考試要求1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.【知識(shí)梳理】1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.3.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更要考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)|a|與|b|是否相等和a，b的方向無關(guān).()(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.()(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上.()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)若b＝0，則a與c不一定平行.(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上.2.(多選)下列命題中，正確的是()A.若a與b都是單位向量，則a＝bB.直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量C.若用有向線段表示的向量eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AN,\s\up6(→))不相等，則點(diǎn)M與N不重合D.海拔、溫度、角度都不是向量答案CD解析A錯(cuò)誤，單位向量長(zhǎng)度相等，但是方向不確定；B錯(cuò)誤，由于只有方向，沒有大小，故x軸、y軸不是向量；C正確，由于向量起點(diǎn)相同，但長(zhǎng)度不相等或方向不同，所以終點(diǎn)不同；D正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量.3.(必修二P16例8改編)已知a，b是兩個(gè)不共線向量，向量b－ta與eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b共線，則實(shí)數(shù)t＝________.答案eq\f(1,3)解析由題意知，存在實(shí)數(shù)λ，使得b－ta＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(3,2)b))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(1,2)λ，,\f(3,2)λ＝－1，))解得t＝eq\f(1,3).4.(必修二P14例6改編)在平行四邊形ABCD中，BC的中點(diǎn)為M，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(AM,\s\up6(→))＝________.答案a＋eq\f(1,2)b解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.考點(diǎn)一平面向量的概念例1(1)(多選)下列命題正確的有()A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B.零向量是唯一沒有方向的向量C.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同D.“若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”?“四邊形ABCD是平行四邊形”答案AD解析方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行，所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故A正確；零向量是有方向的，其方向是任意的，故B錯(cuò)誤；兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；A，B，C，D是不共線的點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，即模相等且方向相同，即平行四邊形ABCD對(duì)邊平行且相等，反之也成立，故D正確.(2)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|答案C解析因?yàn)橄蛄縠q\f(a,|a|)的方向與向量a方向相同，向量eq\f(b,|b|)的方向與向量b方向相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項(xiàng)A，B，D.當(dāng)a＝2b時(shí)，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件.感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.訓(xùn)練1(1)下列命題中正確的是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等B.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C.a與b同向，且|a|>|b|，則a>bD.兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，一定是共線向量答案A解析對(duì)于A，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等，方向相反，故A正確；對(duì)于B，向量a與b平行，且a或b為零向量時(shí)，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧浚匀我鈨蓚€(gè)向量都不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，不一定是共線向量，故D錯(cuò)誤.(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量為()A.eq\o(BA,\s\up6(→)) B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(OD,\s\up6(→))答案D解析A，B選項(xiàng)均與eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同，C選項(xiàng)與eq\o(BC,\s\up6(→))長(zhǎng)度不相等，D選項(xiàng)與eq\o(BC,\s\up6(→))方向相同，長(zhǎng)度相等.考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算例2(1)(2024·太原模擬)在矩形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，線段AC和DE交于點(diǎn)F，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案D解析如圖，取CD的中點(diǎn)G，連接BG，交AC于點(diǎn)H.∵BE∥DG，BE＝DG，∴四邊形BEDG為平行四邊形，∴BG∥DE.又E為AB的中點(diǎn)，∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))).∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)(2024·安慶調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點(diǎn)E為線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，則eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析由題圖得eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)).感悟提升平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.訓(xùn)練2(1)(2024·南充診斷)如圖，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝4(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以5eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋4eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)(2024·河南部分學(xué)校聯(lián)考)已知不共線向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S，點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為N，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A.2a－2b B.2a＋2bC.－2a－2b D.－2a＋2b答案D解析如圖，由eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S，點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為N，可知AB是△SMN的中位線，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝2b－2a＝－2a＋2b.考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用例3(1)(2024·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)已知向量a，b不共線，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b.若c與d共線，則實(shí)數(shù)x的值為()A.1 B.－eq\f(1,2)C.1或－eq\f(1,2) D.－1或－eq\f(1,2)答案C解析因?yàn)閏與d共線，所以存在k∈R，使得d＝kc，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb.因?yàn)橄蛄縜，b不共線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx＝1，,k＝2x－1，))整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)或x＝1.(2)(2024·濰坊調(diào)研)已知點(diǎn)M為△ABC中BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，過點(diǎn)N的直線與AB，AC分別交于P，Q兩點(diǎn)，且設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值為()A.5 B.6 C.9 D.10答案D解析根據(jù)題意，得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,10)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)\o(AP,\s\up6(→))＋\f(1,y)\o(AQ,\s\up6(→))))＝eq\f(1,10x)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,10y)eq\o(AQ,\s\up6(→)).∵P，N，Q三點(diǎn)共線，∴eq\f(1,10x)＋eq\f(1,10y)＝1，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝10.感悟提升利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.訓(xùn)練3(1)如圖，△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，AM與CN交于點(diǎn)D，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4) C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)答案C解析在△ABC中，因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，于是得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3λ,4)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，因?yàn)辄c(diǎn)C，D，N共線，則有eq\f(3λ,4)＋eq\f(λ,2)＝1，解得λ＝eq\f(4,5).(2)(2024·棗莊質(zhì)檢)已知D為線段AB上的任意一點(diǎn)，O為直線AB外一點(diǎn)，A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C.若eq\o(OD,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，則x－y的值為()A.－1 B.0 C.1 D.2答案C解析因?yàn)锳關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，又eq\o(OD,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))－yeq\o(OA,\s\up6(→))，又因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以x－y＝1.【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.化簡(jiǎn)2(a－3b)－3(a＋b)的結(jié)果為()A.a＋4b B.－a－9bC.2a＋b D.a－3b答案B解析2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.2.(多選)下列命題中正確的是()A.|a|＋|b|＝|a－b|?a與b方向相反B.在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反D.如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向與a，b之一的方向一定相同答案BC解析對(duì)于A，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，首尾順次相接，B正確；對(duì)于C，兩個(gè)單位向量互相平行，這兩個(gè)單位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，零向量的方向是任意的，故D錯(cuò)誤.3.(多選)下列能化簡(jiǎn)為eq\o(PQ,\s\up6(→))的是()A.eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→)))C.(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))D.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))答案ABC解析對(duì)于A，eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))，符合題意；對(duì)于B，eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→)))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))，符合題意；對(duì)于C，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＋(eq\o(CQ,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→)))＝0＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))，符合題意；對(duì)于D，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))≠eq\o(PQ,\s\up6(→))，不符合題意.4.(2024·武漢質(zhì)檢)已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋λb，eq\o(AC,\s\up6(→))＝μa＋b，λ，μ∈R，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是()A.λ－μ＝1 B.λ＋μ＝2C.λμ＝1 D.eq\f(λ,μ)＝1答案C解析若A，B，C三點(diǎn)共線，則存在不為0的實(shí)數(shù)m，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))，即a＋λb＝m(μa＋b)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝mμ，,λ＝m，))所以λμ＝1.故選C.5.在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a－b＋c|等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，所以a－b＋c＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|a－b＋c|＝|2eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.6.(2024·渭南調(diào)研)如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b D.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b答案A解析由題意知eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，所以eq\o(EB,\s\up6(→))＝－eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\o(CF,\s\up6(→))，所以2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.7.(2024·昆明診斷)在△ABC中，若AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E在AD上，且AE＝2ED，則eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(7,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(7,6)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))答案A解析如圖所示.在△ABC中，因?yàn)锳D為BC邊上的中線，所以D為BC的中點(diǎn).由平行四邊形法則，得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))).又點(diǎn)E在AD上，且AE＝2ED，所以eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).8.已知向量a，b不共線，且c＝λa＋2b，d＝a＋(2λ－3)b，若c與d反向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為________.答案－eq\f(1,2)解析由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋2b＝k[a＋(2λ－3)b]，整理得λa＋2b＝ka＋(2λk－3k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－3k＝2，))整理得2λ2－3λ－2＝0，解得λ＝2或λ＝－eq\f(1,2).又因?yàn)閗＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2).9.若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為________.答案直角三角形解析eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，△ABC為直角三角形.10.在△ABC中，P是BC上一點(diǎn)，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則2λ＋μ＝________.答案eq\f(4,3)解析在△ABC中，eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，則λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，所以2λ＋μ＝eq\f(4,3).11.已知a，b不共線，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，eq\o(OE,\s\up6(→))＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.解由題設(shè)知，eq\o(CD,\s\up6(→))＝d－c＝2b－3a，eq\o(CE,\s\up6(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(CD,\s\up6(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因?yàn)閍，b不共線，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,2k－t＝0，))解得t＝eq\f(6,5).故存在實(shí)數(shù)t＝eq\f(6,5)使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上.12.如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近B點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)試用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.(1)解在△ABC中，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,4)(b－a)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b.(2)證明因?yàn)閑q\o(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,3)b))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))，即eq\o(BF,\s\up6(→))與eq\o(BE,\s\up6(→))共線，且有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.【B級(jí)能力提升】13.(多選)下列命題正確的是()A.若A，B，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，且AB＝CD，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))B.在△ABC中，若O點(diǎn)滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O點(diǎn)是△