重難點05不等式月考、期中、期末復習十三大題型匯總

題型解讀

滿分技巧/

技巧一.比較不等式的大小時，一般可采用以下幾個方法：

(1)作差比較法；若。-b20,則a2b；

(2)利用作商比較法.當a>0,6>0,且牌1時，a26.

技巧二.不等式性質的判斷題

一般我們判斷此類問題主要采用兩種方法：

其一：按照性質進行判斷，此種方法要求我們對不等式性質有一個全面熟練的掌握。

其二：采用賦值法/特殊值法進行判斷，此種方法對于證明假命題非常適用；

技巧三.不等式的性質

(1)如果a>b,那么b<a,該性質稱為對稱性；

(2)如果a>b,b>c,那么a>c,該性質稱為傳遞性；

(3)如果a>b，則a+c>6+c,反之也成立，該性質稱為可加性；

(4)如果a>b,c>0,貝!]ac>be；如果a>b,c<0,貝！Jac<be；

(5)如果a>b,c>d,貝!]a+c>b+d；

(6)如果a>b>0,c>d>0,貝(Jac>bd；

(7)如果a>b>0,ri22,貝!!a”>bn.

技巧四解一元二次不等式的常見方法

0圖象法：

①化不等式為標準形式：ax2+bx+c>0佃>0)或ax2+bx+c<0(a>0)；

②求方程ax2+bx+c=OgO)的根,并畫出對應函數y=ax2+bx+c圖象的簡圖；

③由圖象得出不等式的解集.

⑵代數法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解.

2.方法歸納：數形結合，分類討論.

3.常見誤區：當二次項系數小于0時，需兩邊同乘-1，化為正的.

技巧五.含參一元二次不等式的解法有以下幾種：

1、當A=b2-4ac1時，二次三項式,ax2+bx+c=0有兩個實根，那么ax2+bx+c=0，總可分解為a(x-x!)(x-x2)

的形式。這樣，解一元二次不等式就可歸結為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集，就是這

兩個一元一次不等式組的解集的交集。

2、用型方法解一元二次不等式。

3、通過一元二次函數圖象進行求解，二次函數圖象與X軸的兩個交點，然后根據題目所需求的“<0"或">0"

而推出答案。

4、數軸穿根:用根軸法解高次不等式時，就是先把不等式一端化為零，再對另一端分解因式，并求出它的零

點，把這些零點標在數軸上，再用一條光滑的曲線，從X軸的右端上方起，依次穿過這些零點。

5、這大于零的不等式的解對應這曲線在x軸上方部分的實數x得起值集合，小于零的這相反。這種方法叫

做序軸標根法。

技巧六對含參數的一元二次不等式的討論，

一般可分為以下三種情形：(1)當含參數的一元二次不等式的二次項系數為常數，但不知道與之對

應的一元二次方程是否有解時需要對判別式進行討論。(2)當含參數的一元二次不等式的二

次項系數為常數，且與之對應的一元二次方程有兩解，但不知道兩個解的大小，因此需要對解的大

小進行比較。(3)當含參數的一元二次不等式的二次項系數含有參數時，首先要對二次項系數進行

討論，其次，有時要對判別式進行討論，有時還要對方程的解的大小進行比較。

技巧七.解含絕對值不等式的基本思路：

一是從定義出發，直接去掉絕對值符號；二是根據絕對值的定義通過分類討論，特別是對不等式中對參數

的討論去掉絕對值符號，將原不等式轉化為不含絕對值的不等式求解；三是數形結合，利用函數圖象求解；

四是將較復雜的絕對值不等式等價轉化為最簡單的絕對值不等式求解。

技巧八.基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數；

(2)"二定"就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構

成積的因式的和轉化成定值；

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方

A3*題型提分練

題型1等式與不等式性質

【例題1](2022秋?全國?高一期末)近來豬肉價格起伏較大，假設第一周、第二周的豬肉價格分別為a元

/斤、b元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，甲、乙兩次

平均單價為分別記為四，m2,則下列結論正確的是（）

A.=m2B.>m2

C.m2>m1D.他,啊的大小無法確定

【答案】C

【分析】分別計算甲、乙購買豬肉的平均單價，作商法，結合基本不等式比較它們的大小.

【詳解】甲購買豬肉的平均單價為：叫=奈絳=d=震，

-a-1b-an—bCLiD

乙購買豬肉的平均單價為：加2=誓=手，

顯然血1>0,m2>0,

2ab

日小1_a+b_4ab_4ab4ab_1

m生助（a+b）2a2+2ab+b2~2ab+2ab1

22

當且僅當a=匕時取,

因為兩次購買的單價不同，即a*6,

所以巾1<m2,

即乙的購買方式平均單價較大.

故選：C.

【變式1-1]1.（2023秋?安徽蚌埠?高一統考期末）已知。<x<1,則下列不等式成立的是（）

AB.i>x2>xC.x>i>x2D.i>x>x2

【答案】D

【分析】利用作差法判斷即可.

【詳解】因為0<x<1,貝亞一x>0,所以:一x=p=〉o,所以，>x,

又％—x2=x（l—x）>0,所以％>x2,

所以:>x>x2.

故選：D

【變式1-1]2.（多選）（2023秋?湖北襄陽?高一宜城市第一中學校考階段練習）下列命題中，為真命題

的是（）

A.Va,bER,ab<B.若a>6,c>d,貝—c>b—d

C.若a<6<0,貝!]a?<ab<b2D.若a<6<0,貝耳>~

【答案】AD

【分析】利用作差法比較大小判斷A;舉例說明判斷B;利用不等式的性質判斷CD作答.

【詳解】對于A,a,beR,M—色普=一寸40,貝W公誓，A正確；

對于B,顯然2>1,3>0,有2—3<1—0,B錯誤；

對于C,a<b<0,貝UM>ab,ab>b2,即M>ab>b2,C錯誤；

對于D,a<b<0,則￡<三,即乙>丸D正確.

ababab

故選：AD

【變式1-1]3.（多選）（2023秋?河北廊坊?高一校考期末）設a<b<0，則下列不等式中恒成立的是（）

f\.ab>b2B.-<-C.i<iD.—<1

ababb

【答案】AB

【分析】利用作差比較逐一判斷即可.

22

【詳解】A:因為a<b<0t所以ab—b=6（a—b）>0=>ab>bt因此本選項正確；

B：因為a<b<0,所以2一？="警2<0=2<?,因此本選項正確；

ababab

：因為,所以工一:=->=工>因此本選項不正確；

Ca<b<0abab0aLb

D:因為a<b<0,所以——1=￡>o=彳〉1,因此本選項不正確，

故選：AB

【變式1-U4.（多選）（2023秋?江蘇淮安?高一統考期末）下列結論中正確的有（）

A.若a>b>0,貝！J/>爐

B.若a<b<0,貝UM>ab>b2

C.若a>6>0,則*>-

i'八a+2匕b

D.若a>0,b>0,且a+b=1,貝!]，+（的最小值為4

【答案】ABD

【分析】對于A、B,利用不等式的性質進行判斷；對于C,利用作差比較法進行判斷；對于D,利用基本

不等式結合"V的妙用進行判斷.

【詳解】對于A,若a>b>0,則a?>川成立，故A正確；

對于B,若a<b<0,則a?>ab,ab>b?成立，即a?>ab>爐成立，故B正確；

對于C,由a>>>0以及選項A,亞一巴=（2。+,"-弋。+2〃）=盧彳<。，即應〈區成立，故C錯誤；

1

'八八「人'a+2bb（a+2b）b（a+2匕）匕'a+2bb'（'人口內，

對于口，若a>0,6>0,且0+6=1,則工+：="+竽=2+2+224,當。=/7=為寸取等號，則工+：

ababab2ab

的最小值為4,故D正確.

故選：ABD.

【變式1-1]5.（2022秋?廣西百色?高一統考期末）已知實數a,4c,其中a>b>l,則下列關系中恒成立

的是（）

/\.ab>b2B.ac2>be2

：

C.ci-c>b—cD.aH—a>b+b

【答案】ACD

【分析】根據不等式性質可判斷A,C;舉反例判斷B;利用作差法判斷D.

【詳解】對于A,由于a>b>1,故a>力兩邊同乘以b,BPah>b2,A正確；

對于B,當。=0時,ac2>be?不成立，B錯誤；

對于C,由于a>b,故a-c>b-c,C正確；

對于D,因為a>b>1,貝（]a—b>O,ab—l>0,

故a+[—（b+》=（a-b）,黑>0，故a+：>>+1,D正確，

故選：ACD

題型2比較大小

【例題2】（多選）（2021秋?重慶沙坪壩?高一重慶八中校考期末）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪

智石》一書中首先把"="作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用和">"符號，并逐漸

被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.若小融從家到學校往返的速度分別為a和6（0<a<

b）,其全程的平均速度為u,則下列選項正確的是（）

A.a<v<y[abB.u=Vab

C.信〈”等D.”篝

【答案】AD

【分析】設兩地的距離為s,計算出全程的平均速度u=會,然后利用基本不等式得出"與而和^的大小

a+b2

關系，再利用作差法比較"與a的大小關系，從而得出正確選項.

【詳解】設甲、乙兩地之間的距離為s,則全程所需的時間為三a+：b,

2s2ab

V=c-s=---

-a4-fb-a+b

■.-b>a>0,由基本不等式可得而<學,

2ab2ab

.??v=——<

a+b2\[ab=yj~ab,

2ab

----<2'（哨=空

又Ua+ba+b2

2abab-a2>a2-a2

所以"CL=----CL=

a+ba+ba+b=o,

-?v>a,

所以a<v<4ab,

故選：AD.

【變式2-1]1.（2021春?四川南充?高一統考期末）已知a片1且aeR,試比較義與1+a的大小.

【答案】答案見解析

【分析】利用"作差法"，通過對a分類討論即可得出.

【詳解】三一(1+。)=牝?

①當a=0時,——=0,——=1+a.

l-al-a

2-1

②當aV1且aW0日寸t-n->0,，—>1+a.

1—Q1—Cl

③當a>1時t—<C0—<1+a.

l-azl-a

綜上所述，當a=0時，^=1+Q；

i-u

當a<1且aW。時>14-a；

fl-a

當a>1時，」一<1+a.

【點睛】本題考查〃作差法〃比較兩個數的大小、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題.

【變式2-1]2.（2021春?黑龍江鶴崗?高一統考期末）已知a＞0,b＞0,試比較常與鬻的值的大小.

【答案】若a>b,則/>鋁；若a<b,則吐<W；若a=匕，/=在.

az+bza+baz+bza+baz+bza+b

【分析】利用作差法，結合分類討論，比較。與胃的大小即可.

az+oza+b

「、皇卸j[a2一82Q,—b2ab(a—b)

‘'a2+b2a+b(a2+Z?2)(a+b)z

當a＞b＞。時，a-b＞。，所以：2；：2-：；＞0,即:表＞：；：；

當。＜a。時，ai＜。，所以算:高＜。，即

當。＜a=b時，a-=。，所以：2；：2-：；＞0,即力；；：.

【變式2-1]3.（2022秋?河北邯鄲?高一武安市第一中學校考期末）xeR,比較Q+1）（/+；+i）與（久+

3（/+x+i）的大小.

【答案】(%+1)評+；+°>1+0(x2+x+1)

【分析】利用作差法比較（久+1）（/+|+1）與O++%+1）的大小關系，化簡整理即可.

【詳解】由(X+l)(x2+：+1)-(x+-)(x2+%4-1)

=(爐+|/+|“+1)一(/+|/+|"+”>()

++

所以(X+X

題型3代數式取值范圍

【例題31(2023秋?四川眉山?高一眉山市彭山區第一中學校考期末)已知1<%<3,-3<y<l，則x-3y

的取值范圍是()

A.(0,12)B.(-2,10)C.(-2,12)D.(0,10)

【答案】C

【分析】利用不等式的性質得到-3y的范圍，再和x的范圍相加即可.

【詳解】-3<y<1,

-3<—3yV9,又1<%<3,

—2<%—3y<12

故選：c

【變式3-1]1.(2023秋?江蘇?高一校聯考期末)已知2Wa-6W3且3Wa+6W4,求4a-2b的取值范

圍()

A.(9,13)B.[9,13]C.(-00,9)U(13,+00)D.(-00,9]U[13,+00)

【答案】B

【分析】利用待定系數法，結合不等式的性質進行求解即可.

【詳解】設4a-2b=m(a-b)+n(a+b)={_；一墨'：八二{:二:，

因為2<a—b<3,

所以6<3(a-b)<9z所以9<4a-2h<13r

故選：B

【變式3-l】2.(2023秋福建寧德?高一福建省霞浦第一中學校考期末圮知實數x,y滿足-4<%-y<-l,

—1W2x—yW5,則y的取值范圍是()

A.{y|0<y<9}B.{y|-5<y<4}

C.{y|l<y<13]D.{y|0<y<13}

【答案】C

【分析】令"一y=爪、2比—y=ri得0"n_2m,利用不等式的性質進行運算即可得答案.

y—yt_-vyi

【詳解】令x-y=m,2久-y=n,則{、=n_2m-

-,>—4<x—y<—1,—l<2x—y<5,即—4<m<-1,—l<n<5,

，2<—2m<8,貝[]1<n-2m<13,即1<y<13.

故選：C

【變式3-1]3.(2021春?廣西玉林?高一陸川中學校考期末)已知1<a<2<b<4,則a?+b的取值范

圍為()

A.(3,6)B.(2,6)C.(3,8)D.(4,8)

【答案】C

【詳解】分析：利用不等式的基本性質，易得結果.

詳解：<a<2,.'.I<a2<4,又2<6<4

.,.3<a2+b<8

故選C

點睛：本題考查了不等式的基本性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

【變式3-1】4.(2021春?安徽六安?高一六安一中校考期末)已知a,/?滿足，則a+3￡的

取值范圍是

A.[1,7]B.[-5,13]C.[-5,7]D.[1,13]

【答案】A

【詳解】分析：該問題是已知不等關系求范圍的問題，可以用待定系數法來解決.

詳解：設a+3p=A（a+p）+v（a+邛）

=（A+v）a+（入+2v邛.

比較a、B的系數，得,

從而解出A=-1,v=2.

分別由①、②得-14-a邛41,2<2a+4P<6,

兩式相加，得l<a+3p<7.

故a+3p的取值范圍是[1,7].

故選A

點睛：本題考查待定系數法，考查不等式的基本性質，屬于基礎題

【變式3-1]5.（多選）（2023秋廣東佛山?高一統考期末）已知1<"2,3<635,則（）

A.a+b的取值范圍為[4,7]B.b-a的取值范圍為[2,3]

C.ab的取值范圍為[3,10]D.黃勺取值范圍為e,|]

【答案】AC

【分析】根據不等式的性質依次討論各選項即可得答案；

【詳解】解：因為1<a<2,3<b<5,

所以4<u+/）<7,—2<—a<—1,1<b—a<4,

所以，a+b的取值范圍為[4,7],b-a的取值范圍為[1,4],

故A選項正確，B選項錯誤；

因為1<a<2,3<b<5,

所以，3WMW10,1瀉，瀉w|,

所以，ab的取值范圍為[3,10],耨勺取值范圍為L|]

故C選項正確，D選項錯誤.

故選：AC

題型4一元二次不等式

【例題4](2023秋?河南新鄉?高一校聯考期末)已知集合4="I/一2%-8<0},B={x|x21},則

>1nB=()

A.{%|1<%<2}B.{x|l<x<4}

C.{x|-2<%<4}D.{x\x>—2}

【答案】B

【分析】先解一元二次不等式，可求出集合4,再根據集合間的運算求解即可.

【詳解】因為力={x\x2-2%-8<0},所以4={x|-2<%<4},

所以2nB={x|l<%<4].

故選：A.

【變式4-1]1.(2023秋?江西吉安?高一井岡山大學附屬中學校考期末)已知全集為U=R,M=

{x|/一久>0},N={x]?<o},則有()

A.MUN=RB.MCN=0

C.CuN=MD.C(jNcM

【答案】B

【分析】分別解不等式/-久〉。和巳1<0,利用數軸進行集合的運算.

【詳解】M={x\X2—x>0}={x\x>1或x<0},

N={"<。}={4?x(x—1)<0}={%I0<x<1},

MUN-{xIxeR且x豐0且久豐1),所以A錯誤；

MC\N={x\x>1或％<0}n{%|0<%<1]=0,所以B正確；

CuN=(x\x<0或久所以C錯誤；

CuN={x\x<。或%>1}3Mz所以D錯誤.

故選：B.

【變式4-1]2.(2022秋?云南曲靖?高一校考期末)已知a<0,則不等式/—2ax-3a2<0的解集

為

【答案】(3a,—a)/[x\3a<x<-d]

【分析】將不等式%2-2ax-3a2<。化為(％-3a)(%+a)<0,判斷3a,-a的大小，即可確定答案.

【詳解】不等式/—2ax—3a2<0即(％—3a)(x+a)<0,

因為a<0,故3a<—a,

故由(第—3a)(x+a)<0可得3a<x<—a,

則不等式%2-lax-3a2<。的解集為(3a,-a),

故答案為：(3a,-a)

【變式4-1J3.(2022秋?江蘇揚州?高一期末港集合4=[x\x-5y+6>0},B=3|三|22}，則(CRA)U

B=

【答案】{x|x<1或4WxW9}

【分析】先解兩個集合中的不等式，再利用集合基本運算求解.

【詳解】'-tA=[x\x—Syjx+6>0}={x|0<%<4或%>9},??.CR4=[x]x<0或4<x<9]

8={*22}={x|-3<x<1},

；?(CR4)UB=[x\x<1或4<x<9}.

故答案為：{x|x<1或4WxW9}.

【變式4-1】4.（2022秋?上海浦東新?高一上海市進才中學校考期末）已知不等式a/—3%+6〉4的解集

為｛x|x<1或x>b].

⑴求a,b;

(2)解關于x的不等式a--(ac+b)x+be<0.

【答案】(l)a=1,6=2

(2)答案見解析

【分析】(1)根據不等式的解集，結合根與系數的關系列出方程即可得到結果.

(2)由題意得到不等式對應的方程的兩根，然后根據兩根的大小討論即可得到結果.

【詳解】(1)因為不等式a——3x+6>4的解集為{0尤<1或x>b},

所以勺=1與尤2=b是方程a/-3久+2=0的兩個實數根，且b>1.

由根與系數的關系，得1,解得；；

l-b=-3=2

Ia

(2)原不等式化為：/—(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,

①當c>2時，不等式的解集為{m2<x<c],②當c<2時，不等式的解集為{x|c<%<2]

③當c=2時，不等式的解集為0.

題型5分式、絕對值不等式

【例題5](2023秋?江蘇常州?高一常州市北郊高級中學校考期末)不等式二<。成立的充分不必要條件

%+5

可以是()

A.{x\x>6}B.{x|-5<%<6]

C.{x|—5<%<6}D.{x|—5<x<6]

【答案】B

【分析】先求出不等式的解集，然后根據充分不必要條件的定義分析判斷即可

【詳解】由鬻W0,得產-露-°,解得-5<%<6,

所以不等式的解集為{幻-5<%<6},

對于A,因為{x|-5<%<6}n{%|x>6}={6},所以{x|x>6}是不等式成立的既不充分也不必要條件，

所以A錯誤，

對于B,因為{x|-5<x<6}{x|-5<x<6},所以{幻-5<x<6}是不等式成立的充分不必要條件，所

以B正確，

對于C,因為{x|-5〈比W6}不等式的解集，所以{m-5<xW6}是不等式成立的充要條件，所以C錯誤，

對于D,因為{劃一5<久W6}{%|-5<%<6],所以—5WxW6}是不等式成立的必要不充分條件，

所以D錯誤，

故選：B

【變式5-1]1.(2023秋?山東濰坊?高一統考期末)設％eR,則"|x-1|<1"是"二<0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解不等式反-1|<1、=<0,利用集合的包含關系判斷可得出結論.

X—5

【詳解】由國一1|<1可得一1<x-1<1,解得0<x<2,

由晝<。可得一4<%<5,

因為{久|0<x<2}{x|—4<%<5},

因此，"伏-i|<1"是"妥<0"的充分不必要條件.

X—5

故選：A.

【變式5-1]2.(2015春?北京東城?高一統考期末)下列選項中，使x<;</成立的x的取值范圍是

A.(-00,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+00)

【答案】A

x<-'八J<0x<-l,^O<x<l

【詳解】?-?原不等式可化為｛屋>｛（一春.）.?.｛_，：=<T?故選A.

<x

~“-------X----->Ux>1,<0

考點：該題主要考查不等式的解法，不等式的性質以及計算能力.

【變式5-1]3.(2021秋?上海浦東新?高一上海市實驗學校校考期末)求下列不等式的解集：

(1)—>5

(2)|2x-3|<3%-2

【答案】⑴(1,8)

(2)(1)+00)

【分析】(1)根據分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.

(2)應用公式法求絕對值不等式的解集.

【詳解】(1)竺？>5=匕1<0=(乂一1)0-8)<0,故解集為(L8)；

X—1X~1

(2)|2x—3|<3x—2=-3%+2<2,x—3V3x—2,

故解集為(L+8).

【變式5-1]4.(2022春?四川成都?高一統考期末)解不等式：x>彳F

【答案】｛x|x>1或XW-1｝

【分析】首先不等式變形為筆>0,再按照分式不等式求解.

X-1

【詳解】

x-1x-1=x-1

即｛(“+1)(彳二?2。，解得：％>i或xw一1,

所以不等式的解集｛劃％>1或XW-1｝.

題型6高次不等式

【例題6】(2021春?陜西榆林?高一校考期末)不等式(乂-1)("+1)(久-3)>0的解集為()

A.(-1,1)U(3,+8)B.(1,3)C.(―%—1)u(1,3)D.(3,+8)

【答案】A

【分析】求出(％-1)(%+1)(%-3)=。的根，根據所得根為界點,討論%范圍判斷題設不等式是否成立即可

得解集.

【詳解】令(%一1)(%+1)(%-3)=0,則%=-1或%=1或%=3,

當%>3時,x-l>0,x+l>0,x-3>0,滿足不等關系；

當1<%<3時，％—1>0,%+1>0,第一3V0,貝(](%—1)(%+1)(%—3)<0不滿足；

當一1V%V1時,x-l>0,x+l<0,x-3<0,滿足不等關系；

當%<—1時,%—l<O,x+l<O,x—3<0,則(蒐—1)(%+1)(%—3)<0不滿足；

而X=-1或x=l或x=3時，原不等式左側等于0,不滿足；

綜上,解集為(—1,1)U(3,+oo).

故選：A

【變式6-1]1.(2021秋?上海浦東新?高一上海市進才中學校考期末)已知藍<久t,則實數%取值范圍

為

【答案】(-00,-1)U(0,1)

【分析】將不等式兩邊同時取3次方，可得％<2,再移項、通分、因式分解，根據一元高次不等式的解法

計算可得；

132

【詳解】解:因為藍<X-1,所以依?<(%-),gp%<X-3,即久<A所以X—專<0tgp(x+l)(x-l)(x+l)<0,

解得久<—1或0<x<1,即原不等式的解集為(—8,-1)u(0,1)

故答案為：(―°°,—1)U(0,1)

【變式6-1]2.(2021秋?上海?高一格致中學校考期末)不等式小葛<。的解集為

【答案】(-8,-3)U(1,|]

【分析】將分式不等式化為42%—甲([I2：一?4°,利用一元高次不等式和一元二次不等式的解法可

IXI2%30

求得解集.

2□C(2x—3)(%+3)(x—1)<0

【詳解】缶w°等價于f(2X-3)(X+2X-3)<0即nI(x+3)(%-1)^0

/+2%—3W0

解得：%<-3或1<x<|.?不等式的解集為(-%-3)U(1,|]

故答案為(-8,-3)U(1.

【點睛】本題考查分式不等式的求解，涉及到一元高次不等式和一元二次不等式的求解，關鍵是能夠將分

式不等式進行等價轉化.

【變式6-1]3.(2020?浙江杭州?高一期末)設。eR,若x>0時均有[(a-1)%一1](/一。久一1)2o,則

【詳解】當a=1時，代入題中不等式顯然不成立

當a豐1時,令為=(a-l)x-1,丫2=--a久一1,都過定點(0,1)

考查函數月=(a-l)x-1,令y=0,貝！=白

Q—1

71=(a-1)%-1與%軸的交點為(六,0)

x>0時,均有[(a—1)%—l](x2—ax-1)>0

2

y2=x-ax-1也過點(三■,())

解得a=|或a=0(舍去)，

【變式6-1]4.(2023秋?河北保定?高一校考期末)已知集合4={久|(久+3)(%-l)2(x-2)3>0},B=

Q)求集合A,B;

(2)求集合4nB.

【答案】⑴4=(一8,-3]U{1}U[2,+00),B=(-co,-4]U(1,+oo)

(2)4r\B=(—oo,—4]U[2,+8)

【分析】(1)解不等式求得4B.

(2)根據交集的知識求得AnB.

【詳解】(1)由(x+3)(%-l)2(x-2尸>0解得x<一3或％=1或x>2,

所以力=(-00,—3]U{1}U[2,+oo).

由巴生>1彳導過一1=2X+3T+1

=X+4>Q

X-1—X-lX-lX-1—,

所以自+丫二產。，解得“針堿>1,

所以B=(-00,-4]U(1,+00).

(2)由(1)得AnB=(—8,-4]U[2,+oo).

題型7一次、絕對值、分式不等式與參數

【例題7】2023秋?江蘇無錫?高一統考期末)已知p：實數x滿足(％-a)(3a-x)>0,q：實數x滿足案<0,

當a<0時，若q是p的充分條件，則實數a的取值范圍是()

A.(—2,—1)B.[—2,—1)

C.[—2,—1]D.(—8,—2)U(—1,+8)

【答案】B

【分析】先解一元二次不等式以及分式不等式，然后根據充分條件的知識求得正確答案.

【詳解】對于P,由于a<0,所以由(％-a)(3a-x)>。解得3a<x<a；

對于q<0Q產卡北三W0,所以一3<%<-2；

若q是p的充分條件,則產：7?,解得-2<a<-l.

故選：B

【變式7-1]1.(2022秋?重慶合川?高一重慶市合川中學校考期末)已知集合4={用￡22},B=

{久|0＜久＜a},若AUB,則實數a的取值范圍是()

A.[3,+co)B.(3,+oo)C.(1,+oo)D.(4,+co)

【答案】B

【分析】先求出分式不等式的解集化簡集合4,再利用集合的包含關系求解即可.

【詳解】因為二22,所以二一2=土干=三20,

X—1X—1X—1X—1

即(3-x)(x-1)>0且久豐1,解得1<x<3,

所以4={%|1<%<3},

又因為B={x|0<x<a],AQB,所以a>3,

故選：B

【變式7-1]2.(2022秋?江蘇揚州?高一期末)關于x不等式ax+b<。的解集為{加>3},則關于x的不

等式若%N0的解集為

xz-4x-5

【答案】(-8,-1)u[3,5)

【分析】根據不等式的解集，可得方程的根與參數a與零的大小關系，利用分式不等式的解法，結合穿根法，

可得答案.

【詳解】由題意，可得方程a%+b=0的解為％=3,且a<0,

由不等式件^>0,等價于產+6)(%J-4X-5)>0整理可得廠ax--":丁°,解得

2

X2-4X-5(X-4%-50((%-5)(%4-1)0

(―8,-1)u[3,5),

故答案為：(一8,-1)U[3,5).

【變式7-1]3.(2021秋?上海浦東新?高一上海市建平中學校考期末)已知關于%的不等式*>1在[2,5]

有實數解,則實數a的取值范圍為

【答案】aE(|,+8)

【分析】根據題意，分析可得原問題轉化為a>二在[2,5]上能夠成立，設/(?=空，求出/(x)的最小值，

分析可得答案.

【詳解】解：根據題意，不等式青>1在［2,5］有實數解，即aX言〉1在［2,5］上能夠成立，

又由xG［2,5］,則a>二在［2,5］上能夠成立,

X—1

設f0)=*，則-x)=1+2，在區間［2,5］上為減函數，其最小值為/(5)=|,

若a>二在［2,5］上能夠成立，貝必>|；

故a的取值范圍是｛a|a>|)；

故答案為：ae(|,+8),

【點睛】本題考查分式不等式的解法，關鍵是將分式不等式轉化為整式不等式進行分析.

【變式7-114.(2021春?四川眉山?高一統考期末)設關于久的不等式：2”吃zz<0的解集是一

x+(a+4a-5)x-a+4a-7

些區間的并集，且這些區間的長度和(規定：區間(a,b)的長度為b-a)不小于12,則a的取值范圍為()

A.a<-1或a>5B.a<-1或a>5

C.a<-2或a>3D.a<-2或a>3

【答案】A

【分析】由已知結合二次不等式的解集端點與二次方程根的關系確定不等式的解集端點，然后結合新定義

求出不等式的解集，再求出a的取值范圍

2222

【詳解】設%2+(2a+2)x—a+4a—7=0的根分別為%i，%2且%i<%2+(^+4a—5)x—a+4a—

7=0的兩個根分別為%3*4/且%3V%4，貝!J

22

xrx2=x3x4=-a+4a—7=—(a—2)—3<0,

久i+%2-(%3+%4)=-2a2—2+a2+4a—5=—a2+4a—7=-(a—2)2—3V0,

所以％i<x3<x2<x4,

所以不等式的解集為U(%2，%4)/

由題意得%3—+(%4—X2)日12,

即a?-4a+7212,解得a>5或a<-1,

所以a的取值范圍為a>5或a<-1,

故選：A

【變式7-1]5.(2023秋遼寧本溪?高一校考期末)若關于x的不等式ax+b<0的解集為(-2,+8),則

關于的不等式a—+bx-3a>。的解集為

【答案】(-3,1)

【分析】根據一元一次不等式的解集得到a<。且b=2a,從而得到/+2%-3<0,解出答案即可.

【詳解】由題意得：ax<,貝!1%>,可知a<0且b=2a,

a

則a/+bx—3a>0變形為a/+2ax—3a>0,

不等式兩邊同除以a得：/+2x—3<。，

解得：一3<x<1,

不等式的解集為(-3,1).

故答案為：(-3,1)

題型8一元二次不等式與參數

【例題8](2020春?安徽合肥?高一統考期末)若關于x的不等式產+px+q<。的解集為儂2<%<3},

則關于x的不等式駕黑>。的解集是()

X—Z.X—O

A.(2,3)B.(-oo,-2)U(4,+oo)

C.(—2,2)U(3,4)D.(—8,—2)U(2,3)U(4,+oo)

【答案】D

【分析】根據關于X的不等式/+px+q<0的解集為{工|2<%<3},利用韋達定理得到p=-5,q=6,則

等式爭號>。轉化為言二>0再利用穿根法求解.

x2-2x-8x2-2x-8

【詳解】因為關于x的不等式/+px+q<。的解集為{x[2<x<3},

所以由韋達定理得：p=-5,q=6,

sx2+px+qX2-5X+6

所m以l%2_2%-8>0,即為>0,

X2-2X-8

即為容盥言>°，即為0-2)0-3)0-4)(X+2)>0

(1X-1%十Z)

用穿根法得不等式的解集為：（-8,-2）U（2,3）U（4,+00）,

故選：D

【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解集的應用以及穿根法求高次不等式，屬于中檔題.

【變式8-1】1.（多選）（2023秋?遼寧葫蘆島?高一校考期末）已知函數y=ax2+bx-3,則下列結論正

確的是（）

A.關于x的不等式a/+.一3<0的解集可以是（%|x>-3}

B.關于%的不等式a/+b%一3V0的解集可以是{%|%>2或％<1}

C.函數y=ax2+bx-3的圖象與%軸有一個交點時，必有廣+12a=0

D.”關于久的方程a/+-3=0有一個正根和一個負根”的充要條件是"a>0

【答案】ABD

【分析】根據不等式的解集求出參數的值，即可判斷A、B,利用特殊值判斷C,根據根的分布、充要條件

的定義可判斷D.

【詳解】對于A：若關于%的不等式a/+b久-3<0的解集是{x|x>-3},

貝！］a=0且一36-3=0,得b=—1

當a=0,6=—1時，不等式a/+bx—3<0,即一x-3<0,解得x>-3,符合題意,故A正確；

對于B：若關于x的不等式a/+匕久一3<。的解集是{x|%>2或x<1},

a+b-3=0CL=--3

2

則a<。且1、2為方程a/+力％_3=0的兩根，所以4a+2b-3=0,解得9，故B正確;

b=-

a<02

對于C：當a=0,bW。時函數y=ax2+bx-3的圖象與%軸有一個交點，此時廣+12a>0,故C錯誤；

（a0

對于D：若關于%的方程a/+卜％_3=。有一個正根和一個負根，貝“<0/解得。>0,

【a

若a>0,貝必=b2+12a>0,故關于%的方程a/+歷；-3=0有兩個不等的實根%口不，

且%62=-5V0，即關于%的方程a/+力％-3=0有一個正根和一個負根.

因此〃關于%的方程a/+bx-3=0有一個正根和一個負根〃的充要條件是%>0〃，故D正確.

故選：ABD.

【變式8-1]2.（多選）（2023秋?河南鄭州?高一鄭州市第四十七高級中學校考期末）已知關于%的不等式

ax2+hx+c>0解集為｛%Ix<-3或%>4],則下列結論正確的有（）

A.a>0

B.不等式b%+c>。的解集為｛%I%<-6｝

C.a+b+c>0

D.不等式c/一匕％+0v0的解集為｛%|久<一]或%>

【答案】AD

【分析】根據不等式a/+hx+c>0解集為｛%[%<-3或%>4]，可判斷a的正負，確定-3,4是a/+力％+

c=0的兩根，從而求出二，a，由此一判斷每個選項，可得答案.

【詳解】關于%的不等式a%?+b%+c>o解集為｛%?x<一3或%>4]z

結合二次函數y=a/+族+°和一元二次方程以2+bx+c=。以及不等式的關系，

可得a>0,且一3,4是a/+fox+c=0的兩根，A正確；

h

-3+4=—（卜__n

則J,故｛J1;,

-3x4=-9=-12a

a

所以b%+c>0即—a%—12a>0,x<-12,即b%+c>0的解集