重難點(diǎn)11平面向量中的最值與范圍問題【八大題型】

【新高考專用】

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，平面向量中的最值與范圍問題是高考的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，

此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合；從近幾年的高考情況來看，其基本題型是根據(jù)已知條件求某

個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1平面向量中的最值與范圍問題的解題策略】

1.平面向量中的最值(范圍)問題的兩類求解思路：

(1)“形化"，即利用平面向量的相關(guān)知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖

形的特征直接進(jìn)行判斷；

(2)“數(shù)化"，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決.

2.平面向量中的最值(范圍)問題的常用解題方法：

(1)定義法

①利用向量的概念及其運(yùn)算將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到相應(yīng)的等式關(guān)系；

②運(yùn)用基木不等式、二次函數(shù)求其最值(范圍)問題，即可得出結(jié)論.

(2)坐標(biāo)法

①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，把幾何圖形放在坐標(biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)；

②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化，進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算；

③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法如：二次函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等思想方法來求解最值(范圍).

【知識(shí)點(diǎn)2極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

⑴平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：

|a+^|2+|a-S|2=2(|a|2+|^|2).

證明：不妨設(shè)在=Z,?=5,貝1|工=3+B,DB=a-b,

2

因2=宓=(￡+印管+2a-S+|zj|①,

網(wǎng)2=加=(］閩y7叫邛②,

①②兩式相加得：

|狗2+廊『=2(@+W卜2(畫2+1囹］.

(2)極化恒等式:

上面兩式相減，得：:j=+B『一--------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b=^AC^-\DB^.

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平

方差的

4

(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角

線長(zhǎng)”平方差的;，即:?刃一或］(如圖).

(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差，即4?旅=

~AM~一應(yīng)五2(M為3c的中點(diǎn))(如圖).

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系.

【知識(shí)點(diǎn)3等和(高)線定理】

1.等和(高)線定理

(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若5?+〃方Q,〃eR),

則4+〃=1,由△048與A0AE相似，必存在一個(gè)常數(shù)k,k&R,使得OP'=kOP,則

OP'=kOP=kAOA+k/j.OB,又OP'=xOA+yOB(x,j?eR),.■-x+y^kX+k^k；反之也成立.

(2)平面內(nèi)一個(gè)基底｛5X3｝及任一向量蘇，OP'^^OA+^OB^eR),若點(diǎn)P在直線A8上或在平

行于42的直線上，貝~+〃=?定值)；反之也成立，我們把直線以及與直線N8平行的直線稱為等和(高)

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線48時(shí)，k=l；

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，住(0,1)；

③當(dāng)直線4B在。點(diǎn)和等和線之間時(shí)，在(1,+8)；

④當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，k=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，則定值自，與互為相反數(shù)；

⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.

?舉一反三

【題型1定義法求最值（范圍）問題】

【例1】（2024?四川瀘州?一模）已知平面向圜=4,|而|=3,|玩|=1,而?旗=0,則|石？+方|的最小

值是（）

3

A.1B.2C.-D.3

【變式1-1]（2024?四川內(nèi)江?三模）已知點(diǎn)4B、C在圓好+、2=1上運(yùn)動(dòng)，且4B1BC,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（0,2）,則|即+而+麗|的最大值為（）

A.3B.5C.7D.9

【變式1-2]（2024?福建?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)，若而=久方+）/尼，則等的最小

值為（）

A.7-2V10B.7+2V10C.-2V10D.7

【變式1-3]（2024?江西鷹潭?二模）在Rt△4BC中，角4B,C所對(duì)應(yīng)的邊為a力,c/=也C=（c=2,P是△4BC

外接圓上一點(diǎn)，則而?（西+而）的最大值是（）

A.4B.2+V10C.3D.1+V10

【題型2坐標(biāo)法求最值（范圍）問題】

【例2】（2024?寧夏?一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一

個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若正八邊形2BCDEFGH的邊

長(zhǎng)為2,P是正八邊形4BCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則萬(wàn)?四的最小值為（）

圖2

0C.-2V^D.-4V^

【變式2-1]（2024?江蘇南通?二模）如圖，點(diǎn)C在半徑為2的而上運(yùn)動(dòng)，N40B若反=mOA+nOB,則m+n

的最大值為（）

B.

A.1B.V2C.等D.V3

【變式2-2]（2024?四川成者卜三模）在矩形力BCD中，4B=5,4D=4,點(diǎn)E滿足2荏=3而，在平面4BCD

中，動(dòng)點(diǎn)P滿足而?麗=0,則麗?標(biāo)的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2413—6

【變式2-3]（2024?北京?三模）已知點(diǎn)N在邊長(zhǎng)為2的正八邊形Ai4,…4的邊上，點(diǎn)M在邊乙兒上，貝U

A^M?嬴的取值范圍是（）

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[—2A/^,4+2>/^]D.[—2A/^,4]

【題型3與平面向量基本定理有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例3】（2024?四川遂寧?模擬預(yù)測(cè)）在△4BC中，點(diǎn)F為線段3c上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,則;+：的最小值為C）

xy

A.3B.4C.8D.9

【變式3-1]（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，BD=2DC,過點(diǎn)。的直線分別交直線4B、4C于點(diǎn)

E、F,S.AE=mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,則ni+2?i的最小值為（）

A.2B.V2C.3D.|

【變式3-2]（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過C,D,到達(dá)4AE=AAB

AC,貝U+〃的取值范圍是（）

A.[—1,1]B.[0,1]C.[—1,2]D.[0,2]

【變式3-3]（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）在△ABC中，。為線段ZC的一個(gè)三等分點(diǎn)，|ZD|二2|DC|.連接

BD,在線段BD上任取一點(diǎn)E,連接4E,若荏=a^+b荏，則（^+解的最小值為（）

A.B.|C.得D.|

【題型4與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例4】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓C的半徑為1,過圓C外一點(diǎn)P作一條切線與圓C相切于點(diǎn)4

|P4|=2,Q為圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則方?所的取值范圍為（）

A.[2,4]B.[2,6]C.[0,4]D.[4,6]

【變式4-1]（2024?海南?三模）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊

長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三

角形中，已知力B=2,P為弧NC上的一點(diǎn)，且NPBC=*則而?而的值為（）

A.4—\/2^B.4+

C.4-2V3D.4+2V3

【變式4-2]（2024?浙江?一模）如圖，點(diǎn)C在以48為直徑的圓上，其中|4用=2,過4向點(diǎn)C處的切線作垂

線，垂足為P,則就?麗的最大值是（）

C.0D.-1

【變式4-3]（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，A42c是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，P為/C邊上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，￡廠是以8為圓心，3為半徑的圓的直徑，則或?而的取值范圍是（）

P

A

A.[28,46]B.[32,58]C.[39,55]D.[42,60]

【題型5與模有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例5】（2024?河北保定?二模）如圖，圓01和圓。2外切于點(diǎn)P，A,B分別為圓。1和圓。2上的動(dòng)點(diǎn)，已知圓

。1和圓。2的半徑都為1，且麗?麗=-1,如同+方『的最大值為（）

A.2B.4C.2V2D.2V3

【變式5-1]（2024,全國(guó),模擬預(yù)測(cè)）已知向量五方滿足|1+同=3,a-b=0,=Aa+（1—e/?）,

且工?五=2口，則?的最大值為（）

13

A.3B.2C.-D.-

【變式5-2]（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知△4BC中，AB=AC=2^2,+AFC|m，n=2（26R）,

AM^^MB,AP=sin2cr-AB+cos2tr-AC,crG[-,^1,則|麗|的取值范圍為（）

zL63J

A.圖，咽B.J咽

C.呼，亨]D.J,亨]

【變式5-3]（24-25高三上?黑龍江大慶?期中）勒洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、

工業(yè)上應(yīng)用廣泛.如圖所示，分別以正三角形/8C的頂點(diǎn)為圓心，以三角形N3C邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這

三段圓弧組成的曲邊三角形即為勒洛三角形.已知正三角形N2C邊長(zhǎng)為60,點(diǎn)。，E分別為線段N2,NC的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸為圓弧荏上的一動(dòng)點(diǎn)，則|對(duì)+而+無+方+方|的最小值為（）

A

A.60-6V37B.300-30V37C.300—15何D.60-3V37

【題型6平面向量中參數(shù)的最值（范圍）問題】

_—NTT

【例6】（23-24局一下?河南信陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是半徑為1的扇形圓弧4B上一點(diǎn)，且乙4。3=彳,

若無=而2+）/話，貝收+后的最大值是（）

A.1B.芋C.V10D.4

【變式6-1]（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）己知口/BCD中，點(diǎn)尸在對(duì)角線NC上（不包括端點(diǎn)4C）,

點(diǎn)。在對(duì)角線8。上（不包括端點(diǎn)8,。），若而=%話+%而，而=而同+〃2阮，記2怒一出的最小

12

值為加，4+廣的最小值為〃，則（）

"242

19-19

A4.m=-n=-B.m=—n=-

oZ4Z

-19-19

C.rn=-->n^-D.m=--,n^-

【變式6-2]（23-24高一下?上海?期中）如圖，△力BC的三邊長(zhǎng)為|2用=3,|BC|=7,|2C|=5,且點(diǎn)B,C分別

在久軸，y軸正半軸上移動(dòng)，點(diǎn)4在線段BC的右上方.設(shè)市=萬(wàn)/+>瓦Q,yeR）,記M=方?瓦

,N=x+y,分別考查M,N的所有可能結(jié)果，則（）

A.M有最小值，N有最大值B.M有最大值，N有最小值

C.M有最大值，N有最大值D.M有最小值，N有最小值

【變式6-3]（23-24高二上?上海黃浦?期中）在△ABC中，AC=3,BC=4,NC=9（F.P為△ABC所在平面

內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=2,^CP^ACA+fiCB,則給出下面四個(gè)結(jié)論：

①4+4的最小值為一、②而?麗的最小值為-6；

③4+〃的最大值為:④而■方的最大值為10.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【題型7極化恒等式】

【例7】（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）在直角梯形4BC0中,AD\\BC,"BC=90。,

AD=2AB=2BC=2,點(diǎn)P為梯形ABCD四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則麗?麗的取值范圍是（）

A.[一#]B.[~1,2]C.[-1,4]D.[-]，.

【變式7-1]（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形4BC中，斜邊4C=2,M為線段4B上的

動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），。為2C的中點(diǎn).將線段AC繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)得到線段EF,則砒?市的最小值為（）

3

A.-2B.—~

C.-1D.——

【變式7-2]（2024?湖北省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè)）如圖直角梯形/5CD中，即是CD邊上長(zhǎng)為6的可

移動(dòng)的線段，XD=4,AB=8V3,BC=12,則前?方的取值范圍為.

【變式7-3]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，A48C是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，點(diǎn)P為NC邊上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度為6的線段￡尸的中點(diǎn)為點(diǎn)8,則無?標(biāo)的取值范圍是.

【題型8等和（高）線定理】

【例8】（2024?山東煙臺(tái)三模）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓。，P為圓。上任一點(diǎn)，若麗=久

同+y而，則2x+2y的最大值為（）

【變式8-1]（24-25高二上?浙江臺(tái)州?開學(xué)考試）如圖所示，OA,而是兩個(gè)不共線的向量（N408為銳

角），N為線段08的中點(diǎn)，M為線段上靠近點(diǎn)4的三等分點(diǎn)，點(diǎn)C在MN上，且沆=而2+y而eR）,

【變式8-2]（2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三角形。PQ中，M.N分別是邊。P、OQ的中點(diǎn)，點(diǎn)R在

直線MN上，且讀=花？+y麗（x,yeR）,則代數(shù)式J久2+y2f_y+軟勺最小值為（）

p

;

A.￥B.青C.?D?日

【變式8-3]（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要特征，幾何中的軸對(duì)稱，中心對(duì)稱

都能給人以美感，在菱形ABCD中，〃BC=120°,以菱形力BCD的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，尸是這四

個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若而=4萬(wàn)？+〃皮，貝U+4的最大值為（）

35

A.5B.3C.-D.-

?課后提升練（19題:

一、單選題

1.（2024?天津和平?二模）平面四邊形/2CD中，AB=2,AC=2^3,ACLAB,=則詬?萬(wàn)

的最小值為（）

A.~~\[3B.~2y/3C.-1D.-2

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）四邊形4BCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)P是正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足

|麗+而+渭+方|=4,貝的最大值是（）

A.1+V2B.V2-1C.2V2-1D.2V2+1

3.（23-24高三上?安徽?階段練習(xí)）已知向量H=Q,3）,B=（12,X—5）,若向量房方的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的

范圍是（）

A.（-oo,l）B.（1,+oo）

C.（-00,-4）U（-4,1）D.（1,9）U（9,+oo）

4.（2024?湖北黃岡一模）已知向量同=同=4/7=—“=孚，且歸一耳=1,財(cái)^與不夾角的最大值為

（）

71715n

A.B<D.

6C.E12

5.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量區(qū)b,工滿足同=1,同=K，a-b=-|,{a-c^b-c）

=30。，則用的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3於

6.（23-24高一下?廣東佛山?階段練習(xí)）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心,

以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒

洛三角形中，已知48=2,P為弧4C（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則麗?麗的范圍為（）

7.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）在矩形力BCD中，力B=5/。=4,點(diǎn)E是線段48上一點(diǎn)，且滿足力E=4EB.

在平面4BCD中，動(dòng)點(diǎn)P在以E為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則而?尼的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2"13+4D.2/13—6

8.（2024?河北滄州?三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分

支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊△4BC中，AB=2,以三條邊為直徑向外作三

個(gè)半圓，M是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若前=4荏+〃*，則A+從的最大值為（）

3

C.1D.2

二、多選題

9.（2024?山東濰坊?二模）已知向量出b,2為平面向量，同=1,同=2,a-b=0,\c—a\=,|,則（）

31+2西

A.1<|c|<-B.6一五）?（/一石）的最大值為

4

C.-1<b-c<1D.若c=2a+〃b,則2+4的最小值為1—手

10.（2024?四川眉山?一模）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，麗="，點(diǎn)P在以CD為直徑的半圓

上（含端點(diǎn)），設(shè)而=久同+y而，貝U（）

A.y的值不可能大于1B.前=/+|通

c.Q?荏的最小值為:D.Q?瓦的最大值為1

11.（23-24高一下?廣東廣州?階段練習(xí)）在△（MB中，。4=1,OB=2/4OB=120。，點(diǎn)P是等邊△力BC

（點(diǎn)。與C在48的兩側(cè)）邊上的一動(dòng)點(diǎn)，^OP=xOA+yOB,則有（）

A.當(dāng)x=（時(shí)，點(diǎn)P必在線段4B的中點(diǎn)處B.x+y的最大值是

C.訶?雨的最小值是一1D.而?麗的范圍是［―

三、填空題

12.（2024?甘肅?一■模）已知單位向量獲滿足|3五一4同=如則m的范圍是.

13.（2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）己知△/!回中，角2,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,^BAC=^,6=1,

c=V3,若通=謂薩+篇化，則|而