微專題11反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識體系

考點(diǎn)梳理

1.反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考)

表達(dá)式y(tǒng)＝(k為常數(shù)，k≠0)

?

k的符號k①0?k②0

圖象(草圖)

所在象限第③象限(x，y同號)第④象限(x，y異號)

在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而

增減性

⑤⑥

對稱性關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；關(guān)于直線y＝x，y＝－x成軸對稱

2.反比例函數(shù)表達(dá)式的確定(6年3考)

(1)設(shè)所求反比例函數(shù)解析式為y＝(k≠0)；

?

待定系(2)找出圖象上的一點(diǎn)P(a，b)；?

數(shù)法(3)將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y＝中，得k＝⑦；

?

(4)確定反比例函數(shù)解析式?y＝

??

?

第1頁共8頁

利用k

k的幾

的幾何

何意義過反比例函數(shù)y＝(k≠0)圖象上任一點(diǎn)P(x，y)作x軸，y軸

意義?

的垂線PM，PN，?垂足分別為M，N，則所得的矩形PMON

的面積S＝PM·PN＝｜y｜·｜x｜＝｜xy｜＝⑧.

利用k

基本S△AOP＝⑨S△ABP＝⑩S△APP'＝2｜k｜

的幾何

圖形

意義

S△ABC＝?S?ABCD＝?

練考點(diǎn)

1.關(guān)于反比例函數(shù)y＝，下列結(jié)論正確的是()

3

A.圖象位于第二、四象?限

B.圖象與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)

C.圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小

D圖象經(jīng)過點(diǎn)(a，a＋2)，則a＝1

2.已知反比例函數(shù)y＝(k≠0)，請回答下列問題：

?

(1)若點(diǎn)(2，4)在該反比例?函數(shù)的圖象上，則該函數(shù)解析式為；

第2頁共8頁

第2題圖

(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝(x＜0)圖象上的一點(diǎn)，分

?

別過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，若四邊?形PAOB的面積為6，則

k的值為.

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年5考)

例1已知反比例函數(shù)y＝(k≠0).

?

(1)若點(diǎn)A(1，－3)關(guān)于x軸的?對稱點(diǎn)A'在該函數(shù)圖象上，則k的值為；

(2)核心設(shè)問若點(diǎn)(－2，3)，(1，n)在該反比例函數(shù)的圖象上，則n的值為；

[2022廣東9題考查]

(3)若點(diǎn)(a，－1)，(b，－4)在該反比例函數(shù)的圖象上且在第三象限內(nèi)，則ab(填

“＞”“＜”“＝”)；

(4)核心設(shè)問若k＝4，點(diǎn)(x1，4)，(x2，－1)，(x3，2)都在反比例函數(shù)y＝的圖象

?

上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是；(用“＜”連接)[2021廣東21(1)題?考查]

(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函數(shù)y＝(k＞0)圖象上兩點(diǎn)，且x1＜x2，y1＜y2，

?

則點(diǎn)A位于第象限，點(diǎn)B位于第?象限；

(6)已知反比例函數(shù)y＝與直線y＝mx相交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，6)，

?

則C點(diǎn)坐標(biāo)為?.

變式1(2024佛山一模)已知點(diǎn)A(－2，a)，B(1，b)，C(3，c)在反比例函數(shù)y＝(k

?

＞0)的圖象上，下列結(jié)論正確的是()?

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜b＜a

變式2已知反比例函數(shù)y＝(a為常數(shù)，且a≠0)和一次函數(shù)y＝x＋2b－1(b為常

?

數(shù))，若a＝2b，則它們在同一?直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()

第3頁共8頁

考點(diǎn)2反比例函數(shù)的幾何意義(6年3考)

例2已知點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上一點(diǎn).

?

(1)如圖①，若OA＝AB，且△AOB?的面積為4，則k的值為；

(2)如圖②，若四邊形OABC是平行四邊形，且點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為(－3，3)，(－

4，0)，則k的值為；

(3)核心設(shè)問如圖③，若矩形ABCD的面積為3，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象

5

上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上且AB∥x軸，C，D在x軸上?，則k

?

＝.[2020廣東24(1?)題考查]

例2題圖

變式3(2024佛山模擬)如圖，矩形ABCD的邊AB與x軸平行，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)

為(2，1)，點(diǎn)B與點(diǎn)D都在反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上，若矩形ABCD的面

?

積為8，則該反比例函數(shù)的解析式為?.

變式3題圖

真題及變式

命題點(diǎn)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6年4考)

第4頁共8頁

1.(2022廣東9題3分)點(diǎn)(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函數(shù)y＝圖

4

象上，則y1，y2，y3，y4中最小的是()?

A.y1B.y2C.y3D.y4

拓展訓(xùn)練

2.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝k1x(k1≠0)與雙曲線y＝(k2≠0)相交于A，B

?2

兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()?

A.(－1，－2)B.(－2，－1)C.(－1，－1)D.(－2，－2)

3.(2024北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若函數(shù)y＝(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，y1)

?

和(－3，y2)，則y1＋y2的值是.?

第5頁共8頁

考點(diǎn)精講

①＞②＜③一，三④二，四⑤減小⑥增大

⑦ab⑧｜k｜⑨｜k｜⑩｜k｜?｜k｜?｜k｜

11

練考點(diǎn)22

1.C【解析】反比例函數(shù)y＝，圖象在第一、三象限，與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，故

3

A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；反比?例函數(shù)y＝，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大

3

而減小，故C選項(xiàng)正確；反比例函數(shù)y＝圖?象經(jīng)過點(diǎn)(a，a＋2)，∴a(a＋2)＝3，

3

解得a＝1或a＝－3，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.?

2.(1)y＝；(2)－6

8

高頻考點(diǎn)?

例1(1)3【解析】∵點(diǎn)A(1，－3)和點(diǎn)A'關(guān)于x軸對稱，∴A'(1，3)，∵A'在反

比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝1×3＝3.

?

(2)－6【解析?】∵點(diǎn)(－2，3)在該反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝－2×3＝－6，∴

該反比例函數(shù)的解析式為y＝－，將(1，n)代入，得n＝－6.

6

(3)＜【解析】∵點(diǎn)(a，－1)，?(b，－4)在該反比例函數(shù)的圖象上，且在第三象

限內(nèi)，y隨x的增大而減小，－1＞－4，∴a＜b.

(4)x2＜x1＜x3【解析】∵k＝4，∴y＝，把點(diǎn)(x1，4)，(x2，－1)，(x3，2)分別代

4

?

入y＝，得x1＝1，x2＝－4，x3＝2，∴x2＜x1＜x3.

4

(5)三，?一；

(6)(－1，－6)【解析】∵反比例函數(shù)y＝與直線y＝mx相交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)

?

C與D關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1?，－6).

第6頁共8頁

變式1B【解析】∵反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象分布在第一、三象限，∴在

?

每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵點(diǎn)?A(－2，a)，B(1，b)，C(3，c)在反比例函

數(shù)y＝(k＞0)的圖象上，且－2＜0＜1＜3，∴a＜0，b＞c＞0，∴a＜c＜b.

?

變式2?B【解析】∵a＝2b，∴代入y＝可得y＝，與一次函數(shù)y＝x＋2b－1

?2?

聯(lián)立，可得＝x＋2b－1，整理得(x－1)(x＋?2b)＝0，?∴方程有一個(gè)根為x＝1，∴

2?

一次函數(shù)與反?比例函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.∵一次函數(shù)y＝x＋2b－1的

一次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，∴一次函數(shù)圖象過一、三象限，故選B.

例2(1)4【解析】如解圖①，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C.∵OA＝AB，∴OC＝

｜｜

BC，∴S△OAC＝S△AOB＝2.∴＝2.∵k＞0，∴k＝4.

1?

22

例2題解圖①

(2)3【解析】如解圖②，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)E，∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴AB＝OC，AB∥OC，∵點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為(－3，3)，(－4，0)，∴AB＝OC

＝4，AE＝1，OE＝3，∴｜k｜＝2S△AEO＝3.∵k＞0，∴k＝3.

例2題解圖②

(3)2【解析】如解圖③，延長BA交y軸于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD為矩形，∴S

矩形AHOD＝S矩形HBCO－S矩形ABCD＝｜k｜，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴S矩

5

形HBCO＝5，∵S矩形ABCD＝3，∴S矩形AHOD＝5－3＝2，∴｜k｜＝2，由?圖象可知k＞0，

∴k＝2.

第7頁共8頁

例2題解圖③

變式3y＝【解析】∵點(diǎn)A(2，1)，四邊形ABCD為矩形，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)

6

為1，點(diǎn)D的?橫坐標(biāo)為2，∴B(k，1)，D(2，)，∴AB＝k－2，AD＝－1，∴(k

?