2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓壓軸解答題練習(xí)題

—.解答題(共25小題)

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的半徑為2,對(duì)于點(diǎn)尸，。和O。的弦A3,給出如下定義：若弦A2上

存在點(diǎn)C,使得點(diǎn)尸繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與點(diǎn)Q重合，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)尸關(guān)于弦的“等邊旋轉(zhuǎn)

點(diǎn)”.

(1)如圖，點(diǎn)尸(-2,0),直線尤=1與。O交于點(diǎn)A,B.

①點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)B(填“是”或“不是”)點(diǎn)P關(guān)于弦AB的“等

邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”；

②若點(diǎn)P關(guān)于弦AB的”等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”為點(diǎn)Q,則PQ的最小值為,當(dāng)PQ與O。相切時(shí)，點(diǎn)

Q的坐標(biāo)為；

(2)已知點(diǎn)D(f,0),￡(-1,0),若對(duì)于線段OE上的每一點(diǎn)都存在的長(zhǎng)為2遮的弦G8,

使得點(diǎn)M是點(diǎn)。關(guān)于弦GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，直接寫出f的取值范圍.

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,對(duì)于的弦AB和不在直線4B上的點(diǎn)C,給出如下定

義：若/ACB=a,且點(diǎn)C關(guān)于弦A8的中點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)在O。上或其內(nèi)部，則稱點(diǎn)C為弦AB的“a

關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(1)已知點(diǎn)4(—2，孚)，B(l,0).

①在點(diǎn)C1(—1,一1),。2(2,0),C3(0,遮)中，點(diǎn)是弦的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，其中a=.

②若直線y=-岳+6上存在A8的“60°關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則b的取值范圍是；

(2)若點(diǎn)C是A3的“60°關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，且。。=聲，直接寫出弦AB的最大值和最小值.

備用圖

3.(1)如圖1,在扇形A08中，點(diǎn)。為扇形所在圓的圓心，AO=2V3,NAO3=120°,點(diǎn)C是獨(dú)上一

點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為；

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AB^AD,ZBAD=ZBCD^9Q°,連接AC.若AC=6,求四邊形

ABCD的面積；

(3)如圖3,菱形A8CZ)是一個(gè)廣場(chǎng)示意圖，其中菱形邊長(zhǎng)為120米，ZA=60°,市政部門準(zhǔn)備

在這塊菱形廣場(chǎng)中修建一個(gè)四邊形景觀區(qū)DEBF,這塊四邊形區(qū)域需要滿足BE=BF,/EBF=60°,

/EDF=75°,則這塊四邊形區(qū)域。的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)計(jì)算出面積的最小值及此

時(shí)線段BF的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.(結(jié)果保留根號(hào))

4.(1)課本再現(xiàn)：如圖1,PA,尸2是O。的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.則圖中的B4與尸8,ZAPO

與N3P。有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

(2)知識(shí)應(yīng)用：如圖，PN、PD、DE分別與相切于點(diǎn)A、B、C,且DE〃PN,連接OP,延

長(zhǎng)PO交0O于點(diǎn)交DE于點(diǎn)E,過點(diǎn)、M作MN〃OD交PN于N.

①求證：是。。的切線；

②當(dāng)OD=3cm,OP=4c機(jī)時(shí)，求。。的半徑及圖中陰影部分的面積.

DCE

圖1

5.如圖1,在正方形A8CD中，AB=8,點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，以點(diǎn)。為圓心，作半徑長(zhǎng)為5的半圓。交

A8于點(diǎn)E,交43的延長(zhǎng)線于點(diǎn)足點(diǎn)M,N是弧EF的三等分點(diǎn)(點(diǎn)〃在點(diǎn)N的左側(cè)).將半圓。繞

點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a(90°),旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P.

圖2備用圖

當(dāng)EF'經(jīng)過點(diǎn)N時(shí).

①求a的度數(shù)；并求硒的長(zhǎng)；

②連接FP,求FP與前的長(zhǎng)度，并比較大小；(遍取1.7,口取3)

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，若半圓。與正方形ABCD的邊相切，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到切點(diǎn)的距離.

6.如圖是由小正方形組成的6X6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，。。經(jīng)過A,B,C三個(gè)格點(diǎn).僅

用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

(1)在圖(1)中畫我的中點(diǎn)。；

(2)如圖(2),延長(zhǎng)8A至格點(diǎn)P處，連接CE

①直接寫出/尸的度數(shù)，/F=(度)；

②尸為C尸上一點(diǎn)，連接BP,將PB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到QB,畫出線段并簡(jiǎn)要說明.

7.定義：對(duì)于凸四邊形，對(duì)角線相等的四邊形稱為“等對(duì)”四邊形，對(duì)角線垂直的四邊形稱為“垂對(duì)”

四邊形.

(1)請(qǐng)你判斷下列說法是否正確(在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

①平行四邊形一定不是“等對(duì)"四邊形；

②“垂對(duì)”四邊形的面積等于其對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的一半；

③順次連接“等對(duì)"四邊形四邊中點(diǎn)而成的四邊形是“垂對(duì)"四邊形；

(2)如圖1,已知四邊形ABC。(ADWBC)既是“等對(duì)”四邊形，又是“垂對(duì)”四邊形，且四邊形的

四個(gè)頂點(diǎn)都在O。上，連接四邊形的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)P.

①記△&1)「，ABCP,四邊形ABCD的面積分別為Si,S2,S,求證：小=店+&；

②如圖2,點(diǎn)M為A8的中點(diǎn)，連接MP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)N,若AO+8C=機(jī)，MN=n,求。。的半徑

(用含m,n的式子表示).

圖1圖2

8.我們?cè)诎四昙?jí)上冊(cè)曾經(jīng)探索：把一個(gè)直立的火柴盒放倒(如圖1),通過對(duì)梯形ABC。面積的不同方法

計(jì)算，來驗(yàn)證勾股定理.a、b、c分別是RtA4BE和Rt/XCOE的邊長(zhǎng)，易知力。=&c,這時(shí)我們把關(guān)

于x的形如a/+V2cx+b=0的一元二次方程稱為“勾氏方程”.

請(qǐng)解決下列問題：

(1)方程X2+2X+1=0(填“是”或“不是”)“勾氏方程”；

(2)求證：關(guān)于x的“勾氏方程"a/+V2cx+b=0必有實(shí)數(shù)根；

(3)如圖2,OO的半徑為10,AB.CD是位于圓心。異側(cè)的兩條平行弦，AB=2m,CD=2n,m^n.若

關(guān)于x的方程+io近X+n=o是“勾氏方程"，連接。〃，OB,求的度數(shù).

9.課本再現(xiàn)

(1)在圓周角和圓心角的學(xué)習(xí)中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).課本中先從四邊形一條對(duì)

角線為直徑的特殊情況來論證其正確性，再?gòu)膶?duì)角線是非直徑的一般情形進(jìn)一步論證其正確性，這種數(shù)

學(xué)思維方法稱為“由特殊到一般”

如圖1,四邊形ABCO為。。的內(nèi)接四邊形，AC為直徑，則度，ZBAD+ZBCD

=度.

(2)如果的內(nèi)接四邊形A3。的對(duì)角線AC不是。。的直徑，如圖2、圖3,請(qǐng)選擇一個(gè)圖形證明：

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

知識(shí)運(yùn)用

(3)如圖4,等腰三角形ABC的腰AB是。。的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點(diǎn)。，E.點(diǎn),F

是線段CE的中點(diǎn)，連接。F,求證：。尸是。。的切線.

10.［模型建立］

如圖①、②，點(diǎn)尸分別在。。外、在內(nèi)，直線尸。分別交。。于點(diǎn)A、B,則也是點(diǎn)尸到上的

點(diǎn)的最短距離，尸3是點(diǎn)P到OO上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離.

請(qǐng)就圖①中EB為何最長(zhǎng)進(jìn)行證明.

［初步應(yīng)用］

(1)已知點(diǎn)尸到。。上的點(diǎn)的最短距離為3,最長(zhǎng)距離為7.則。。的半徑為.

(2)如圖③，在△ABC中，/C=90°,AC=8,BC=6.點(diǎn)￡在邊BC上，且CE=2,動(dòng)點(diǎn)尸在半徑

為2的上，則AP的最小值是.

［拓展延伸］

如圖，A8為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，其中A8=4,ZAOC=120°,尸為上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP,

取AP中點(diǎn)Q,連接CQ,則線段CQ的最大值為

11.4B為。。的直徑，BC為。。的弦，AB=y[2BC.

(1)如圖1,求證：AC=BC-,

(2)如圖2,AD,AE為。。的弦，交于點(diǎn)孔連接EF,OGLAE,點(diǎn)G為垂足，過G作EF

的平行線交AF于點(diǎn)打，求證：AH=HF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CO交A尸于點(diǎn)P,點(diǎn)。在49上，連接尸。交OC于點(diǎn)/,連接

HI,FQ+QO=OB,PC=8,BQ=23,求H/的長(zhǎng).

12.如圖1,在銳角△ABC中，AB=AC,是△4BC的外接圓，連結(jié)80并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D,交。。

于點(diǎn)G,設(shè)/BAC=a.

圖1圖2備用圖

(1)填空：當(dāng)a=20°時(shí)，則/BOC=.

(2)如圖2,當(dāng)0°<a<60°時(shí)，在BG左側(cè)圓弧上取點(diǎn)E,使蹄=就,連結(jié)AE,DE,EG,設(shè)EG

與AC交于點(diǎn)F.

①求證：EG平分/AED.

②若△EDG的一邊與平行，且AP=1,求。E的長(zhǎng).

13.如圖1,C,。是半圓ACB上的兩點(diǎn)，若直徑4B上存在一點(diǎn)P,滿足則稱/CP。

是弧C。的“幸運(yùn)角”.

(1)如圖2,AB是。。的直徑，弦CELAB,。是弧BC上的一點(diǎn)，連接DE交AB于點(diǎn)P,連接CP.

①/CP。是弧C。的“幸運(yùn)角”嗎？請(qǐng)說明理由;

②設(shè)弧CD的度數(shù)為n,請(qǐng)用含n的式子表示弧CD的“幸運(yùn)角”度數(shù);

求CE的長(zhǎng).

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)TG,0),。7的半徑為1,它的一條弦MN作兩次變換：關(guān)于點(diǎn)

M作中心對(duì)稱后得到線段MP,關(guān)于點(diǎn)N作中心對(duì)稱后得到線段NQ.我們稱點(diǎn)尸、。為OT的對(duì)稱點(diǎn),

稱線段尸。為OT的對(duì)稱弦.

(1)如圖，點(diǎn)A,B,C,。的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

①在線段AB,AD,CB,C。中，。。的對(duì)稱弦是

②若線段AC上的點(diǎn)都是的對(duì)稱點(diǎn)，求f的取值范圍;

(2)若O。的對(duì)稱弦PQ過點(diǎn)(1,0),直線y=Wx+b與線段PQ有公共點(diǎn)，b的取值范圍

是

yjkyk

15.數(shù)學(xué)課上，小明同學(xué)遇到了這樣的一個(gè)問題：如圖，點(diǎn)A、B、C、。在。。上，連結(jié)A8,AD,BC,

CD,AC為O。的一條直徑，過點(diǎn)A作2。交2D于點(diǎn)E.設(shè)NAOE=a.

【證明】老師說：利用所學(xué)習(xí)的“圓的知識(shí)”可以證明△ABES△Ac。，請(qǐng)你幫助小明網(wǎng)學(xué)完成，4ABE

s/\ACD的證明過程.

【應(yīng)用】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，利用△ABEs△ACD可以解決如下問題：

①若:"BE=’，貝!1Sina=；

SACD9

Q

②若A￡>=5,C￡?=10,sina=|,則BD的長(zhǎng)為.

備用圖

16.如圖，4B是。。的直徑，AB=8,點(diǎn)C在直徑A8上運(yùn)動(dòng)，PCLAB,垂足為C,PC=5,在PC右側(cè)

作O。的切線PT，切點(diǎn)為T,連接尸。.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，連接2T.

①求證：B4=PT；

②直接寫出此時(shí)尸。與BT的位置關(guān)系(不說理由)；

(2)設(shè)線段。尸與O。交于點(diǎn)。，如圖2,當(dāng)47=4-夕時(shí)，求劣弧凹的長(zhǎng)；

(3)直接寫出PT長(zhǎng)的最小值.

17.在矩形ABCD中，AB=3,AO=4,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上向點(diǎn)B以每秒2cm的速度移動(dòng),

以點(diǎn)P為圓心，為半徑作。P.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.解答下列問題:

(1)如圖1,當(dāng)0P過點(diǎn)。時(shí)，求時(shí)間/的值.

(2)如圖2,若在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在f的值，使得OP與直線AC相切？若存在，求出f的值；若

不存在，請(qǐng)說明理由;

(3)如圖3,當(dāng)。尸與直線AO相切時(shí)，切點(diǎn)為E,T為弧BE上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)T作。P的切線分

別交AB,4。于點(diǎn)M,N,設(shè)長(zhǎng)度為無.

PT

119

②記AAMN的面積為Si,APMN的面積為S2,當(dāng)一+---=一時(shí)，求x的值.

S12s28

圖2圖3

互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點(diǎn)叫做等垂點(diǎn).

(1)如圖1,AB,AC是。。的等垂弦，OE_LAC垂足分別為。，E.

求證：四邊形AOOE是正方形;

(2)如圖2,AB是。。的弦，作。。J_OA,OCJ_O8分別交。。于。，C兩點(diǎn)，連接CD分別交A3、

與點(diǎn)M、點(diǎn)E.

求證：AB,CZ)是。。的等垂弦；

(3)已知。。的直徑為10,AB.C。是。。的等垂弦，P為等垂點(diǎn).若AP=3BP求A8的長(zhǎng).

19.如圖1,以A8為直徑的。。與△ABC的邊BC交于點(diǎn)。，/CAD=NABC,點(diǎn)M是直徑A3下方半圓

上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AM,DM.DM交AB于點(diǎn)P.

(1)若A8=4,BC=2V6,求tanM；

(2)①記△AC。的面積為S^ACD,^ABD的面積為SAABD,若S—CD：S“ABD=$00的半徑為遙.求

線段CD的長(zhǎng)；

②如圖2,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到恰好使得P為DM的中點(diǎn)時(shí)，ZABC的角平分線交DM于點(diǎn)E,交于

一,DEDF-

點(diǎn)、F,求丁+二的值；

DPAD

(3)如圖3,連接記△APD的面積為Si,的面積為S2,四邊形的面積為S,若滿

足遮=6+/用,試判斷四邊形的形狀，并說明理由.

圖1圖2圖3

20.【問題提出】

(1)如圖1,在四邊形ABCD中，連接AC,BD,若48=AC=A￡>,ZBAC=50°,則/BOC的度數(shù)

為°；(提不：以點(diǎn)A為圓心，A8為半徑作OA)

【問題解決】

(2)如圖2,在矩形A3CD中，已知AB=3,BC=4,點(diǎn)尸是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)尸不與2,C重合)，

連接AP,作點(diǎn)8關(guān)于直線A尸的對(duì)稱點(diǎn)連接MC,求線段MC的最小值；

【實(shí)踐應(yīng)用】

(3)如圖3,有一塊形狀為等腰直角三角形的空地AC。，ZCA￡)=90°,在空地旁邊有一條與CO邊

平行的小路。，小路。經(jīng)過點(diǎn)A,現(xiàn)計(jì)劃在小路a上找一點(diǎn)在D4的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)P,沿著8C,

2尸修兩條水渠,同時(shí)保證NCBP=90°,當(dāng)BP=50魚米，A￡>=80米時(shí)，求兩條水渠的交匯點(diǎn)2到A

的距離.

B

圖1圖2圖3

21.【問題情境】

(1)如圖1,圓與大正方形的各邊都相切,小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方

形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°(如圖2),這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方

形面積的倍.由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略;

圖1圖2

【操作實(shí)踐】

(2)如圖3,圖①是一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系.小昕按

所示步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4.請(qǐng)你結(jié)合整個(gè)變化過程，直接寫出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)

尸為端點(diǎn)的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系；

圖3圖4

【探究應(yīng)用】

(3)如圖5,在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小昕將△PDC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中/IMP

存在最大值.若PE=8,PF=5,當(dāng)/D4P最大時(shí)，求的長(zhǎng)；

22.如圖，以AB為直徑作OO,C為。。上一點(diǎn)，ZX。。尸父△ABC,。。與BC交于點(diǎn)G,AC=6,8C=8.

(1)如圖1,當(dāng)OP經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，PC=.

(2)在(1)的條件下，求證：BG=CG.

(3)如圖2,將△OQP從圖1的位置開始繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(。尸與重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng))，0P與BC

交于點(diǎn)H,設(shè)尸。的中點(diǎn)M到BC的距離為d.

①當(dāng)。尸_LA8時(shí)，求的長(zhǎng)；

②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中d的最大值.

23.已知，四邊形ABC。內(nèi)接于詼=皿，點(diǎn)T在BC的延長(zhǎng)線上.

(1)如圖1,求證：CD平分/ACT；

(2)如圖2,若AC是。。的直徑，BE平分NABC交CD延長(zhǎng)線于E,交。。于F,連接AE,AF,

DF.

①求/AED的度數(shù)；

_CZ)525

②若△￡＞所的面積等于工，求AC的長(zhǎng).

AB89

E

A

圖1圖2

24.在△ABC中，ZACB=90°，AC=3,BC=4,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)。，使CZ）=1,P是BC邊上一點(diǎn)（不與

點(diǎn)、B,C重合）.點(diǎn)Q在射線8A上，PQ=BP,以點(diǎn)尸為圓心，尸。的長(zhǎng)為半徑作。尸，交AC于點(diǎn)E,

連接尸。，設(shè)尸C=x.

（DABBD（填“<'*'="或">"），如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在OP上時(shí),x的值為

（2）如圖2,當(dāng)C為尸。中點(diǎn)時(shí)，連接PE,求扇形。尸E的面積.

CD

（3）如圖3,當(dāng)。尸與42相切時(shí)，求:7的值.

下面是博學(xué)小組研究性學(xué)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù).

關(guān)于“等邊半正多邊形”的研究報(bào)告博學(xué)小組

研究對(duì)象：等邊半正多邊形

研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念一性質(zhì)一判定”的路徑，由一般到特殊進(jìn)行

研究.

研究方法：觀察（測(cè)量、實(shí)驗(yàn)）一猜想一推理證明

研究?jī)?nèi)容：

【一般概念】對(duì)于一個(gè)凸多邊形（邊數(shù)為偶數(shù)），若其各邊都相等，且相間的角相等、

相鄰的角不相等，我們稱這個(gè)凸多邊形為等邊半正多邊形.如圖①，我們學(xué)習(xí)過的菱形

(正方形除外)就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊

形……

【特例研究】根據(jù)等邊半正多邊形的定義，對(duì)等邊半正六邊形研究如下：

概念理解：如圖②，如果六邊形ABCZJEF是等邊半正六邊形，那么

=EF=FA,NB=ND=NF,且NAWNB.

A

上

D

圖2性質(zhì)探索：根據(jù)定義，探索等邊半正六邊形的性

內(nèi)角：等邊半正六邊形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和為__________°.

對(duì)角線：...

任務(wù)：

(1)直接寫出研究報(bào)告中處空缺的內(nèi)容：;

(2)如圖③，六邊形A8COEF是等邊半正六邊形.連接對(duì)角線A。，猜想NBA。與/胡。的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；

(3)如圖④，已知△ACE是正三角形，。。是它的外接圓.請(qǐng)?jiān)趫D4中作一個(gè)等邊半正六邊形ABCZJEF

(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法).

圖3

參考答案與試題解析

解答題(共25小題)

1.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，。。的半徑為2,對(duì)于點(diǎn)P,。和的弦給出如下定義：若弦AB上

存在點(diǎn)C,使得點(diǎn)P繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與點(diǎn)。重合，則稱點(diǎn)。是點(diǎn)P關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)

點(diǎn)”.

(1)如圖，點(diǎn)尸(-2,0),直線x=l與。。交于點(diǎn)A,B.

①點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,V3)_，點(diǎn)B是(填“是”或“不是”)點(diǎn)尸關(guān)于弦的“等邊旋轉(zhuǎn)

點(diǎn)”；

②若點(diǎn)P關(guān)于弦AB的”等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”為點(diǎn)Q,則PQ的最小值為3,當(dāng)PQ與。。相切時(shí)，點(diǎn)Q

的坐標(biāo)為(-2,-2V3)；

(2)已知點(diǎn)。0),E(-1,0),若對(duì)于線段OE上的每一點(diǎn)M,都存在。。的長(zhǎng)為2百的弦G”，

使得點(diǎn)M是點(diǎn)D關(guān)于弦GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍.

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】新定義；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推

理能力.

【答案】(1)①(1,—V3),是；

②3,(-2,-2^3)；

(2)-2W/W—竽或10W”一.

【分析】(1)①連接04,OB,設(shè)交x軸于點(diǎn)C,可求得/AOB=2/AOC=120°,AC=BC=V3,

進(jìn)一步得出結(jié)果；

②將PB繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至尸夕，可得出48'上點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)"，當(dāng)PQ_L

AB'Ht,PQ最小，當(dāng)尸。與（DO相切時(shí)，點(diǎn)。在夕處，進(jìn)一步得出結(jié)果；

（2）將點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得。'，則點(diǎn)。'在直線y=后上，對(duì)于線段OE上的每一點(diǎn)點(diǎn)M

是點(diǎn)。關(guān)于GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”需要滿足在以。'為圓心，半徑為1和半徑為2形成的圓環(huán)覆蓋OM,

分類：當(dāng)半徑為2的圓過點(diǎn)0時(shí)；當(dāng)半徑為1的OO'與OD相切時(shí)，作軸于H,則

8=1；當(dāng)半徑為1的。與x軸相切時(shí)，OD=O，。=1；當(dāng)半徑為2的O。'過點(diǎn)E時(shí)，連接O'E,

作。于E則。'E=2,分別求得f的值，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【解答】解：（1）①如圖1,

連接。4,OB,設(shè)A8交x軸于點(diǎn)C,

nr1

?.,A5_Lx軸，cosNAOC=初=a，

ZAOC=60°,

?：OA=OB,

：.ZAOB=2ZAOC=120°,AC=BC=OB^sinZAOC=2?cos60°=V3,

-1

：.ZP=^AOB=60°,AP=BP,B（1,一遮），

△ABP是等邊三角形，

.?.點(diǎn)B是點(diǎn)尸關(guān)于弦AB的”等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

故答案為：（1,—\/3）,是；

②如圖2,

圖2

將PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至PB',

:.點(diǎn)、B'是點(diǎn)尸關(guān)于弦A8的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”,

,/點(diǎn)B是點(diǎn)尸關(guān)于弦AB的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

：.AB'上點(diǎn)是點(diǎn)尸關(guān)于A3的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

.?.當(dāng)時(shí)，PQ最小=苧尸8=苧48=^x2遮=3,

MPBB'是等邊三角形,

：.ZBPB'=60°,

VZPBO=30°,

：.ZB'PO=90°,

：.B'PLOP,

：.B'P是O。的切線，

當(dāng)尸。與o。相切時(shí)，點(diǎn)。在夕處,

：.Q(-2,-2V3),

故答案為：3,(-2,-2V3)；

(2)如圖3-1,

yjk

圖3—1

將點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得O',則點(diǎn)。'在直線y=島上，

對(duì)于線段。￡上的每一點(diǎn)點(diǎn)M是點(diǎn)。關(guān)于GH的“等邊旋轉(zhuǎn)點(diǎn)”需要滿足在以。'為圓心，半徑

為1和半徑為2形成的圓環(huán)覆蓋OM,

當(dāng)半徑為2的圓過點(diǎn)。時(shí)，

?.?△OO'。是等邊三角形，

：.OD=O'D=2,此時(shí)f=-2,

如圖3-2,

圖3—2

當(dāng)半徑為1的與。。相切時(shí)，作O'軸于H,則O'H=l,

：.OH=^-O'H=學(xué)

：.OD=2OH=受,

此時(shí)仁-苧，

如圖3-3,

當(dāng)半徑為1的。。與x軸相切時(shí)，OD=O'0=1,

此時(shí)t=1,

圖3—4

當(dāng)半徑為2的。0，過點(diǎn)E時(shí)，連接0,E,作0尸，。E于尸，則O'E=2,

設(shè)0/=尸。=4,貝Uo'F=V3a,EF=l+a,

'：ZO'FE=90°,

:.o'F2+EF1=O'序，

(V3a)2+(1+a)2=22,

?V13-1—tx—V13_1z\

.?〃=-3—或〃=1(舍去)，

4,4

：.0D=2a="T，

?..1YW寫1,

綜上所述：-2W右一竽或1<r<"T.

【點(diǎn)評(píng)】本題在新定義的基礎(chǔ)上，考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵根據(jù)定義作旋轉(zhuǎn)的輔助線.

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O。的半徑為1,對(duì)于O。的弦48和不在直線AB上的點(diǎn)C,給出如下定

義：若/ACB=a,且點(diǎn)C關(guān)于弦AB的中點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)在O。上或其內(nèi)部，則稱點(diǎn)C為弦AB的“a

關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(1)已知點(diǎn)4(—-^)>B(1,0).

①在點(diǎn)C1(—1,-1),金(2,0),。3(。，8)中，點(diǎn)C3是弦48的關(guān)聯(lián)點(diǎn),其中a=60°.

②若直線產(chǎn)-V3x+b上存在AB的“60°關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則b的取值范圍是0<fe<2+V3；

(2)若點(diǎn)C是48的“60°關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，且。。=次，直接寫出弦48的最大值和最小值.

備用圖

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】新定義；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推

理能力.

【答案】（1）①C3,60°；

②0C6W2+W；

（2）AB最小=1,AB最大=

【分析】（1）①畫出圖形，直觀判定；

②作等邊三角形ABC,作△ABC的外接圓，當(dāng)直線/：y=與。/相切于點(diǎn)E時(shí)，連接AC3,連

接/￡,作于凡設(shè)/交y軸于點(diǎn)。，則的半徑為花=1,可得/OC3/=NOAC3=60°,

AC3〃直線/,進(jìn)一步得出結(jié)果；

（2）當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，A8最小，此時(shí)。CLA8,設(shè)。C交于在Rt/VlO。根據(jù)勾股定

理列出方程，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)/CA8=90°時(shí)，4B最大，作。。_LA8于作。E_LAC于E,設(shè)

AC=2x,AE=OB=y,則AB=小1AC=2A/3X,OD=B久在RtAAOD和RtZ\COE中，根據(jù)勾股定理列

出方程組，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【解答】解：（1）①如圖1,

yjk

圖i

點(diǎn)Ci和C2關(guān)于A8的中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在O。外，

'?*C3'（1——0>0+-V3）,即（1,—）,

2222

???（|）2+（字）2=1,

...點(diǎn)C3’在圓上，

.?.點(diǎn)C是弦AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

../,z-tc1A/3^

?tanZAC（?=—--=/，

九一力3

ZACO=60°,

同理可得：ZBCO=30°,

???NAC8=60°,

故答案為：Q,60°；

作等邊三角形ABC,作△ABC的外接圓,

當(dāng)直線Z：y=Tx+b與。/相切于點(diǎn)E時(shí)，連接ACs,連接IE,作CiFLDE于R設(shè)/交y軸于點(diǎn)D,

則。/的半徑為/E=l,可得/”73/=/。4。3=60°,AC3〃直線/,

：.C3F=IE=1,

.,.OC3=2C3f'=2,

：.b=OC?,+CE=2+43,

當(dāng)直線y=-遮乂+6過點(diǎn)B時(shí)，6=0,

：.G〈bW2+也;

(2)如圖3,

當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，最小，此時(shí)OC_L4B,設(shè)0c交AB于D

：.AD=BD=%B,NACD=NBCD=^Z.ACB=30°,

?.CD=WAD,

在RtAAOD中,

'."AEr+ODr^OA1,

：.0D2+(V3-V3XD)2=l2,

：.AD=I，

：.AB=l,

如圖4,

當(dāng)NC4B=90°時(shí)，AB最大，

作0。J_AB于D,作OEJ_AC于E,

設(shè)AC=2x,AE=OB=y,則AB=小1AC=2百x,OD=V3x

在RtAAOD和RtACOE中，

由OEr+AD1=OA2,C^+OEr=0C2得,

)2+y2—l2

)2+(2x+y)2=(V3)2

1

X-

-2

1

y-

-2

A3AB

勤

最大-V3

b=

【點(diǎn)評(píng)】本題在新定義的基礎(chǔ)上，考查了直線和圓，圓與圓位置關(guān)系，圓周角定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾

股定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置.

3.(1)如圖1,在扇形中，點(diǎn)。為扇形所在圓的圓心，AO=2A/3,NAOB=120°,點(diǎn)C是而上一

點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為_3舊_;

(2)如圖2,在四邊形A8CD中，AB^AD,/BAD=/BCD=90°,連接AC.若AC=6,求四邊形

ABCD的面積；

(3)如圖3,菱形A8CD是一個(gè)廣場(chǎng)示意圖，其中菱形邊長(zhǎng)為120米，ZA=60°,市政部門準(zhǔn)備

在這塊菱形廣場(chǎng)中修建一個(gè)四邊形景觀區(qū)。加R這塊四邊形區(qū)域需要滿足NEBF=60°,

/EDF=I5。，則這塊四邊形區(qū)域。防廠的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)計(jì)算出面積的最小值及此

時(shí)線段8尸的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.(結(jié)果保留根號(hào))

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)3V3；

(2)18；

(3)四邊形DEBF的最小值為(3600次一3600a+3600)m2,BF=(60\/3-60V2+60)m.

1

【分析】(1)過。作OHLAB于H,延長(zhǎng)。/交扇形AOB于D根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NAO8=/

ZAOB=x120°=60。，OH=^OA=V3,根據(jù)勾股定理得到AH=y/OA2-OH2=3,求得AB=2.AH

=6,得到。H=2必一舊=舊，當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，AABC的面積最大，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)。重

合時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，于是得到結(jié)論；

(2)將△ACZ)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE,說明/ABE+/A8C=180°,則點(diǎn)E、B、C三點(diǎn)

共線，得四邊形ABCD的面積=S?CE=18；

(3)連接CF,2。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BD=BC,ZZ)BC=60°,根據(jù)全等三角形的判定定

理得到(SAS),得至！JSADEBFMSAEBD+SABDFMSABFC+SZXBDF,求得NZ)FC=135°,作^

。尸C的外接圓，圓心為。，連接0。，OC,OF,得至!JO￡)=OP=OC=60&c?t,過。作OALLOC于N,

交O。于聲，過廠作FMLCD于M,過。作OHLFM于H,由FO^HF,四邊形是矩形，F(xiàn)'

O=FO,得到F'O—HF,F'O-ON^FH-MH,推出F'N^FM,當(dāng)F與P重合時(shí)，F(xiàn)M最大為F'

N,求得PN=(60V2-60)m,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)過。作。H_LA8于H,延長(zhǎng)。H交扇形AQB于。，

D

：AO=BO=2A/I,

11

ZAOH=^ZAOB=x120°=60°,

OH=^OA=V3,

：.AH^>JOA2-OH2=3,

：.AB=2AH=6,

.?.DH=2V3-V3=V3,

當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，

，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，

**?S^ACB=那B，DH=x6xV3=3百；

即△ABC面積的最大值是3V3；

故答案為：3v5；

(2)如圖，將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A3E,

ZADC=ZABE,AC=AEfZEAC=90°,

'：ZBAD=ZDCB=90°,

ZADC+ZABC=180°,

AZABE+ZABC=180°,

.?.點(diǎn)E、B、C三點(diǎn)共線，

/./XACE是等腰直角三角形，

，四邊形ABCD的面積=SMCE=/X6X6=18；

(3)連接CKBD,

,四邊形ABCD是菱形，44=60°,

△DBC是等邊三角形，

：.BD=BC,Z￡)BC=60°,

VZEBF=60°,BE=BF,

:./EBD=NFBC,

:.LEBD沿AFBC(SAS),

SADEBF—S&EBD+SABDF=S&BFC+SABDF,

■:NEDF=15°,

AZE+ZDFB=36Q°-60°-75°=225°,

AZBFC+ZDFB=225°,

：.ZDFC=135°,

作△。尸C的外接圓，圓心為O,連接O。，OC,OF,

VZDFC=135",OC^120m,

：.ZDOC^90°,

：.OD=OF=OC=60V2cm,

過。作ON1.OC于N,交。。于「，過/作FMl.Cf)于過。作O”_LFAf于H,

,：FO^HF,四邊形MNOH是矩形，F(xiàn)'O=FO,

：.F'ONHF,F'O-ON^FH-MH,

：.F'N^FM,

.?.當(dāng)尸與聲重合時(shí)，F(xiàn)M最大為PN,

1

DN=NO=CN=20c=60(m),

：.F'N=(60V2-60)m,

2

：.SADFC的最大值=^DC'F'N=*X120X(60V2—60)=(360V2-360)tn,

:&BDF+SABFC的最大值=5.(7-SADFC=:X1202-(3600&-3600)=3600百-3600a+3600,

.??四邊形。防尸的最小值為(3600次—3600&+3600)nT,

此時(shí)，BF=60V3-F'N=60W—(60應(yīng)-60)=(60V3-60V2+60)m.

E

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等腰直角三角形是解決問題(3)的關(guān)鍵.

4.(1)課本再現(xiàn)：如圖1,PA,尸8是OO的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.則圖中的B4與尸8,ZAPO

與NB尸O有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

(2)知識(shí)應(yīng)用：如圖，PN、PD、OE分別與OO相切于點(diǎn)A、B、C,S.DE//PN,連接OZ)、OP,延

長(zhǎng)PO交。。于點(diǎn)M,交。E于點(diǎn)E,過點(diǎn)、M作MN〃OD交PN于N.

①求證：是O。的切線；

②當(dāng)OZ)=3c〃z,0P=4C?J時(shí)，求O。的半徑及圖中陰影部分的面積.

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)PA^PB,ZAPO=ZBPO；

(2)①證明見解析；

②。。的半徑是2.4cm圖中陰影部分的面積是(6-1.44-n)on2.

【分析】(1)連接04和08,根據(jù)切線的性質(zhì)，可得Rtz^AO尸之RtaBOP,即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)題意求證MN〃。。，即可得出MN_L0M,即可得出答案；

②根據(jù)4poo=*0P-。。=*PD-OB，求出。8的長(zhǎng)，再用三角形面積減去扇形面積即可得出答案.

【解答】(1)解：PA^PB,ZAPO=ZBPO；理由如下：

如圖1,連接。4和0B,

圖1

VB4和PB是O。的兩條切線，

：.OA±AP,OBIBP,

在RtAAOP和RtABOP中，

(OA=OB

top=OP'

.,.RtAAOP^RtABOP(HL),

：.PA=PB,/APO=NBPO；

(2)①證明：：PN、PD、OE分別與OO相切于點(diǎn)A、B、C,

：.OD,。尸分別平分/POE、ZDPN,

又,：DE//PN,

：.ZPDE+ZDPN^180°,

11

?"ODP+乙DPO=.(4PDE+乙DPN)=.x180°=90°,

：.ZPOD=90°.

：.0D±DE,

又,：MN〃0D,

：.MN,LOM,

又〈MN經(jīng)過半徑OM的外端點(diǎn)M,

???MN是。。的切線.

②解：連接OB,則05_LPQ,

：.PD=y/OD2+OP2=V32+42=5(cm),

一11

:?SAPOD=2OP?OD=qPD?OB,

PD

OB=0p^=2.4cm,

即O。的半徑為2.4cm.

i907rx2.42

:?S陰影=[x3x4--------250-----=(6—1.4471)cm2,

綜上所述：OO的半徑是2.4C",圖中陰影部分的面積是(6-1.44-rt)cm2.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓的綜合題，主要考查圓的切線的證明、扇形的面積計(jì)算等，解題的關(guān)鍵在于熟練掌

握?qǐng)A的知識(shí)點(diǎn)，切線的證明與性質(zhì)，圓中的相關(guān)面積計(jì)算等.

5.如圖1,在正方形ABC。中，AB=8,點(diǎn)。與點(diǎn)2重合，以點(diǎn)。為圓心，作半徑長(zhǎng)為5的半圓O,交

于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R點(diǎn)M,N是弧所的三等分點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).將半圓。繞

點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a(0°<aW90°),旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)廠的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)/.

備用圖

①求a的度數(shù)；并求EN的長(zhǎng);

②連接,求PF'與前的長(zhǎng)度，并比較大小；(百取1.7,TT取3)

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，若半圓。與正方形ABC。的邊相切，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到切點(diǎn)的距離.

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)①a=30°；EN=5V3；

57r

②FN的長(zhǎng)為w~；Fr=5V6-5V2；FF'＞前的長(zhǎng)度；

(2)VTF或VH或3.

【分析】⑴①連接BN,過點(diǎn)B作BUEN于點(diǎn)L則EN=2EL根據(jù)題意可得NNBF=1x180°=60°,

再由8E=BN,以及三角形外角的性質(zhì)，即可求解；

②根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出前的長(zhǎng)；過點(diǎn)尸'于點(diǎn)W,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得/'勿=*EF'=5,

從而得到EW=5V3,進(jìn)而得到WF=10-5V3,再由勾股定理可得尸產(chǎn)成=200—100V3?30,即可求

解；

(2)分類討論當(dāng)半圓。與CD、AD,AB相切的三種情況，畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖，根據(jù)切線的性質(zhì)即可

求解.

【解答】解：(1)①如圖2,連接BN,過點(diǎn)8作BCEN于點(diǎn)3貝IEN=2E3

:點(diǎn)M,