重難點突破04全等三角形與相似三角形

目錄

?題型特訓?精準提分

題型01旋轉中的全等模型

類型一對角互補模型

類型二對角互補且有一組鄰邊相等的半角模型

類型三手拉手旋轉模型

類型四中點旋轉模型

類型五通過旋轉構造三角形全等

題型02構造相似三角形解題

類型一做平行線構造“A”型相似

類型二做平行線構造“X”型相似

類型三作垂線構造直角三角形相似

類型四作垂線構造“三垂直”型相似

題型03與相似三角形有關的壓軸題

類型一運用相似三角形的性質與判定求點的坐標

類型二運用相似三角形的性質與判定求線段的最值

類型三利用相似三角形的判定和性質求“kAD+BD”型的最值（阿氏圓）

類型四相似中的“一線三等角”模型

類型五相似三角形與多邊形綜合

題型特訓-精準提分

題型01旋轉中的全等模型

類型一對角互補模型

1.（20-21八年級上.江蘇南京?階段練習）如圖，等腰直角三角形ABC中，NA4c=90。，AB=AC,點、M,N

在邊8C上，且/M4N=45。.若BM=1,CN=3,求MN的長.

2.（2021?黑龍江齊齊哈爾.中考真題）綜合與實踐

數學實踐活動，是一種非常有效的學習方式.通過活動可以激發我們的學習興趣，提高動手動腦能力，拓

展思推空間，豐富數學體驗.讓我們一起動手來折一折、轉一轉、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片ABC。折疊，使邊AB、AO都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF,連接ER

如圖1.

(1)AEAF=°,寫出圖中兩個等腰三角形:（不需要添加字母）;

轉一轉：將圖1中的NE4F繞點A旋轉，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q,連接尸。，如圖2.

（2）線段BP、PQ、。。之間的數量關系為；

（3）連接正方形對角線BD,若圖2中的NP4Q的邊4尸、A。分別交對角線8。于點M、點N.如圖3,則

CQ_

~BM-------------------；

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線8。剪開，如圖4.

11

（4）求證：BM2+DN2=MN2.

3.（2020?湖南湘西?中考真題）問題背景：如圖1,在四邊形4BCD中，/BAD=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

4ABC=120°,Z.MBN=60°,ZMBN繞B點旋轉，它的兩邊分另Ij交AD、DC于E、F.探究圖中線段4E,CF,

EF之間的數量關系.小李同學探究此問題的方法是：延長FC到G,使CG=4E,連接BG,先證明ABCG三

hBAE,再證明ABFC三ABFE,可得出結論，他的結論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形ABCD中，^BAD=90°,4BCD=90°,BA=BC,^ABC=2乙MBN,ZJWBN繞

B點旋轉，它的兩邊分別交2D、DC于E、F.上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”

或者“不成立”），不要說明理由.

探究延伸2：如圖3,在四邊形ZBCD中，BA=BC,^BAD+/.BCD=180°,乙ABC=2乙MBN,4MBN繞B

點旋轉，它的兩邊分別交2D、DC于E、F.上述結論是否仍然成立？并說明理由.

實際應用：如圖4,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30。的A處艦艇乙在指揮中心南

偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的

速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50。的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、

乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70。，試求此時兩艦艇之間的距離.

類型二對角互補且有一組鄰邊相等的半角模型

4.(2022?遼寧朝陽?中考真題)【思維探究】如圖1,在四邊形ABCZ)中，ZBAD^6Q°,ZBCZ)=120°,AB

=A。，連接AC.求證：BC+CD^AC.

圖1圖2

(1)小明的思路是：延長CD到點E,使。E=BC,連接AE.根據/BAZ)+N8CO=180。，推得/B+/AOC

=180。，從而得到/2=乙4￡比，然后證明"DE會AABC,從而可證BC+C￡)=AC,請你幫助小明寫出完整

的證明過程.

(2)【思維延伸】如圖2,四邊形A2C￡>中，NBAD=/BCD=90°,AB^AD,連接AC,猜想BC,CD,AC

之間的數量關系，并說明理由.

(3)【思維拓展】在四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD=*>,AC與8〃相交于點。若四邊

形A8CD中有一個內角是75。，請直接寫出線段。。的長.

5.(20-21九年級上?湖北武漢?階段練習)(1)問題背景.

如圖1,在四邊形2BCD中，AB=AD,NB+ND=180。，E、F分別是線段BC、線段C。上的點.若NB4D=

2^EAF,試探究線段BE、EF、FD之間的數量關系.

童威同學探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連接力G,先證明△ABE三△4DG.再證明△

AEF^^AGF,可得出結論，他的結論應是

(2)猜想論證.

如圖2,在四邊形力BCD中，AB=AD,ZB+^ADC=180°,E在線段BC上、尸在線段CD延長線上.若乙BAD=

2AEAF,上述結論是否依然成立？若成立說明理由；若不成立，試寫出相應的結論并給出你的證明.

(3)拓展應用.

如圖3,在四邊形A8DC中，4BDC=45°,連接BC、AD,AB-.AC-.BC=3:4:5,AD=4,S.^ABD+ZCBD=

180°.則△4CD的面積為.

圖3

6.(2020?河南南陽?模擬預測)6知四邊形4BCD中,AB1AD,BC1CD,AB=BC,^ABC=120°,上MBN=

60°,將NMBN繞點B旋轉，它的兩邊分別交邊a。、DC(或它們的延長線)于點E、F.

圖1圖2

(1)當乙MBN繞點B旋轉到4E=CF時(如圖1),

①求證：AABE=ACBF；

②求證：AE+CF=EF-,

(2)當乙MBN繞點8旋轉到如圖2所示的位置時，AECF,此時，(1)中的兩個結論是否還成立？請直

接回答.

類型三手拉手旋轉模型

7.(2022.山東濟南.中考真題)如圖1,△ABC是等邊三角形，點。在△ABC的內部，連接4。，將線段

繞點A按逆時針方向旋轉60。，得到線段AE,連接3。，DE,CE.

BC5(F)CBFC

圖1圖2圖3

(1)判斷線段8。與CE的數量關系并給出證明；

⑵延長ED交直線BC于點F.

①如圖2,當點尸與點8重合時，直接用等式表示線段AE,BE和CE的數量關系為；

②如圖3,當點P為線段BC中點，且EZ)=EC時，猜想NBA。的度數，并說明理由.

8.(2020?遼寧丹東?中考真題)已知：菱形4BCD和菱形AB'C'D',4BAD=^B'A'D',起始位置點4在邊

上，點B在49所在直線上，點B在點2的右側，點夕在點4的右側，連接力C和ACI將菱形4BCD以4為旋

轉中心逆時針旋轉a角(0。＜戊＜180。).

(1)如圖1,若點4與4重合，且NB4D==90。，求證：BB'=DD'；

D'C

(2)若點4與4不重合，M是4L上一點，當=時，連接BM和4C,BM和4c所在直線相交于點P；

①如圖2,當NB力D=NB7D=90。時，請猜想線段BM和線段&C的數量關系及NBPC的度數；

D'

②如圖3,當ABAD=乙n4。=60。時，請求出線段BM和線段4c的數量關系及N8PC的度數;

③在②的條件下，若點4與4B'的中點重合，A'B'=4,AB=2,在整個旋轉過程中，當點P與點M重合時，

請直接寫出線段的長.

9.(2022.河南駐馬店.三模)如圖1,△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，邊AB在射線上,且。4=9cm.點

。從。點出發，沿OM方向運動.當點D不與點A重合時，將線段CD繞點C逆時針方向旋轉60。得到CE.連

(1)如圖1,當點。在線段。4上運動時，線段8。、BE、8C之間的數量關系是,直線和直線BE

所夾銳角的度數是;

(2)如圖2,當點。運動到線段(不與A點重合)上時，(1)中的結論是否仍然成立，若成立，請說明理

由；若不成立，請寫出正確的結論并說明理由；

(3)如圖3,將ANBC改為等腰直角三角形，其中斜邊4B=6,其它條件不變，以為斜邊在其右側作等腰

直角三角形CZJE,連接8E,請問8E是否存在最小值，若存在，直接寫出答案；若不存在，說明理由.

類型四中點旋轉模型

10.(2023?河北唐山?二模)已知：在正方形4BCD中，E為對角線8。上一點，過點E作EF1B。，交BC于點

F,連接DF,G為。尸的中點，連接EG,CG.

F

圖1

【猜想論證】

(1)猜想線段EG與CG的數量關系，并加以證明.

【拓展探究】

(2)將圖1中ABEF繞B點逆時針旋轉45。得到圖2,取DF中點G,連接EG,CG.你在(1)中得到的結論還成立嗎?

寫出你的猜想并加以證明.

11.(2023?山東淄博?中考真題)在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動.

(1)操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片4BCD和CEFG拼成Z”形圖案，如圖①.

試判斷：AaCF的形狀為________.

圖①

(2)深入探究

小紅在保持矩形4BCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉，若4B=2,AD=4.

探究一：當點尸恰好落在4D的延長線上時，設CG與。尸相交于點M,如圖②.求ACMF的面積.

探究二：連接力E,取4E的中點連接D”，如圖③.

求線段。口長度的最大值和最小值.

GG

圖②圖③

12.(2021.江蘇宿遷?中考真題)已知正方形A8C。與正方形AEPG,正方形AEFG繞點A旋轉一周.

(1)如圖①，連接BG、CF,求號的值；

BG

(2)當正方形AEFG旋轉至圖②位置時，連接CF、BE,分別取CF、8E的中點M、N,連接MN、試探究:

MN與BE的關系，并說明理由；

(3)連接BE、BF,分別取BE、8尸的中點N、Q,連接。MAE=6,請直接寫出線段QN掃過的面積.

類型五通過旋轉構造三角形全等

13.(2022?內蒙古呼和浩特?二模)如圖,點P是正方形ABC。內一點，且點P到點A、B、C的距離分別為

2V3,VL4,則正方形A3C。的面積為)

A.28+8V3B.14+4V3C.12D.24

14.(2023?湖北隨州?中考真題)1643年,法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直

線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里

拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角

形的某個頂點)

當小4BC的三個內角均小于120。時，

如圖1,將AZPC繞，點C順時針旋轉60。得到AAP，C,連接PP，，

由PC=P(,/.PCP'=60°,可知APCP'為①三角形,故PP，=PC,又P4=P4故P2+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當B,P,P',A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為力'B,此時的

尸點為該三角形的“費馬點”，且有乙4PC=/.BPC=乙4PB=③；

已知當AABC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,^/.BAC>120°,

則該三角形的“費馬點，為④點.

(2)如圖4,在△ABC中，三個內角均小于120。，且力C=3,BC=4,乙4cB=30。，已知點尸為AABC的“費

馬點”，求P4+PB+PC的值；

圖4

(3)如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,^ACB=60°.現欲

建一中轉站尸沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A,B,C的鋪設成本分別為。

元/km,。元/km,元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元.(結果用

含a的式子表示)

15.(23-24九年級上?湖北武漢?階段練習)【問題背景工如圖1,點D是等邊△力BC內一點，連接

將ATIBD繞點4逆時針旋轉60°得至必2%,連接DE,觀察發現：BD與CE的數量關系為,直線8。

與CE所夾的銳角為度；

BC

圖1

【嘗試應用工如圖2,在等腰直角△ABC中，4B=aC,AB2C=90。，點。是等腰直角△ABC內一點，連接

AD,BD,CD,若4。=2/,BD=5,CD=3,求△BCD面積；

A

【拓展創新］如圖3,在等腰△28C中,28=AC,ABAC=120。,點。為平面內一點,且N&DB=60°,最=3,

BD

直接寫意的值為.

題型02構造相似三角形解題

類型一做平行線構造“A”型相似

16.（2023?內蒙古?中考真題）如圖，4B是。。的直徑，E為。。上的一點，點C是AE的中點，連接BC,過點

C的直線垂直于BE的延長線于點。，交84的延長線于點P.

PA

（1）求證：PC為。。的切線；

（2）若PC=2&B。，PB=10,求BE的長.

17.（2018?湖北黃石?中考真題）在AABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點（不與A、B、C重合）.

（1）如圖1,若EF〃BC,求證：如空=些段

S&ABCABAC

（2）如圖2,若EF不與BC平行，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由;

（3）如圖3,若EF上一點G恰為AABC的重心，笠=）,求受空的值.

4S&ABC

類型二做平行線構造“X”型相似

18.（2023九年級?全國?專題練習）在△力BC中，已知。是BC邊的中點,G是△ABC的重心，過G點的直線

分別交A3、AC于點E、F.

圖1圖2

（1）如圖1,當EFIIBC時，求證：—+—=1；

AEAF

（2）如圖2,當EF和BC不平行，且點E、P分別在線段4B、4c上時,（1）中的結論是否成立？如果成立，請

給出證明；如果不成立，請說明理由.

（3）如圖3,當點E在4B的延長線上或點尸在4C的延長線上時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請給出

證明；如果不成立，請說明理由.

19.（2023?湖北孝感?三模）【問題情境】

小睿遇到這樣一個問題:如圖1,在△力BC中，點。在線段BC上,NB4D=75°,ACAD=30°,AD=4,BD=2DC,

求AC的長.

AAA

D

BDCBD\

E

圖1圖2圖3

【問題探究】

小睿發現，過點C作CEII力B,交4D的延長線于點E,經過推理和計算能夠使問題得到解決，如圖2.

(1)①乙4CE的度數為.②求4C的長;

【問題拓展】

(2)如圖3,在四邊形48CD中，NB4C=90°,Z.CAD=30°,Z.ADC=75。,4c與BD交于點=2m,BE=2ED,

求BC的長.

20.(2023?廣東深圳?中考真題)(1)如圖，在矩形力BCD中，E為2D邊上一點，連接BE,

①若BE=BC,過C作CF1BE交BE于點、F,求證：△ABE=△FCB-,

②若S矩形4BCD=20時，貝------

(2)如圖，在菱形4BCD中，cos4=過C作CE1AB交AB的延長線于點E,過E作EF14D交2D于點F,

若S菱形4BCD=24時，求EF?8c的值.

(3)如圖，在平行四邊形ABC。中，乙4=60。，AB=6,4。=5,點E在CD上，且CE=2,點F為8c上一

點，連接EF,過E作EG1EF交平行四邊形ABCD的邊于點G,若=時，請直接寫出4G的長.

備用圖

類型三作垂線構造直角三角形相似

21.(2022?山西?中考真題)綜合與實踐

問題情境：在心△ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板即尸中/瓦甲=90。，將三角板的直角

頂點。放在斜邊8C的中點處，并將三角板繞點。旋轉，三角板的兩邊。E,。尸分別與邊A8,

AC交于點M,N,猜想證明:

(1)如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊A3的中點時，試判斷四邊形AMDV的形狀，并說明理由;

問題解決：

(2)如圖②，在三角板旋轉過程中，當=時，求線段CN的長；

(3)如圖③，在三角板旋轉過程中，當時，直接寫出線段AN的長.

22.(2020?江蘇南通?中考真題)【了解概念】

有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線.

【理解運用】

(1)如圖①，對余四邊形ABC。中，AB=5,BC=6,CD=4,連接AC.若AC=AB,求sin/CA。的值;

(2)如圖②，凸四邊形ABCD中，AD=BD,ADLBD,當2。2+匿2=。42時，判斷四邊形48C。是否為

對余四邊形.證明你的結論；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐標系中，點A（-1,0）,B（3,0）,C（1,2）,四邊形是對余四邊形，點E在

對余線上，且位于△ABC內部，ZAEC=90°+ZABC.設黃=小點。的縱坐標為3請直接寫出M關于

f的函數解析式.

類型四作垂線構造“三垂直”型相似

23.（23-24九年級上?江蘇揚州?階段練習）如圖，在四邊形力BCD中，N4BC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,

DA=5V5,貝UBD的長為

24.（2022上?江蘇揚州?九年級統考期中）將一張以4B為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形,

在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的

四邊形紙片ABC。，其中NA=90。，AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,則該矩形與ZB相鄰的另一條邊

長是—.

25.（2023九年級?全國?專題練習）如圖，在△ABC中，LBAC=60°,/.ABC=90°,直線匕||12||13,卜與G之

間距離是1,%與G之間距離是2，且匕，l2>G分別經過點A，B,C,則邊力C的長為（）

A

C3V21

C.----D-

4

題型03與相似三角形有關的壓軸題

類型一運用相似三角形的性質與判定求點的坐標

26.（2023?湖北鄂州?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，。4=OB=3愿，點C為平面內一

動點，BC=g連接AC,點M是線段AC上的一點，且滿足CM:M4=1:2.當線段OM取最大值時，點M的

坐標是（）

A-（1-1）B.（|強網C.（突）D,（|V5,fV5）

27.（2021?湖南婁底?中考真題）如圖，直角坐標系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿無軸移動，當。4與直

線=Q只有一個公共點時，點A的坐標為（）

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

28.（2023?江蘇鎮江?中考真題）如圖，正比例函數y=-3久與反比例函數y=三也手0）的圖象交于A,B（l,m）

兩點，點C在x軸負半軸上，^ACO=45°.

⑵點尸在無軸上，若以8,O,尸為頂點的三角形與AaOC相似，求點P的坐標.

類型二運用相似三角形的性質與判定求線段的最值

29.（2021?四川綿陽?中考真題）如圖，在△4CD中,4。=6,BC=5,AC2=ABQ4B+BC）,且△DAB-ADCA,

若AD=34P,點Q是線段4B上的動點，貝|PQ的最小值是（）

30.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在邊長為2的正方形A8C。中，點E為的中點，將沿CE

翻折得ACME,點M落在四邊形ABCE內.點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交于點P,則

MN+NP的最小值為

31.（2023仞川瀘州?中考真題）如圖，E,F是正方形48CD的邊4B的三等分點，P是對角線4C上的動點,

當PE+PF取得最小值時，黑的值是

32.（2022?湖南郴州?中考真題）如圖1,在矩形ABC。中，AB=4,BC=6.點E是線段上的動點（點

（1）求證：4AEFFDCE；

（2）如圖2,連接CK過點B作8Gle尸，垂足為G,連接AG.點M是線段BC的中點，連接GM.

①求4G+GM的最小值；

②當月G+GM取最小值時，求線段DE的長.

類型三利用相似三角形的判定和性質求“kAD+BD”型的最值（阿氏

圓）

33.（2020?廣西?中考真題）如圖，在R348C中，AB=AC=4,點E,尸分別是AB,AC的中點，點尸是扇

形AEF的座上任意一點，連接8尸，CP,貝班P+CP的最小值是.

34.(2023?山東煙臺?中考真題)如圖，拋物線y=ax2+bx+5與％軸交于4B兩點，與y軸交于點C,4B=4.拋

物線的對稱軸久=3與經過點2的直線y=kx—1交于點D,與x軸交于點E.

(1)求直線4D及拋物線的表達式；

(2)在拋物線上是否存在點M,使得△力DM是以4。為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M的坐標；若

不存在，請說明理由；

(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為OB上一個動點，請求出PC+^PA的最小值.

35.(2021.四川達州.中考真題)如圖,在平面直角坐標系中，拋物線y=-/+bx+c交x軸于點力和C(l,0),

交y軸于點8(0,3),拋物線的對稱軸交x軸于點E,交拋物線于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)將線段OE繞著點0沿順時針方向旋轉得到線段。爐，旋轉角為a(0。<a<90°),連接4E',BE',求BE'+

的最小值.

(3)M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以4,B,M,N為頂點的四邊形為矩

形？若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由；

類型四相似中的“一線三等角”模型

36.（23-24九年級上.陜西西安.階段練習）（1）如圖1,乙48c=90。，分別過A,C兩點作經過點8的直線

的垂線，垂足分別為E、F,AE=4,BE=2,BF=3,求CF的長度為一.

圖1

（2）如圖2,在矩形ABCD中，4B=4,BC=10,點石、/、知分別在43、BC、4。上，4EMF=90。，AM=2,

當BE+BF=9時，求四邊形MEBF的面積.

(3)如圖3,在△ABC中，AACB=90°,AC=15,BC=20,點,E、下分別在邊AB、BC上，NCEF=。且

tana.,若BF=8,求BE的長度?

圖3

37.（23-24九年級上.黑龍江哈爾濱.開學考試）在綜合實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開

展數學活動.有一張矩形紙片4BCD,點E在射線上，現將矩形折疊，折痕為OE,點A的對應點記為點

F,

(1)操作發現：如圖1，若點/恰好落在矩形4BCD的邊BC上，直接寫出一個與ABEF相似的三角形；

⑵深入探究:如圖2,若點尸落在矩形48CD的邊8c的下方時,EF、DF分別交BC于點M、N,過點P作FG1BC,

FH1DC,垂足分別為點G、H,當點G是BC的中點時，試判斷△DEF