第09講三角形的中位線

T模塊導航一?素養目標

模塊一思維導圖串知識1.探索并證明三角形中位線定理；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）

2.利用中位線的性質計算。

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關測

◎模塊一思維導圖串知識-

定

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一

義

角

形

與三角形中位線有關的求解問題

的

中題三角形中位線與三角形面積問題

位

型與三角形中位線有關的證明

線

三角形中位線的實際應用

G模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點：三角形的中位線

三角形中位線：在4ABC中，D,E分別是AB,AC的中點，連接DE.像DE這樣,

連接三角形一兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。

3模塊三核心考點舉一反三一

考點一：與三角形中位線有關的求解問題

例1.（23-24八年級下?吉林四平?期中）如圖，在平行四邊形力BCD中，對角線力C、8D相交于點。，E

是4B的中點，連接OE,若。E=2cm,則力。的長為（）

1

D

----C

A.2cmB.4cmC.8cimD.12cm

【變式1-1]（23-24八年級下?廣東廣州?期中）如圖,DE是△ABC的中位線，若BC=10,則DE的長是（）

A.4B.5C.6D.7

【變式1-2]（23-24八年級下?安徽黃山?期末）如圖,四邊形已知對角線4C,BO相交于點。，且ZC=

BD=6,點E,F,G,H分別依次為四邊形的邊ZB,BC,CL）,ZM的中點，則四邊形EFGH的周長為（）

ATT

r

A.24B.12C.6V2D.無法確定

【變式1-3]（23-24八年級下?海南省直轄縣級單位?期中）如圖,在中，AB=BC=10,BD平分"8C

交AC于點。，點廠在BC上，且8F=4,連接力F,E為AF的中點，連接DE,則DE的長為_______.

走

BFC

考點二：三角形中位線與三角形面積問題

例2.（23-24八年級上?江蘇揚州?階段練習）如圖，在△ABC中,AD平分NB4C,AD1BD于點D,

且SOBC=10，則△A。。的面積為（）

二A

A.4B.5C.6D.8

2

【變式2-1］（22-23八年級下?廣東深圳?期末）如圖，在△力BC中，E是4C的中點，。在4B上且力D=2BD,

連接BE,CD相交于點F,則SABCF=_______________.

,四邊形WE

A

【變式2-2］（2023?吉林長春?一模）如圖，將AIBC沿其中位線DE翻折，點/落在3c邊上的?處.若

BA'：A'C=2：1,且△D34的面積為4,則△A8C的面積為.

【變式2-3］（22-23八年級下?廣西欽州?階段練習）如圖所示，己知△4BC的面積為1,連接△ABC三邊的

中點構成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊的中點構成第三個三角形，…，依此類推，第2013

個三角形的面積為（）

B

A短-短D.嬴

考點三：與三角形中位線有關的證明

、'例3.（23-24八年級下?遼寧阜新?期末）如圖1,如圖，在四邊形4BCD中，AB=CD,E、F分

別是BC、4D的中點，連接FE并延長，分別與B4CD的延長線交于點M、N,求證：LBME=乙CNE.（不

需證明）.

（1）如圖2,在四邊形2D8C中，力B與CD相交于點。，AB=CD,E、/分別是BC、4D中點，連接EF,

分別交OC、于點M、N,判斷aOMN的形狀，請直接寫出結論;

3

(2)如圖3,在△ABC中，4C>4B,點。在/C上，AB=CD,點E、下分別是BC、力。的中點，連接EF

并延長，與B力的延長線交于點G,若NEFC=60。，連接GD,判斷△4GD的形狀并證明.

【變式3-1](23-24八年級下?山東濱州?期中)(1)如圖①，在四邊形2BCD中，E、F、G、H分別是4B、

BC、CD、AD的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

圖①

(2)如圖②，在四邊形力BCD中，M、N、E、F分別為力D、BC、BD、力C的中點，求證：MN與EF互相

平分.

圖②

【變式3-2X23-24八年級下?河北保定?期末)如圖，在四邊形4BCD中，對角線4c和BD相交于點。,4。=BD,

點M、P、N分別是邊AB、BC、CD的中點，連接MN,交BD于點￡,交AC于點F。是MN的中點，連接PQ.

(1)求證：PQ1MN；

(2)判斷△OEF的形狀，并說明理由.

4

【變式3-3]（23-24八年級下?廣東梅州?期末）如圖，在△力BC中，4E平分NBAC,BE14E于點E,點

廠是BC的中點.

（1）如圖1,BE的延長線與4C邊相交于點。，求證：EF=^AC-AB）；

（2）如圖2,探究線段力B、AC.EF之間的數量關系，并說明理由.

考點四：三角形中位線的實際應用

例4.（23-24八年級下?廣西南寧?期末）【綜合與實踐】

如圖1,測出水池4,3兩點間的距離（水池有障礙物不能直接測量）.

任務

圖1

皮尺皮尺的功能：直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮

尺的測量長度，長度單位：m）；

■?

1

測量

工具

測角儀測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點。處，對其視線可及的P,。兩點，

可測得NPOQ的大小.

陵」

小明的測量及求解過程

測量（1）如圖2,水池外選點C,用皮尺測得力C=am,BC=bm；

過程（2）分別在AC,BC上用皮尺測得CM=]m,CN=1根，測得MN=cm.

5

一

C

圖2

由測量可知：

"."AC=am,BC=bm,CM=jm,CN—|m,

求解...點”是4C的中點，點N是BC的中點，

過程乂1\/是4ABC的______

9：MN=cm,

,?AB=______m.

(1)把小明的求解過程補充完整；

(2)小明測出水池4,8兩點間的距離，依據是」

(3)請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用直角三角形的知識求水池N,B

兩點間的距離，請你畫出示意圖并寫出測量及求解過程(要求測量得到的線段長度用字母a,b,c,...

表示，測量次數不超過3次).

【變式4-1](23-24八年級下?青海海東?期末)如圖，小康想測量池塘兩端4、B的距離，他采用了如下方

法：在4B的一側選擇一點C,連接AC、BC,再分別找出AC、8c的中點E,連接DE,現測得0E=46

米，貝IJA、B之間的距離為米.

【變式4-2](2024?廣東汕頭?一模)如圖，把兩根鋼條。4。8的一個端點連在一起，點C,。分別是。4OB

的中點，若CD=3cm,則該工件內槽寬AB的長為cm.

ZZ

6

【變式4-3］（23-24八年級下?河南三門峽?期末）（1）回歸課本

請用文字語言表述三角形的中位線定理:

（2）回顧證法

證明三角形中位線定理的方法很多，但多數都要通過添加輔助線構圖完成.下面是其中一種輔助線的

添加方法.請結合圖2,補全求證及證明過程.

已知：在△ABC中，點分別是力B,4C的中點.

求證:

證明：過點C作CFII4B,與DE的延長線交于點F.

（3）實踐應用

如圖3,點B和點C被池塘隔開，在BC外選一點4連接4B,4C,分別取力的中點D,E,測得DE的長

度為9米，貝！IB,C兩點間的距離為

圖2

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.（23-24八年級下?遼寧撫順?期末）如圖，小華注意到蹺蹺板靜止狀態時，可以與地面構成一個△4BC,

蹺蹺板中間的支撐桿EF垂直于地面（E、F分另IJ為力B、4C的中點），若EF=35cm,則點B距離地面的

高度為（）

A.80cmB.70cm

2.（23-24八年級下?全國?單元測試）如圖，在四邊形力BCD中,點尸是對角線BD的中點，點E、F分別是4B、

的中點，AD=BC,NP￡T=30。，貝”PFE的度數是（)

7

A.15°B.20°C.25°D.30°

3.（23-24八年級下?全國?期末）如圖，為測量池塘邊上兩點/,8之間的距離，小敏在池塘的一側選取一

點。，測得。4OB的中點分別是點D,E,且DE=15m,那么么,3兩點間的距離是（）

4.（23-24八年級下?福建南平?單元測試）如圖，在△ABC中，D、￡分別是4B、4C的中點，BC=8,F是

線段DE上一點，連接AF、CF,DE=4DF,若乙4FC=90。，則力C的長度是（）

5.（23-24八年級下?云南大理?期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=4,BC=6,點、D,E,F分別是4B,

BC,AC的中點，則四邊形BEFD的周長為（）

6.（23-24八年級下?江西南昌?單元測試）如圖，在口/lBCD中，力D=6,E為力。上一動點，M,N分別為BE,

CE的中點，則MN的長為（）

A.4B.3D.不確定

7.⑵-24八年級下?河北張家口?期末）如圖，在四邊形力BCD中,￡、廠分別是48,4。的中點，若CD=2EF=4,

8

BC=4V2,貝l"C等于（）

A

r\

A.30°B.45°C.60°D.75°

8.（2022?浙江寧波?模擬預測）如圖，在RtaABC中，NC=90。，￡分別為C4CB的中點，8F平分乙4BC,

交￡^于點尸，若2。=26,8。=4,則。尸的長為（）

C

DXF\E

AB

13

A.5B.1C.-D.2

9.（23-24八年級下?山東聊城?期中）如圖，D是△ABC內一點，BD1CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、

F、G、“分另lj是AB、AC,CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（）

10.（23-24八年級卜?遼寧丹東?期末）如圖，△4BC中，NBA。=^CAD,BE=CE,AD1BD,DE==4,

則AC的長為（）

11.（23-24八年級下?河北邯鄲?期末）如圖，四邊形ABCD中，乙4=90。，AB=3<3,AD=3,點M,

N分別為線段BC,AB上的動點（含端點，但點M不與點3重合），點E,尸分別為DM,MN的

中點，貝UEF長度的最大值為（）

9

c

A.3B.2V3

二、填空題

12.（23-24八年級?山東棗莊?期末）如圖，口48CD的對角線AC、8D相交于點。,￡是2B中點，且4E+E。=4,

則CMBCD的周長為—.

13.（23-24八年級下?全國?單元測試）如圖，口48CD的對角線4C,BD相交于點。，點E,F分別是線段力。，B0

的中點，若AC+BD=20cm,△。48的周長是18cm,則EF=cm.

14.（23-24八年級下?全國?單元測試）如圖，△力BC的周長為16,連接△ABC三邊中點構成第一個△&/的,

再連接△力1名前的各邊中點構成第二個△力2呂2c2，依此類推，則第2022個三角形的周長為

10

第09講三角形的中位線

T模塊導航一?素養目標

模塊一思維導圖串知識1.探索并證明三角形中位線定理；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）

2.利用中位線的性質計算。

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關測

8模塊一思維導圖串知識-

三三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一

角

形

的與三角形中位線有關的求解問題

中

題三角形中位線與三角形面積問題

位

線型與三角形中位線有關的證明

三角形中位線的實際應用

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點：三角形的中位線

三角形中位線：在4ABC中，D,E分別是AB,AC的中點，連接DE.像DE這樣,

連接三角形一兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

中位線定錘：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。

◎模塊三核心考點舉一反三一

考點一：與三角形中位線有關的求解問題

例1.（23-24八年級下?吉林四平?期中）如圖，在平行四邊形2BCD中，對角線4C、BD相交于點。，E

是AB的中點，連接OE,若。E=2cm,貝必。的長為（）

11

D

A.2cmB.4cmC.8cmD.12cm

【答案】B

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，三角形中位線的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵；

根據題意可得。是BD的中點，利用三角形的中位線的性質即可求解.

【詳解】因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以對角線AC、8。互相平分，

即。是8。的中點，

又E是的中點，

所以。5是448。中位線，

所以。E〃AD,OE=

所以AD=20E=4cm.

故選：B.

【變式1-1]（23-24八年級下?廣東廣州?期中）如圖，DE是△ABC的中位線，若BC=10,則DE的長是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】本題考查三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.已知DE

是△力BC的中位線，BC=10,根據中位線定理即可求得DE的長.

【詳解】解：是△ABC的中位線,BC=10,

11

：.DE=-BC=-xlO=5.

22

故選：B.

【變式1-2]（23-24八年級下?安徽黃山?期末）如圖，四邊形4BCD,已知對角線AC,相交于點0,且4C=

BD=6,點E,F,G,"分別依次為四邊形的邊ZB,BC,CD,口4的中點，則四邊形EFGH的周長為（）

12

A.24B.12C.6V2D.無法確定

【答案】B

【分析】本題考查了三角形中位線的性質，在△ABC中，根據點E,F為中點可得EF=T4C,同理可得GH=

^AC,EH=^BD,FG=gBD,由此即可求解.

【詳解】解：根據題意，在△力BC中，點、E,F為AB,BC的中點，

：.EF||AC,EF=^AC,

同理，在△力DC中，GH||AC,GH=

在△4BD中，EH||BD,EH=^BD,

在△BCD中，FGIIBD,FG=：BD,

,：四邊形EFGH的周長為EF+FG+GH+EH^AC+^AC+\BD+|B￡)^AC+BD,

?：AC=BD=6,

，四邊形￡7(//的周長為6+6=12,

故選：B.

【變式1-3](23-24八年級下?海南省直轄縣級單位?期中)如圖，在△ABC中，AB=BC=10,BD平分“BC

交AC于點。，點尸在BC上，且BF=4,連接力F,￡為AF的中點，連接DE,則DE的長為.

【答案】3

【分析】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質，掌握三角形中位線等于第三邊的一半

是解題的關鍵.

根據等腰三角形的三線合一得到4。=DC,根據三角形中位線定理計算得到答案.

【詳解】解：：8。=10,8/=4,

???FC=BC-8F=10—4=6,

???AB=BC,BD平分乙4BC,

AD—DC,

13

為力F的中點，

是△力FC的中位線,

11

???DE=一FC=一X6=3,

22

故答案為：3.

考點二：三角形中位線與三角形面積問題

2.（23-24八年級上?江蘇揚州?階段練習）如圖，在△4BC中,2。平分2DJ_82于點

0列

且S^BC=1。，則△/DC的面積為（）

A.4B.58

【答案】B

【分析】延長交ZC于E,利用“ASA”證明得到BD=DE,SAABD=SAAED,再根據三

角形的中線平分三角形的面積得至□△CBD=S^ED，進而可求解.

【詳解】解：延長B。交4。于E,

,.NO平分NBZC,

：.^BAD=^EAD,

u：AD1BD,

?"ADB=乙ADE=90°,

在△45。和△ZE。中，

2BAD=Z.EAD

AD=AD,

JLADB=Z.ADE

：.△ABD=△ZE。(ASA),

??BD=DE,S^ABD=^AAED，

:?SACBD=SMED，乂SA48C=10，

?,^AADC~5s△ABC=5，

14

故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的中線性質，添加輔助線構造全等三角形求圖形

的面積是解答的關鍵.

【變式2-1］（22-23八年級下?廣東深圳?期末）如圖，在△力BC中，E是AC的中點，。在上且=28D,

連接BE,CD相交于點F,則JMCF=________________

、四邊形4DFE

【答案】|/0.6

【分析】取C。中點G可證得△BDFmZkEGF,進一步推出CF=3DF,故可得出結論.

【詳解】解：取CD中點G,則EG是△ACD中位線，

：.EG^^AD,EG//AD,

■.-AD=2BD,

1

BD=—AD=EG

2

乙DFB=Z.EFG,Z-BDF=乙EGF

：.ABDF=AEGFf

i

：.DF=FG=-CG,BF=EF,???CF=3DF,

2

設SABO9=1，貝1JSABC尸=S、CEF=^^AEF=3，S^ADF=2，

?3

.?---S^-B-C-F--=)

S四邊形ADFE5

故答案為今

【點睛】本題考查了中位線定理、全等三角形的判定與性質等知識點.結合條件進行幾何推導是解題

關鍵.

【變式2-2］（2023?吉林長春?一模）如圖，將△/3C沿其中位線翻折，點N落在邊上的?處.若

BA'：A'C=2：1,且△QB4的面積為4,則△A8C的面積為.

15

【答案】12

【分析】連結44'，將A42C沿其中位線DE翻折，點A落在BC邊上的4處.可得DE//BC,且DE=^BC,

力4」。￡,根據8/'：/乙=2：1,可得以8。/'：5@匕=84:力￡=2:1,由5,莉=SAEA'C=^-S'=2,

LILJDn2LlALJnDRriA

由SABDA'+S^EA'C=6^BC-AF,而S^ADE=S^'DE=^x^BC-AF=3,可求

SAABC=SAADE+S^A'DE+S^DBA'+SAAEC即可.

【詳解】解：連結4T,

:將A48C沿其中位線DE翻折，點A落在BC邊上的?處.

:.DE〃BC,且?！?|BC,AA'YDE,

：.SABDA'=^BA'-AF,SAEA'C=^A'C-A'F,

,:BALA'C=2：I,

：.SABDA\SAEA'C^BA-AF：^AC-AF=BA-.AC=2:1,

?^ADBA=%

：.S^EA'C^SADBA=^x4=2,

,：SABDA'+SAEABA-AF+^AC-AF=^{BA+AC)-AF==^BC■A'F=4+2=6,

.1'll'1

而SAADE=SAA'DE^DE-4F=￡X|BC-/lF=|x6=3,

SAABC=SAADE+SAA'DE+SADBA'+SAAEC=^+?>+2+3>=\2.

故答案為：12.

【點睛】本題考查三角形面積，折疊性質，中位線性質，掌握三角形面積求法，折疊性質，中位線性

質，利用等高三角形面積比等于底的比來運算是解題關鍵.

16

【變式2-3]（22-23八年級下?廣西欽州?階段練習）如圖所示，己知△ABC的面積為1,連接△ABC三邊的

中點構成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊的中點構成第三個三角形，…，依此類推，第2013

個三角形的面積為（）

【答案】D

【分析】根據三角形中位線定理求出第二個三角形的面積=3SA4BC=1，同理第三個三角形的面積

=]SADEF=G）：總結規律，根據規律解答即可?

【詳解】解：如圖：過點/作AG1DE于G,交BC于H,則力G=GH,

:.DE、EF、DF分別為△ABC的中位線，

1111

/.DE=-BC,DF=-AC,EF=-AB,GH=-AH

2222f

SMBC=.AH,S^DEF=,GH,

_1_1

、工DEF=“

同理：第三個三角形的面積==；SMEF=G)；

第四個三角形的面積=:第三個三角形面積=Q)3,

???第2013個三角形的面積為高，

故選：D.

【點睛】本題考查的是三角形的中位線定理，找出規律是解題的關鍵.

考點三：與三角形中位線有關的證明

17

3.(23-24八年級下?遼寧阜新?期末)如圖1,如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分

另IJ是BC、AD的中點，連接FE并延長，分別與BA、CD的延長線交于點〃、N,求證：LBME=NCNE.(不

(1)如圖2,在四邊形力DBC中，力B與CD相交于點。，AB=CD,E、尸分別是BC、4D中點，連接EF,

分別交DC、力B于點M、N,判斷aOMN的形狀，請直接寫出結論；

(2)如圖3,在△A8C中，點。在/C上，AB=CD,點、E、尸分別是BC、力。的中點，連接EF

并延長，與B4的延長線交于點G,若/EFC=6O。，連接GD,判斷△AGD的形狀并證明.

【答案】(DaOMN為等腰三角形；

(2)△力GD是直角三角形，證明見解析

【分析】(1)取BD的中點X,連接HE、HF,證明HF,HE分別是△48。、△BCD的中位線，得到HF||

AB,HE||CD,HF=^AB,HE=*D,進而證明HF=HE,乙ONM=4OMN,即可證明△OMN是等

腰三角形；

(2)連接BD,取BD的中點X,連接HF,HE,根據三角形中位線定理和平行的性質證明即可.

【詳解】(1)解：△OMN是等腰三角形；證明如下：

如圖，取8。的中點“，連接HE、HF,

,:E、二分別是BC、的中點,

:.HF、HE分另I」是△4B。、△BCD的中位線，

：.HF||AB,HE||CD,HFAB,HE/CD,

?：AB=CD,

：.HF=HE,

:.乙HFE=乙HEF,

:HF||AB,HE||CD,

18

:.乙HFE=LONM,乙HEF=AOMN,

."ONM=乙OMN,

：.0M=ON,

...△OMN是等腰三角形；

(2)解：△力GD為直角三角形，證明如下：

如圖，連接BD,取BD的中點X,連接HF,HE,

是力。的中點，

：.HF||AB,HF=-AB,

2

Azl=Z3,

-i

同理，HE||CD,HE=^CD.

?"2=(EFC,

U：AB=CD,

；?HF=HE,

Azl=Z2,

?"3=(EFC=60°,

??.△ZGF是等邊三角形.

9：AF=FD,

AGF=FD,

:.乙FGD=Z.FDG=-Z.AFG=30°,

2

?.^AGD=90°,

即△力GD是直角三角形.

【點睛】本題考查三角形的中位線定理以及平行線的性質和等腰三角形和直角三角形的判定.通過添

加輔助線構造三角形的中位線是解題的關鍵.

【變式3-1](23-24八年級下?山東濱州?期中)(1)如圖①，在四邊形4BCD中，E、F、G、H分別是2B、

BC、CD、AD的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

19

H

A

BFC

圖①

(2)如圖②，在四邊形力BCD中，M、N、E、F分別為力D、BC、BD、力C的中點，求證：MN與EF互相

平分.

圖②

【答案】(1)見解析(2)見解析

【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握三角形中

位線的性質是解題關鍵.

(1)連接力C,根據“三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半”可得EF〃力C,EF=

\AC,GH//AC,GH=\AC,進而可得GH〃EF且GH=EF,即可證明結論；

(2)連接ME、EN、NF、MF,結合三角形中位線的性質可證明四邊形MEN尸是平行四邊形，由平行

四邊形的性質即可證明結論.

【詳解】證明：(1)連接4C,

：E、F分別為ZB、BC的中點,

為△ABC的中位線,，

1

J.EF//AC,EF=-AC,

2

同理可得，???GH為△ZDC的中位線,

GH//AC,GH=-AC,

2

；.G//〃EF且GH=EF,

:.四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)如下圖，連接ME、EN、NF、MF,

20

：M、N、E、F分另I」為40、BC、BD、AC的中點，

：.ME//ABS.ME=^AB,NF〃AB且NF=gAB,

，ME〃NF且ME=NF,

，四邊形MENF是平行四邊形，

；.MN與EF互相平分.

【變式3-21(23-24八年級下?河北保定?期末)如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC和BD相交于點。，力C=BD,

點M、P、N分別是邊4B、BC、CD的中點，連接MN,交BD于點￡,交力C于點R0是MN的中點，連接PQ.

(1)求證：PQ1MN-,

(2)判斷△OEF的形狀，并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)ZkOE尸是等腰三角形.理由見解析

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質與判定，三角形中位線定理：

(1)根據三角形中位線定理得到PM=PN,則由三線合一定理可得PQ1MN；

(2)根據三角形中位線定理得到PM||AC,PN//BD,則NPMN=乙OFE,乙OEF=乙PNM.再由PM=PN,

得到NPMN=/PNM,貝！UOFE=/OEF.即可得到。E=OF,即aOEF是等腰三角形.

【詳解】(1)證明：連接PM,PN.

:點”，P分別是邊力B,BC的中點，

:.PM為△4BC的中位線，

1

：.PM=-AC.

2

同理可知PN=；BD.

又?：AC=BD,

：.PM=PN.

21

:。是MN的中點,

：.PQ1MN.

(2)解：△OEF是等腰三角形.理由如下:

;點、M,尸分別是邊ZB,BC的中點,

:.PM為公4BC的中位線,

：.PM||AC,

同理可得PN〃8D,

:.乙PMN=AOFE,4OEF=LPNM.

?：PM=PN,

：.APMN=乙PNM,

:.乙OFE=4OEF.

：.0E=OF,即aOEF是等腰三角形.

【變式3-3](23-24八年級下?廣東梅州?期末)如圖，在△4BC中，4E平分ABAC,BE1AE于點￡,點

廠是BC的中點.

圖1圖2

(1)如圖1,BE的延長線與AC邊相交于點。，求證：EF=^AC-AB)；

(2)如圖2,探究線段力B、AC,EF之間的數量關系，并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)EF=T(a8—AC),理由見解析

22

【分析】本題考查了三角形的中位線定理、等腰三角形的判定和性質.

(1)先根據4ELBP,得4ABD=UDB,再根據角平分線的定義得出NB4E=進而得出

^ABE=^ADE,所以4B=4D,根據等腰三角形的三線合一，推出BE=ED,根據三角形的中位線定理

即可解決問題.

(2)延長4C交BE的延長線于P,根據角平分線得到NB4E=NP4E得出NABE=NHPE,根據兩角和為

90°,證明力B=4P,根據等腰三角形的“三線合一”，推出BE=PE,根據三角形的中位線定理即可解決

問題.

【詳解】(1)證明：平分ABAC,

C.Z.BAE=/.CAE,

又_LAE于點E,

：./.BEA=^DEA=90°,

Z-ABD=Z-ADB,

：.AB=AD,

是的中點，

又?.?點廠是BC的中點，

；.EF是△BCD的中位線，

111

：.EF=^CD=^AC-AD)=-AB)；

(2)EF=^AB-AC\

證明如下：

如圖2中，延長AC交5E的延長線于P.

圖2

'：AE1BP,

：.^AEP=(AEB=90°,

JABAE+乙ABE=90。，乙PAE+^APE=90°,

4E平分NB4C,

：.Z.BAE=Z.PAE,

23

乙ABE=NAPE,

：.AB=AP,

'：AE1BP,

：.BE=PE,

是BC的中點，

.?.EF是△BCP中位線

EF=|PC=^AP-AC）=|（71B-XC）.

考點四：三角形中位線的實際應用

、例4.（23-24八年級下?廣西南寧?期末）【綜合與實踐】

如圖1,測出水池/,B兩點間的距離（水池有障礙物不能直接測量）.

任務

圖1

皮尺皮尺的功能：直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮

尺的測量長度，長度單位：m）；

?2

測量

工具

測角儀測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點。處，對其視線可及的尸，。兩點，

可測得乙POQ的大小.

y

小明的測量及求解過程

（1）如圖2,水池外選點C,用皮尺測得4C=am,8C=bm；

（2）分別在4C,BC上用皮尺測得CM=￡m,CN=Tm，測得MN=cm.

測量B

過程

24

由測量可知：

**AC=am,BC=bm,CM=-m,CN=-m,

22

求解點M是力C的中點，點N是BC的中點，

過程“那是^ABC的______

■:MN=cm,

,?AB=______m.

(1)把小明的求解過程補充完整；

(2)小明測出水池4,2兩點間的距離，依據是「

(3)請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用直角三角形的知識求水池4B

兩點間的距離，請你畫出示意圖并寫出測量及求解過程(要求測量得到的線段長度用字母。，b,c,...

表示，測量次數不超過3次).

【答案】(1)見解析

(2)三角形的中位線等于第三邊的一半

(3)示意圖見解析，AB=|m

【分析】本題考查三角形中位線的判定與性質，含30度直角三角的特征.

(1)根據三角形中位線的性質即可解答；

(2)三角形的中位線等于第三邊的一半；

(3)用測角儀在點/處測出NB4P=90。，在射線力P上找一點G,用測角儀測出乙4GB=30。，然后用

皮尺測量出BG=cm,利用含30度直角三角的特征即可解答.

【詳解】(1)解："AC=am,BC=bm,CM=]m,CN=gm,

...點”是力C的中點，點N是BC的中點，

；.MN是△力BC的中位線，

■:MN=cm,

C.AB—2cm.

(2)解：由(1)可知小明測出水池N,8兩點間的距離，

依據是：三角形的中位線等于第三邊的一半；

(3)解：如圖，

25

4BAP=90°,^AGB=30°,BG=cm,

???AB=-BG=-m.

22

【變式4-1］（23-24八年級下?青海海東?期末）如圖，小康想測量池塘兩端4、B的距離，他采用了如下方

法：在4B的一側選擇一點C,連接AC、BC,再分別找出AC、BC的中點￡＞、E,連接DE,現測得DE=46

米，則力、B之間的距離為米.

【答案】92

【分析】本題考查了三角形的中位線定理.根據中位線定理可得：AB=2DE,即可求解.

【詳解】解：:點E分別是AC、BC的中點，DE=46米,

：.AB=2DE=92米.

故答案為：92

【變式4-2］（2024?廣東汕頭?一模）如圖，把兩根鋼條04OB的一個端點連在一起，點C,。分別是040B

的中點，若CD=3cm,則該工件內槽寬AB的長為cm.

【答案】6

【分析】本題考查了三角形中位線定理的應用.利用三角形中位線定理“三角形的中位線是第三邊的一

半”即可求解.

【詳解】解：;點C,。分別是。A,OB的中點,

1

?.◎=i

26

：.AB=2CD=6(cm),

故答案為：6.

【變式4-3］（23-24八年級下?河南三門峽?期末）（1）回歸課本

請用文字語言表述三角形的中位線定理：.

（2）回顧證法

證明三角形中位線定理的方法很多，但多數都要通過添加輔助線構圖完成.下面是其中一種輔助線的

添加方法.請結合圖2,補全求證及證明過程.

已知：在△ABC中，點分別是力B,4C的中點.

求證：.

證明：過點C作CFII4B,與DE的延長線交于點F.

（3）實踐應用

如圖3,點B和點C被池塘隔開，在BC外選一點A,連接4B,4C,分別取的中點D,E,測得DE的長

度為9米，貝四,C兩點間的距離為.

【答案】（1）三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半；⑵DE||BC,DE=^BC；

詳見解析；（3）18米

【分析】（1）根據三角形的中位線定理直接闡述即可；

（2）過點C作CFII力B,與DE的延長線交于點F,證明△力0E會再證四邊形。BCF是平行四邊

形，即可證明結論；

（3）直接利用三角形中位線定理求解即可.

【詳解】解：（1）三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

故答案為：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半；

（2）求證：DE||BC,DE^^BC.

證明