高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2025屆高三上學期期末數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，若，則（）A. B.0 C.1 D.或0【答案】A【解析】由可知或，解得或；又因為時，集合中的元素不滿足互異性，舍去；所以.故選：A.2.已知復數，，若復數為純虛數，則實數的值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】因為，所以且，解得故選：C.3.已知向量，，若，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】C【解析】由得，得，故選：C.4.蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業生產和游牧生活．如圖所示的蒙古包由下面圓柱部分和上面圓錐部分組合而成，用毛氈覆蓋其表面（底面除外）．其中圓柱的高為，底面半徑為，圓錐的頂點到底面的距離是，則圖中蒙古包所用毛氈的面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由題意得：圓錐的高為3m，底面半徑為4m，所以圓錐的母線長為5m，所以圓錐的側面積為，而圓柱的側面積為，所以蒙古包所用毛氈的面積為.故選：D.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，又因為，所以，所以.故選：B.6.設，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】解：因為,,所以；因為，又因為；所以.故選：A.7.已知橢圓：的左焦點為，焦距為，圓：與橢圓有四個交點，其中點，分別在第一、四象限，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于為等邊三角形，所以,設，則，代入，解得，故，將代入橢圓方程得，故，故，化簡可得，故,解得，由于，故，故，故選：C8.已知函數存在最小值，則的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當時，為增函數，則有；當時，，若，即時，，若，在上為增函數，此時，若存在最小值，必有或，解得或，則的范圍是.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知等差數列，前項和，則（）A. B.C. D.為公差為的等差數列【答案】AC【解析】解：因為等差數列，前項和，所以，故A正確；，則，故B錯誤；，故C正確；，所以為公差為1的等差數列，故錯誤；故選：.10.已知函數，則下列關于函數的說法正確的是（）A.上單調遞增B.對任意，都有C.的圖象可以由的圖象向左平移個單位長度得到D.函數在上的值域為【答案】AC【解析】因為，對于A，令，則，即的一個單調增區間為，則在上單調遞增，故選項A正確；對于C，圖象向左平移個單位長度得到，，故選項C正確；對于B，由于，所以，故選項B錯誤；對于D，當，則所以，故選項D錯誤.故選：AC.11.如圖，已知曲線的方程為，是曲線上任意一點，則（）A.點橫坐標的范圍是B.直線與曲線有兩個交點C.已知，則D.設，是曲線上兩點，若，，則【答案】CD【解析】對于A，易知，即，解得，即A正確；對于B，令函數，則，令，可得，因此當時，，即在上單調遞增；當時，，即在上單調遞減；當時，，即在上單調遞增；所以在處取得極大值，因此可得時，，即可得；易知，所以直線與曲線在上有兩個交點，在上有一個交點，共三個交點，即B錯誤；對于C，設，則，令，可得，令，則或；當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減，又，所以當時，；當時，，所以，因此可得，因此C正確；對于D，由，，即異號時，；當時，不妨設，即，解得；又，所以；此時，即此時當時，不妨設，可得，；所以綜上可知，，即D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．12.若曲線處的切線平行于直線的坐標是_______.【答案】【解析】因為，設切點，則又所以故答案為：.13.遞增等比數列的各項均為正數，且，則______；【答案】【解析】由題設且公比，則，整理得，所以，而.故答案為：914.如圖，幾何體，其中，均為正三棱錐，，點，分別為和棱的中點，且幾何體各頂點都在一個球面上，若，則該幾何體的體積為______．【答案】或【解析】由題意，平面，幾何體的外接球直徑為，不妨設，設中點為，即為外接球的球心，連接，則，設，，則，，，，在中，，得，在中，，同理，，化簡得，代入，可得，故，幾何體的體積為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角所對的邊分別為，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，由余弦定理可得，因，所以，由，則，由正弦定理得則.（2）因，.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，垂足為．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：連接交于，連接，在中，，分別為的中點，所以，又平面，平面平面（2）證明：側棱底面，底面，又因為底面是正方形，，因為，平面，平面，又平面，，是的中點，又，平面，平面，因為平面，，又，，平面，平面.（3）解：以點為原點，DA，DC，DP所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，設，，，，，，，設是平面的一個法向量，由得：，令，得，所以平面的一個法向量，顯然，是平面的一個法向量，設為平面與平面的夾角，，即平面與平面的夾角的余弦值17.已知橢圓：過點，且離心率．（1）橢圓的方程；（2）過右焦點的直線交橢圓于兩點，，AB的中點為．設原點為，射線OM交橢圓于點，已知四邊形AOBD為平行四邊形，求直線的方程．解：（1）橢圓過點，，又，，解得：，橢圓的方程為；（2）如圖：設直線的方程為，由得，設，則.，四邊形為平行四邊形.設，則，所以，，因為點在橢圓上，所以得，解得，當直線的斜率不存在時，顯然不成立所以，直線的方程為或.18.若函數滿足：對于任意，，都有，則稱具有性質．（1）設，，分別判斷函數，是否具有性質？并說明理由；（2）（ⅰ）已知奇函數是上的增函數，證明：具有性質；（ⅱ）設函數具有性質，求的范圍．（1）解：不具有性質，理由如下：取，則；具有性質，理由如下：對于任意，，所以具有性質.（2）（ⅰ）證明：是上的增函數，當時，，即，為奇函數，，，具有性質；（ⅱ）解：因為函數具有性質，，因為，又定義域為，所以為奇函數，，即為上的增函數，在上恒成立，在上恒成立，當時，顯然成立，當時，，令，，令，，因為為的增函數，，當時，，令，，.綜上：19.已知數列具有性質：對任意的，與兩數中至少有一個屬于．（1）分別判斷數集和是否具有性質；（2）證明：當時，，，，不可能成等差數列；（3）證明：當時，，，，，是等比數列．（1）解：集合中且，所以不具有性質,因為都屬于，是具有性質.（2）證明：因為具有性質,所以與至少有一個屬于，又因，故，又，故，同理：，即，故又，，故，即假設是等差數列，則由已知得公差則由得：解得：與假設矛盾所以當時，不可能成的差數列.（3）證明：當時，由（2）知即，，，，由得：，又，即是以為首項，公比為的等比數列.山東省青島市2025屆高三上學期期末數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，若，則（）A. B.0 C.1 D.或0【答案】A【解析】由可知或，解得或；又因為時，集合中的元素不滿足互異性，舍去；所以.故選：A.2.已知復數，，若復數為純虛數，則實數的值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】因為，所以且，解得故選：C.3.已知向量，，若，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】C【解析】由得，得，故選：C.4.蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業生產和游牧生活．如圖所示的蒙古包由下面圓柱部分和上面圓錐部分組合而成，用毛氈覆蓋其表面（底面除外）．其中圓柱的高為，底面半徑為，圓錐的頂點到底面的距離是，則圖中蒙古包所用毛氈的面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由題意得：圓錐的高為3m，底面半徑為4m，所以圓錐的母線長為5m，所以圓錐的側面積為，而圓柱的側面積為，所以蒙古包所用毛氈的面積為.故選：D.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，又因為，所以，所以.故選：B.6.設，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】解：因為,,所以；因為，又因為；所以.故選：A.7.已知橢圓：的左焦點為，焦距為，圓：與橢圓有四個交點，其中點，分別在第一、四象限，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于為等邊三角形，所以,設，則，代入，解得，故，將代入橢圓方程得，故，故，化簡可得，故,解得，由于，故，故，故選：C8.已知函數存在最小值，則的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當時，為增函數，則有；當時，，若，即時，，若，在上為增函數，此時，若存在最小值，必有或，解得或，則的范圍是.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知等差數列，前項和，則（）A. B.C. D.為公差為的等差數列【答案】AC【解析】解：因為等差數列，前項和，所以，故A正確；，則，故B錯誤；，故C正確；，所以為公差為1的等差數列，故錯誤；故選：.10.已知函數，則下列關于函數的說法正確的是（）A.上單調遞增B.對任意，都有C.的圖象可以由的圖象向左平移個單位長度得到D.函數在上的值域為【答案】AC【解析】因為，對于A，令，則，即的一個單調增區間為，則在上單調遞增，故選項A正確；對于C，圖象向左平移個單位長度得到，，故選項C正確；對于B，由于，所以，故選項B錯誤；對于D，當，則所以，故選項D錯誤.故選：AC.11.如圖，已知曲線的方程為，是曲線上任意一點，則（）A.點橫坐標的范圍是B.直線與曲線有兩個交點C.已知，則D.設，是曲線上兩點，若，，則【答案】CD【解析】對于A，易知，即，解得，即A正確；對于B，令函數，則，令，可得，因此當時，，即在上單調遞增；當時，，即在上單調遞減；當時，，即在上單調遞增；所以在處取得極大值，因此可得時，，即可得；易知，所以直線與曲線在上有兩個交點，在上有一個交點，共三個交點，即B錯誤；對于C，設，則，令，可得，令，則或；當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減，又，所以當時，；當時，，所以，因此可得，因此C正確；對于D，由，，即異號時，；當時，不妨設，即，解得；又，所以；此時，即此時當時，不妨設，可得，；所以綜上可知，，即D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．12.若曲線處的切線平行于直線的坐標是_______.【答案】【解析】因為，設切點，則又所以故答案為：.13.遞增等比數列的各項均為正數，且，則______；【答案】【解析】由題設且公比，則，整理得，所以，而.故答案為：914.如圖，幾何體，其中，均為正三棱錐，，點，分別為和棱的中點，且幾何體各頂點都在一個球面上，若，則該幾何體的體積為______．【答案】或【解析】由題意，平面，幾何體的外接球直徑為，不妨設，設中點為，即為外接球的球心，連接，則，設，，則，，，，在中，，得，在中，，同理，，化簡得，代入，可得，故，幾何體的體積為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角所對的邊分別為，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，由余弦定理可得，因，所以，由，則，由正弦定理得則.（2）因，.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，是的中點，垂足為．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：連接交于，連接，在中，，分別為的中點，所以，又平面，平面平面（2）證明：側棱底面，底面，又因為底面是正方形，，因為，平面，平面，又平面，，是的中點，又，平面，平面，因為平面，，又，，平面，平面.（3）解：以點為原點，DA，DC，DP所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，設，，，，，，，設是平面的一個法向量，由得：，令，得，所以平面的一個法向量，顯然，是平面的一個法向量，設為平面與平面的夾角，，即平面與平面的夾角的余弦值17.已知橢圓：過點，且離心率．（1）橢圓的方程；（2）過右焦點的直線交橢圓于兩點，，AB的中點為．設原點為，射線OM交橢圓于點，已知四邊形AOBD為平行四邊形，求直線的方程．解：（1）橢圓過點，，又，，解