第六章

數理統計的基本概念總體與樣本§6.1一個統計問題總有它明確的研究對象.■總體…研究某批燈泡的壽命研究對象的全體稱為總體，總體中每個成員稱為個體.總體為推斷總體分布及各種特征，隨機地從總體中抽取若干個體進行觀察試驗，這一抽取過程稱為“抽樣”，所抽取的部分個體稱為樣本.樣本中所包含的個體數目稱為樣本容量.■樣本一旦取定一組樣本，得到的是n個數(x1,x2,…,xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本觀測值

.容量為n的樣本可以看作n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)設X1,X2,…,Xn為總體X的一個容量為n的樣本。若它滿足獨立性，即X1,X2,…,Xn

相互獨立；同分布性，即每個Xi都與總體X服從相同的分布.則稱這樣的樣本為簡單隨機樣本，簡稱為樣本。簡單隨機樣本總體、樣本、樣本值的關系總體（理論分布）？樣本樣本值統計是從手中已有的資料--樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質.總體分布決定了樣本取值的概率規律，也就是樣本取到樣本值的規律，因而可以由樣本值去推斷總體.統計量與抽樣分布§6.2■統計量設X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，g(X1,X2,…,Xn)是樣本的實值函數，且不包含任何未知參數，則稱g(X1,X2,…,Xn)為統計量。樣本均值樣本方差它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息常用統計量樣本k階原點矩樣本k階中心矩它反映了總體k階矩的信息它反映了總體k階中心矩的信息

次序統計量

某地區30名2000年某專業畢業實習生實習期滿后的月薪數據如下：9091091967123210961164108610711572950808971112010818257751224950999113091412031044866132013369921025871738A.構造該數據的頻率分布表(組數為6)B.畫出直方圖頻數/頻率直方圖

Max=1572,Min=738,組數=6組距=(Max-Min)/6=139

140取a0=735,則分組區間及相關數據如下組序分區區間頻數頻率累計頻率1(735,875]60.20.22(875,1015]80.270.473(1015,1155]90.30.774(1155,1295]40.130.95(1295,1435]20.070.976(1435,1575]10.031.0合計301

設X1,X2,…,Xn是取自總體X的樣本，對應的次序統計量為X(1)

X(2)

…

X(n)

，當給定次序統計量的觀測值x(1)

x(2)

…

x(n)時,對任意實數x，稱下面函數為總體X的經驗分布函數。經驗分布函數

例1：從總體X中抽取容量為8的樣本，其觀測值為

33，45，25，33，35，65，30，27。試求X的經驗分布函數。

解：將樣本觀測值由小到大排序得

25<27<30<33=33<35<45<65■抽樣分布

統計量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機變量，故統計量也是隨機變量，它的分布叫做統計量的“抽樣分布”.

■統計三大分布記為定義:設相互獨立,都服從正態分布N(0,1),則稱隨機變量：

所服從的分布為自由度為

n

的分布的密度函數為來定義.其中伽瑪函數通過積分性質1(可加性)Y1~χ2(m)，Y2~χ2(n)，Y1與Y2獨立，則Y1+Y2~χ2(m+n)性質2(數字特征)

若χ2

~χ2(n)，則

E(χ2)=n，D(χ2)=2n例2：設X1,X2,X3,

X4是來自總體N(0,4)的簡單隨機樣本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，問當a,b為何值時，統計量X服從例1.設X1,X2,…,

Xn是來自總體N(μ,σ2)的簡單隨機樣本，求隨機變量T的密度函數為：記為T～t(n).

定義:設X～N(0,1),Y～,且X與Y相互獨立，則稱變量所服從的分布為自由度為n的t分布.2.t分布

例3.設X1,X2,…,Xn是來自正態總體N(0,4)

的樣本，試問統計量服從什么分布？3.F分布服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱為第一自由度，n2稱為第二自由度，記作F~F(n1,n2).定義：設X與Y相互獨立,則稱統計量

F分布性質1

若X~F(m,n)，則1/X~F(n,m)F分布性質2若X

~t(n)，則X2~F(1,n)

例4.設X1,X2,…,Xn是來自正態總體N(0,1)

的樣本，試問統計量服從什么分布？

抽樣分布的分位點設α為給定的常數，且0<α<1.若存在χα2(n)使其中fn(x)為χ2的概率密度，則稱點χα2(n)為χ2分布關于α的上側分位點。

設α為給定的常數，且0<α<1.若存在tα

(n)使其中fn(t)為T的概率密度，則稱點tα

(n)為t分布關于α的上側分位點。

設α為給定的常數，且0<α<1.若存在Fα

(m,n)使其中f(y)為F的概率密度，則稱點Fα

(m,n)為F分布關于α的上側分位點。

分位點的性質(1)(2)(3)

三、正態總體的抽樣分布定理1：設X1,X2,…,Xn是來自正態總體N(μ,σ2)的樣本，則

定理2(兩總體樣本均值差的分布)

分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值,則有Y1,Y2,…,是樣本

定理3(兩總體樣本方差比的分布)

分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值，則有Y1,Y2,…,是樣本是取自X的樣本,問下面兩個統計量服從什么分布？且X與Y獨立,X1,X2,…,取自Y的樣本,Y1,Y2,…,是練習是取自X的樣本,問下面兩個統計量服從什么分布？且X與Y獨立,X1,X2,…,取自Y的樣本,Y1,Y2,…,是作業是取自X的樣本,問下面統計量Z服從什么分布？且X與Y獨立,X1,X2,…,取自Y的樣本,Y1,Y2,…,是作業3.習題6的第4題4.計算與證明題---第7題作業5.隨機變量X~F(n,n)，求P(X<1)6.X~