1幾何畫板在平面幾何的應用研究一以三角形為例 2 2 1 11.1.3幾何畫板在數學教學的作用 1 1 2 21.3.2研究方法 22理論綜合與文獻的研究分析 2 22.2國內相關研究 33幾何畫板在中小學數學教學中的應用 33.1幾何畫板的特點及應用 33.1.1幾何畫板功能 423.2小學三角形課題實踐 33.3利用幾何畫板進行中學三角形知識的教學 5 53.3.2教學案例——等腰三角形的性質 64實驗結果與分析 4.1實驗班與對照班的成績分析 4.2學生問卷調查 5研究結論、思考與建議 5.1結論 5.2思考與建議 附錄 生了巨大的影響，數學教育也得到進一步突破性強的繪圖、測量計算功能，教師可以很方便的將其運用于到教學里面，因此展在一個信息技術飛速發展的數字化時代，上課的方的變化，正因為有了現代信息技術為當前的數學教學提供了很好的輔助技術與在我國《義務教育數學課程標準》里要求到：教師理運用數學現代信息技術，為學生打開更多豐富3生發現與探究問題，轉變平時的課程教學模式，慢慢轉向以學生為主體、教師為主導的教學模式，更加關注到學生，促進學生的發展。1.1.3新幾何畫板在數學教學的作用激起學生的學習興趣。通過使用幾何畫板，幾何圖形可以被顯示得更漂亮、更生動，進而激發學生對學習的好奇心。增強數學美與提高教學效率。首先，教師在幾何教學時不必反復的在黑板上畫圖，失去了美感。其次，幾何教學可以減少在講解中因為標注使得圖形不1.2研究意義本此課題研究是從結合小學、初中數學三角形課程內容進行幾何畫板輔助教學的整合，在日常數學教學中，教師在可以通過運用幾何畫板來進行平面幾何的輔助教學，從中研究幾何畫板在輔助教師教學和協助學生學習各方面的作用，并希望能夠給中小學教師在運用幾何畫板輔助平面幾何數學教學中帶來一1.3本文研究思路、研究方法1.3.1研究思路為了開展好幾何畫板在平面幾何的應用研究，從結合人教版小學、初中數學教材，研究適合運用平面幾何進行輔助教學的課題并嘗試制作出課例，探究幾何畫板與數學課堂教學的整合并做了較為簡單直接的實驗，以實習時所跟的兩個班為對象，取他們八年級上學期的入門考試成績作實驗前的研究數據。實驗分別在這兩個班進行，讓一個班為實驗班，教學時結合幾何畫板來輔助進行平面幾何內容的數學教學，對照班則一日常教學方法靜心，實驗從8年級上學期第十二章全等三角形到第十三章軸對稱。實驗進行時，記錄下兩個班的作業完成正確率情況，實驗后，將記錄的信息進行對比分析，從中得出幾何畫板在輔助平面幾何教學上的作用與影響。收集學生對教師在數學教學中應用幾何板的認可與建議等方面評價進行了問卷調查并進行分析。1.3.2研究方法文獻法：在開始做這個課題研究時，通過圖書館和在線數據庫搜索了有關平面幾何在中小學運用與平面幾何如何運用的相關文獻，并認真查看，記錄下相關的信息，為后面對此次課題的研究做好理論基礎準備。4實驗比較研究法：取實習所帶的兩個班級分為實驗班(共48人),對照班(共45人),通過比較了兩個班的作業完成情況、成績總體情況來分析幾何畫板在平面幾何內容輔助教學的作用。問卷調查法：在利用幾何畫板進行平面幾何輔助教學的實驗之后，對實驗班的同學開展了關于這段時間老師運用幾何畫板輔助數學教學方面的問卷調查，收集與整理分析，從中得出結論。2理論綜合與文獻的研究分析2.1研究理論依據在數學教學過程中運用幾何畫板輔助教學，是信息技術與教學的整合，在認知學習理論基礎上的研究，為現代數學化教學研究提供出了更強有力的方法2.2國內相關研究(1)幾何畫板功能、運用與推廣。許多學者研究并編寫許多關于幾何畫板運用的文獻，讓幾何畫板得以更好的被人們所運用、更好的推廣起來。(2)幾何畫板與數學教學的整合。對于不同的課題幾何畫板的應用有不一樣應用，有關于幾何畫板在函數方面的研究、在立體幾何中的研究等。3幾何畫板在中小學數學教學中的應用3.1幾何畫板特點及應用在平面幾何的教學中，數形結合的教學是重點也是難點。通過運用幾何畫板來輔助教學，可以較好的解決這一難題，讓學生更好地理解與掌握抽象的數學知識。在傳統的數學課堂教學中，教師通常使用作圖工具繪出各種靜態幾何圖形，無法提供給學生直觀的、形象的感受，而幾何畫板教學能讓圖形在學生面前動態顯示，讓抽象內容變得更為直觀形象了，也更有利于學生結合數學圖形來理解數學知識。(1)幾何圖形繪畫功能。在進行幾何教學時，可以通過幾何畫板準確、快捷的畫出所需要的圖形輔助教學。(2)幾何圖形變換功能。在幾何畫板輔助數學教學過程中可以運用他的功能讓圖形進行基礎的變換，讓圖形動態展示出來，更好的為學生創設情景。5(3)繪制函數的圖像功能。對于復雜的函數公式，幾何畫板可以快速且準確的繪制出來，更好的探究函數的性質。(4)度量、計算功能。幾何畫板可以快速選中線段、角度等進行測量，這比手動測量要為準確，同時通過圖形的動態變換，結果也相應的發生變化。3.2在小學數學三角形的應用課題1三角形的三邊關系教學思路：如圖1所示，在幾何畫板上畫出三條線段，通過幾何畫板的度量與計算功能，列出三邊長度、任意兩邊之和、任意兩邊之差的計算公式，并以這三條線段構造如圖三角形線段，移動三條線段改變三角形的長度，通過移動端點G、H觀察是否能組成三角形，引導學生觀察并比較三角形任意兩邊之和、任意兩邊之與第三邊之間的關系，進而得出三角形三邊的關系。LI?=3.55厘米課題2三角形分類教學思路：如圖2所示，在幾何畫板上畫出任意三角形，通過作AB的垂直平分線，利用垂線性質作出等腰三角形、等邊三角形、直角三角形，利用幾何畫板的角的度量功能，分別度量出三個角的角度與三條邊的長度，通過上下左右移動點B、點C來引導學生觀察三角形的種類，如圖6 等邊三角形等腰三角形鈍角三角形銳角三角形等邊三角形等腰三角形鈍角三角形銳角三角形 課題3三角形的內角和3.3利用幾何畫板進行中學三角形知識的教學課題1三角形外角和教學思路：如圖4所示，在幾何畫板上繪制任意一個三角形，分別作出他們的外角，使用幾何畫板的定量度量和計算功能，度量出三角形各個外角和外角和。通過改變三角形的形狀、大小，讓學生從中發現任意一個三角形的外角和都是360度的。7課題2全等三角形判定檢驗教學思路：如圖5所示，在幾何畫板上繪制△ABC,通過度量、計算、設置路徑等功能度量好△DEF的三個判定條件并作出操作按鈕。先讓意形狀的三角形，通過操作按鈕DE=AB,∠D=∠A,DF=AC得出△DEF,再通過AAS:(D→A)∠D=∠A∠E=∠BEF=BC還原(拖動D,E,F三點任意改變現狀)AAB=5.95AAB=5.95BC=7.61①EF=7.61課題3相似三角形性質定理教學思路：如圖6所示，在幾何畫板中作出兩個相似三角形，如下圖的△ABC和△DEF,分別作出他們兩個三角形中線、角平分線、高線、周長和面積并進行度量，再計算出兩個三角形對應的比例，從中引導學生進行猜想和驗證8F=4.78F=4.78對應邊的比對應邊的比A:A:對應中線、角平分線、高的比JD=2.63麗+CB+AC=14.28接下來具體以八年級上學期人教版教材《等腰三角形》這一章，主要是從本節是人教版初中八年級上冊第十三章第三節稱以后，是之后研究線段、角相等和兩直線垂直的重要基礎，應用了觀察、發現、猜想、論證的數學思維方法。因此，本節內容在教材中尤為重要，起承上在學習此內容之前同學們學習了三角形和軸對稱圖形的相關知識，但他們的想法主要是形象思維，會簡單的文字說理，但缺乏從實質性問題中抽象到數學問題。在本節課中，關于等腰三角形“三線合一”這一性質，學生可能會對教學目標：(1)掌握等腰三角形的基本概念與探索其性質(難點)(2)能利用性質證明兩個角相等、線段相等(重點)(3)結合等腰三角形性質的探教師：(復習回顧)打開“等腰三角形”幾何畫板課件(如圖7所示)9A∠①:等腰三角形的定義：有_兩條邊相等_的三角形叫做等腰三角形。如圖，當AB=AC時，△ABC是等腰三角形腰：相等的兩邊底邊：另一邊頂角：兩腰的夾角底角：腰和底邊的夾角 ①①:底邊腰：相等的兩邊底邊：另一邊猜想1:等腰三角形的兩個底角相等會①:等腰三角形的定義：有_兩條邊相等_的三角形叫做等腰三角形。腰：相等的兩邊底邊：另一邊頂角：兩腰的夾角底角：腰和底邊的夾角猜想1:等腰三角形的兩個底角相等猜想2:線段AD是△ABC的底邊上的高、底邊上的中線和頂角的平分線(4)證明猜想教師：如圖10所示，那我們一起來證明一下我們的猜想1。仟務1:如何證明兩個底角相等(提示：證全等?如何構造全等三角形)任務2:等腰三角形常見的輔助線有?任務3:等腰三角形的性質1如何能用幾何語言來表示?任務4:完成練習1A①:證明猜想1:已知：△ABC中，AB=AC,求證明：作頂角的平分線AD,則∠BAD=∴等腰三角形的兩個底角相等性質性質1:等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)練習1:如果等腰三角形一個底角為80°,則其頂角度數為練習2:已知一等腰三角形的一個內角為70°,則這個等腰三角形的頂角的度數為教師：如圖11所示，那我們一起來證明一下我們的猜想2(通過移動三角形ABC改變其大小形狀在變換成等腰三角形加深學生的理解)。任務1:證明線段AD是△ABC的底邊上的高、中線、和頂角的角平分線(有幾種方法)任務2:用幾何語言表示等腰三角形的性質2(認真觀察動畫演示，任意等腰三角形都符合性質2)①綜上所述：線段AD是△ABC的底邊上的高、底邊上的中線和頂角的角平分線性質2:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高互相重合(三線合一)試著寫一寫另外兩種①人①①人①(1)如圖，已知AB(1)如圖，已知AB=AC,AD是△ABC的中線，(2)如圖，已知AB=AC,AD是∠BAC的平分線，如果△ABD的周長為12,△ABC的周長為16,那么AD=①人①人言A之①:頂歸納總結B底D邊底腰角角A圖13(6)課后反思本堂課的重點是探究等腰三角形的性質，通過多角度觀察、分析并引導學生進行學習。通過幾何畫板輔助來進行這節課的教學可以更好的展示等腰三角形三線合一的數學這個性質，使學生能夠更好地了解等腰三角形的性質，從而來做到突出本次的教學重點和難點。本堂課中實驗班的學生在學習過程中能較快理解等腰三角形的的性質，面對相同的知識點，對照班的學生理解較慢，需要較多時間。4實驗結果與分析此次研究以翁源縣永翔實驗學校八2班(48人，作為實驗班)和八3班 (45人，作為對照班)為研究對象，該校八年級共有3個班級，這兩個班級良好的學習氛圍，紀律嚴明，兩個班的學生在入學時數學成績相當且在教學進程上也保持著基本一致。4.1實驗班與對照班的成績分析在開展運用平面幾何輔助教學的實驗開始之前，先取了這兩個班八年級上學期入門考試成績進行分析，作為前測研究數據，結果如表1所示。表1入門考試成績級拌名12從表1可以看出，通過兩個班的入門考試成績中，可以知道兩個班的平均分、優秀與及格率、級排名都相差不大，即可以表明兩個班在開學時數學成績水平相差不大。(1)課堂作業成績完成情況記錄如表2所示。70.83%70.83%75.00%68.75%70.83%73.33%堂作業正確率情況不如實驗班，由此可知利用幾何畫板輔助教學的更好的促進學生對三角形知識理解與掌握，對學生的成績具有較好的促進作用。(2)軸對稱單元測試成績情況如表3所示。級拌名13由表3可知：在該單元測試中，兩班平均分從相差0.83到相差4.96分，差距變化較明顯；實驗班優秀人數為18人，優秀率為37.50%,及格人數有36人，及格率為75.00%,對照班則都稍低于實驗班，很明顯的發現，通過實驗比較，幾何畫板在教學中輔助教學是可以起到促進成績提高的作用的。4.2學生問卷調查經過兩章的利用幾何畫板輔助教學后，對實驗班的同學展開關于這段時間在課堂教學中運用幾何畫板輔助數學教學的情況進行了問卷調查，調查的問題主要是有關幾何畫板輔助教學是否有益于激發學習數學的興趣、促進自己對數學知識點理解與有沒有提高數學成績等方面的問卷調查，統計回收到46份的調查問卷，并將這些問卷進行了簡單的整理與分析，展示如下：表4題目非常認同認同一般不認同認同率2.使用幾何畫板使課堂更有趣了242020由表4可知，大多同學希望老師在講解知識點時能夠適當的利用幾何畫板輔助，也有部分同學因為這樣對學習數學產生了學習興趣，并更愿意上數學課了。從中可以知道，幾何畫板在教學中輔助教學是可以激起學生的學習數學興趣，進而慢慢改變對學習數學的看法。調查題目非常認同認同一般不認11026.使用幾何畫板講解等腰三角形性質使得理解232300100%由表5可知，大部分學生是認可幾何畫板輔助教學是有助于知識的理解，對于幾何圖像更具有直觀性，對于學生的形象理解思維有一定的幫助，更好的從知識過渡到直觀圖像。調查題目非常認同認同一般不認同認同率動交流了。由表6可知，在對數學課堂模式的調查中，大部分的學生都愿意參與到課堂中，與老師和同學一起交流討論。同時并希望教師在利用幾何畫板輔助教學的過程中能夠更多地、合理地利用幾何畫板引導學生進行數學問題的探究思考5.1結論通過結合相應的教材利用幾何畫板輔助日常的教學工作，舉了相關的三角形相關知識例子，對其進行了認真的梳理和舉例分析，通過實驗前、實驗過程中課堂學習氛圍、作業正確率與試驗后的總體成績來進行分析，從中可以知道實驗班在利用幾何畫板輔助教學的教學下，學生課堂參與率是比較高的，課堂氛圍相對于之前和對照班都是較好的，從平時的課堂作業的完成和單元測試情況來看，實驗班都要稍好于對照班。學生對于幾何畫板輔助教學的運用也是比較接受、比較容易適應的，也可以發現幾何畫板輔助數學教學是可以較好的提高教學效率，促進學生對知識的理解，從中也可以在一定的程度上吸引學生注意，從而激發學生的興趣，通過實驗結果分析，可以知道幾何畫板輔助教學是可以起到提高學習成績的作用的。5.2思考與建議經過簡單的實驗研究，發現幾何畫板輔助數學教學是可以起到不小的作用的，同時也在此也提出以下幾點個人建議：(1)幾何畫板在平面幾何的應用研究不可脫離教學內容本質。(2)在嘗試利用幾何畫板輔助數學