熱點題型?解答題攻略

專題02函數(shù)(九大題型)

?>----------題型歸納?定方向-----------*>

題型01證明函數(shù)的單調性、奇偶性...............................................................1

題型02函數(shù)的值域、最值問題...................................................................2

題型03函數(shù)中的解不等式、比較大小問題........................................................2

題型04恒成立問題.............................................................................3

題型05有解問題...............................................................................5

題型06零點、實數(shù)根等問題.....................................................................5

題型07函數(shù)與數(shù)列.............................................................................5

題型08函數(shù)的其他應用.........................................................................6

題型09函數(shù)的實際應用.........................................................................6

e-------------題型探析?明規(guī)律-----------O

【解題規(guī)律?提分快招】

工-確定函藪單而桂的血觸方法?一

(1)定義法；(2)導數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質法.

2、判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件

(1)定義域關于原點對稱，否則即為非奇非偶函數(shù).

(2)判斷段)與八一x)是否具有等量關系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式

如)+/(—x)=0(奇函數(shù))或危)一/(—x)=0(偶函數(shù)))是否成立.

3、利用指數(shù)函數(shù)的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量.

4、求解與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問

題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.

5、求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法

(1)直接法：令f(x)=0,方程有多少個解，則f(x)有多少個零點；

(2)定理法：利用定理時往往還要結合函數(shù)的單調性、奇偶性等；

(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù).

頻型正證麗函數(shù)的單詞匣丁壽寓至

【典例1-1】.(2024?上海?三模)已知函數(shù)y=是定義在(-2,2)上的奇函數(shù)，且

⑴求“X)的解析式；

(2)判斷＞=/(x)的單調性，并用函數(shù)單調性的定義加以證明.

【變式1-1】.(23-24高三上?上海楊浦?期中)已知。為實數(shù)，設/(力=/+,-4.

(1)若。=1,求函數(shù)＞=/(x),xeR的最小值；

(2)判斷函數(shù)＞=/(x),xeR的奇偶性，并說明理由.

【變式1-2］.(2022,上海浦東新?一■模)已知函數(shù)/(x)=x?+av+l,aeR.

⑴判斷函數(shù)〃x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數(shù)g(x)=△嘮(x＞0),寫出函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間并用定義證明.

X

【變式1-3］.(2021?上海徐匯?二模)已知函數(shù)/(%)=卜+4一/1一Y.

(1)若a=O,求函數(shù)/(x)的零點；

(2)針對實數(shù)。的不同取值，討論函數(shù)/(x)的奇偶性.

題型02函數(shù)的值域、最值問題

【典例2-1】.(22-23高三上?上海楊浦?階段練習)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-叫-1卜41,+?0上的奇函數(shù),

當x21時，/(x)=4x-x2.

(1)求工4-1時/(%)的解析式；

⑵求函數(shù)g(x)=〃?一9的值域.

【變式2-1】.(21-22高三上?上海黃浦?階段練習)已知二次函數(shù)/(x)=a/-4x+c的值域為［0,+8).

(1)若此函數(shù)在［1,2)上是單調減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)求〃x)在［1,+向上的最小值g(。),并求g(a)的值域.

【變式2-2】.(24-25高三上?上海金山?期末)已知常數(shù)。＞1,函數(shù)＞=/(x)的表達式為

=log”(龍+2)-log“(2-%)

(1)證明：函數(shù)了=〃x)是奇函數(shù)；

⑵若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為2,求實數(shù)a的值.

【變式2-3］.(21-22高三上?上海徐匯?開學考試)已知函數(shù)/(x)=x2+ax+3-a,aeR.

(1)求。的取值范圍，使了=/U)在閉區(qū)間［-1,3］上是單調函數(shù)；

⑵當0W無W2時，函數(shù)了=/(x)的最小值是關于a的函數(shù)機⑷.求機⑷的最大值及其相應的a值.

題型03函數(shù)中的解不等式、比較大小問題

【典例3-1】?(24-25高三上?上海?階段練習)設函數(shù)/(x)=9/,且+=

⑴求。的值；

⑵判斷函數(shù)7'（x）的奇偶性和單調性（不用說明理由），并據(jù)此求解關于x的不等式/（x）+/（+K0

12.x—17

4

【典例3-2】?（24-25高三上?上海?階段練習）已知函數(shù)/（x）=x-一+a.

x

⑴證明函數(shù)y=/（X）在（-叫0）上嚴格增；

（2）若函數(shù)＞=/（%）在定義域上為奇函數(shù)，求不等式〃x）＞0的解集.

【變式3-1】.（21-22高三上?上海浦東新?階段練習）設函數(shù)〃力=|2%-7|+"+1（。為實數(shù)）.

（1）若。=-1,解不等式/（力20；

（2）若當白＞0時，關于x的不等式/（x）21成立，求。的取值范圍.

1-X

11

-------0A＜xW44

【變式3-2】.（20-21高三上?上海奉賢?期中）已知〃x）=ax'一

lnx-1,x＞4

（1）若函數(shù)/（X）在1,62的最大值為2,求a的值；

（2）若a=（,求不等式/（x）＜l的解集.

【變式3-3】.（23-24高三上?上海長寧?期中）已知函數(shù)〃x）=|log國，其中常數(shù)。＞0且”1.

⑴判斷上述函數(shù)在區(qū)間（。,1]上的單調性，并用函數(shù)單調性定義證明你的結論；

⑵若空0,利用上述函數(shù)在區(qū)間（0,1]上的單調性，討論〃。和/（喜）的大小關系，并述理由.

題型04恒成立問題

【典例4-1].（2022?上海徐匯?三模）已知。為實數(shù)，函數(shù)/（x）=xk-a|-a,xeR.

⑴當。=2時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；

⑵若對任意xe（0,1）,/（x）＜0恒成立，求。的取值范圍.

A_|_7Ax_4

【典例4-2】?（24-25高三上?上海?階段練習）已知函數(shù)=--------仙〉01。1）是定義在區(qū)上的奇函

b+2bx

數(shù).

⑴求“X）的解析式；

（2）存在xe[2,3],使得加2*-2成立，求實數(shù)，的取值范圍.

【變式4-1].（24-25高三上?上海楊浦?期中）已知函數(shù)/立）=紇亡為奇函數(shù).

1+e”

（1）求。的值并直接寫出〃x）的單調性（無需說明理由）;

(2)若存在實數(shù)/,使得/^-2/)+/(2/-%)>0成立，求實數(shù)左的取值范圍.

【變式4-2].(23-24高三上?上海浦東新?期末)已知函數(shù)y=〃x),其中〃x)=史芋化eR).

⑴是否存在實數(shù)左，使函數(shù)>=/(x)是奇函數(shù)？若存在，請寫出證明.

⑵當無=1時，若關于x的不等式。恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【變式4-3】.(24-25高三上?上海?階段練習)已知函數(shù)/'(x)=-—加x+加，g(x)=^-^-2,，”eR

x+1

⑴求“X)的單調區(qū)間和值域；

⑵若對于任意修?。川，總存在使得〃%)=8(不)成立，求加的取值范圍.

【變式4-4】.(23-24高三上?上海?期中)已知函數(shù)〃x)=log「一加GT)(a>0,awl).

⑴若加=-1時，判斷函數(shù)〃尤)在(2,+8)上的單調性，并說明理由.

(2)若對于定義域內一切x,〃l+x)+/(l-x)=0恒成立，求實數(shù)加的值.

【變式4-51.(2021?上海黃浦?三模)已知函數(shù)/(x)=a-.(a為實常數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)當〃x)為奇函數(shù)時，對任意xe[l,6],不等式恒成立，求實數(shù)〃的最大值.

【變式4-6].(22-23高三下?上海?階段練習)已知力3=國+卜-4,其中aeR.

⑴判斷函數(shù)了=，(無)的奇偶性，并說明理由；

(2)當。=4時，對任意非零實數(shù)c,不等式工(f)V2c+：均成立，求實數(shù)f的取值范圍.

【變式4-7】.(22-23高三下?上海寶山?階段練習)已知/■⑺=皿/平+人2+勺(實數(shù)6為常數(shù)).

(1)當6=-5時，求函數(shù)y=/(x)的定義域。，判斷奇偶性，并說明理由；

(2)若不等式/'(x)>x當xe[2,+8)時均成立，求實數(shù)6的取值范圍.

【變式4-8】.(20-21高三下?上海閔行?開學考試)已知關于x的方程x2-2x+a=0(aeR)在復數(shù)集內有兩

個根匹,尤2，且滿足|再-無2I=2g,

⑴求實數(shù)。的值；

(2)若。>0,存在實數(shù)/,使得不等式log.(a2/+2%左一2左對任意的加e[-2』恒成立，求實數(shù)人的取

值范圍.

v_i_A

【變式4-9].(2022?上海虹口?二模)已知函數(shù)/(“二=子是定義域為R的奇函數(shù).

(1)求實數(shù)6的值，并證明/'(x)在R上單調遞增；

⑵己知。>0且若對于任意的占、x2e［l,3］,都有/?(*)+12*-2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

題型05有解問題

【典例5-1】?(24-25高三上?上海?期中)已知函數(shù)〃x)=e2，+g是定義域為R的偶函數(shù).

⑴求實數(shù)a的值；

⑵己知關于x的方程2,?(/⑺+2)-左=0在xe［0,+8)上有解，求實數(shù)人的取值范圍.

2+無

【變式5-1】.(2024?上海徐匯?二模)已知函數(shù)了=/1),其中/(x)=log1K.

(1)求證:y=/G)是奇函數(shù);

⑵若關于x的方程=10§1(x+左)在區(qū)間［3,4］上有解，求實數(shù)上的取值范圍.

2

題型06零點、實數(shù)根等問題

【典例6-1】.(2023?上海?模擬預測)函數(shù)/3=優(yōu)+工(4>0),且〃l)=e+l.

(1)判斷/(x)在R上的單調性，并利用單調性的定義證明；

⑵g(x)=〃x)-2x,且g(x)在(0,+e)上有零點,求2的取值范圍.

【典例6-2】.(2021?上海閔行?二模)已知函數(shù)/(尤)=1。82(2'+1).

(1)證明/(x)在區(qū)間(-叫+功上是增函數(shù)；

(2)若函數(shù)外幻=機+〃尤)在區(qū)間［0,2］上存在零點，求實數(shù)〃?的取值范圍.

【變式6-11.(2021?上海松江?二模)已知函數(shù)［(?=2"+02-”(。為常數(shù)，aeR).

(1)討論函數(shù)〃x)的奇偶性；

(2)當〃x)為偶函數(shù)時，若方程/■(2x)-h/(x)=3在xe［0,l］上有實根，求實數(shù)上的取值范圍.

【變式6-2】.(21-22高三上?上海浦東新?階段練習)已知函數(shù)/(x)=x|x-a|,其中aeR.

(1)判斷函數(shù)〃x)的奇偶性；

2

(2)解關于x的不等式：/(%)>2a;

(3)若函數(shù)/(x)=l有三個不等實根，求實數(shù)a的取值范圍.

ax,x>1

【變式6-3】.(21-22高三上?上海虹口?階段練習)已知函數(shù)/(x)=,其中。>0,且awl.

x+—a,x<1

［2

(1)當。=2時，若〃x)</(2),求實數(shù)x的取值范圍；

(2)若存在實數(shù)m使得方程/?-m=0有兩個實根，求實數(shù)a的取值范圍.

題型07函數(shù)與數(shù)列

【典例7-1】?（24-25高二上?上海?階段練習）已知函數(shù)/（x）=+，數(shù)列｛&｝是正項等比數(shù)列，且

%0=1，

⑴計算+C值；

⑵用書本上推導等差數(shù)列前”項和的方法，求/（%）+）+/（%）+…+/（陽）+/（須）的值.

【變式7-11.（2024?上海?模擬預測）若〃無）=1。8/（。>0,”"）.

（1?="%）過（4,2）,求〃2》一2）<〃尤）的解集；

⑵存在x使得〃x+l）、/（?%）>〃x+2）成等差數(shù)列，求。的取值范圍.

題型08函數(shù)的其他應用

【典例8-1].（24-25高三上?上海?開學考試）已知/口）=/+2,-同,°為常數(shù).

⑴若>=/（x）為偶函數(shù)，求。的值；

⑵設a>0,g（x）=20,若函數(shù)y=g（x）,xe（O,a]為減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

【變式8-1】.（20-21高三上?上海閔行?階段練習）己知函數(shù)〃x）=x|x-a|+2x.

（1）當。=3時，求函數(shù)“X）的單調遞增區(qū)間；

（2）對任意xe[l,2],當函數(shù)〃x）的圖像恒在函數(shù)g（x）=2x+l圖像的下方時，求實數(shù)。的取值范圍.

【變式8?2】?（21?22高三上?上海浦東新?階段練習）設常數(shù)。〉1,已知函數(shù)/（、）=優(yōu)+J.

（1）判斷函數(shù)/（X）在區(qū)間（-1,+8）上的單調性，并說明理由；

（2）證明：不存在負實數(shù)X。使得/（%）=0.

題型09函數(shù)的實際應用

【典例9-11.（2021?上海嘉定?一模）提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高峰期間的交通狀況.一般

情況下，隧道內的車流速度v（單位：千米/小時）和車流密度x（單位：輛/千米）滿足關系式：

50,0<x<20,

“k”研究表明，當隧道內的車流密度達到120輛/千米時會造成堵塞，此時車流速

60-----------,20<x<120.

I140-x

度為0千米/小時.

（1）若車流速度v不小于40千米/小時，求車流密度x的取值范圍；

（2）隧道內的車流量V（單位時間內通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時）滿足y=求隧道內車流量的最

大值（精確到1輛/小時）及隧道內車流量達到最大時的車流密度（精確到1輛/千米）.（參考數(shù)據(jù)：

77=2,646）

【變式9-1】.（2022?上海金山?二模）經過市場調研發(fā)現(xiàn)，某公司生產的某種時令商品在未來一個月（30

天）內的日銷售量加（百件）與時間第1天的關系如下表所示：

第/天131030

日銷售量加⑺（百件）236.516.5

未來30天內，受市場因素影響，前15天此商品每天每件的利潤工?）（元）與時間第/天的函數(shù)關系式為

工⑺=-31+88（長式15,且/為整數(shù)），而后15天此商品每天每件的利潤力（。（元）與時間第7天的函數(shù)關系

式為力⑺=7+2（16W&30,且/為整數(shù)）.

⑴現(xiàn)給出以下兩類函數(shù)模型：①機⑴=〃+6（%力為常數(shù)）；②加。）=小/（。力為常數(shù)，。＞0且awl.分析

表格中的數(shù)據(jù)，請說明哪類函數(shù)模型更合適，并求出該函數(shù)解析式；

（2）若這30天內該公司此商品的日銷售利潤始終不能超過4萬元，則考慮轉型.請判斷該公司是否需要轉型？

并說明理由.

【變式9-2】.（2022?上海奉賢?一模）圖1是某會展中心航拍平面圖，由展覽場館、通道等組成，可以假設

抽象成圖2,圖2中的大正方形4444是由四個相等的小正方形（如/BCD）和寬度相等的矩形通道組成.

展覽館可以根據(jù)實際需要進行重新布局成展覽區(qū)域和休閑區(qū)域，展覽區(qū)域由四部分組成，每部分是八邊形，

且它們互相全等.圖2中的八邊形所為/QMG是小正方形4BC。中的展覽區(qū)域，小正方形4BCZ?中的四個

全等的直角三角形是休閑區(qū)域，四個八邊形是整個的展覽區(qū)域，16個全等的直角三角形是整個的休閑區(qū)域.

設的邊長為300米，的周長為180米.

（1）設=求△/所的面積y關于x的函數(shù)關系式；

（2）問/￡取多少時，使得整個的休閑區(qū)域面積最大.（夜之1.414,長度精確到1米，利用精確后的長度計算

面積，面積精確到1平方米）

?>題型通關?沖高考?>

一、解答題

1.(2023?上海楊浦一模)設函數(shù)f(x)=e*,xeR.

⑴求方程(〃x)y=〃x)+2的實數(shù)解；

(2)若不等式x+方4/(x)對于一切xwR都成立，求實數(shù)b