熱點題型?選填題攻略

專題07導數及其應用(七大題型)

o------------題型歸納?定方向-----------*>

題型012023-2024年高考+春考真題.........................................................1

題型02導數及其應用.........................................................................2

題型03導數的實際應用(含與立體幾何、三角函數等結合).....................................2

題型04導數、抽象函數等綜合.................................................................6

題型05求極限、分段函數問題.................................................................7

題型06導數與數列、空間向量與立體幾何.....................................................8

題型07其他補充強化訓練......................................................................9

?>----------題型探析,明規律-----------*

【解題規律?提分快招】

耒函藪向導激耍潴確施把函數振芬康姆初琴菌藪的而「親「祈丁商「百我再運算法加萊導二

2、)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.

(3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.

3、求函數f(x)在閉區間［a,b］上的最值時，在得到極值的基礎上，結合區間端點的函數值f(a),f(b)與f(x)的

各極值進行比較得到函數的最值.

4、若所給的閉區間［a,b］含參數，則需對函數f(x)求導，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得

到函數f(x)的最值.

5、題源注明：因題源有限，導數的實際應用中，選用適量解答題來練習填選題

題型012023-2024年高考+春考真題

【典例1-11.(2024?上海)已知函數/(x)的定義域為R,定義集合M={xo|x()eR,xG(-oo,x0),/(x)

<f(x0)},在使得〃=［-1,i］的所有y(x)中，下列成立的是()

A.存在/(x)是偶函數

B.存在/(x)在x=2處取最大值

C.存在/(x)為嚴格增函數

D.存在f(x)在x=-1處取到極小值

【典例1-2］.(2024?上海)現定義如下：當xe(n,w+1)時(〃eN),若/(x+1)=f(x),則稱/(x)為

延展函數.現有，當xe(0,1)時，g(x)="與〃(x)=xi°均為延展函數，則以下結論()

(1)存在(k,6eR；k,舁0)與y=g(x)有無窮個交點

(2)存在y=fcc+6(k,66R；k,舁0)與y=h(x)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.（1）成立（2）不成立D.（1）不成立（2）成立

【典例1-3].（2023?上海）某公園欲建設一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點距水平地面的高度為4米,

坡面與水平面所成夾角為0.行人每沿著斜坡向上走1加消耗的體力為（1.025-cosO）,欲使行人走上斜

坡所消耗的總體力最小，則。=.

題型02導數及其應用

【典例2-1].（24-25高三上?上海?階段練習）已知函數了=/（x）,若/⑴=1,則+

2oh

【典例2-2].（24-25高三上?上海?階段練習）設〃x）=tanx,則.

【變式2-1].（23-24高二下?上海?期中）函數〃x）=/-sin尤在區間[0,句上的平均變化率為

【變式2-2】.（25-26高三上?上海?單元測試）函數y=2/-6x+l的駐點為.

【變式2-3】.（23-24高二下?上海?期末）己知函數〃無）=l+x-sinx,xe（0,2兀），則該函數的嚴格增區間

.

【變式2-4】.（24-25高三上?上海浦東新?階段練習）已知函數〃x）=d+2x,則〃尤）在點（1,7■⑴）處的切

線的傾斜角為.

【變式2-5].（24-25高三上?上海?階段練習）函數/（x）=x3-21nx在點處的切線方程為.

【變式2-6].（2024?上海浦東新?三模）已知7yo為偶函數，若小”口，則。=.

【變式2-7].（23-24高二下?上海?階段練習）若函數/（x）=（x3+；x2-x+,在上存在嚴格減區間，

326<2J

則m的取值范圍是

題型03導數的實際應用（含與立體幾何、三角函數等結合）

【典例3-1】?（24-25高三?上海?隨堂練習）做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是64兀，且用料最省，

則該圓柱形水桶的底面半徑為.

【典例3-21?（23-24高三上?上海閔行?期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體積為36兀，

則該正四棱錐的體積最大值為.

【變式3-1】.（23-24高三上?上海嘉定?期中）據環保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正

比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數為M后>0）.現已知相距18km的A,B兩家化工廠（污染源）

的污染強度分別為。，b,它們連線段上任意一點。處的污染指數了等于兩化工廠對該處的污染指數之和.設

NC=x（km）（O<x<18）,若?=：!,且x=6時，V取得最小值，則6的值為.

【變式3-2】.（23-24高二下?上海?期末）采礦、采石或取土時，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏

斗形狀（如圖），已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑凡它的值是固定的.當炸藥包埋的深度為

可使爆破體積最大.

炸藥包

2

【變式3-3].（23-24高二下?上海?期中）如圖，用一塊形狀為半橢圓x?+匕=l（y20）的鐵皮截取一個以短

軸8C為底的等腰梯形N2C。，記所得等腰梯形的面積為S,貝抬的最大值是.

斗

A^\^D

BO\Cx

【變式3-4】.（24-25高三上?上海?階段練習）如圖，某城市公園內有一矩形空地4BCD,/2=300m,

40=180m,現規劃在邊48,CD,D4上分別取點E,F,G,且滿足/E=EF,FG=GA,在AE/G內

建造噴泉瀑布，在AEFG內種植花奔，其余區域鋪設草坪，并修建棧道EG作為觀光路線（不考慮寬度），

則當sinZAEG=時，棧道EG最短.

D____F____________C

【變式3-5】.（2025?上海高考復習?專題練習）如圖所示，/BCD是邊長為30c加的正方形硬紙片，切去陰

影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A,B,C,。四個點重合于圖中的點P,

正好形成一個底面是正方形的長方體包裝盒，若要包裝盒容積廠（。療）最大，則防的長為cm.

【變式3-6】.（23-24高三下?上海?階段練習）某種兒童適用型防蚊液儲存在一個容器中，該容器由兩個半

球和一個圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如題圖所示,

兩頭是半圓形，中間區域是矩形/BCD,其外周長為100毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個半

球體積之和.假設工。的長為2x毫米.

（1）求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）》關于x的函數關系式；

（2）如何設計40與的長度，使得V最大？

【變式3-7】.（22-23高三上?上海虹口?期中）如圖所示，由圓。的一段弧九0N（其中點尸為圓弧的中點）

和線段MV構成的圖形內有一個矩形N8C。和△尸DC（其中48在線段“N上，C、。兩點在圓弧上），已

知圓。的半徑為20,點尸到的距離為25,設直線OC與的夾角為氏

（1）用0分別表示矩形ABCD和APDC的面積，并確定sin，的取值范圍；

（2）當6為何值時，S=4S矩形的0+3s△%o有最大值，最大值是多少？

【變式3-8】.（24-25高三上?上海?階段練習）為響應國家“鄉村振興”政策，某村在對口幫扶單位的支持下

擬建一個生產農機產品的小型加工廠.經過市場調研，生產該農機產品當年需投入固定成本10萬元，每年需

另投入流動成本c（x）（萬元）與In看成正比（其中x（臺）表示產量），并知當生產20臺該產品時，需要

流動成本ln2萬元，每件產品的售價P（x）與產量x（臺）的函數關系為p（x）=-念+3+非（萬元）（其

中xNlO）.記當年銷售該產品x臺獲得的利潤（利潤=銷售收入一生產成本）為/'（x）萬元.

⑴求函數/（X）的解析式；

（2）當產量x為何值時，該工廠的年利潤/（x）最大？最大利潤是多少？（結果精確到0.1）

【變式3-9】.（21-22高三下?上海浦東新?期中）如圖，某沿海地區計劃鋪設一條電纜聯通月、8兩地，A

處位于東西方向的直線MN上的陸地處，8處位于海上一個燈塔處，在/處用測角器測得tan4BNN=±,

4

在/處正西方向1km的點C處，用測角器測得tanN8CN=l.現有兩種鋪設方案:①沿線段N5在水下鋪設;

②在岸MN上選一點P,設乙BPN=9,先沿線段/P在地下鋪設，再沿線段尸8在水下鋪設,

預算地下、水下的電纜鋪設費用分別為2萬元/km、4萬元/km.

（1）求/、8兩點間的距離；

（2）請選擇一種鋪設費用較低的方案，并說明理由.

【變式3-10].（2025?上海高考復習?專題練習）如圖，某公園內有一半圓形人工湖，。為圓心，半徑為1

千米.為了人民群眾美好生活的需求，政府為民辦實事，擬規劃在AOCD區域種荷花，在AOBD區域建小型

水上項目.已知NAOC=ZCOD=6.

（1）求四邊形。CDB的面積（用8表示）；

（2）當四邊形的面積最大時，求的長（最終結果可保留根號）.

【變式3-11].（2025?上海高考復習?專題練習）設計一個帳篷，它下部的形狀是正四棱柱

A^C^-ABCD,上部的形狀是正四棱錐P-44G。，且該帳篷外接于球。（如圖所示）.

⑴若正四棱柱AXB{CXDX-ABCD是棱長為2m的正方體，求該帳篷的頂點P到底面ABCD中心&的距離；

冗

（2）若該帳篷外接球。的半徑3m,設6e（0,5）,該帳篷的體積為K，則當cos。為何值時，體積修

取得最大值.

題型04導數、抽象函數等綜合

【典例4-1】?(23-24高三上?上海虹口?期中)對于兩個定義在R上的函數了=/(x)與〉=g(x),構造新函

數y=〃(x)如下：對任意無()eR,/z(x0)=/(x0)+g(x0).現己知y=〃(x)是嚴格增函數，對于以下兩個命題:

①y=/(x)與y=g(x)中至少有一個是嚴格增函數；②y=/(x)與y=g(x)中至少有一個函數無最大值.其

中()

A.①和②都是真命題B.只有①是真命題

C.只有②是真命題D.沒有真命題

【典例4-2].(2023?上海閔行?一模)已知函數P=/(x)與它的導函數>=/'(x)的定義域均為R,現有下

述兩個命題：

①"y="X)為嚴格增函數”是“了=r(x)為嚴格增函數”的必要非充分條件.

②"y=/(X)為奇函數”是“v=/'(X)為偶函數”的充分非必要條件；

則說法正確的選項是()

A.命題①和②均為真命題B.命題①為真命題，命題②為假命題

C.命題①為假命題，命題②為真命題D.命題①和②均為假命題

【變式4-1].(2024?上海?模擬預測)設正數。，4c不全相等，abc=l,函數

〃x)=(l+叫(l+W(l+c)關于說法

①對任意a,b,c,/(x)都為偶函數，

②對任意。，仇cJ("在[0.01,0.02]上嚴格單調遞增,

以下判斷正確的是()

A.①、②都正確B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確D.①、②都錯誤

【變式4-2].(2024?上海?模擬預測)定義集合M={%|%,在使得M

的所有〃x)中，下列成立的是()

A.存在〃x)是偶函數

B.存在“X)在x=2處取最大值

C.存在"X)嚴格增

D.存在“X)在x=-l處取到極小值

【變式4-3】.(2024?上海?三模)已知函數>=/(x)的定義域為(0,2),則下列條件中，能推出1一定不是

>=/(》)的極小值點的為()

A.存在無窮多個(0,2),滿足

B.對任意有理數/e(O,l)u(l,2),均有/(/)</(1)

C.函數y=/(x)在區間(。,1)上為嚴格減函數，在區間(1,2)上為嚴格增函數

D.函數y=〃x)在區間(0,1)上為嚴格增函數，在區間(1,2)上為嚴格減函數

【變式4-4】.(24-25高三上?上海奉賢?期中)已知定義在R上的函數y=〃x),其導數為/'(x),記

g(x)=/(x),且/(x)_/(r)=4x,g(x)+g(2-x)=0,則下列說法中正確的個數為()

①g(O)=l；②產工區的圖象關于(0,2)對稱；③〃x)+/(2-x)=0；④fg估)=〃-〃2

Xk=\

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式4-5】.(23-24高三上?上海浦東新?期中)已知函數/(X)為定義在R上的單調連續函數，/(1)=1,

函數廠(x)=/(x)+2、，有以下兩個命題：①存在函數〃x)使得x=l為函數尸(x)的極大值點:②若

尸(無)=尸(/)對任意xeR恒成立，貝1]/(2)=-1廁()

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

【變式4-6】.(2024?上海?模擬預測)現定義如下:當+時(〃eN),若〃x+l)=/'(x),則稱

為延展函數.已知當xe(O,l)時，g(x)=e'且=且g(x),〃(x)均為延展函數，則以下結論()

(1)存在y=kx+b(k,beR,后,6w0)與〉=g(x)有無窮個交點

(2)存在y=kx+b(k,beR,k,bwO)與>=力卜)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

題型05求極限、分段函數問題

【典例5-1】?(21-22高二上?上海浦東新?階段練習)在平面直角坐標系xOy中，點列

%=*,+匕)

4(再,以……，滿足*若4(草)，則

X

K+i=|(?-K)

lim(|O4|+KI+-+l°A|)=—,

J--X-—(x《2)

【變式5-1】.(23-24高二下?上海?期末)已知函數〃x)=22'一,若在區間(1,+?0上存

ex-2(-x2+8x-12)(x>2)

在個不同的數再6,,毛,…,X,,使得/㈤=/@=…/⑷成立，貝"的取值集合是________.

%]x2xn

題型06導數與數列、空間向量與立體幾何

【典例6-1].(22-23高三下?上海楊浦?開學考試)無窮數列｛%｝滿足：。<%<1,且對任意的正整數〃,

均有e""，=(3-%)e〃”，則下列說法正確的是()

A.數列｛%｝為嚴格減數列B.存在正整數"，使得凡＜。

C.數列中存在某一項為最大項D.存在正整數〃，使得。，＞§

【變式6-1】.(24-25高三上?上海黃浦?期末)設函數了=〃x)在區間/上有導函數y=/'(x),且/'(x)＜。

在區間/上恒成立，對任意的xe/,有對于各項均不相同的數列｛%｝,,。用=/(%),下

列結論正確的是()

A.數列與｛與"｝均是嚴格增數列

B.數列｛%-｝與｛%,｝均是嚴格減數列

C.數列｛2""與｛?”｝中的一個是嚴格增數列，另一個是嚴格減數列

D.數列｛出1｝與｛的,｝均既不是嚴格增數列也不是嚴格減數列

【變式6-2].(2025?上海高考復習?專題練習)如圖，在正方體4BCD-EFG8中，尸在棱2C上，BP=x,平

行于2。的直線/在正方形斯G8內，點E到直線/的距離記為d,記二面角為4/-P為仇已知初始狀態下

x=0,d=0,貝lj()

A.當x增大時，6先增大后減小B.當x增大時，6先減小后增大

C.當d增大時，6先增大后減小D.當"增大時，6先減小后增大

題型07其他補充強化訓練

【典例7-1].(24-25高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習)已知函數g(x)的定義域為R,g'(x)

15

是g(x)的導數,且〃x)+g'(x)=5,/(x-l)+g(5-x)=5,若g(x)為偶函數,則±/的=()

k=l

A.80B.75C.70D.65

【變式7-2】.(2024?青海?二模)已知定義在R上的函數/(x),其導數為尸⑶，且滿足

〃x+.y)=〃x)+/5)+盯(x+力，/(1)=-1,/■'(1)=0,給出下列四個結論：①〃x)為奇函數；②

r(10)=99；③"3)=3：④在(0,1)上單調遞減.其中所有正確結論的序號為()

A.①②B.①③C.②③④D.①②④

【變式7-3].(24-25高三上?北京海淀?期中)已知函數〃幻=華土D,其定義域記為集合。,a/e。，給

Inx

出下列四個結論：

①。=｛x|x>0且xR1｝；

②若帥=1,則|/(。)-/(加>1；

③存在中6,使得/■⑷="3；

④對任意。，存在6使得〃a)+/S)=L

其中所有正確結論的序號是.

0---------------題型通關?沖高考-----------?>

一、填空題

1.(2023?上海徐匯?三模)對任意數集/=｛[,%,%｝，滿足表達式為/+尤2一無一1且值域為A的函數個

數為P.記所有可能的夕的值組成集合8,則集合B中元素之和為.

2.(2021?上海一模)若定義在N上的函數〃x),g(x)滿足：存在使得〃/)<g(x。)成立，則稱〃x)

與g(x)在N上具有性質尸(7,g),設函數與g(x)=x3,其中，a>Q,已知〃x)與g(x)在N上

不具有性質P(f,g),將a的最小值記為?0.設有窮數列｛4｝滿足A=1,鼠=1+6.("eN*,n<504x闖),

這里[&]表不不超過旬的最大整數.若去掉｛2｝中的一項d后，剩下的所有項之和恰可表為加2(加?N*),

則加皿的值為.

二、單選題

3.(2024?上海青浦?二模)如圖，已知直線了=履+加與函數V=/(x),xe(O,+e)的圖象相切于兩點，則函數

>=/(x)-履有().

A.2個極大值點，1個極小值點