高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省承德市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則．故選：C.2.函數的定義域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得，解得或或．所以函數的定義域為：.故選：A.3.若冪函數的圖象過點()，則是（）A.奇函數 B.偶函數C.上的增函數 D.R上的增函數【答案】C【解析】設冪函數，則，解得，所以，由于該函數定義域為，故既不是奇函數也不是偶函數，且是上的增函數，所以A、B、D都是錯誤的.故選：C.4.已知函數，且)圖象經過定點A，則點A的坐標為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，則，所以過的定點的坐標為．故選：B.5."”是“關于x的不等式有解”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若關于的不等式有解，則，得．由“”可以推出“”，由“”不能推出“”，所以“”是“關于的不等式有解”的充分不必要條件．故選：A.6.已知，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.7.如圖，這是一塊扇形菜地，是弧的中點，是該扇形菜地的弧所在圓的圓心，D為和的交點，若米，則該扇形菜地的面積是（）A.平方米 B.平方米C.平方米 D.平方米【答案】A【解析】如圖，連接．因為是弧的中點，所以，米．因為，所以，所以，所以是等邊三角形，則．因為米，所以米，米，則該扇形菜地的面積是平方米．故選：A.8.已知，則的最小值為（）A.25 B.6 C.10 D.5【答案】D【解析】由題意得，則，當且僅當，即時，等號成立．故的最小值為5．故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知角的終邊經過點，則（）A B.C. D.第四象限角【答案】AC【解析】由題意得，AC正確，B錯誤．易得為第二象限角，D錯誤．故選：AC.10.已知函數的定義域為，且為奇函數，當時，，則（）A.B.的圖象關于點對稱C.D.【答案】ACD【解析】對A：因為為奇函數，所以，令，則，A正確；對B：由，得，則，即的圖象關于點對稱，B錯誤；對C：當時，，則，，，故C正確；對D：根據C選項，遞推可得：，因為，所以，則，得，故D正確．故選：ACD.11.已知函數則下列結論正確的是（）A.若，則B.若在上單調遞增，則的值可以為C.存在，使得在上單調遞減D.若的值域為，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】由題意得，得，得，A正確；若在上單調遞增，則，得，B正確；若在上單調遞減，則，不等式組無解，C錯誤；若的值域為，則，得在上單調遞增．當時，在上單調遞增，則，得，即．當時，在上單調遞減，在上單調遞增，則，得恒成立，即2．綜上，的取值范圍為，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在世界級的比賽當中，參加滑雪大跳臺項目的女子選手所進行的空中轉體動作的旋轉度數分為720度、900度、1080度、1260度、1440度5個維度，則1260度的弧度數為_______.【答案】【解析】因為．13.已知函數，則函數的值域為_______.【答案】【解析】易得是減函數，所以．令，則，因為函數在上單調遞增，所以，即值域為．14.如圖，已知是半徑為的扇形，，是弧上的動點，過點作，垂足為，某地區欲建一個風景區，該風景區由和矩形組成，且，則該風景區面積的最大值為_____________.【答案】【解析】設，則，，則，則，設該風景區面積為，則，令，則，即，函數對稱軸，即當時，面積取最大值，此時.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）求值：（為正數）.（2）若（且），求的值．解：（1）原式．（2）由題意得，由，得，則，即．故．16.已知.（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由，得，所以.（2）.17.已知函數（1）證明：在內至少有一個零點．（2）討論函數的零點個數.解：（1）由題意得，，因為的圖象是一條連續不斷的曲線，且，所以在內至少有一個零點．（2）由題意得．令，得．令，函數，則的零點個數等于的圖象與直線的公共點個數．的大致圖象如圖所示．當時，的圖象與直線的公共點個數為0，即函數的零點個數為0．當或時，的圖象與直線的公共點個數為1，即函數的零點個數為1．當時，的圖象與直線的公共點個數為2，即函數的零點個數為2．18.已知是偶函數，，且在上單調遞增．（1）比較與2的大小；（2）求不等式的解集；（3）若函數，且，且不等式在上恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為是偶函數，所以．又在上單調遞增，所以在上單調遞減，則，即．（2）由，得，得，解得或，即不等式的解集為．（3）當時，在上單調遞減，在值域為，所以不等式不恒成立．當時，在上單調遞減，在上單調遞增，要使不等式在上恒成立，則，得，得，即．綜上，的取值范圍為．19.已知函數的定義域為．若且，則稱是凹函數；若且，則稱是凸函數．（1）已知函數．①求的解析式；②判斷是凹函數還是凸函數，根據凹函數，凸函數的定義證明你的結論．（2）討論函數在定義域上的凹凸性.解：（1）①根據題意，，所以.②是凹函數；，且，則，因為，所以，所以，即，故是凹函數.（2），則，因為，所以，所以當時，，即，函數在定義域上為凸函數，當時，，即，函數在定義域上為凹函數.河北省承德市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則．故選：C.2.函數的定義域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得，解得或或．所以函數的定義域為：.故選：A.3.若冪函數的圖象過點()，則是（）A.奇函數 B.偶函數C.上的增函數 D.R上的增函數【答案】C【解析】設冪函數，則，解得，所以，由于該函數定義域為，故既不是奇函數也不是偶函數，且是上的增函數，所以A、B、D都是錯誤的.故選：C.4.已知函數，且)圖象經過定點A，則點A的坐標為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，則，所以過的定點的坐標為．故選：B.5."”是“關于x的不等式有解”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若關于的不等式有解，則，得．由“”可以推出“”，由“”不能推出“”，所以“”是“關于的不等式有解”的充分不必要條件．故選：A.6.已知，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.7.如圖，這是一塊扇形菜地，是弧的中點，是該扇形菜地的弧所在圓的圓心，D為和的交點，若米，則該扇形菜地的面積是（）A.平方米 B.平方米C.平方米 D.平方米【答案】A【解析】如圖，連接．因為是弧的中點，所以，米．因為，所以，所以，所以是等邊三角形，則．因為米，所以米，米，則該扇形菜地的面積是平方米．故選：A.8.已知，則的最小值為（）A.25 B.6 C.10 D.5【答案】D【解析】由題意得，則，當且僅當，即時，等號成立．故的最小值為5．故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知角的終邊經過點，則（）A B.C. D.第四象限角【答案】AC【解析】由題意得，AC正確，B錯誤．易得為第二象限角，D錯誤．故選：AC.10.已知函數的定義域為，且為奇函數，當時，，則（）A.B.的圖象關于點對稱C.D.【答案】ACD【解析】對A：因為為奇函數，所以，令，則，A正確；對B：由，得，則，即的圖象關于點對稱，B錯誤；對C：當時，，則，，，故C正確；對D：根據C選項，遞推可得：，因為，所以，則，得，故D正確．故選：ACD.11.已知函數則下列結論正確的是（）A.若，則B.若在上單調遞增，則的值可以為C.存在，使得在上單調遞減D.若的值域為，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】由題意得，得，得，A正確；若在上單調遞增，則，得，B正確；若在上單調遞減，則，不等式組無解，C錯誤；若的值域為，則，得在上單調遞增．當時，在上單調遞增，則，得，即．當時，在上單調遞減，在上單調遞增，則，得恒成立，即2．綜上，的取值范圍為，D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在世界級的比賽當中，參加滑雪大跳臺項目的女子選手所進行的空中轉體動作的旋轉度數分為720度、900度、1080度、1260度、1440度5個維度，則1260度的弧度數為_______.【答案】【解析】因為．13.已知函數，則函數的值域為_______.【答案】【解析】易得是減函數，所以．令，則，因為函數在上單調遞增，所以，即值域為．14.如圖，已知是半徑為的扇形，，是弧上的動點，過點作，垂足為，某地區欲建一個風景區，該風景區由和矩形組成，且，則該風景區面積的最大值為_____________.【答案】【解析】設，則，，則，則，設該風景區面積為，則，令，則，即，函數對稱軸，即當時，面積取最大值，此時.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）求值：（為正數）.（2）若（且），求的值．解：（1）原式．（2）由題意得，由，得，則，即．故．16.已知.（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由，得，所以.（2）.17.已知函數（1）證明：在內至少有一個零點．（2）討論函數的零點個數.解：（1）由題意得，，因為的圖象是一條連續不斷的曲線，且，所以在內至少有一個零點．（2）由題意得．令，得．令，函數，則的零點個數等于的圖象與直線的公共點個數．的大致圖象如圖所示．當時，的圖象與直線的公共點個數為0，即函數的零點個數為0．當或時，的圖象與直線的公共點個數為1，即函數的零點個數為1．當時，的圖象與直線的公共點個數為2，即函數的零點個數為2．18.已知是偶函數，，且在上單調遞增．（1）比較與2的大小；（2）求不等式的解集；（3）若函數，且，且不等式在上恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為是偶函數，所以．又在上單調遞增，所以在上單調遞減，則，即．（2）由，得，得，解得或，即不等式的解集為．（3）當時，在上單調遞減，在值域為，所以不等