第01講相交線

-?模塊導航A素養目標*

模塊一思維導圖串知識1.理解相交線的相關概念；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.利用鄰補角，對頂角的性質進行計算;

模塊三核心考點舉一反三3.識別三線八角.

模塊四小試牛刀過關測

6模塊一思維導圖串知識-

同一平面內-----------

位置關系I-------------------卜相交或平行

—■不重合-----------

對頂角無公共邊-----------

兩線四角------------------------Y有公共頂點

-----------軸卜角有共邊-----------

定義相交成90°

過一點與已知直線垂直在同一平面內有且只有一條

痼|-------------------------------------------------------

-------------1點到直線的線段垂線段最短

同位角"F"形

三線八角內錯角"Z"字形

同旁內角"U"字形

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

一、相交線

直線的位置關系：在同一平面內不重合的兩條直線之間的位置關系只有兩種：相交或平行.

1.垂線

定義：當兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做

另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

示例：如圖所示，直線AB,CD互相重直，記作：“ABLCD"（或“CDLAB”），讀作“AB垂直于CD”（或

“CD垂直于AB"）.如果垂是是0,記作“ABLCD,乘足為0”.

c

垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

【注意】

1）已知直線的垂線有無數條，但在同一平面內，過一點畫已知直線的垂線只能畫一條.

2）必須強調在同一平面內，若是在空間中，則經過一點與已知直線垂直的直線有無數條.

垂線段的定義：如圖，點P為直線外一點,PO，m,垂足為0,稱P0為點P到直線m的垂線段.

垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點P

與直線m上的各點連線中，線段P0最短.

點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

【注意】

1）垂線段是一個幾何圖形，而點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數量，容易出現概念混淆的錯誤;

2）過直線外一點和直線上各點的線段有無數條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.

二、相交線中的角

1.對頂角與鄰補角

種類圖形頂點邊的關系大小關系

對頂角有公共一個角的兩邊分別是另一角的Z>Z2,Z3=Z4

頂點兩邊的反向延長線

鄰補角'X有公共兩個角有一條公共邊，且它們Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

頂點的另一邊互為反向延長線.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

【補充說明】

1）對頂角的特征：1）有公共頂點；2）兩個角的兩邊互為反向延長線.

2）若兩個角互為對頂角，則它們一定相等，但兩個角相等，則它們不一定為對頂角.

2.同位角、內錯角、同旁內角

角的名稱位置特征基本圖形圖形結構特征

同位角在截線的同側，在被截兩形如字母“F”

條直線同側

內錯角在截線的兩側，且夾在兩形如字母“Z”

條被截直線之間

同旁內角在截線的同側，在被截兩形如字母“U”

條直線之間4

【補充】如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構成8個角，簡稱為“三線八角”，其中共有4對同

位角，2對內錯角，2對同旁內角.

6模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點一：相交線的相關概念

1.（23-24七年級下?湖南郴州?期末）下列說法不正確的是（）

A.兩點之間，線段最短

B.兩條直線相交，只有一個交點

C.兩直線平行，同旁內角相等

D.過直線外一點與直線上的點所連接的線段中，垂線段最短

【答案】C

【分析】本題考查線段公理，平行線的性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識.根據

線段公理，平行線的性質，垂線段最短等知識一一判斷即可.

【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，正確，故本選項不符合題意；

B、兩條直線相交，只有一個交點，正確，故本選項不符合題意；

C、兩直線平行，同旁內角互補，原說法錯誤，故本選項符合題意；

D、過直線外一點與直線上的點所連接的線段中，垂線段最短，正確，故本選項不符合題意；

故選：C.

2.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，己知。Nia,OMla,所以。M與。N在同一條直線上的理由是

M

N

A.兩點確定一條直線

B.經過一點有且只有一條直線垂直于已知直線

C.過一點只能作一條垂線

D.垂線段最短

【答案】B

【分析】本題考查了垂線的基本事實，根據垂線的基本事實結合圖形得出結論是解題關鍵.利用同一平面

內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直進而得出答案即可.

【詳解】解：因為ONla,OMIa,

所以直線。N與。M重合，

其理由是：同一平面內，經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，

故選:B.

3.（23-24七年級下?廣東東莞?期中）如圖，N1與42是對頂角的為（）

【答案】C

【分析】根據對頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩邊互為反向延長線，這樣的兩

個角叫做對頂角，由此對各選項作出判斷即可.

本題考查對頂角的定義，解題的關鍵是理解對頂角的定義.

【詳解】解：根據對頂角的定義可知：只有選項c是對頂角，其它都不是.

故選C.

4.（2024七年級上?全國?專題練習）下列說法正確的有（）

①對頂角相等；

②互補的兩個角是鄰補角；

③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；

④若兩個角不是對頂角，則這兩個角一定不相等.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查的是對頂角、鄰補角的概念，熟記它們的概念和性質是解題的關鍵.

根據對頂角的概念、鄰補角的概念判斷即可.

【詳解】解:①對頂角相等，說法正確；

②互補的兩個角不一定是鄰補角，本小題說法錯誤；

③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角，說法正確；

④兩個角不是對頂角，這兩個角也可能相等，本小題說法錯誤；

故選:B.

5.（22-23七年級下?廣西南寧?期中）下列各圖中，N1與42互為鄰補角的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了對頂角.根據對頂角的定義：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個

角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角，進行判定即可得出答案.

【詳解】解：選項A和C中的圖形都沒有公共頂點，選項B中雖然有公共頂點，但一個角的兩邊不是另一

個角的兩邊的反向延長線，故選項A、B和C中的N1與/2不互為鄰補角；

根據對頂角的定義即可判斷D選項中，N1與N2互為鄰補角.

故選：D.

考點二：指出現實問題后的數學依據

6.（24-25九年級上?貴州貴陽?期中）如圖，A,B,C,。四點在直線2上，點M在直線的卜，MCI/,若

MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,MD=3cm,則點M到直線1的距離是（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了點到直線的距離，根據垂線的性質：直線外一點到這條直線的垂線段最短，結合

條件進行解答即可，解題關鍵是熟練掌握點到直線的距離的定義和垂線的性質.

【詳解】如圖所示:

???直線外一點到這條直線的垂線段最短，MC11,

二點M到直線/的距離是垂線段MC的長度，為2cm,

故選：A.

7.（24-25七年級上,黑龍江哈爾濱?期中）如圖，欲在河岸4B上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C處,

可在圖中畫出CP垂直4B,垂足為尸，然后沿CP鋪設，則能使鋪設的管道長最短，這種設計的依據

是：?

C

Z從3

【答案】垂線段最短

【分析】本題考查點到直線距離的知識，根據兩點之間垂線段最短即可得出答案.

【詳解】解：解：已知在河岸4B上某處P點修建一水泵站，將水引到村莊C處，又知直線外一點到該直線

的最短距離是其垂線段，這種設計的依據是：垂線段最短，

故答案為：垂線段最短

8.（22-23七年級下?新疆博爾塔拉?期中）如圖是小凡同學在體育課上跳遠后留下的腳印，他的跳遠成績是

線段2N的長度，這樣測量的依據是.

【答案】垂線段最短

【分析】本題考查了垂線段最短，理解相關含義是解題關鍵.

【詳解】解：測量的依據是垂線段最短，

故答案為：垂線段最短.

9.（22-23七年級下?北京西城?期末）如圖，在三角形ABC中，NC=90。，點B到直線4c的距離是線段

的長，的依據是

A

C0-----------------

【答案】BC垂線段最短

【分析】根據點到直線的距離的定義即可說明8到直線4c的距離是線段是BC；在根據兩點之間垂線段最短

即可證明8C<84

【詳解】?：a=90。，

AC1BC,

???點B到直線ac的距離是線段為BC；

???兩點之間垂線段最短，

BC<BA,

故答案為：BC,垂線段最短.

【點睛】本題考查了點到直線的距離定義及兩點之間垂線段最短，熟記知識點是解題的關鍵.

10.（23-24七年級下?北京?期末）如圖，若ABIE,BC11,B為垂足，那么4B,C三點在同一直線上，其

理由是.

1B

【答案】在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

【分析】本題考查的是垂線的性質，利用在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直可得答

案.

【詳解】解：,MB1Z,BCLl,B為垂足，

.?.4B,C三點在同一直線上，

理由是：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

故答案為：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

考點三：畫垂線

11.（24-25七年級上?全國?課后作業）利用網格畫圖：

⑴過點C畫4B的垂線，垂足為E；

（2）線段CE的長度是點C到直線的距離;

(3)連接C4CB,在線段C4,CB,CE中，線段最短.

【答案】⑴見詳解

(2)AB

⑶CE

【分析】本題主要垂線及其做圖，點到直線的距離概念，垂線段最短，注意作圖的準確性.

(1)根據網格結構的特點，利用直線與網格的夾角的關系找出與4B垂直的格點；

(2)根據點到直線的距離概念回答；

(3)根據垂線段最短直接回答即可.

(2)解：線段CE的長度是點C到直線AB的距離，

故答案為：AB；

(3)解：連接C4CB,在線段C4,CB,CE中，線段CE最短,

故答案為：CE.

12.(22-23七年級下?遼寧沈陽?階段練習)如圖，點P是乙4。8的邊08上的一點.

⑴過點P畫。B的垂線，交04于點C；

⑵過點P畫。a的垂線段，垂足為“；

⑶點P到直線。4的距離為，線段的長度是點C到直線。B的距離;

【答案】⑴見解析

(2)見解析

(3)PH,PC

【分析】本題主題考查了垂線的作法、點到直線距離的定義等知識點，掌握垂線和垂線段的區別與聯系成

為解題的關鍵.

（1）如圖取格點。，連接PD交。4于點C,直線PD即為所求；

（2）直接根據方格作圖即可；

（2）根據點到直線距離解答即可.

【詳解】（1）解：如圖：直線P0即為所求；

（2）解：如圖：線段PH即為所求.

（3）解：點P到直線。4的距離為PH,線段PC的長度是點C到直線。8的距離.

故答案為：PH,PC.

13.（24-25七年級上?全國?課后作業）如圖，己知銳角NAOB,畫射線0C1Q4,射線。D10B,并直接寫出

N40B與NC。。的關系.

備用圖符用圖備用圖

【答案】畫圖見解析；乙40B=NC。。或N力。B+NC。。=180°

【分析】本題考查了垂線的定義，角的計算，同角的余角相等的性質，難點在于分情況討論.

分。C、。。在邊。4的同側和異側分別作出圖形，然后分別進行計算即可得解.

【詳解】解：畫圖如圖①~④.Z.XOB=^COD^AOB+^COD=180°.

理由如下：如圖1,

■.■OC1OA,OD1OB,

???44。8+28。。=90。，△。。。+48。。=90。，

???乙4。8=乙COD；

如圖2,???OC1C4ODLOB,

???44。。=48。。=90。，

：.Z-AOB+乙BOC=^AOB+乙AOD=90°,

???/4。8+乙BOC+^LAOB+Z.AOD=180°,

又MBOC+/-AOB+Z,AOC=乙COD,

???乙4。8+4。。。=180。；

如圖3,Z-AOB+乙COD=360°-Z.AOC-乙BOD=360°—90°-90°=180°；

：,/.AOB+/.AOD=90°,4COD+乙AOD=90。,

：.Z.AOB=乙COD；

綜上所述，^AOB=^COD^AOB+Z.COD=180°.

考點四：判斷已知圖形中鄰補角的個數

14.（23-24七年級上?全國?單元測試）如圖，直線AB與CD相交于點0,OE是以。為頂點的一條射線,

圖中的對頂角和鄰補角各有（）

A.1對、3對B.2對、4對C.2對、6對D.3對、8對

【答案】C

【分析】本題考查了鄰補角與對頂角的定義，根據鄰補角與對頂角的定義找出鄰補角和對頂角即可求解.掌

握定義是解題的關鍵.

【詳解】解：圖中對頂角有：乙40。與NBOC,NH0C與NB0D,共2對，

鄰補角有：N20D與4aoC,/.AOD^^BOD,^AOE^ABOE,乙COE與乙COE,NB0C與NAOC,4B0C與

乙BOD,共6對，

故選：C.

15.（23-24七年級下?天津河北?期中）如圖，直線4B,CD,EF相交于點。.則N40D的鄰補角是（）

A.4B。。和NA。。B.NBOE和ZJ1。尸

C.4。。尸和NCOFD.乙BOC

【答案】A

【分析】本題考查了鄰補角的概念：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩

個角，互為鄰補角，根據鄰補角的概念解答是解決問題的關鍵.

【詳解】解：根據鄰補角的定義可知，N20D的鄰補角是AB0D和“0C,

故選：A.

16.（22-23八年級上?黑龍江哈爾濱倜測）如圖，點。是直線4B上一點，自點。引射線。C、0D、0E、

0F,圖中共有對鄰補角.

【答案】4

【分析】此題考查了鄰補角定義：和為180度的兩個有公共頂點且有公共邊的角是鄰補角，根據定義直接

解答.

【詳解】解：根據圖形可知，

Z/4OC+ZBOC=180°,AAOD+/LBOD=180°,^AOE+^BOE=180°,Z40F+zBOF=180°,

故答案為4.

17.（22-23七年級下?河北滄州?階段練習）如圖，直線力B、CD相交于點O,乙AOF=^DOE.

（1）圖中的對頂角有對；

（2）NCOB的鄰補角是；

（3）如果乙4。。=70。，Z.EOD=32°,那么NBOE=.

【答案】2NCCM、乙BOD38。/38度

【分析】根據對頂角的定義及性質、鄰補角的定義及性質分析解答即可.

【詳解】解：（1）圖中的對頂角有乙4。。和NB。。；N4。。和48。。；共2對，

故答案為：2；

（2）NCOB的鄰補角是NCOA、乙BOD,

故答案為：“。4、4BOD；

（3）?"。。=70。，

.-.^BOD=/LAOC=70°,

ME0D=32°,

."BOE=乙BOD-Z.EOD=38°,

故答案為：38°.

【點睛】本題考查了對頂角的定義及性質、鄰補角的定義，熟練掌握數學基礎知識是解題的關鍵.

考點五：交叉圖形中的角度計算

18.（24-25七年級上?吉林長春?階段練習）如圖，直線4B,CD相交于點。,04平分NEOC.

⑴若NEOC=70。，求N80D的度數；

（2）若NEOC:NEOD=2:3,求NBOE的度數.

【答案】⑴35。

⑵144°

【分析】本題考查角平分線的定義，對頂角相等，以及鄰補角的定義.

(1)由角平分線的定義可求出乙4OC=3NEOC=35。，再根據對頂角相等即可求解；

(2)設NE0C=2x,則NE0D=3x,根據NEOC+NEOD=180。，可列出關于x的方程，解出x的值，即可

求出NEOC的大小，進而可求出NBOE的大小.

【詳解】(1)解：:oa平分NEOC,

11

?-?Z.AOC="EOC=楙x70。=35°,

.??乙8。。=乙4。。=35。；

(2)解：■.■/.EOC-.Z.EOD=2:3,

設NEOC=2x,貝UNEOD=3X,

根據題意得2%+3%=180°,

解得：%=36°,

???zEOC=2x=72°,貝I|NEO4=36°,

:.乙BOE=180°-36°=144°.

19.(24-25七年級上?吉林長春,階段練習)如圖，直線力B,CD相交于點。,0M14B.

(2)若求NB。。和的度數.

【答案】(1)/4。。，4BOD

(2)44。。=120°,ABOD=60°.

【分析】此題主要考查了垂直的定義，對頂角的性質和鄰補角的定義計算，要注意領會由垂直得直角這一

要點.

(1)由垂線的性質求得乙40M=/80M=90。，然后根據等量代換及余角的定義解答；

1

(2)根據垂直的定義求得乙4OM=/BOM=90。，再由41=2/BOC求得NBOC=120。，然后根據鄰補角定

義和對頂角的性質即可求解.

【詳解】(1)解：??OMLAB,Z1=Z2,

zl+^AOC=z2+Z,AOC=90°,BRzCO/V=90°,

vZ-AOC=乙BOD,

的余角有：AAOC,乙BOD；

故答案為：N40C,乙BOD；

(2)解：V0M1AB,

???ZXOM=乙BOM=90°,

Z1=^BOC,^BOC=/L.BOM+Z.1,

.-.Zl=1zBOM=30°,

???Z.BOC=/.AOD=120°,

:/BOD=180°-LBOC=60°.

20.(23-24七年級上?吉林四平?期末)如圖，射線04的方向是北偏東20。，射線。B的方向是北偏西35。、射

線。。是OB的反向延長線，且射線04平分NBOC.解答下列各題：

(1)射線OC的方向是；

⑵求NCOD的度數；

(3)若射線OE的方向是東南方向，請直接寫出“0￡的度數.

【答案】⑴北偏東75。

⑵乙COD=70°

(3)zC0F=60°

【分析】此題主要考查了方向角的表達，角平分線的定義，鄰補角，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

(1)先求出/力。8=55。，再求得NNOC的度數，即可確定。C的方向；

(2)根據44OB=55。，AAOC=AAOB,得出ABOC=110°,進而求出NCOD的度數；

(3)根據2400=55。,/.AOC=/.AOB,射線OE平分即可求出ZC。。=35。再利用乙4OC=55。求出

答案即可.

【詳解】(1)解：如圖：

??,射線。4的方向是北偏東20。，射線。B的方向是北偏西35。

：.^AOB=200+35°=55°,

,射線。4平分NBOC

：.AOC=/-AOB=55°

"NOC=20°+55°=75°,即射線。C的方向是北偏東75。；

（2）解：-Z.AOB=55°,Z.AOC=/-AOB,

.-.ZBOC=110°,

：.Z.COD=180°-4BOC=180°-2乙AOB=70°；

（3）解：,??射線OE的方向是東南方向，

???乙MOE=45°,

Z.NOC=75°,

."COM=90°-75°=15°,

."COE=15°+45°=60°.

21.（24-25七年級上?全國?課后作業）如圖，。是直線ZB上一點，過點。作。C、OD、0E三條射線，。。平

(2)若NCOE=3乙40C,求NBOE的度數；

⑶在(2)的條件下，若過點。作射線。F使得NEOF=90。，求乙40F的度數.

【答案】(1)30°；

(2)NBOE的度數為20。；

⑶N40F的度數為70。或110。.

【分析】本題考查了角平分線的定義和角的計算，熟練掌握角平分線的定義，并能夠根據題目已知條件找

到角度之間的等量關系列出等式是解題的關鍵.

(1)由條件。。平分N40C可得乙4。。=30。，再由條件乙4。￡=48。￡＞可得乙4。。=/8。￡通過等量代換即

可得到NBOE的度數；

(2)由條件NCOE=3乙40C,并結合(1)的結論N40D=NB0E,可得NCOE=6/BOE,再利用乙40B為平

角找出等量關系列出等式，即可求解ABOE的度數；

(3)分射線OF在NCOE的內部及外部兩種情況討論，作出示意圖并結合圖形先計算NBOF的度數，再根據

N40F與NBOF互補的關系即可得解.

【詳解】(1):。。平分N40C,

???^LAOD=^AOC=30°.

???LAOE=^AOD+（DOE,

Z.AOD=Z.AOE—乙DOE

同理,乙BOE=iBOD—乙DOE,

vZ-AOE=乙BOD,

???^BOE=zAOD=30°.

(2)由題可知，^BOE=^AOD=^AOC,

???Z-AOC=2/.B0E.

乙COE=3乙40C,

???乙COE=6乙BOE,

由題可知乙40B為平角，

???Z.AOC+乙COE+乙BOE=180°,

即2NBOE+64BOE+ABOE=180°,

NBOE=20。，

."OE的度數為20°.

(3)當。F在NCOE內部時，如圖①，

貝此BOF=乙EOF+乙BOE=90°+20°=110.

???^AOF=180°-4BOF=180°-110°=70°；

當OF在NCOE外部時，如圖②，

貝！9=乙EOF-Z.BOE=90°-20°=70°,

?-?Z.AOF=180°-4BOF=180°-70°=110°.

綜上所述，N40F的度數為70。或110。.

22.(24-25七年級上?全國?課后作業)如圖，直線ZB、CD交于點0,OE、。尸分另!］在48。。、乙40。內部，且

。。平分NBOF.

F

(1)“OC的對頂角是:

(2)若NBOF=40。，ZCOF=100°,則NBOE的度數為；

(3)若OB平分/EOF,^AOC:AAOF=1:3,求NCOE的度數；

(4)若NAOE=/EOF,NBOE=60。，判斷。B是否平分NEOF,并說明理由.

【答案】⑴N8。。

(2)60°

(3)72°

⑷OB平分NEOF,理由見解析

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，對頂角的性質，幾何中角度的計算，解題的關鍵是數形結合，

熟練掌握角平分線的定義.

(1)根據對頂角的定義即可解答；

(2)根據角平分線的定義得出/8。。=乙/。。=180尸="40。=20。，再根據

LCOE+^BOE+^BOD=180°,求出結果即可；

(3)由乙4。。“。F=1:3,得到〃OF=3NBOD,根據角平分線的定義得出NDOF=NB。。，根據

AAOC+AAOF+^FOD=180°,求出NBOD=36。，I艮據角平分線的定義得出NBOE=NBOF=72。，|艮據

ACOE+Z.EOB+ABOD=180°,求出結果即可；

(4)由NBOE=60。，利用平角的定義得到N力。E=120。，再根據NAOE=/EOF,求出/EOF=120。，結合

NBOE=60。得出結論.

【詳解】(1)解：根據題意：乙4OC的對頂角是NB。。；

⑵解：OD平分4BOF,

???^BOD=^BOF=20°,

???乙BOE=180°-4BOD-乙COE=180°-20°-100°=60°；

(3)解：2OC與NB。。為對頂角，

???Z-AOC=Z.BOD,

???ABOD.^AOF=^AOC:AAOF=1:3,^Z,AOF=3Z.BOD.

???。。平分48。9，

???乙DOF=LBOD,

???/-AOF+乙DOF+乙BOD=3乙BOD+Z.BOD+乙BOD=180°,

???(BOD=36。,

???/LAOC=/LBOD=36°,乙BOF=2乙BOD=72°.

又??,OB平分"OF,

???乙BOE=CBOF=72。，

???乙COE=180°-AAOC-乙BOE=180°-36°-72°=72°；

(4)解：OB平分NE。尸，理由如下：

???4BOE=60。,

乙40E=120。.

Z-AOE=乙EOF,

???NE。尸=120。,

???^BOF=/.EOF-/.BOE=120°-60°=60°,

???（BOE=Z-BOF,

???。8平分4EOF.

23.（23-24七年級上?貴州黔東南?期末）已知：點。為直線48上一點，過點。作射線。C,ZBOC=110°.

(2)如圖2,過點。作射線0D,使NCOD=90。，作乙40C的平分線。M,求NM0D的度數；

⑶如圖3,在(2)的條件下，作射線OP,^^BOP^AAOM^,求NCOP的度數.

【答案】⑴70。

(2)55°

(3)55。或165°

【分析】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，數形結合根據射線0P的位置分類討論是解題關鍵.

(1)根據平角的定義計算求值即可；

(2)根據余角的定義可得乙4。。，根據角平分線的定義可得Z40M,再計算角度和即可；

(3)由余角的定義可得NBOP=55。，分射線OP在乙BOC內部、射線。P在NBOC外部兩種情況，分別計算角

的差、和即可.

【詳解】(1)解：■.-^BOC=110°

.-.AAOC=180°-乙BOC=70°；

(2)解：由(1)得乙40C=70。，

"0D=90°,

;ZAOD=乙COD-Z.AOC=20°,

???0M是N20C的平分線，

??.Z40M=1ZT10C=|X70°=35°,

??/MOD=AAOM+AAOD=35°+20°=55°；

(3)解：由(2)得乙1OM=35。,

,*OP與〃。M互余，

.-.ZBOP+Z40M=90°,

.?/BOP=90°-^AOM=90°-35°=55°,

①當射線。P在ABOC內部時，如圖,

乙COP=Z.BOC-/.BOP=110°-55°=55°

②當射線OP在乙BOC外部時，如圖,

4cop=乙BOC+乙BOP=110°+55°=165°.

綜上所述，NCOP的度數為55。或165。.

考點六：三線八角的識別

24.（23-24七年級下?甘肅隴南,階段練習）如圖，BF,DE相交于點，，BG交BF于點8,交47于點C.

（1）指出DE,BC被BF所截形成的同位角、內錯角、同旁內角；

（2）指出DE,8C被4C所截形成的內錯角；

（3）指出FB,8C被AC所截形成的同旁內角.

【答案】⑴同位角：NFAE和48；內錯角：AB和ND2B；同旁內角：NE4B和N&

（2）NE4C和N8C4,N￡MC和42CG；

（3）/84。和N8C4,4FAC和N4CG.

【分析】此題考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義：

（1）兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的

同旁，則這樣一對角叫做同位角.兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，

并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角.兩條直線被第三條直線所截形成的角中，

若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角，據此求解

即可；

（2）根據內錯角的定義求解即可；

（3）根據同旁內角的定義求解即可.

【詳解】（1）解：同位角：NFZE和48；內錯角：4B和乙D4B；同旁內角：4EAB和48；

（2）解:AEAC^BCA,NZMC和乙1CG都是內錯角;

（3）解：ABAC和NBC4NF4C和NACG都是同旁內角.

25.（23-24七年級上?全國?單元測試）找出圖中與Z1是同位角、內錯角、同旁內角的所有角.

【答案】N1的同位角：乙GDF,4GEF,乙FBC,4FCH；41的內錯角：^MDA,乙NED,^ABP,Z.ACQ,Z1

的同旁內角：/-ADF,/.AEF,/.ABF,乙4co

【分析】此題主要考查了三線八角，關鍵是掌握同位角的邊構成"尸'形，內錯角的邊構成"Z"形，同旁內角

的邊構成"U"形.

根據同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截

線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角.

內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）

的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角.

同旁內角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截

線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角進行分析即可.

【詳解】解：N1是同位角：乙GDF,乙GEF,Z-FBC,4FCH；

41的內錯角：Z.MDA,乙NED,Z.ABP,/ACQ；

N1的同旁內角：/-ADF,4DEF,/.ABF,/.ACD.

26.（23-24七年級下?全國?課后作業）如圖，指出圖中直線AC,BC被直線DE所截形成的同位角、內錯角、

同旁內角.（僅指用數字標出的角）

【答案】見解析

【分析】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義，同位角：在兩條直線被第三條直線所截的同側，

被截兩直線同側的兩個角稱為同位角；內錯角：在兩條直線被第三條直線所截的兩側，且夾在兩條被截直

線之間的一對角稱為內錯角；同旁內角：在兩條直線被第三條直線所截的同旁，被截兩直線之間的兩個角

稱為同旁內角；由此即可得出答案.

【詳解】解：由圖可得：

同位角：N1與Z2,N4與46；

內錯角：41與43,N4與45；

同旁內角：N3與“，41與45.

27.(21-22七年級下?河北石家莊?階段練習)如圖，AB,AC射線與直線EF分別相交于點〃，G.按要求完

成下列各小題.

⑴圖中共有一對對頂角，一對內錯角；

⑵①乙4的同旁內角是二

②NEGC和是由哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是具有什么位置關系的角？

⑶過點G畫射線4B的垂線，交A8于點M,并指出哪條線段的長度表示點G至必8的距離.

【答案】⑴4；4

(2)①N4GF,^AHE-②NEGC和NEHB是直線AC,4B被直線EF所截形成；同位角

⑶圖見解析，GM

【分析】(1)根據對頂角和內錯角的定義進行判斷即可；

(2)①根據同旁內角的定義，進行判斷即可；②根據三線八角的關系，進行判斷即可；

(3)根據題意畫出垂線即可，根據點到直線的距離為垂線段的長，即可得出結論.

【詳解】(1)解：由圖可知：41和42,43和N4,45和46,N7和48是對頂角，共4對；/2和N5,44和

N7,N1和49,48和N9是內錯角，共4對；

故答案為：4；4

(2)①由圖可知：”的同旁內角是〃GF,UHE；

故答案為：N力GF,AAHE；

②NEGC和是直線力C/B被直線EF所截形成的同位角；

(3)如圖；

由圖可知：線段GM的長即為點G至!MB的距離.

【點睛】本題考查三線八角，對頂角，點到直線的距離.熟練掌握相關定義是解題的關鍵.

28.（23-24七年級下?全國?課后作業）如圖，一個方塊從某一個起始角開始，經過若干步跳動后，到達終點

角，跳動時，每一步只能跳到它的同位角或內錯角或同旁內角的位置上，例如：從41跳到終點位置N6的路

徑如下：

路徑1:41玲內錯角47f同旁內角46；

路徑2:N1f同旁內角N13-內錯角410玲同位角48f同旁內角N5f同旁內角N6.

⑴寫出任意一條從起始位置N1好終點位置N3的路徑；

（2）從起始位置N1依次按內錯角、同位角、同旁內角的順序能否到達終點位置42?并寫出路徑.

【答案】（1）41玲同旁內角413玲同位角43（答案不唯一）；

（2）能，N13內錯角N43同位角N7好同旁內角N2（答案不唯一）；

【分析】本題考查內錯角，同位角，同旁內角的判斷：

（1）根據內錯角，同位角，同旁內角直接逐個判斷即可得到答案；

（2）根據內錯角、同位角、同旁內角反向推導即可得到答案；

【詳解】（1）解：由題意可得，

N1f同旁內角N136同位角43（答案不唯一）；

（2）解：能，理由如下，

由題意可得，

N1玲內錯角乙4玲同位角N7好同旁內角42（答案不唯一）.

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

1.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，直線AB、CD相交于點0,AEOD=90°.下列說法不正確的是

E

A.Z.AOD=Z-BOCB.Z-AOC=Z-AOE

C.^AOE+/LBOD=90°D.^AOD+^BOD=180°

【答案】B

【分析】本題考查了對頂角的性質，平角的定義、互余的定義等，由對頂角的性質，平角的定義、互余的

定義逐一判斷，即可求解；理解對頂角的性質，平角的定義、互余的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：A.v乙4OD與NBOC是對頂角，

?1?Z.AOD=Z.BOC,結論正確，故不符合題意；

B.由圖得乙4。。=/4。后不一定成立，結論錯誤，故符合題意；

C.V/-EOD=90°,

???ACOE=90°,

?-?/.AOE+/.AOC=90°,

,-,Z.AOC=Z.BOD,

乙4OE+NBOD=90。，結論正確，故不符合題意；

D.由圖得乙4。。+480。=180。，結論正確，故不符合題意；

故選：B.

2.（2024七年級上?全國?專題練習）2024年香洲區舉辦了第六屆風箏節.如圖所示的風箏骨架中，與乙3構

成同旁內角的是（）

A.41B.Z2C.Z4D.Z.5

【答案】A

【分析】本題考查的是同旁內角的定義，關鍵是知道哪兩條直線被第三條直線所截.根據同旁內角的定義

解答即可，即兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內的兩角.

【詳解】解：與乙3構成同旁內角的是41.

故選：A.

3.（24-25七年級上?黑龍江綏化?階段練習）下面四個圖形中，41與N2是對頂角的為（）

【答案】C

【分析】本題考查了對頂角.兩條邊互為反向延長線的兩個角叫對頂角，根據定義結合圖形逐個判斷即可.

【詳解】解：A、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

B、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

C、符合對頂角的定義，故本選項符合題意；

D、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

故選：C.

4.（2024七年級上?全國,專題練習）點P為直線MN外一點，點4、B、C為直線MN上三點，PA=4cm,P8=5

cm,PC=2cm,則點P到直線MN的距離為（）

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm

【答案】D

【分析】本題考查了點到直線的距離，利用了垂線段最短的性質.根據點到直線的距離是直線外的點與直

線上垂足間的線段的長，再根據垂線段最短，可得答案.

【詳解】解：當PC1MN時，PC是點P到直線MN的距離，即點P到直線MN的距離2cm,

當PC不垂直直線MN時，點P到直線MN的距離小于PC的長，即點P到直線MN的距離小于2cm,

綜上所述：點P到直線MN的距離不大于2cm,

故選：D.

5.（24-25九年級上?吉林長春?階段練習）如圖在△4BC中"CB=90。，CD1AB,D為垂足，則下列說法中,

錯誤的是（）

B

A.點B到4C的距離是線段BC的長B.線段CD是4B邊上的高

C.線段4C是BC邊上的高D.點C到ZB的距離是線段4C的長

【答案】D

【分析】本題主要考查了點到直線的距離，三角形的高，根據點到直線的距離，三角形的高的概念逐項排

除即可，正確理解點到直線的距離，三角形的高是解題的關鍵.

【詳解】A、點B到4C的距離是線段BC的長，原選項說法正確，不符合題意；

B、線段CD是48邊上的高，原選項說法正確，不符合題意；

C、線段AC是邊上的高，原選項說法正確，不符合題意；

D、點C到的距離是線段CO的長，原選項說法不正確，符合題意；

故選：D.

6.（24-25七年級上?河南鶴壁?階段練習）如圖，在所標識的角中，下列說法不正確的是（）

A.N1與45是內錯角B.N3與45是對頂角

C.N1與N4是同位角D.41與42是同旁內角

【答案】C

【分析】根據內錯角，對頂角，同位角，同旁內角的定義解答即可.

【詳解】解：A.N1與45是內錯角，本選項正確，不符合題意，

B.43與45是對頂角，本選項正確，不符合題意，

C.41與44不是同位角，本選項錯誤，符合題意，

D.N1與乙2是同旁內角，本選項正確，不符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查了內錯角，對頂角，同位角，同旁內角的定義，正確理解定義是解題的關鍵.

7.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，利用工具測量角，則的大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】本題考查量角器的使用和對頂角的性質，掌握對頂角相等是解題的關鍵.利用對頂角相等求解,

即可解題.

【詳解】解：根據量角器測量的度數為30。，由對頂角相等可得41=30。.

故選：A.

8.（24-25七年級上?河南南陽?階段練習）如圖，￡是直線C4上一點，ZFEX=40°,射線EB平分NCEF,

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】本題考查了角平分線的定義，平角的定義，掌握相關知識點并靈活運用是解題關鍵.

1

先根據平角的對應求出NCEF=140。，射線EB平分NCEF,得出NCEB=NBEF=54CEF=70。，再根據

GE1EF,可得NGEB=乙GEF-乙BEF=90°-70°=20°.

【詳解】?.■/-FEA=40°,

:.Z.CEF=180°-^FEA=140°,

???射線EB平分NCEF,

."CEB=乙BEF=±CEF=70°,

■.■GE1EF,

:ZGEB=/.GEF-乙BEF=90°-70°=20°.

故選：B.

9.（24-25七年級上?云南文山?期中）下列各圖中，N1與42是內錯角的是（）

【答案】A

【分析】本題考查了內錯角的判斷，熟記內錯角的定義是解題的關鍵.兩條直線被第三條直線所截形成的

八個角中，兩個角分別在截線的兩側，且在兩條直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內錯角.

根據內錯角的定義可知，內錯角是成"Z"字形的兩個角，據此逐項分析可得答案.

【詳解】解：A.、N1與N2是內錯角，符合題意；

B、N1與N2不是內錯角，不符合題意；

C、與N2不是內錯角，不符合題意；

D、N1與N2不是內錯角，不符合題意；

故選：A.

10.（24-25七年級上?河北衡水?期中）如圖，點。在直線4B上，入4。。=22.5。，NBOC=45。，OE平分

/-BOC,貝UEOC的補角是（）

C

C.AAOE^ADOB^AAOC+2LD0ED.以上者B不對

【答案】B

【分析】本題主要考查角平分線的定義、補角的定義及鄰補角，熟練掌握角平分線的定義、補角的定義及

1

鄰補角是解題的關鍵；由題意易得NBOE=乙COE=%BOC=22.5°=乙4OD,

AAOD+乙BOD=180°=乙BOE+N40E,然后問題可求解.

【詳解】解：?.2400=22.5。，48。。=45。，0E平分乙B0C,

1

"BOE=Z-C0E=產0C=22.5°=乙4。0,^AOC=180°-乙B0C=135°,

-Z-AOD+乙BOD=180°=Z-BOE+Z.AOE,

^EOC+乙BOD=180°=（EOC+乙AOE,

MDOE=180°-4AOD-乙BOE=135°,

???44。。+4。0￡=270。,

綜上所述：4EOC的補角為〃OE或“。8.

故選B.

11.（22-23七年級上?陜西咸陽?期末）已知。A1OC,乙4。&乙4OC等于4:5,貝此8。。的度數為.

【答案】18。或162。

【分析】此題主要考查了垂線的定義，角的和差運算.結合圖形是做這類題的關鍵.根據垂直關系知

乙4。。=90。，由乙4。8:乙4。。=4:5,可求乙4。8=72。，根據乙4。8與乙4。。的位置關系，分類求解即可.

【詳解】解：?.?oi，oc,

.?.乙4。。=90。，

,：Z.AOB,.Z.AOC=4:5,

.?.乙4。區=72。.

乙4OB的位置有兩種：一種是在乙4OC內，一種是在乙40c外.

①當在乙4。。內時，48。。=90。-72。=18。；

②當在N40C外時，ZBOC=90°+72°=162°.

故答案為：18。或162。.

12.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，若乙1=30。/2=110。，貝^3的同位角的大小是,乙3的

內錯角的大小是，43的同旁內角的大小是.

【答案】70。70°110°

【分析】本題主要考查內錯角、同位角以及同旁內角，觀察圖形易得N3的同位角、內錯角都為42的鄰補角,

接下來結合42的度數計算即可；同樣由圖可得N3的同旁內角為42的對頂角，N1與N3為對頂角，據此解答.

【詳解】解：由圖可得N3的同位角、內錯角都為42的鄰補角，

又42=110°,

則其同位角大小為180。—110°=70°；

43的內錯角大小為180。-110°=70°；

43的同旁內角為N2的對頂角，則大小為110。；

故答案為：70。；70°；110°.

13.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，已知點。是直線ZB上一點，AAOC=50°,。￡?平分

乙AOC/BOE=90°,請寫出下列正確結論的序號.

E

①NBOC=130。；②乙4。。=25。；③NBOD=155。；（4）ZCOF=45°.

【答案】①②③

【分析】本題主要考查角平分線，根據角平分線的、鄰補角和直角的意義求解可得.

【詳解】解：因為乙4。。=50。，所以NBOC=180。—乙40c=130。，故①正確；

因為。D平分乙40C,所以〃。。=/力。。=25。，故②正確；

H^ZFOD=180°-AAOD=155°,故③正確；

因為NB0E=90o,A40C=50。，所以NCOE=180。-N40C—NBOE=40。，故④錯誤。

故答案為：①②③

14.（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，直線力B、CD相交于點。.已知NB。。=75°,OE把〃。C分成兩

個角，且〃。E=NEOC,將射線OE繞點。逆時針旋轉角曲0。<&<360。）至IJOF,若N力。F=120°時，a的度

數是_________

【答案】82.