四川省成都市蓉城名校聯盟2022-2023學年高二下學期理數期中聯考試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、單選題1．AB+A．AC B．BC C．AB D．02．函數f(x)=2A．f'(x)=2C．f'(x)=23．若可導函數f(x)滿足limΔx→0f(1+Δx)?f(1)ΔxA．1 B．2 C．3 D．44．已知直線l的方向向量為m=(1，?2，4)，平面α的法向量為n=(x，1，?2)，若直線l與平面α平行，則實數A．12 B．?12 5．若定義在R上的函數f(x)的導數f'A．函數f(x)在區間(?∞，0)上單調遞減，在區間B．函數f(x)在區間(?∞，1)上單調遞增，在區間C．函數f(x)在x=1處取極大值，無極小值D．函數f(x)在x=0處取極大值，無極小值6．若函數f(x)=xlnx在點(x0，?f(A．-e B．e C．-1 D．17．若關于x的不等式ex?x?a>0恒成立，則A．(e，+∞) B．(?∞，1) C．8．已知正四面體A?BCD的棱長為2，若M、N分別是AB、CD的中點，則線段MN的長為（）A．2 B．2 C．3 D．69．函數f(x)=eA． B．C． D．10．若函數f(x)=x2?ax+A．0<a<22 B．C．a<?22或a>22 11．如圖，半徑為1的球O是圓柱O1O2的內切球，線段AB是球O的一條直徑，點P是圓柱OA．[0，1] B．[0，3] C．[0，2] 12．若關于x的不等式k(x2+2x)?≤?lnx+1的解集中恰有A．13<k?≤?1 C．ln3+115<k?≤?ln2+1二、填空題13．已知OA=(?2，1，3)，OB=(1，?2，4)，則AB14．?11(2x+115．若函數f(x)=kx?cosx在區間(0，π)上單調遞減，則16．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，若空間中的動點①若λ=μ=ν=12，則點P到平面AB②若λ=μ=ν=12，則二面角P?AB?C的平面角為③若λ+μ+ν=12，則三棱錐P?BDA④若λ+μ?ν=12，則點P的軌跡構成的平面圖形的面積為三、解答題17．已知空間向量a=(1，0，1)，b=(2，?1，0)，（1）若(a+b（2）若ka+b與218．已知函數f(x)=1（1）求曲線y=f(x)在點(1，?f(1))處的切線方程；（2）求函數在區間[?1，4]的最大值與最小值．19．如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，（1）求異面直線A1D與（2）證明：平面A1DC20．制作一個容積為V的圓柱體容器（有底有蓋，不考慮器壁的厚度），設底面半徑為r．（1）把該容器外表面積S表示為關于底面半徑r的函數；（2）求r的值，使得外表面積S最小．21．在如圖①所示的長方形ABCD中，AB=3，AD=2，E是DC上的點且滿足DC=3EC，現將三角形ADE沿AE翻折至平面APE⊥平面ABCD（如圖②），設平面PAE與平面PBC的交線為l．（1）求二面角B?l?A的余弦值；（2）求l與平面ABCE所成角的正弦值．22．已知函數f(x)=ln(x+1)，g(x)=e（1）求函數g(x)的導函數在(0，+∞)上的單調性；（2）證明：?a?，??b∈(0，+∞)，有g(a+b)>g(a)+g(b)．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】AB+故答案為：B．

【分析】利用向量加法的三角形法則可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】函數f(x)=2x+sinx故答案為：D

【分析】利用求導公式計算可得答案.3．【答案】C【解析】【解答】由導數的定義知：f'故答案為：C.

【分析】根據已知條件，結合導數的幾何意義，即可求解出答案.4．【答案】C【解析】【解答】因為直線l的方向向量為m=(1，?2，4)，平面α的法向量為n若直線l與平面α平行，則m⊥n，即m?n=0故答案為：C．

【分析】根據直線l與平面α平行得m⊥5．【答案】A【解析】【解答】對于AB，由f'(x)圖象可知：當x∈(?∞，0)時，f'∴f(x)在(?∞，0)上單調遞減，在對于CD，由單調性可知：f(x)在x=0處取得極小值，無極大值，CD不符合題意.故答案為：A.

【分析】根據導函數的圖象可得導函數的符號，從而得原函數的單調性，再逐項進行判斷，可得答案.6．【答案】D【解析】【解答】因為f'所以f(x)在點(x0故答案為：D．

【分析】根據某點切線斜率與導函數等價關系，求導即可求解出x07．【答案】B【解析】【解答】令f(x)=ex?x?a，則f(x)>0∵f'(x)=ex?1，∴當x∈(?∞，∴f(x)在(?∞，0)上單調遞減，在∴f(x)min=f(0)=1?a>0，解得：a<1，即a故答案為：B.

【分析】令f(x)=ex?x?a，則f(x)>08．【答案】B【解析】【解答】∵MN又∵AC、AB、AD兩兩的夾角均為π3，且∴==1∴|MN|=|故答案為：B．

【分析】根據向量的三角形法則和線性運算可得MN→2，再根據|MN|=|9．【答案】A【解析】【解答】由定義域為{x|x≠1}，又f'(x)=ex(x?2)∴f(x)的單增區間為(2，+∞)，∴排除C；當x<0時，f(x)<0，∴排除D；故答案為：A．

【分析】求出函數的定義域可排除B；由導數的符號可得函數的單調性，可排除C；根據特殊函數值即當x<0時，判斷出f(x)<0可排除D；進而得答案.10．【答案】D【解析】【解答】由題意可得f(x)的定義域為x∈(0，+∞)，因為函數f(x)有兩個極值點，所以2x2?ax+1=0所以a2?8>0a故答案為：D

【分析】求導得f'(x)=2x?a+1x=2x11．【答案】A【解析】【解答】∵PA因為線段AB是球O的一條直徑，∴?OA∵PA又∵|PO|∴PA故答案為：A．

【分析】根據已知條件分析可得PA→?PB→=|PO12．【答案】C【解析】【解答】∵x>0，∴不等式k(x2令f(x)=lnx+1x，由f'(x)>0解得0<x<1，由f∴f(x)在(0，1)為增函數，f(x)在(1，+∞)為減函數，令g(x)=k(x+2)，則g(x)的圖象恒過(?2，0)，若解集恰有2當k≤0時，有無數個整數解，不滿足題意；當k>0時，如圖，2滿足不等式且3不滿足不等式，即8k?≤?ln2+1且15k>ln3+1，∴ln3+1故答案為：C．

【分析】將不等式變形為k(x+2)?≤?lnx+1x，令f(x)=lnx+1x，求導，根據導數的符號可得f(x)的單調性，令13．【答案】(3，?3，1)【解析】【解答】因為OA=(?2，1，3)，OB=(1，?2，4)，所以故答案為：(3，?3，1)

【分析】根據向量減法的坐標運算可求出答案.14．【答案】2【解析】【解答】?1(故答案為：2．

【分析】求出被積函數的原函數，再計算定積分的值，可得答案.15．【答案】(?∞【解析】【解答】由題意可知，f'因為f(x)在區間(0，所以f'(x)=k+sinx≤0在因為x∈(0，所以0≤sinx≤1，即?1≤?sin所以k的取值范圍是(?∞，故答案為：(?∞，

【分析】根據函數的單調性與導函數的關系，利用分離參數法可得k≤(?16．【答案】②④【解析】【解答】對于①：由空間向量的正交分解及其坐標表示可建立如圖空間直角坐標系，∴P(1，1，1)，B1(2，0，2向量AP=(1，1，1)，設平面AB1由AB1=則AB1?n1=0AC則點P與平面AB1C的距離為d=對于②：設平面ABP的法向量n2又∵AP=(1，1，1)，∴AP?n2=0AB?易得平面ABC的一個法向量n3設二面角P?AB?C的平面角為θ，則cosθ=n∵θ是銳角，∴二面角P?AB?C的平面角為π4，故②對于③：∵AP=λAB+μAD+νA∴AP=(2λ，2μ，2ν)，則設平面BDA1的法向量為由BD=(?2則?2x4+2y4則點P到平面BDA1的距離為由λ+μ+ν=12易知S△BD則三棱錐VP?BDA1對于④：延長A1A至點A0，使得|A1A|=2|AA0|，取AB中點B0，AD中點D0，連接A0B0，A0D0并延長，交棱BB1，DD1于點E，F則平面B0D0A0在平面ABB∵AA0//BB∴∠B0A在△AB0A∵∠A∴△AB∴AA∴B1E=BE，即點E為B同理可得，EG=GH=HF=D∴六邊形B0D0則其面積S=6×3∵λ+μ?ν=12，∴AP整理得2λB∴點P在平面B0∴當λ+μ?ν=12，點P的軌跡構成的平面圖形的面積為33故答案為：②④．

【分析】以A為坐標原點，AB，AD，AA1為坐標軸建立空間直角坐標系，求出所需點的坐標，結合正方體的結構特征，利用向量法，逐項進行判斷，可得答案.17．【答案】（1）解：∵a+∴(a+即3=μ(λ+4)，且?1=?μλ，1=μλ，解得λ=2；（2）解：∵ka+b又∵(ka【解析】【分析】（1）根據向量共線的坐標運算列方程，求解可得λ的值；

（2）分別求出ka+b與2a?18．【答案】（1）解：∵f(1)=3，∴切點為(1，3)，又∵f'(x)=∴切線方程為y?3=0(x?1)，即y=3，即曲線y=f(x)在點(1，?f(1))處的切線方程為y=3；（2）解：由（1）知f'(x)=x2?4x+3，令f'(x)>0，得x<1∴函數f(x)在區間[?1，1)，(3，4]為增函數，在區間?[?1，3]為減函數，又∵f(1)=3，f(4)=3，∴f(x)又∵f(?1)=?113，f(3)=5【解析】【分析】（1）求導得f'(x)=x2?4x+3，由導數的幾何意義可得曲線y=f(x)在點(1，?f(1))處的切線斜率為f'(1)=0，利用點斜式即可求出切線方程；

19．【答案】（1）解：如圖，分別作AC，A1C1的中點O，O1，連接在正三棱柱ABC?A1B1C則OA，OB，OO1互相垂直，以O為坐標原點，分別以OA，OB，OO已知AA1=3AC=23，則A1設異面直線A1D與BC所成角為θ，∵A1D∴cosθ=|（2）證明：由題可知A(1，0，0)，C1(?1，0，23)，A1設平面A1DC則m?A1D=?設平面ADC的法向量為n=(則n?AD=?x2∵m?n=1?1=0，∴平面【解析】【分析】（1）以O為坐標原點，分別以OA，OB，OO1所在直線為x，?y?，??z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法可求出異面直線A1D與BC所成角的余弦值；

（2）求出平面A1DC20．【答案】（1）解：設圓柱體水杯的高為h，則h=Vπr2，即S(r)=2πr2+（2）解：由（1）得：S'(r)=4πr?2Vr2則當0<r<3V2π時，S'(r)<0，S(r)單調遞減；當r>∴當r=3V2π【解析】【分析】(1)用容積V和底面半徑r表示出高h，再根據圓柱的表面積公式可求出該容器外表面積S表示為關于底面半徑r的函數；

(2)由(1)利用導數判斷函數的單調性，從而求出函數的極值和最值，即可得表面積S最小值.21．【答案】（1）解：如圖，取AE的中點O，連接PO，AD=DE=2，則PO⊥AE，又∵平面PAE⊥平面ABCE，又平面PAE∩平面ABCE=AE，又PO?平面PAE∴PO⊥平面ABCE，延長DO交AB于點G，由DE∥AB，O為AE的中點，則AG=DE=2，OG⊥AE，OG=OA=2分別以OA，?OG?，??OP所在直線為x，?y?，??z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，A(2，0，0)，G(0，2，0)∵PO⊥平面ABCE，OG?平面ABCE，∴OG⊥OP，又∵OG⊥AE，AE∩OP=O，AE，OP?平面PAE，所以OG⊥平面∴平面PAE的法向量為OG，且OG=又CB=DA=設平面PBC的法向量為n=則CB?令y=1，則n=設二面角B?l?A的平面角為θ，cos?由題知θ∈(0，π2（2）解：設直線AE與BC相交于點F，∵F∈BC，F∈平面PBC，同理F∈平面PAE，由平面公理3可得F∈l，又P∈l，∴PF即為l，∵PO⊥平面ABCE，∴OF是PF在平面ABCE內的投影，∴∠PFO是l與平面ABCE所成角，由PO=2，又OF=22，sin∠PFO=∴l與平面ABCE所成角的正弦值為55【解析】【分析】（1）分別以OA，?OG?，??OP所在直線為x，?y?，??z軸建立空間直角坐標系，求出平面PAE的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法可求出二面角B?l?A的余弦值；

（2）設直線AE與BC相交于點F，由平面公理3可得PF即為l，∠PFO是l與平面ABCE所成角，利用正弦函數的定義可求出l與平面ABCE所成角的正弦值．22．【答案】（1）解：因為g(x)=e所以g'(x)=exln(x+1)+又因為h'又因為x∈(0，+∞)，所以x+1∈(1，+∞)，即有ln(x+1)>0