正弦定理和余弦定理的應用精講

（知識+真題+5類高頻考點）

目錄

第一部分：基礎知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧..............................................2

第三部分：高頻考點一遍過............................................3

高頻考點一：測量距離問題.........................................3

高頻考點二：測量高度問題.........................................6

高頻考點三：測量角度問題.........................................9

高頻考點四：求平面幾何問題......................................12

高頻考點五：三角函數與解三角形的交匯問題........................14

第四部分：新定義題.................................................15

第一部分：基礎知識

1、基線

在測量過程中，我們把根據測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應/目標

/視線

根據實際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.加角水平

麗布—視線

2、仰角與俯角.目標

視線

在目標視線與水平視線（兩者在同一鉛垂平面內）所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，

目標視線在水平視線下方的叫做俯角

3、方位角北［

從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角.方位角。的范圍是儂。東

0°<6^<360°.A

4、方向角

正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北（南）偏東（西）a,

例：（1）北偏東（2）南偏西a：

5、坡角與坡比

坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角（。為坡角）；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比（坡度），即

z=—=tan0.

第二部分：高考真題回顧

1.（2021?全國?乙卷理）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作，其中第一題是測海島的

高.如圖，點E,H,G在水平線/C上，DE和尸G是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為"表

高"，EG稱為"表距”，GC和昉■都稱為“表目距"，GC與E”的差稱為"表目距的差”則海島的高48=（）

表圖x表距表圖X表距

A.+表高

表目距的差■表目距的差一

表高X表距表高衣表距一

C.+表距

表目距的差表目距的差表

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：測量距離問題

典型例題

例題1.（23-24高一下?山西運城,階段練習）第九屆中國國際“互聯網+"大學生創業大賽于2023年10月

16日至21日在天津舉辦，天津市以此為契機，加快推進“5G+光網"雙千兆城市建設.如圖，某區域地面有

四個5G基站，分別為/,B,C,D.已知C,。兩個基站建在河的南岸，距離為20km,基站N,8在河的

北岸，測得N/CB=60。，//CD=105。，NADC=30。，ZADB=60°,則4,8兩個基站的距離為（）

A.10的kmB.30^V3kmC.15kmD.10^5km

例題2.（23-24高一下?江蘇無錫?階段練習）某貨輪在A處看燈塔8在貨輪北偏東75。方向上，距離為

12逐nmile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30。方向上，距離86nmile.貨輪由A處向正北航行到。處

時，再看燈塔8在南偏東60。方向上，A處與。處之間的距離是nmile,燈塔C與。處之間的距離

是nmile.

例題3.（23-24高一下?廣東廣州?階段練習）如圖，游客從某旅游景區的景點/處下山至C處有兩種路

徑.一種是從/沿直線步行到C,另一種是先從/沿索道乘纜車到8,然后從8沿直線步行到C,現有甲、

乙兩位游客從/處下山，甲沿/C勻速步行，速度為50m/min,在甲出發2min后，乙從/乘纜車到5,在

3處停留Imin后，再勻速步行到C,假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min,山路NC長為1260m,經

測量得cos/=乜，sinS=—.

A

⑴問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

⑵為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min,乙步行的速度應控制在什么范圍內?

練透核心考點

1.（23-24高一下?湖南衡陽?階段練習）某次軍事演習中，炮臺A向北偏東60。方向發射炮彈，炮臺B向北

偏西30。方向發射炮彈，兩炮臺均命中10km外的同一目標，則42兩炮臺在東西方向上的距離為（）

A.（5V3+5）kmB,（573-5）kmc.（5g+10）kmD.（5退-10）km

2.（23-24高一下?福建泉州?階段練習）如圖，要測量河對岸C,。兩點間的距離，在河邊一側選定觀測點

A,B,并測得4,2間的距離為20百m,ZDAB=75°,ZCAB=30°,AB1BC,ZABD=60°,則C,D

兩點間的距離為多少？

3.（23-24高一下?浙江?階段練習）如圖45是在沿海海面上相距15+5百海里的兩個哨所，8位于A的正

南方向.A哨所在凌晨1點發現其南偏東30。方向處有一艘走私船，同時，B哨所也發現走私船在其東北方向

上.兩哨所立即聯系緝私艇前往攔截，緝私艇位于A點南偏西30。的。點，且A與。相距20g海里，試求：

⑴剛發現走私船時，走私船與哨所A的距離；

⑵剛發現走私船時，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度？

⑶若緝私艇得知走私船以10月海里/時的速度從C向北偏東15。方向逃竄，立即以30海里/時的速度進行追

截，緝私艇至少需要多長時間才能追上走私船？

4.（23-24高一下?四川資陽?階段練習）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直

角邊5。=200!11,斜邊48=400m.現有甲、乙、丙三位小朋友分別在N8,8C,NC大道上嬉戲，

⑴若甲、乙都以每分鐘100m的速度同時從點3出發在各自的大道上奔走，甲出發3分鐘后到達。，乙出發

1分鐘后到達E,求此時甲、乙兩人之間的距離；

⑵甲、乙、丙所在位置分別記為點2及尸.設ZCEF=9,乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且

7T

ZDEF=-,請將甲、乙之間的距離V表示為夕的函數，并求甲、乙之間的最小距離.

5.（23-24高一下?上海?階段練習）海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75。，距離為12旗海里；在

A處看燈塔。在貨輪的北偏西30。，距離為8百海里；貨輪向正北由A處行駛到。處時，若燈塔B在南偏東

60。的方向上，則燈塔C與。處之間的距離為多少海里？

高頻考點二：測量高度問題

典型例題

例題1.（23-24高一下?重慶?階段練習）中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮，因唐

代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度在鸛雀樓的正東方

向找到一座建筑物48,高約為37m,在地面上點C處（B,C,N三點共線）測得建筑物頂部工,鸛雀樓頂

部M的仰角分別為30。和45。，在/處測得樓頂部M的仰角為15。，則鸛雀樓的高度約為（）

例題2.（23-24高二下?山東苗澤?階段練習）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測

得公路北側一山底C在西偏北30°的方向上；行駛600m后到達B處，測得此山底C在西偏北75°的方向上,

山頂。的仰角為30°,則此山的高度8=.

例題3.（23-24高一下?湖南長沙?階段練習）圣?索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜

占庭風格的東正教教堂，距今已有"4年的歷史，為哈爾濱的標志性建筑.其中央主體建筑集球，圓柱，

棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領略它的美.小明同學為了估算索菲亞教堂的高

度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物高為（156-15）m,在它們之間的地面上的點M（3,

M,。三點共線）處測得樓頂教堂頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂N處測得塔頂C的仰角為30。,

則小明估算索菲亞教堂的高度為米.

例題4.（23-24高一下?河南鄭州,階段練習）鄭州市中原福塔的塔座為鼎，寓意為鼎立中原，從上空俯瞰如

一朵盛開的梅花，寓意花開五福，福澤中原，它是美學與建筑的完美融合.綠地中心千璽廣場“大玉米"號稱

中原第一高樓，璀璨繁華的外表下包含濃郁的易學設計理念，流露出馥郁的古香.這兩座塔都彰顯了中華文

化豐富的內涵與深厚的底蘊.小米同學積極開展數學研究性學習，用以下方法測量兩座塔的高度.

⑴為測量中原福塔高度，小米選擇視野開闊的航海東路上一條水平基線使4,46共線，在4,"G

三點用測角儀測得P的仰角分別為［=45。,￡=45。,7=37。，其中測角儀的高度為1米，為了測量距離，小米

騎共享單車，速度為5m/s,從4到用耗時28s,從用到G耗時為原來的2倍，求塔高巴九（參考數據：取

歷=6.45，tan37°=0.75）

⑵為測量千璽廣場“大玉米"高度，小米選擇一條水平基線使4C”三點共線，在48兩點用測角儀

測得P的仰角分別為7,在A處測得8的仰角為月，測角儀高度忽略不計.小米使用智能手機運動測距

功能，從河南藝術中心音樂廳入口臺階A處運動到水景露天劇場的8處，測得距離/8=譏

①試用/彳表示塔高田；

②若a=36.7。，￡=12.7。，/=53.3°,彳=205米，求千璽廣場“大玉米”的實際高度.

357133

（參考數據：取sin36.7。=0sinl6.6°=—,sin40.6°=—）

5200205

練透核心考點

1.（23-24高一下?廣西?開學考試）桂林日月塔又稱金塔銀塔、情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔,

所以也有金銀塔之稱.如圖1,這是金銀塔中的金塔，某數學興趣小組成員為測量該塔的高度，在塔底。的

同一水平面上的42兩點處進行測量，如圖2.己知在A處測得塔頂P的仰角為60。，在8處測得塔頂尸的仰

角為45。，48=25米，ZAOB=30°,則該塔的高度。尸=（）

圖1圖2

A.25亞米B.25百米C.50米D.25幾米

2.（2024?湖南岳陽?二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳陽

樓記》著稱于世，自古有"洞庭天下水，岳陽天下樓"之美譽.小明為了測量岳陽樓的高度N8,他首先在C

處，測得樓頂A的仰角為60。，然后沿2c方向行走22.5米至。處，又測得樓頂A的仰角為30。，則樓高N3

3.（23-24高一下?重慶渝中?階段練習）抗戰勝利紀功碑暨人民解放紀念碑，簡稱"解放碑"，位于重慶市渝

中區解放碑商業步行街中心地帶，是抗戰勝利的精神象征，是中國唯一一座紀念中華民族抗日戰爭勝利的

紀念碑.如圖：在解放碑的水平地面上的點A處測得其頂點P的仰角為45。、點8處測得其頂點尸的仰角為

30。，若［48|=55米，且20/8=60。，則解放碑的高度米.

4.（23-24高二下,山東荷澤?階段練習）熱氣球是利用加熱的空氣或某些氣體，比如氫氣或氧氣的密度低于

氣球外的空氣密度以產生浮力飛行.熱氣球主要通過自帶的機載加熱器來調整氣囊中空氣的溫度，從而達到

控制氣球升降的目的.其工作的基本原理是熱脹冷縮.當空氣受熱膨脹后，比重會變輕而向上升起.除娛樂作用

外還可用于測量.如圖，在離地面高800m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°,山腳A處的俯角為

45°,已知N8/C=60°,求山的高度BC.

C

、/60。；

AB

高頻考點三：測量角度問題

典型例題

例題1.（23-24高三上?山東泰安?階段練習）公路北側有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平

面上.某人在點A處測得樓頂的仰角為45。，他在公路上自西向東行走，行走60米到點B處，測得仰角為

45°,沿該方向再行走60米到點C處，測得仰角為。.則sind=（）

例題2.（22-23高一下?河南商丘?階段練習）位于燈塔A處正西方向相距40海里的B處有一艘甲船燃油

耗盡，需要海上加油.位于燈塔A處北偏東30。方向有一艘乙船（在C處），乙船與甲船（在5處）相距4AA

海里，乙船為了盡快給甲船進行海上加油，則乙船航行的最佳方向是（）

A.西偏南15°B.西偏南30。

C.南偏西45。D.南偏西65。

例題3.（22-23高三上?安徽?階段練習）某人從山的一側A點看山頂的仰角為60。，然后沿從A到山頂的直

線小道行走200月m到達山頂，然后從山頂沿下山的直線小道行走400m到達另一側的山腳B處（43在同一

水平面內，山頂寬度忽略不計）,則其從B點看山頂的仰角的正弦值為,4B的最大值為

m

例題4.（22-23高一下?浙江,期中）如圖，4,2是某海城位于南北方向相距30（1+6）海里的兩個觀測點,

現位于/點北偏東45。，B點南偏東30。的C處有一艘漁船遇險后拋錨發出求救信號，位于3點正西方向且

與B點相距100海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為80海里/時.

（1）求8,C兩點間的距離；

（2）該救援船前往營救漁船時應該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達。處需要多長時間？（參考數據:

cos21.79。=0.93,角度精確到0.01）

練透核心考點

1.（22-23高一下?湖北武漢?階段練習）己知甲船在海島8的正南/處，43=10海里，甲船以每小時4海

里的速度向正北航行，同時乙船自海島8出發以每小時6海里的速度向北偏東60。的方向駛去，當航行一小

時后，甲船在乙船的（）

A.北偏東30。方向B.北偏東15。方向

C.南偏西30。方向D.南偏西15。方向

2.（22-23高一下?云南曲靖?階段練習）冬奧會會徽以漢字"冬"為靈感來源，結合中國書法的藝術形態，將

悠久的中國傳統文化底蘊與國際化風格融為一體，呈現出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學查閱資料

得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30。、45。、60。、90。、120。、150。

等特殊角度下為了判斷"冬"的彎折角度是否符合書法中的美學要求，該同學取端點繪制了412。，測得羽=

5,BD=6,AC=4,40=3,若點C恰好在邊2。上，請幫忙計算sin乙4co的值（）

966

3.（21-22高一下?貴州黔東南?期中）如圖，某運動員從A市出發沿海岸一條筆直的公路以每小時15km的

速度向東進行長跑訓練，長跑開始時，在A市南偏東方向距A市75km的B處有一艘小艇，小艇與海岸距離

為45km,若小艇與運動員同時出發，要追上這位運動員.

⑴小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運動員？

⑵求小艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB的夾角.

4.（20-21高二上?廣東東莞?期末）目前，中國已經建成全球最大的5G網絡，無論是大山深處還是廣表平

原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學在一條水平公路上觀測對面山項上的一座5G基站N3,已

知基站高/3=50m,該同學眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學在初始位置C處（眼睛所在位置）測

⑴求出山高（結果保留整數）；

（2）如圖（第二幅），當該同學面向基站N8前行時（保持在同一鉛垂面內），記該同學所在位置C處（眼

睛所在位置）到基站N8所在直線的距離CD=xm,且記在。處觀測基站底部8的仰角為a,觀測基站頂端

A的仰角為△試問當無多大時，觀測基站的視角乙4C3最大？

參考數據:sin8ro.14,sin37ro.6,sin45°=0.7,sin127ro.8.

高頻考點四：求平面幾何問題

典型例題

例題1.（22-23高一下,江蘇鎮江,階段練習）如圖，平面四邊形己知NDC4=45°,

ZCDB=ZADB=30°,+&），ZACB=60°,則兩點的距離是（）

A.46B.V10C.672D.2M

例題2.（23-24高一下?重慶?階段練習）如圖，已知在平面四邊形/BCD中，/4DC=45°,。。=百,

(1)若該四邊形"BCD存在外接圓，且AB=6,求ND;

(2)若NBAD=NBCA=60°,求N8.

例題3.（23-24高三上?浙江杭州?期中）已知四邊形48CD內接于。。，若N8=l,BC=3,

⑴求線段5。的長.

（2）若/BPD=60°,求尸5+PD的取值范圍.

練透核心考點

1.（2023高三上?全國?專題練習）如圖，在平面四邊形48CD中，BC=CD=AD=—AB=\.記的

3

面積為E，△BCD的面積為邑.S=2S；+S；,則S的最大值為.

2.（23-24高三上?廣東汕頭?期中）在凸四邊形A8CD中，對角線交于點E,且

BE=ED,AE=2EC,AB=4,AD=272.

（1）若EC=1,求一24。的余弦值；

TT

（2）若乙4BD=—,求邊3c的長.

4

3.（2023?河南?模擬預測）如圖，在四邊形48CD中，48JL8C,N4DC=120。,28=CO=24D,4/CD的面

積為火.

2

⑴求sin/C48；

(2)證明：ZCAB=ZCAD.

高頻考點五：三角函數與解三角形的交匯問題

典型例題

例題1.(2024?江蘇鹽城?模擬預測)已知函數/(x)=^sin(=-2x)-sin(?+2無).

(1)若方程/(X)=加在Xe[-：康上有2個不同的實數根，求實數m的取值范圍；

(2)在“8C中，若〃8)=-2,內角/的角平分線AB=E，求/C的長度.

例題2.(23-24高一下,河南鄭州,階段練習)03C的內角4叢C所對的邊分別為a,6,c,且

V3sinf5+-sinf5-y=0

⑴若sinC=2sin/,求存在就上的投影向量；(用向量就表示)

⑵若"3,S△…苧,助為"力的平分線,屬為中線，求器的值.