〃）。+（〃一"1）匕，所以<,

\n—m=\[n=3

貝ij5〃+/?=2（a—Z?）+3（a+b）,X1<a—b<3,3<a+b<7

所以242（a—6）46,9<3（o+Z?）<21,由不等式的性質得：1142（a—6）+3（a+6）W27,

則5。+6的取值范圍為[11,27].

故選：D.

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?全國?高三專題練習）已知a>6>0>c,〃wZ,則下列不等式一定成立的是（

A.ab<bcB.a-b>b—c

C.an>bnD.b[b-c）<a[a-c）

【答案】D

【解析】對于A中，由a>b>0>c,可得ab>O>bc,所以A錯誤；

對于B中，例如：當Q=2,0=1,C=-3,可得a-bcb-c,所以B錯誤；

對于C中，例如：當，=21=1,〃=—1時，al<b-l,所以C錯誤；

對于D中，由a>Z?>0>c,可得0vZ?-c<〃一c,又由

根據不等式的性質，可得。）<"（。-。），所以D正確.

故選：D.

2.（2024?北京西城?高三統考期末）設。,Z?ER,且。>b,則（）

A.-<7-B.tana>tanbC.3-a<2-bD.a\a\>b\b\

ab1111

【答案】D

【解析】A選項，若。=1,6=-1,滿足。>6,但工>；,所以A選項錯誤.

ab

2冗JI

B選項，^a=—,b=—f滿足。>6,但tanavtanb,所以B選項錯誤.

C選項，若a=3,b=2,滿足々>6,但3-々=2-方，所以C選項錯誤.

D選項，對于函數y=x|x|=|,圖象如下圖所示，

[一%,x<0

由圖可知函數在R上單調遞增，所以D選項正確.

故選：D

3.（2024?四川成者B?高三石室中學校考期末）若2、=3,31=4,則下列選項正確的是（）

3

A.y>-B.尤J

2

C.—\-y>2D.x+y>2\/2

x

【答案】D

2

（3丫/3A33

【解析】因為2"=3，3，=4,所以％=log23,y=log34,因為3?>22,42<32,貝1」3>2“4<3>

\7IJ

32Q33

所以Iog23〉log222Iog34<log332=]，即所以“>八所以A,B錯誤；

因為L+y=7^+log34=log32+log34=log38<log39=2,所以J_+y<2,所以C錯誤；

尤log23尤

因x+y=log23+log34=log,3+21og32=log,3+>2Jlog23?=2及，所以D正確.

一log23ylog23

故選：D

4.（2024?新疆喀什?高三校考期中）已知2K%+yW3,-2<x-y<-lf則3%+y的取值范圍（）

\111「3J「3111s5

A.2,—B.-55C.D.[2,5]

【答案】D

【解析】由題意4W2x+2y<6,-2<x-y<-l,故4—2?2x+2y+x—y?6—l,

即243x+y?5.

故選：D

5.（2024?福建福州.高三福建省福州延安中學校考開學考試）鐵路總公司關于乘車行李規定如下：乘坐動

車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過160cm,設攜帶品的外部尺寸長、寬、高分別為。、

b、c（單位：cm）,這個規定用數學關系式可表示為（）

A.a+b+c>160B.a+b+c<160C.a+Z?+cN160D.a+b+c<160

【答案】D

【解析】由題意可知a+b+cV160.

故選：D.

6.（2024.安徽合肥.高三合肥一中校考期末）已知集合A={1,2,3},2=卜|公無</},若A=則實數

?的取值范圍是（）

C.卜后1)D.卜8,-⑹.(/+CO)

【答案】B

【解析】因為A={1,2,3},B=[x\a<x<a1],

若AqB,則2={x[a,

[a<lJ~「

則<2o所以。<-\/3.

[a>3

故選：B.

7.（2024?山東煙臺?高三統考期末）已知a>6>0,c>0且cwl,則（）

aa+cccc

A.——<----B.—>-

bb+cab

abcc

C.c>cD.a>b

【答案】D

【解析】對于選項A：因為。>6>0,c>0,所以6-a<0,

,a+ca(a+c)b—a(b+c)c(b—a\,,aa+c

rh---------------------~~^<0故選項A錯誤;

b+cb[b+c)b\b+cjb

對于選項B：因為a>Z?>0,c>。，所以人一a<0,

,ccc（b-ct\,.cc3…?

由----=-------<0,故一〈:，選項B錯1天；

ababab

對于選項C：由指數函數可知/=。*,。>0,在定義域上單調性不確定，故無法確定c",c〃的大小,

比如當0<c<l時,則如vcJ選項C錯誤;

對于選項D：由基函數可知y=x°,c>0,在定義域上單調遞增，且a>b,所以選項D正確.

故選：D.

8.（2024.河南焦作.高三統考期末）已知集合4=門"|/4耳，B={X|X3-X=0},則（）

A.ABB.ABC.A=BD.AcB=0

【答案】A

【解析】依題意，A={XGN|0<X<1}={0,1},B={X|X3-X=0}={-1,0,1},所以AB,

AB=A.

故選：A

9.（2024.重慶長壽.高三統考期末）已知函數/0）=以2-2苫+。，對xe1,2都有/（x）20成立，則實數。

的取值范圍是（）

r,\「4）「4JC4~

A.［1,+8）B.-,+^IC.-,1D.I

【答案】A

【解析】由題意知函數/（兀）=爾_2%+〃，對龍￡；,2都有/（元）20成立，

即ox?一2%+々20對xw-,2恒成立，

、212「11

Z7>-----------=-----------I

即V+1,1,對xe彳,2恒成立，

x-\—2

x

設g（x）…L由于g（x）…!在上單調遞減，在［1,2］上單調遞增，

2

則gmin⑴=2,則［3，當且僅當X=1時等號成立，

X

故即實數a的取值范圍為口,+8）,

故選：A

10.（2024?全國?高三專題練習）已知14a42,-l<b<4,則勸的取值范圍是（）

A.—T<a—2b<4B.—6<a—2b<9

C.6<a—2b<9D.—2<a—2b<8

【答案】A

【解析】因為-14644,所以一84-%42,

由14a42,得—74a—26V4.

故選：A.

二、多選題

11.（2024?江蘇南通?高三江蘇省如東高級中學校聯考學業考試）設x>y>0,〃eR,則（）

2

A.x\n\>y\r\B.Z<2_t2L

xx+n"

C.x2-y2<^-^D.x+y<^x2+y2）

【答案】BD

【解析】對于A,當“=0時，x|”=y|”，故A錯誤；

對于B,因為x>y>0,〃eR,

所以彳（，+〃2）-丫（》+/2）=”2（彳一,）20,

2

即%(y+〃2)Ny(%+〃2),則故B正確;

xx+n

111

對于C,取x=2,y=l,WJx99=3>--=---,故C錯誤;

對于D,2（X2+,2）_（%+?=%2+丁2_2肛=（%_4>0,

則（x+y）2<2（%2+力，即x+y<W+力,則x+yWJ2（f+y2）,故D正確.

故選：BD.

12.（2024.江蘇揚州.高三校考階段練習）下列不等關系成立的是（）

A.若a>b,則比2>。02

B.若a>b,—<7-,則必>0

ab

C.若a>b,—>y,貝Ua>0〉Z?

ab

D.若a>b,a2>b2則Q〉0〉Z?

【答案】BC

【解析】A選項：a>b,當c=0時，ac2=bc2,A選項錯誤；

B選項：即,一工="凹=一佇2<0,又a>b,即。一人>0,所以。匕>0,B選項正確；

abababab

C選項：即工-L=*=-i>0,又a>b,即。一6>0,所以仍<0,所以a>0>b,C選項

abababab

正確；

D選項：a2>b2,BP?2-t>2=（fl+&）（<7-/?）>0,又a>b,BPa-b>0,所以a+b>0,無法判斷。與6是否

異號，D選項錯誤；

故選：BC.

13.（2024?安徽淮北?統考一模）已知。，b,CGR,下列命題為真命題的是（）

A.若a>b>c,貝!Ja+6>cB.若。>6>卜］,貝!J/〉/〉。？

cchhc

C.若avbvcvO,則一〉一D.若a>b>c>0,貝!J—<------

abaa+c

【答案】BD

【解析】當6為負數時A可能不成立，例如—2>—3>T但-2+（—3）>Y是錯誤的.

因為。>6>匕|20根據不等式性質可得a2>b2>c2正確.

11111cC

因為。<人<0,所以=>0,所以。下〈匕丁<0即7<一<0所以9>￡>0故C錯誤.

abababbaba

bb+cab+bc-ab-acc(b-a)

因為a>b>c>0,所以-----------------------=---------<0

aa+ca(〃+c)a(a+c)

所以2<小￡正確.

aa+c

故選：BD

14.（2024?河北邢臺?寧晉中學校考模擬預測）已知實數。，b,。滿足0<a<〃<c,貝U（）

1111cbb+c

A.------>-------B.lg—>0C.---------->;---------D.->--------

c—ab-ab-aa(c-a)b(c-a)aa+c

【答案】BCD

【角畢析】因為0va<A<c,所以。一。>〃一a>0=>-----<-，故A錯誤;

c—ab-a

又F>1，所以31>。，故B正確；

b—ab—a

.、,、11

因為0<a<b<c,^\^a[c-a)<b[c-a)=>(_\>(_\故C對；

ciIcdIDhIcai

因為又c>0,所以幺上<2,故D對.

aa+ca

故選：BCD

15.（2024?湖南長沙?高三統考階段練習）下列命題中正確的是（）

A.若烏〉三，則

B.若a<b<0,則a?>a。>/

aa

ab

C.若a>b>0,機>0,則D.若0vZ?vavc,貝I------>-------

aa+mc-ac-b

【答案】ABD

【解析】對于A中，由不等式與〉與，

可得awO,所以〃>0,

aa

不等式與〉鼻的兩邊同乘可得6>C,所以A正確；

aa

對于B中，因為〃<人<0,所以。一匕<0,々（々一。）>0,仇。一。）>0,

BPa2>ab,ab>b2,所以所以B正確；

對于中，由。>匕>0,機>0,則一1二力［D。,所以b+加，所以C錯誤;

對于D中，因為0<人<a<c,所以￡<f,則即

ababab

nh

所以一>-所以D正確.

c-ac-b

故選：ABD.

16.（2024.河南信陽.高三河南宋基信陽實驗中學校考階段練習）已知l<a<6,2<b<4,則（）

C.a—3Z?￡(—11,0)D.a—3b￡(-6,—5)

【答案】BC

【角星析】依題意1<〃<6,2<Z?<4,

所以:<!<:,所以<3,所以A選項錯誤,B選項正確.

4624b

所以一12<-36<-6,所以—H<a-26<0,所以C選項正確，D選項錯誤.

故選：BC

17.(2024?湖南衡陽?高三衡陽市田家炳實驗中學校考階段練習)某工藝廠用A、B兩種型號不銹鋼薄板制

作矩形、菱形、圓3種圖形模板，每個圖形模板需要A、5不銹鋼薄板及該廠2種薄板張數見下表

矩形菱形圓總數

A531055

B12613125

該廠簽購制作矩形、菱形、圓3種模板分別為％,y,z(%,y,z￡N*)塊.上述問題中不等關系表示正確為

()

A.5x+3y+10z>55B.5x+3y+10z<55

C.12x+6y+13z<125D.12x+6y+13z>125

【答案】BC

【解析】因為每個矩形模板需要5張A薄板，每個菱形模板需要3張A薄板，每個圓模板需要10張A薄

板，且共有55張A薄板，

所以5x+3y+10z455,

因為每個矩形模板需要12張2薄板，每個菱形模板需要6張B薄板，每個圓模板需要13張3薄板，且共

有125張8薄板，

所以12x+6y+13z4125.

故選：BC.

18.(2024?湖南長沙.高三雅禮中學校考階段練習)若a>，>l,ceR,則下列說法一定正確的是()

A.ac>bcB.logj,a>1

C.-+y<4D.若a+Z?=4,則2"+2">8

ab

【答案】BCD

【解析】對于A,當c=0時，ac=Q=bc,A錯誤；

對于B,由”>b>l,得log/>logM=l,B正確；

對于C,由f#0<—<—<1,貝lj'+1<2V4,C正確；

abab

對于D,由a>6>l,a+b=A,得2">2〃>2，2"+2">2也"?2〃=2A/?7r=8，D正確.

故選：BCD

19.(2024?全國?模擬預測)正數x、y滿足x-y>l,則下列不等式成立的有()

A.q<1B.2*-2，>1C.Igr+lgy>0D.x3-y3>1

【答案】ABD

【解析】對于A,因為無-丁>1>0,x>0,所以"尤-1,所以《故A正確;

對于B,因為x-y>l,j>0,所以x>y+l,所以中一2,>2加一2>=2>>1，故B正確；

31,3

對于C,當x=5、>=工時滿足x-y>l,?>lgA+lgy=lg(xy)=lg-<0,故C不正確；

對于D,因為x—>>1,無>0,y>0,

所以/->3=(無一以%2+孫+力>尤2+孫+,2+3孫>],故口正確.

故選：ABD.

20.(2024?全國?模擬預測)已知正實數a,b,c滿足!貝I()

abc

.jbb—c

A.c—a>c—bB.—>------

aa—c

n------77------ra+b、1

C--2…)(j)D.

【答案】BCD

【解析】選項A：由0<,<!<工，得a>/?>c>0,

abc

則一〃<一6,所以c—a<c—b,A錯誤.

,比幣口中/j_b(a-c)-a(b-c)_c(a-b)

選項B：因為—7\—_77>0,

aa-caya-c)a^a-c)

所以？>三，B正確.

aa—c

選項C：由。>b>c>0,得a-b>0,b-c>0f

所以a_c=(〃_/?)+(/?_(?)之2[(a-b)(b_c),

當且僅當a-b=c時取等號，C正確.

選項D：因為a+2j2aZ??a+(a+2Z?)=2(a+b),

a+b1

當且僅當。=力時取等號，所以一-/=>-,D正確.

a+272ab2

故選：BCD

21.(2024?江蘇蘇州?高三統考期末)已知Q/ER,則是〃”的充分不必要條件有()

11

A.—>—B.1g。>Igb

ab

C.a3>Z?3D.a3>c^b

【答案】BD

【解析】對于A,m-=l>7=!，此時有。=1<2=匕，故A不符合題意;

ab2

對于B,由對數函數單調性可知lga>lg〃=Q>h>0,故B符合題意；

2

對于C,/+qb+/)=(〃_5)---jH----Z?>06Z—Z?>0Clb,C不

符合題意；

對于D,a，>^a2（<a-b^>O^>a-b>O,a^O^a>b,故D符合題意.

故選：BD.

三、填空題

22.（2024?全國?高三專題練習）實數。力滿足-34〃+b<2,-l<a-b<4f則3〃-2Z?的取值范圍是

【答案】［Til］.

【角星析】設3a—2/?=m（。+6）+〃（"一/?）=（加+〃）〃+（加一〃）/7,

\m+n=3,1515

貝lj1,角牟得根=所以3々_28=_（Q+Z?）H—（a—b）,

［m-n=-22222

3155

因為—3Ka+bK2,-l<a-b<4,所以——<-（a+b）<l,——<-（a-b）<10,

2222

可得TV3a-2&W11,即3a-26的取值范圍為

故答案為：［Til］.

23.（2024?全國?高三專題練習）已知—2WaW—l,-3<-c<-2,貝|2o+c的取值范圍是.

【答案】［-2,1］

【解析】因為-2WaWT,所以-4V2aW-2,

又因為-3W—CW-2,所以2<cW3,

所以-2<2a+cWL即2a+c的取值范圍為［-2』.

故答案為：［-2』.

24.（2024?河南洛陽?高三洛陽市第一高級中學校考階段練習）某雜志以每本2.5元的價格銷售，可以售出

8萬本，據市場調查，若單價每提高01元，銷售量就相應減少2000本.設提價后該雜志的單價為x元，則

用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元為.

【答案】［8-^|^X0.2L>20

【解析】若提價后該雜志的單價為X元，則銷售量為R-gl9xO?）萬本,

則提價后銷售的總收入為（8-3!9x0.