Page第五章四邊形第24講矩形的性質(zhì)與判定TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01矩形性質(zhì)的理解??題型02根據(jù)矩形的性質(zhì)求角度??題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長??題型04根據(jù)矩形的性質(zhì)求周長，面積??題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)??題型06矩形的折疊問題??題型07利用矩形的性質(zhì)證明??題型08矩形判定定理的理解??題型09添加一個條件使四邊形是矩形??題型10證明四邊形是矩形??題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度??題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長??題型13根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求周長，面積??題型14根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題??題型15與矩形有關(guān)的新定義問題??題型16與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題??題型17與矩形有關(guān)的動點問題??題型18與矩形有關(guān)的最值問題??題型19矩形與函數(shù)綜合??題型20與矩形有關(guān)的存在性問題??題型21與矩形有關(guān)的材料閱讀類問題Page??題型01矩形性質(zhì)的理解1．（2024·貴州黔東南·一模）在下列立體圖形中，左視圖為矩形的是（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）正方形具備而矩形不具備的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．四個角都是直角C．對角線互相平分 D．對角線相等3．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）下列圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）A．等邊三角形 B．矩形 C．菱形 D．正六邊形4．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，矩形紙片的長為4，寬為3，矩形內(nèi)已用虛線畫出網(wǎng)格線，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，現(xiàn)沿著網(wǎng)格線對矩形紙片進(jìn)行剪裁，使其分成兩塊紙片．請在下列備用圖中，用實線畫出符合相應(yīng)要求的剪裁線．注：①剪裁過程中，在格點處剪裁方向可發(fā)生改變但仍須沿著網(wǎng)格線剪裁；②在各種剪法中，若剪裁線通過旋轉(zhuǎn)、平移或翻折后能完全重合則視為同一情況．??題型02根據(jù)矩形的性質(zhì)求角度5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E．若∠ODA=30°，則∠BOE的度數(shù)為(

)

A．45° B．60° C．65° D．75°6．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）石油的提取物中含有稠環(huán)芳香烴，它的同系物的分子結(jié)構(gòu)中有一種物質(zhì)叫釋迦牟尼分子，它的分子式是CH2（部分結(jié)構(gòu)是正六邊形和矩形構(gòu)成），其中∠1的度數(shù)為7．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）如圖，把一塊等腰直角三角尺EFG的直角頂點G放在矩形紙片ABCD的邊BC上，另外兩個頂點E、F分別在矩形紙片ABCD的邊AD、CD上，若∠GFC=76°，則∠AEG=（

）A．106° B．105° C．104° D．102°8．（2024·河北唐山·一模）如圖，直線a∥b，線段AB和矩形CDEF在直線a，b之間，點A，E分別在a，b上，點B、C、F在同一直線上，若∠α=80°，∠β=55°，則∠ABC=（A．130° B．135° C．140° D．150°??題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長9．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD的中點，連接BE交對角線AC于點F．若AC=6，則AF的長為．10．（2024·河北石家莊·二模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點P為CD的中點，若點P繞AB上的點Q旋轉(zhuǎn)后可以與點B重合，則AQ的長為（

）A．6 B．116 C．3 11．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，已知矩形ABCD，AB=2，BC=3，E、F分別是邊BC、CD上的動點，且BE=CF，將△BCF沿著BC方向向右平移到△EGH，連接DH、EH，當(dāng)DE=EH時，DH長是；運(yùn)動過程中，△DEH的面積的最小值是．

12．（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，點E在AD邊上，BE平分∠ABC，F(xiàn)，G分別是BE，CE的中點，AF=22，DG=5，則FG的值為（A．5 B．22 C．2313．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F分別是AD,BC上的點（點E,F分別不與點A,C重合），且EF⊥BD，則BE+EF+DF的最小值為．??題型04根據(jù)矩形的性質(zhì)求周長，面積14．14．（2024·甘肅平?jīng)觥と＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，連接EF，則△AEF的周長為．15．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，點E是矩形內(nèi)部一動點，且∠BAE=∠CBE，已知DE的最小值等于2，則矩形ABCD的周長=16．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在長方形ABCD中，AB=5，AD=3，以點D為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段CD延長線于點E，點F為BC邊上一點，若CF=2BF，連接EF，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留17．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=4，點P從點B出發(fā)沿BC邊勻速移動到點C，同時點Q從點C出發(fā)沿CD、DA、AB邊向點B勻速移動，且點Q移動的速度是點P移動速度的2倍，設(shè)PB的長為x，△PCQ的面積為y，則下列各圖中能夠正確反映y與x的函數(shù)圖象的是（

）.A． B． C． D．18．（2024·山東菏澤·二模）利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a=6，b=4，則矩形ABCD的面積是．19．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測）y=?x+6與y=x+2的圖象交于點M，設(shè)點M的坐標(biāo)為(m，n)，求邊長分別為m、??題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)20．（2024·江西九江·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?12x+4分別與x軸、y軸交于點A、B，點M在坐標(biāo)軸上，點N在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以A、B、M、N為頂點的四邊形為矩形，則點N21．（2024·湖北宜昌·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO兩邊與坐標(biāo)軸重合，OA=2，OC=1．將矩形ABCO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點B的坐標(biāo)為（

）A．1,2 B．2,1 C．?2,?1 D．?1,222．（2023·河南商丘·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為矩形，點A，C分別在y軸、x軸上，且點B4,3，D為邊BC上一點，將∠B沿AD所在直線翻折，當(dāng)點B的對應(yīng)點B'恰好落在對角線AC上時，點D的坐標(biāo)為(A．4,43 B．4,5323．（2022·河北邢臺·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點坐標(biāo)分別為A8，0

（1）矩形OABC（不包含邊界）內(nèi)的偶點的個數(shù)為；（2）若雙曲線L：y=kxx>0將矩形OABC（不包含邊界）內(nèi)的偶點平均分布在其兩側(cè)，則k24．（2024·四川樂山·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上，OC=3，OA=26，D是BC的中點，將△OCD沿直線OD折疊后得到△OGD，延長OG交AB于點E，連接DE，則點GA．365,35 B．66??題型06矩形的折疊問題25．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊，使DA邊落在DC邊上，點A落在點H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點B落在點G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD=3，則CD的長為．26．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A4,0，C0,42是矩形OABC的頂點，點M,N分別為邊AB,OC上的點，將矩形OABC沿直線MN折疊，使點B的對應(yīng)點B'在邊OA的中點處，點C的對應(yīng)點C'27．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD的長BC=15，將矩形ABCD對折，折痕為PQ，展開后，再將∠C折到∠DFE的位置，使點C剛好落在線段AQ的中點F處，則折痕DE=28．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點O(0,0)，點B(23,2)．D是邊BC上一點（不與點B重合），過點D作DE∥OB交OC于點E．將該紙片沿DE折疊，得點C的對應(yīng)點C'．當(dāng)點C'落在OB上時，點??題型07利用矩形的性質(zhì)證明29．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，EF⊥AD于點F，DG⊥AE于點G，DG與EF交于點O．(1)判斷四邊形ABEF的形狀，并說明理由；(2)若AD=AE，AF=1，求DG的長．30．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖①，BD是矩形ABCD的對角線，∠ABD=30°，AD=1．將△BCD沿射線BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'為BD中點，連接AB'(1)求證：四邊形AB(2)四邊形ABC'D(3)將四邊形ABC31．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A(1)求證：△A(2)若∠ACB=30°，試問當(dāng)點C'在線段AC上的什么位置時，四邊形AB??題型08矩形判定定理的理解32．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）小穎和小亮參加數(shù)學(xué)實踐活動，檢驗一個用斷橋鋁制作的窗戶是否為矩形，下面的測量方法正確的是（）A．度量窗戶的兩個角是否是90°B．測量窗戶兩組對邊是否分別相等C．測量窗戶兩條對角線是否相等D．測量窗戶兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等33．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是某學(xué)習(xí)小組的四位同學(xué)擬訂的方案，其中正確的是（

）A．測量對角線是否互相平分 B．測量各頂點到對角線交點距離是否相等C．測量一組對角是否都為直角 D．測量兩組對邊是否分別相等34．（2023·安徽蚌埠·三模）如圖推理中，空格①②③④處可以填上條件“對角線相等”的是（

）

A．①② B．①④ C．③④ D．②③??題型09添加一個條件使四邊形是矩形35．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知?ABCD，下列條件能使?ABCD成為矩形的是（

）A．AB=BC B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠A=∠C36．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是(1)求證：BE=DF；(2)連接DE，BF．請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形37．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AE⊥BC于點E，點F為AD上一點，連接CF，請你添加一個條件，使得四邊形AECF為矩形．（不再添加其他線條和字母）(1)你添加的條件是__________；(2)根據(jù)你添加的條件，寫出證明過程．38．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)在對角線AC所在直線上，∠ABE=∠CDF．

(1)求證：BE=DF；(2)連BF，DE．請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形BFDE為矩形，并需要說明理由．??題型10證明四邊形是矩形39．（24-25九年級上·江蘇南京·期中）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=CD，AB∥CD．求證：四邊形ABCD是矩形．40．（2022·西藏·模擬預(yù)測）在△ABC中，D是BC邊的中點，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接(1)求證：△BDF≌△CDE；(2)若DE=12BC41．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，?ABCD中，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點.(1)求證：BE=DF；(2)設(shè)ACBD=k，直接寫出k=時，四邊形42．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，尺規(guī)作圖所得射線AF交BC于點D，且四邊形ABDE是平行四邊形，求證：四邊形ADCE是矩形．??題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度43．（2024·福建泉州·一模）“已知∠MON，點A，B是ON邊上不重合的兩個定點，點C是OM邊上的一個動點，當(dāng)△ABC的外接圓與邊OM相切于點C時，∠ACB的值最大．”這是由德國數(shù)學(xué)家米勒提出的最大角問題，我們稱之為米勒定理．已知矩形ABCD，AD=4，點E是射線AD上一點，點F是射線AB上的一動點．當(dāng)AE=12時，則∠DFE的值最大為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°44．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，連接EG、FH．(1)求證：△AEH≌△CGF；(2)若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度數(shù)．45．（2023·廣東梅州·一模）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度數(shù)．??題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長46．（22-23八年級下·重慶梁平·期末）如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6．E是CD邊上一動點，過點E分別作EF⊥OC于點F，EG⊥OD于點G，連接FG，則FG的最小值為（）A．2.4 B．3 C．4.8 D．447．（2024·遼寧盤錦·三模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點D在AC上，且AD=2，點E是AB上的動點，連接DE，點F，G分別是BC和DE的中點，連接AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG=FG時，線段DE的長為．48．（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，點P是邊AB上任意一點，過點P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點D，E，連接DE，則DE的最小值是（

A．132 B．6013 C．125??題型13根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求周長，面積49．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=5，延長DC至點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F，連接AC，BE，∠AFC=2∠D．(1)求證：四邊形ABEC是矩形；(2)求?ABCD的面積．50．（2024·甘肅·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF與AC相交于點O，(1)求證：四邊形AECF是矩形；(2)若AE=BE，AB=2，sin∠ACB=51．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）問題探究（1）如圖1，在?ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，AB，BC，CD上的點（不與?ABCD的頂點重合），連接EG，F(xiàn)H，當(dāng)EG∥AB，F(xiàn)H∥AD時，求證：S四邊形問題解決（2）某設(shè)計師根據(jù)客戶要求在一塊圓形場地進(jìn)行布景設(shè)置．如圖2，設(shè)計師通過設(shè)計軟件畫出圓形場地，記作⊙O，主區(qū)域△ABC內(nèi)接于⊙O，AB經(jīng)過圓心O，M為AB上一點，ME⊥AC，MF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，要求AE=BF．觀賞區(qū)為△AEM與△BMF，已知AB=25m．設(shè)AM=xm，觀賞區(qū)△AEM與△BMF的面積的和為①求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)S最大時，求△ABC的面積．52．（2024·貴州遵義·二模）如圖，把四邊形的某些邊向兩方延長，其它各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．如圖，在凹四邊形ABCD中，BC=2,AB=23,∠C=30°,∠A=15°53．（2024·四川遂寧·二模）如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，A．19 B．20 C．21 D．22??題型14根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題54．（2023·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，點E、O、F在另一條直線上．以下結(jié)論：①△AEG∽△DGF；②AB=2AD；③S△COF=12A．1個 B．2個 C．3個 D．4個55．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=6，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF．展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q，再次展平，連接BN,MN，延長MN交BC于點G．有如下結(jié)論：①∠ABN=60°；②AM=3；③△BMG是等邊三角形；④P為線段BM上一個動點，H是線段BN的動點，則PN+PH的最小值是33．其中正確結(jié)論的序號是56．（2024·上海閔行·二模）在矩形ABCD中，AB<BC，點E在邊AB上，點F在邊BC上，聯(lián)結(jié)DE、DF、EF，AB=a,BE=CF=b,DE=c,∠BEF=∠DFC，以下兩個結(jié)論：①(a+b)2+(a?b)2=cA．①②都正確 B．①②都錯誤；C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確57．（2023·山東臨沂·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=32,AD=6，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，點E不與A，B重合，且EF=AB，G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且∠EGF=90°的點，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠AEG與∠GFB一定相等；②點G到邊AB，BC的距離一定相等；③點G到邊AD，DC的距離可能相等；④點G到邊DC的距離的最小值為3，其中正確的是

??題型15與矩形有關(guān)的新定義問題58．（2024·浙江·一模）我們定義：若一條直線既平分一個圖形的面積，又平分該圖形的周長，我們稱這條直線為這個圖形的“紫金線”．(1)如圖1，已知△ABC，AB=AC,AC≠BC，①用尺規(guī)作圖作出△ABC的一條“紫金線”；（保留作圖痕跡）②過點C能作出△ABC的“紫金線”嗎？若能，用尺規(guī)作圖作出；若不能，請說明理由；(2)如圖2，若MN是矩形ABCD的“紫金線”，則依據(jù)圖中已有的尺規(guī)作圖痕跡，可以將∠ACD用含α的代數(shù)式表示為；(3)如圖3，已知四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°,AB=3,BC=8,CD=5．用尺規(guī)作圖作出四邊形ABCD的“紫金線”PQ．（保留作圖痕跡）59．（2024·河南漯河·一模）定義：若一個三角形的面積是另一個三角形面積的n倍，就說這個三角形是另一個三角形的“n倍三角形”，另一個三角形是這個三角形的“n分之一三角形”．如圖1，△ABC的中線AD把三角形分成面積相等的兩部分，即△ABD和△ACD的面積都是△ABC面積的一半，所以△ABC是△ABD或△ACD的“2倍三角形”，△ABD和△ACD都是△ABC的“2分之一三角形”．(1)①如圖2，△ACP是△ABP的“2倍三角形”，那么△ABP是△ABC的“________分之一三角形”；②若點O是△ABC的重心，連接OB，OC，則△ABC是△OBC(2)在△ABC中，AB=2BC，分別延長邊BA，BC到點M，N，連接MN．已知AM=AB，△BMN是△ABC的“16倍三角形”．求證：△BMN與△ABC是相似三角形；(3)如圖3，在矩形ABCD中，AB=4，連接AC，過點D作DE⊥AC于點E，點P，Q分別是線段AD，AE上的動點，連接EP，PQ．已知△ABC是△CDE的“4倍三角形”，求EP+PQ的最小值．60．（2024·遼寧本溪·二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖象上任意一點Px,y的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差即y?x的值稱為點P的“坐標(biāo)差”；例如：點A3,7的“坐標(biāo)差”為理解：（1）求二次函數(shù)y=?x運(yùn)用：（2）若二次函數(shù)y=?x2?bx+cc≠0的“特征值”為?1，點B與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸，y軸的交點，且點拓展：（3）如圖，矩形ODEF，點E的坐標(biāo)為7,4，點D在x軸上，點F在y軸上，二次函數(shù)y=?x2+px+q的圖象的頂點在“坐標(biāo)差”為3①當(dāng)二次函數(shù)y=?x②當(dāng)二次函數(shù)y=?x2+px+q參考公式：y=ax61．（2023·江西上饒·一模）我們給出如下定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖，∠B=∠C，則四邊形ABCD為等鄰角四邊形．(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是．①平行四邊形

②矩形

③菱形

④等腰梯形(2)如圖，在四邊形ABCD中，AB，CD的垂直平分線恰好交于BC邊上一點P，連結(jié)AC，BD，且AC=BD，求證：四邊形ABCD為等鄰角四邊形．(3)如圖，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B=∠BCD，CE⊥AE，點P為邊BC上的一動點，過點P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點P的運(yùn)動過程中，猜想PM，PN，CE之間的數(shù)量關(guān)系？并請說明理由．??題型16與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題62．（2020·遼寧·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點E，使AE=DA，連接EB，點F1是CD的中點，連接EF1，BF1，得到ΔEF1B；點F2是CF1的中點，連接EF2，BF2，得到ΔEF2B；點

63．（2024·安徽阜陽·三模）鄰邊不相等的矩形紙片，剪去一個正方形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個正方形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作；……依次類推，若第n次操作余下的四邊形是正方形，操作停止，這樣第n次操作后所得到的余下的正方形則稱為原矩形的n階正方形，如圖，相鄰兩邊長分別為3和5的矩形，最后所得到的正方形為原矩形的3階正方形．矩形相鄰的兩邊長操作次數(shù)最后所得到的正方形為2和11原矩形的1階正方形3和22原矩形的____階正方形8和3__________原矩形的____階正方形(1)完成上表：(2)已知矩形的兩相鄰邊長分別為a,b，滿足a=6b+m,b=3m（m為正整數(shù)），則最后所得到的正方形是原矩形的_____________階正方形．64．（23-24九年級上·山東青島·期中）如圖，依次連接第一個矩形各邊上的中點，得到一個菱形，在依次連接菱形各邊上的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個矩形的面積是1，則第n個矩形的面積是．65．（2024·河南鄭州·三模）綜合實踐【問題】

小張、小王、小袁在《解析與檢測》中發(fā)現(xiàn)這樣一道題：如圖1，在矩形ABCD中，O為對角線BD的中點，∠ABD=60°，動點E在線段OB上，動點F在線段OD上，點E,F同時從點O出發(fā)，分別向終點B,D運(yùn)動，且始終保持OE=OF．點E關(guān)于AD,AB的對稱點為E1,E2；點F關(guān)于BC,CD的對稱點為【探究】（1）小張覺得在點E,F運(yùn)動的過程中，四邊形E1E2（2）小王覺得小張說的不全面，于是三人繼續(xù)探索：①小王看到四邊形E1E2F1F2的四邊分別經(jīng)過了原矩形的四個頂點，并說道：在圖1中，連接DE1和D②小王發(fā)現(xiàn)，點E,F在點O時，四邊形E1E2F1F2為菱形；點E,F分別運(yùn)動到終點B,D時，四邊形E1E2F1F【應(yīng)用】（3）經(jīng)過探索，三人得出了四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是菱形、平行四邊形、矩形、平行四邊形、菱形的結(jié)論．如圖3，在原題的基礎(chǔ)上，將條件∠ABD=60°變?yōu)锳B=6??題型17與矩形有關(guān)的動點問題66．（2024·河北石家莊·三模）如圖1，，在矩形ABCD中，BC=4,E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF,EF交CD于點F，設(shè)BE=x,CF=y，圖2是點E從點B運(yùn)動到點C的過程中，y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則AB的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．867．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，點E是邊AD上的動點，連接CE，以CE為邊作矩形CEFG(點D、G在CE的同側(cè))，且CE=2EF，連接BF．(1)如圖1，當(dāng)點E在AD的中點時，點B、E、F在同一直線上，求BF的長；(2)如圖2，當(dāng)∠BCE=30°時，求證：線段BF被CE平分．68．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）出入相補(bǔ)原理是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建．“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一，如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，對角線AC與BD交于點O，點E為BC邊上的一個動點，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為(1)當(dāng)E為BC的中點時，求證：EG=EF；(2)當(dāng)E為BC邊上任意一點時，求EF+EG的值．69．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）（1）問題導(dǎo)入：

如圖1，在正方形ABCD中，AB=2+22，E為線段BC上一動點，將△ABE沿AE翻折，得到△AB'E，若AB（2）問題探究：

如圖2，在矩形ABCD中，E為線段BC上一動點，設(shè)AE=mAB，將△ABE沿AE翻折，得到△AB'E，延長AB'交CD于點F，若AF=mAE（3）問題深挖：

如圖3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，E為直線BC上一動點，設(shè)AE=mAB，將△ABE沿AE翻折，得到△AB'E，在AB'的延長線上找一點F，使得AF=mAE，當(dāng)△AEC是以70．（2023·江蘇蘇州·二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=8cm，BD=6cm，動點E、G分別從點A、C同時出發(fā)，均以1cm/s的速度沿AB、CD向終點B、D勻速運(yùn)動；同時，動點H、F也分別從點A、C出發(fā)，均以2cm/s的速度沿AD、CB向終點D、B勻速運(yùn)動，順次連接EF、FG、GH、HE．設(shè)運(yùn)動的時間為t?s，若四邊形EFGH??題型18與矩形有關(guān)的最值問題71．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB'F72．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）同學(xué)在學(xué)習(xí)矩形時，發(fā)現(xiàn)了矩形的一些神奇性質(zhì)，如圖1，P為矩形ABCD內(nèi)任意一點，PA、PB、PC、PD之間存在一種特殊的數(shù)量關(guān)系：PA(1)若點P在矩形ABCD外部，以上結(jié)論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(2)若如圖3，點P在正方形ABCD內(nèi)，若PA=1，PB=2，(3)如圖4，△OAB中，E為內(nèi)部一點，且OA=2，OB=3，OE=1且AE⊥BE，求AB的最小值．73．（2024·吉林長春·二模）如圖，在菱形ABCD中，AC=16，BD=12，E是CD邊上一動點，過點E分別作EF⊥OC于點F,EG⊥OD于點G，連接FG．(1)求證：四邊形OGEF為矩形．(2)求GF的最小值．74．（2024·湖南長沙·一模）如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，D是斜邊AC上一個動點，過點作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，連接EF

(1)求證：四邊形BEDF是矩形；(2)在D點的運(yùn)動過程中，求EF的最小值；(3)若四邊形BEDF為正方形，求ADDC75．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，連接BD，M、N分別為邊AD、BC上的動點，且MN⊥BD于點P，連接DN、BM，則DN+BM的最小值為．

76．（2024·安徽淮南·模擬預(yù)測）如圖，E是線段AB上一點，在線段AB的同側(cè)分別以AE，BE為斜邊作等腰Rt△ADE和等腰Rt△BCE，F(xiàn)，M分別是CD，AB的中點．若A．FA+FB的最小值為35 B．四邊形ABCD面積的最小值為C．△CDE周長的最小值為32+3 D．??題型19矩形與函數(shù)綜合77．（2024·陜西漢中·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L1：y=ax2+bx+24（a、b為常數(shù)，且(1)求拋物線L1(2)點C為拋物線L1上一點，連接AC、BC，過點C作CD⊥x軸于點D，點F為x軸上的動點，作拋物線L，關(guān)于原點O對稱的拋物線L2，當(dāng)點C在拋物線L?的對稱軸左側(cè)，且△ABC的面積為12時，在拋物線L2上是否存在點E，使得以點C、D、E、F78．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·一模）函數(shù)y=6x和函數(shù)y=?12x的圖像如圖所示，點A是函數(shù)y=6x的圖像在第一象限上的一點，它的橫坐標(biāo)為m，過點A分別作AB平行于x軸、AD平行于y軸，分別與函數(shù)y=?12x的圖像交于點

(1)點D的縱坐標(biāo)為（用含m的代數(shù)式表示）；并求證：點C在函數(shù)y=6(2)若點E在函數(shù)y=6x的圖像上，CE∥BD，當(dāng)m＝3時，直接寫出點79．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）綜合與探究如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中．拋物線y=?13x2+13x+4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．與y軸交于點C，D是(1)求直線AD的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2．在線段AB上有一條2個單位長度的動線段MN（點M在點N的左側(cè)），過點M作x軸的垂線，交拋物線于點F，交直線AD于點P；過點N作x軸的垂線，交拋物線于點G．交直線AD于點Q，連接FG，MQ．設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，請解答下列問題：①線段FM的長為________；（用含m的代數(shù)式表示）②當(dāng)m=?12時，判斷四邊形③求當(dāng)m為何值時，MQ∥FG．(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點M在拋物線的對稱軸上時．連接AC，試探究；此時在第一象限內(nèi)是否存在點T．使以T，G，Q為頂點的三角形與△ACD相似？若存在．請直接寫出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．80．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)是一個不斷思考，不斷發(fā)現(xiàn)，不斷歸納的過程（Pappus，約300﹣350）把△AOB三等分的操作如下：（1）以點O為坐標(biāo)原點，OB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，繪制反比例函數(shù)y=1（3）以點C為圓心，2OC為半徑作弧，交函數(shù)y=1（4）分別過點C和D作x軸和y軸的平行線，兩線交于點E，M；（5）作射線OE，交CD于點N，得到∠EOB．

(1)判斷四邊形CEDM的形狀，并證明；(2)證明：O、M、E三點共線；(3)證明：∠EOB=1??題型20與矩形有關(guān)的存在性問題81．（2023·貴州黔東南·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，BD為對角線．點P為線段CD上一動點，點P從點D出發(fā)，向點C勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；點Q為BC上一動點，過點Q作BD的垂線，交BD于點M，交AD于點N，點Q從點C向點B運(yùn)動，速度為1cm/s，當(dāng)點P停止運(yùn)動時，點(1)當(dāng)t為何值時，PQ∥BD？(2)設(shè)四邊形NQPD的面積為ycm2，求y與(3)是否存在某一時刻t，使四邊形NQPD的面積是矩形ABCD面積的1748，若存在，請求出此時t82．（2024·山東青島·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從點D出發(fā)沿DA向終點A運(yùn)動同時動點Q從點A出發(fā)沿對角線AC向終點C運(yùn)動．過點P作PE∥DC，交AC于點E，動點P、Q的運(yùn)動速度是每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為x秒，當(dāng)點Q與點E重合時，P、Q兩點同時停止運(yùn)動．設(shè)

(1)當(dāng)x為何值時，點Q與點E重合？(2)當(dāng)x為何值時，PQ∥(3)當(dāng)點Q與點E不重合時，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出x的取值范圍）．(4)是否存在這樣的點P和點Q，使P、Q、E為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．83．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）問題情境圖①是一塊三角形形狀的邊角料，記作△ABC，BC=a，BC邊上的高AH=?．現(xiàn)要從這塊邊角料上剪出一個矩形DEFG，使頂點E，F(xiàn)在邊BC上，頂點D，G分別在AB，AC上，設(shè)DG與高AH交于點M．初步探究(1)經(jīng)測量得a=8dm，?=6①如圖②，若四邊形DEFG是正方形，求邊DG的長．思考：設(shè)DG=xdm，由正方形的性質(zhì)可知DG∥BC，DG=DE=xdm，∠EDG=∠DEF=90°．由AH是BC邊上的高，可知∠EHM=90°，所以四邊形DEHM是矩形．所以MH=DE=xdm，AM=6?xdm．由DG②若矩形DEFG的面積為9dm2，求邊DG思考：設(shè)DG=xdm，由矩形DEFG的面積為9dm2，得到DE，再運(yùn)用(2)按照上述要求，可以剪出無數(shù)個矩形，問：是否存在兩個不同的矩形，使得這兩個矩形的面積之和等于△ABC的面積？若存在，請求出這兩個矩形的周長；若不存在，請通過計算說明理由．84．（2024·北京·模擬預(yù)測）問題探究：(1)如圖1，在等邊△ABC中，AB=3，點P是它的外心，則PB＝；(2)如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，邊BC上存在點P，使∠APD=90°，求矩形ABCD面積的最小值；問題解決：(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=3，∠A=∠B=90°，∠C=45°，邊CD上存在點P，使∠APB=60°，在此條件下，四邊形ABCD的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．??題型21與矩形有關(guān)的材料閱讀類問題85．（2023·山西大同·二模）閱讀與思考下面是一篇數(shù)學(xué)小論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．“三點共線模型”及其應(yīng)用背景知識：通過初中學(xué)習(xí)，我們掌握了基本事實：兩點之間線段最短．根據(jù)這個事實，我們證明了：三角形兩邊的和大于第三邊．根據(jù)不等式的性質(zhì)得出了：三角形兩邊的差小于第三邊．知識拓展：如圖，在同一平面內(nèi)，已知點A和B為定點，點C為動點，且BC為定長（令BC＜AB），可得線段AB的長度為定值．我們探究AC和兩條定長線段AB，BC的數(shù)量關(guān)系及其最大值和最小值：當(dāng)動點C不在直線AB上時，如圖1，由背景知識，可得結(jié)論AB+BC＞AC，AB?BC＜AC．當(dāng)動點C在直線AB上時，出現(xiàn)圖2和圖3兩種情況．在圖2中，線段AC取最小值為AB?BC；在圖3中，線段AC取最大值為AB+BC．模型建立：在同一平面內(nèi)，點A和B為定點，點C為動點，且AB，BC為定長（BC＜AB），則有結(jié)論AB+BC≥AC，AB?BC≤AC．當(dāng)且僅當(dāng)點B運(yùn)動至A，C，B三點共線時等成立．我們稱上述模型為“三點共線模型”，運(yùn)用這個模型可以巧妙地解決一些最值問題．任務(wù)：(1)上面小論文中的知識拓展部分．主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有；（填選項）A．方程思想

B．統(tǒng)計思想

C．分類討論

D．函數(shù)思想(2)已知線段AB=10cm，點C為任意一點，那么線段AC和BC的長度的和的最小是cm(3)已知⊙O的直徑為2cm，點A為⊙O上一點，點B為平面內(nèi)任意一點，且OB=1cm，則AB的最大值是(4)如圖4，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在ON邊上運(yùn)動時，A隨之在OM上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變．其中AB=2，BC=1．運(yùn)動過程中，求點D到點O86．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）綜合與實踐背景閱讀早在三千多年前，我國周朝數(shù)學(xué)家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被記載于我國古代著名數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3:4:5的三角形稱為3,4,5型三角形，例如：三邊長分別為9，12，15或32，42，52實踐操作如圖1，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12第一步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平．第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點D與點F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF．第三步：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD'H，再沿AD'折疊，折痕為AM，AM問題解決(1)請在圖4中判斷NF與ND(2)請在圖4中證明△AEN是3,4,5型三角形；(3)探索發(fā)現(xiàn)在不添加字母的情況下，圖4中還有哪些三角形是3,4,5型三角形？請找出并直接寫出它們的名稱．87．（2024·全國·模擬預(yù)測）閱讀下列材料，解決問題．如圖1，已知正六邊形ABCDEF，要求在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作一個矩形A1B1C1小明利用尺規(guī)作圖只作了部分，如圖2所示．(1)請你根據(jù)小明的作圖思路，補(bǔ)畫出矩形A1(2)在（1）的基礎(chǔ)上，連接AC，若AC=4，則線段A1D1的長為(3)如圖3，已知正五邊形A2B2M，N分別在邊A2B288．（2024·山西晉中·三模）閱讀與思考下面是小剛同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．梯形的中位線如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB<CD，E是AB的中點，F(xiàn)是CD的中點，連接EF，則EF叫作梯形ABCD的中位線，并滿足EF=AD+BC2，證明：如圖2，連接AF并延長，交BC的延長線于點G．∵AD∥∴∠DAF=∠G（依據(jù)1）．∵F是CD的中點，∴DF=CF．∵∠DAF=∠G，∠AFD=∠GFC，DF=CF，∴△ADF≌△GCF（依據(jù)2），……任務(wù)：（1）填空：材料中的依據(jù)1是指___________；依據(jù)2是指___________．（2）將上述方法的證明過程補(bǔ)充完整．（3）如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，以AB，CD分別為邊構(gòu)造正方形ABFE、CDHG，連接EH，取線段EH的中點為K，連接AK，DK則△ADK的面積為___________．1．（2023·江蘇連云港·中考真題）【問題情境

建構(gòu)函數(shù)】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中點，AE⊥BM，垂足為E．設(shè)BC=x,AE=y，試用含x的代數(shù)式表示y．

【由數(shù)想形

新知初探】（2）在上述表達(dá)式中，y與x成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示．若x取任意實數(shù)，此時的函數(shù)圖像是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像．

【數(shù)形結(jié)合

深度探究】（3）在“x取任意實數(shù)”的條件下，對上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②函數(shù)值y的取值范圍是?42<y<42；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個交點；④在圖像上存在四點A、B【抽象回歸

拓展總結(jié)】（4）若將（1）中的“AB=4”改成“AB=2k”，此時y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是__________；一般地，當(dāng)k≠0,x取任意實數(shù)時，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過程，探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫出3條即可）．2．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖1，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=4，AD=8，點E為AD邊上一點0<AE<3，連接EO并延長，交BC于點F，四邊形ABFE與A'B'FE關(guān)于EF所在直線成軸對稱，線段B'

(1)求證：GE=GF；(2)當(dāng)AE=2DG時，求AE的長；(3)令A(yù)E=a，DG=b．①求證：4?a4?b②如圖2，連接OB'，OD，分別交AD，B'F于點H，K.記四邊形OKGH的面積為S1，△DGK的面積為S23．（2024·湖南·中考真題）【問題背景】已知點A是半徑為r的⊙O上的定點，連接OA，將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到OE，連接AE，過點A作⊙O的切線l，在直線l上取點C，使得∠CAE為銳角．【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)α=60°時，∠CAE=°；【問題探究】（2）以線段AC為對角線作矩形ABCD，使得邊AD過點E，連接CE，對角線AC，BD相交于點F．①如圖2，當(dāng)AC=2r時，求證：無論α在給定的范圍內(nèi)如何變化，BC=CD+ED總成立：②如圖3，當(dāng)AC=43r，CEOE=4．（2024·重慶·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點B作BD(1)如圖1，若點D在點B的左側(cè)，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E．若點E是BC的中點，求證：AC=2BD；(2)如圖2，若點D在點B的右側(cè)，連接AD，點F是AD的中點，連接BF并延長交AC于點G，連接CF．過點F作FM⊥BG交AB于點M，CN平分∠ACB交BG于點N，求證：AM=CN+2(3)若點D在點B的右側(cè)，連接AD，點F是AD的中點，且AF=AC．點P是直線AC上一動點，連接FP，將FP繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FQ，連接BQ，點R是直線AD上一動點，連接BR，QR．在點P的運(yùn)動過程中，當(dāng)BQ取得最小值時，在平面內(nèi)將△BQR沿直線QR翻折得到△TQR，連接FT．在點R的運(yùn)動過程中，直接寫出FTCP一、單選題1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，點M，N分別在邊BC，AD上．連接MN，將四邊形CMND沿MN翻折，點C，D分別落在點A，E處．則tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．52．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點A在直線b上，若∠2=41°，則∠1的度數(shù)為（

）A．41° B．51° C．49° D．59°3．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，當(dāng)△EBC是等邊三角形時，∠AEB為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°4．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD，AD=12cm，CD=10第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD'N，AD'交折痕MN于點EA．8cm B．16924cm C．167245．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為?4,0，點C的坐標(biāo)為0,2．以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC，若將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA'BA．?4,?2 B．?4,2 C6．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形ABCD中，BD為其對角線，一動點P從D出發(fā)，沿著D→B→C的路徑行進(jìn)，過點P作PQ⊥CD，垂足為Q．設(shè)點P的運(yùn)動路程為x，PQ?DQ為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2，則AD的長為（

）A．423 B．83 C．737．（2022·山東聊城·中考真題）要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（

）A．測量兩條對角線是否相等B．度量兩個角是否是90°C．測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等D．測量兩組對邊是否分別相等8．（2021·廣西河池·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在CD，AC上，BF⊥EF，CE=1，則AF的長是（

）A．22 B．322 C．439．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，點M是AB邊的中點，點N是AD邊上任意一點，將線段MN繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°，點N旋轉(zhuǎn)到點N'，則△MBN'A．15 B．5+55 C．10+52 D10．（2024·河北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D11．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB，CD向終點B，D運(yùn)動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（

A．3 B．32 C．2 D．二、填空題12．（2021·湖南益陽·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，從①AB=AD，②AC=BD，③∠ABC=∠ADC中選擇一個作為條件，補(bǔ)充后使四邊形ABCD成為菱形，則其選擇是（限填序號）．13．（2022·青海·中考真題）如圖矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，過點O的直線分別交AD和BC于點E，F(xiàn)，AB=3，BC=4，則圖中陰影部分的面積為．14．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A4,0，C0,42是矩形OABC的頂點，點M,N分別為邊AB,OC上的點，將矩形OABC沿直線MN折疊，使點B的對應(yīng)點B'在邊OA的中點處，點C的對應(yīng)點C'15．（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且BCAB=5?116．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，點A0,?2，B1,0，將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，則點D的坐標(biāo)是17．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC=6．P為邊AB上一動點，作PD⊥BC于點D，PE⊥AC于點E，則DE的最小值為．

18．（2023·四川德陽·中考真題）如圖，在底面為正三角形的直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=23,AA1=2，點M

三、解答題19．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)若BC=4,CE=3，求EF的長．20．（2024·貴州·中考真題）如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AD∥BC，①AB∥CD，②

(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形ABCD是矩形；(2)在（1）的條件下，若AB=3，AC=5，求四邊形ABCD的面積．21．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ABC=90°．(1)求證：AC=BD；(2)點E在BC邊上，滿足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8，求CE的長及tan∠CEO第五章四邊形第24講矩形的性質(zhì)與判定TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01矩形性質(zhì)的理解??題型02根據(jù)矩形的性質(zhì)求角度??題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長??題型04根據(jù)矩形的性質(zhì)求周長，面積??題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)??題型06矩形的折疊問題??題型07利用矩形的性質(zhì)證明??題型08矩形判定定理的理解??題型09添加一個條件使四邊形是矩形??題型10證明四邊形是矩形??題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度??題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長??題型13根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求周長，面積??題型14根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題??題型15與矩形有關(guān)的新定義問題??題型16與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題??題型17與矩形有關(guān)的動點問題??題型18與矩形有關(guān)的最值問題??題型19矩形與函數(shù)綜合??題型20與矩形有關(guān)的存在性問題??題型21與矩形有關(guān)的材料閱讀類問題??題型01矩形性質(zhì)的理解1．（2024·貴州黔東南·一模）在下列立體圖形中，左視圖為矩形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了幾何體的左視圖，根據(jù)左視圖的定義：從幾何體左邊看到的圖形是左視圖，即可解答．【詳解】解：A、圓柱體的左視圖為矩形，符合題意；B、球的左視圖為圓形，不符合題意；C、圓錐的左視圖為三角形，不符合題意；D、三棱錐的左視圖為三角形，不符合題意；故選：A．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）正方形具備而矩形不具備的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．四個角都是直角C．對角線互相平分 D．對角線相等【答案】A【分析】本題考查矩形與正方形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)能對其進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形和矩形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：A、正方形的四條邊相等，但矩形的對邊相等，但鄰邊不一定相等，故A符合題意；B、正方形和矩形的四個角都是直角，均相等，故B不符合題意；C、正方形和矩形的對角線都互相平分，故C不符合題意；D、正方形和矩形的對角線均相等，故D不符合題意；故選：A．3．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）下列圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）A．等邊三角形 B．矩形 C．菱形 D．正六邊形【答案】A【分析】本題考查了中心對稱圖形“在平面內(nèi)，把一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個圖形重合，那么這兩個圖形互為中心對稱圖形”和軸對稱圖形“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形”，熟記定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義逐項判斷即可得．【詳解】解：A、等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，則此項符合題意；B、矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則此項不符合題意；C、菱形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則此項不符合題意；D、正六邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則此項不符合題意；故選：A．4．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，矩形紙片的長為4，寬為3，矩形內(nèi)已用虛線畫出網(wǎng)格線，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，現(xiàn)沿著網(wǎng)格線對矩形紙片進(jìn)行剪裁，使其分成兩塊紙片．請在下列備用圖中，用實線畫出符合相應(yīng)要求的剪裁線．注：①剪裁過程中，在格點處剪裁方向可發(fā)生改變但仍須沿著網(wǎng)格線剪裁；②在各種剪法中，若剪裁線通過旋轉(zhuǎn)、平移或翻折后能完全重合則視為同一情況．【答案】見解析【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等圖形的定義與性質(zhì)，同時考查了學(xué)生實際的動手操作能力，根據(jù)全等圖形的性質(zhì)分別畫出符合題意的圖形即可.【詳解】解：如圖，??題型02根據(jù)矩形的性質(zhì)求角度5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E．若∠ODA=30°，則∠BOE的度數(shù)為(

)

A．45° B．60° C．65° D．75°【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形和等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)及AE平分∠BAD分別判定BE=BA及△AOB為等邊三角形，然后求得∠OBE=30°，則可在△BOE中求得∠BOE的度數(shù)．【詳解】解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AD∥BC，OA=OB=OD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=45°，∴∠AEB=∠EAD=45°，∴∠AEB=∠BAE=45°，∴BE=BA．∵∠OAD=∠ODA=30°，∴∠BAC=60°，又OA=OB，∴△AOB為等邊三角形，∴BO=BA，∴BO=BE，∵AD∥∴∠OBE=∠ADO=30°，∴∠BOE=180°?30°故選：D．6．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）石油的提取物中含有稠環(huán)芳香烴，它的同系物的分子結(jié)構(gòu)中有一種物質(zhì)叫釋迦牟尼分子，它的分子式是CH2（部分結(jié)構(gòu)是正六邊形和矩形構(gòu)成），其中∠1的度數(shù)為【答案】150°/150度【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和和外角，求出正六邊形的內(nèi)角，利用360°減去一個直角，再減去一個正六邊形的內(nèi)角，即可解答，熟練求出多邊形的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：正六邊形的每個內(nèi)角為180×6?26=120°∴∠1=360°?120°?90°=150°，故答案為：150°．7．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）如圖，把一塊等腰直角三角尺EFG的直角頂點G放在矩形紙片ABCD的邊BC上，另外兩個頂點E、F分別在矩形紙片ABCD的邊AD、CD上，若∠GFC=76°，則∠AEG=（

）A．106° B．105° C．104° D．102°【答案】C【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠AEG=∠EGC=104°．由矩形的性質(zhì)推出∠C=90°,AD∥BC，求出∠CGF=90°?76°=14°，得到∠EGC=∠EGF+∠CGF=104°，由平行線的性質(zhì)推出【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90°,AD∥∵∠GFC=76°，∴∠CGF=90°?76°=14°，∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=90°+14°=104°，∵AD∥∴∠AEG=∠EGC=104°，故選：C．8．（2024·河北唐山·一模）如圖，直線a∥b，線段AB和矩形CDEF在直線a，b之間，點A，E分別在a，b上，點B、C、F在同一直線上，若∠α=80°，∠β=55°，則∠ABC=（A．130° B．135° C．140° D．150°【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，分別過點B，F(xiàn)作BG，F(xiàn)H平行于直線a，得直線【詳解】解：如圖，分別過點B，F(xiàn)作BG，F(xiàn)H平行于直線∵直線a∴直線a∥∵a∥∴∠ABG+α=180°，∴∠ABG=180°?80°=100°，∵b∥∴∠HFE=β=55°，∵四邊形CDEF是矩形，∴∠EFC=90°，∴∠HFC=90°?55°=35°，∵BG∥∴∠GBC=∠HFC=35°，∴∠ABC=∠ABG+∠GBC=135°，故選：B．??題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長9．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD的中點，連接BE交對角線AC于點F．若AC=6，則AF的長為．【答案】2【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)矩形可得BC∥AD，從而有【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD∴△AFE∽△CFB，∴AEBC∵E是邊AD的中點，∴AE=ED=1∴12∴CF=2AF，∵AC=6，∴CF+AF=6，∴AF=2，故答案為：2．10．（2024·河北石家莊·二模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點P為CD的中點，若點P繞AB上的點Q旋轉(zhuǎn)后可以與點B重合，則AQ的長為（

）A．6 B．116 C．3 【答案】B【分析】根據(jù)點P繞AB上的點Q旋轉(zhuǎn)后可以與點B重合，得到QP=QB，作QE⊥PB于點E，則EP=EB，根據(jù)矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點P為CD的中點，求得PB=PC2+BC【詳解】解：根據(jù)點P繞AB上的點Q旋轉(zhuǎn)后可以與點B重合，∴QP=QB，作QE⊥PB于點E，∴EP=EB，∵矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點P為CD的中點，∴AD=AB=6，PA=PD=12AD=3PB=P∴sin∠PBC=PCPB∵∠ABC=90°∴∠PBC=90°?∠QBE=∠EQB，∠C=90°，∴sin∠PBC=∴52解得QB=25∴AQ=AB?QB=11故選B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，正弦函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，已知矩形ABCD，AB=2，BC=3，E、F分別是邊BC、CD上的動點，且BE=CF，將△BCF沿著BC方向向右平移到△EGH，連接DH、EH，當(dāng)DE=EH時，DH長是；運(yùn)動過程中，△DEH的面積的最小值是．

【答案】253/2【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．結(jié)合圖形，由已知先證明CGHF為正方形，設(shè)BE=x，則CF=FH=HG=x，求出x的長，進(jìn)而求出DH；由S△DEH=S△DEC+【詳解】解：連接FH，如圖所示：

∵△EGH≌△BCF，∴∠DCB=∠G=90°，F(xiàn)C=GH，BC=EG=3，∴FC∥GH，∴四邊形FCGH是平行四邊形，∵∠FCG=90°，∴四邊形FCGH是矩形，∵BE=CF，∴CG=CF，∴四邊形CGHF為正方形，∴FH=CF，設(shè)BE=x，則CF=FH=HG=x，∴EC=3?x，∵DE=EH，∴(3?x)2+∴CF=FH=2∴DF=2?x=2?2∴DH=D∵===1∵12∴△DEH的面積的最小值是158故答案為：253，12．（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，點E在AD邊上，BE平分∠ABC，F(xiàn)，G分別是BE，CE的中點，AF=22，DG=5，則FG的值為（A．5 B．22 C．23【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)先證明△ABE是等腰直角三角形，求出BE=2AF=42，AB=AE=2BE=4，再利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CE=2DG=25，利用勾股定理求出DE=2，進(jìn)而得到BC=AD=6，根據(jù)【詳解】解：∵四邊形ABCD矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∵F是BE的中點，AF=22∴BE=2AF=42∴AB=AE=2∵G為CE的中點，DG=5，∠CDE=90°∴CE=2DG=25在Rt△CDE中，CE=2∴DE=C∴AD=AE+DE=6，∴BC=AD=6∵F，G分別為BE，CE的中點，∴FG是△EBC的中位線，∴FG=1故選：D．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線，勾股定理，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．13．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F分別是AD,BC上的點（點E,F分別不與點A,C重合），且EF⊥BD，則BE+EF+DF的最小值為．【答案】5+5/【分析】分別以EF,DF為邊作平行四邊形EFDH，連接BH，過點E作EG∥CD交BC于點G，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出EF=5為定值，證明∠BDH=90°，在Rt△BDH中，利用勾股定理求出BH=5≤BE+EH=BE+DF，再利用三角形三邊關(guān)系求出【詳解】解：分別以EF,DF為邊作平行四邊形EFDH，連接BH，過點E作EG∥CD交BC于點∵∠A=∠ABC=∠BGE=90°，∴四邊形ABGE是矩形，∴EG=AB=2，∵矩形ABCD中，AB=2,BC=4，∴CD=2,AD=4，∴BD=A∵∠1=∠2，∠1+∠CBD=90°，∠2+∠GEF=90°，∴∠CBD=∠GEF，∵∠BCD=∠FGE=90°，∴△FGE∽△DCB，∴EGBC=解得：EF=DH=5∵四邊形EFDH是平行四邊形，∴EF∥∵BD⊥EF，∴∠BDH=90°，在Rt△BDHBH=B∴BE+DF的最小值為5，∴BE+EF+DF的最小值為5+5故答案為：5+5【點睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形，及平行四邊形是解題的關(guān)鍵．??題型04根據(jù)矩形的性質(zhì)求周長，面積14．14．（2024·甘肅平?jīng)觥と＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，連接EF，則△AEF的周長為．【答案】9【分析】本題考查三角形中位線定理、矩形的性質(zhì)，勾股定理，因為四邊形ABCD是矩形，所以AD=BC=8，∠BAD=90°，OB=OD=OA=OC，在Rt△BAD中，可得BD=10，推出OD=OA=OB=5，因為E，F(xiàn)分別是AO、AD【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，∠BAD=90°，OB=OD=OA=OC，在Rt△BAD中，BD=∴OD=OA=OB=5，∵E、F分別是AO，AD的中點，∴EF=12OD=52∴△AEF的周長=AE+EF+AF=5故答案為：9．15．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，點E是矩形內(nèi)部一動點，且∠BAE=∠CBE，已知DE的最小值等于2，則矩形ABCD的周長=【答案】4+42/【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，90°的圓周角所對的弦為直徑，勾股定理等知識．確定點E的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．由∠BAE=∠CBE，∠ABE+∠CBE=90°，可得∠BAE+∠ABE=90°，則∠AEB=90°，即點E在以AB為直徑的半⊙O上運(yùn)動，如圖，當(dāng)點O，E，D三點共線時，DE取最小值2，設(shè)AB=2r，則AO=r，AD=22r，DO=r+2，由勾股定理得，AO2+AD2=DO【詳解】解：∵∠BAE=∠CBE，∴∠BAE+∠ABE=90°，∴∠AEB=90°，∴點E在以AB為直徑的半⊙O上運(yùn)動，如圖，∴當(dāng)點O，E，D三點共線時，DE取最小值2，設(shè)AB=2r，則AO=r，AD=22r，由勾股定理得，AO2+A解得，r=1．∴AB=2，∴矩形ABCD的周長=2AB+AD故答案為：4+4216．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在長方形ABCD中，AB=5，AD=3，以點D為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段CD延長線于點E，點F為BC邊上一點，若CF=2BF，連接EF，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留【答案】7+【分析】本題考查了扇形的面積的計算及長方形的性質(zhì)，明確S陰影用長方形的面積加上扇形的面積減去三角形的面積即可求得陰影部分的面積．【詳解】解：在長方形ABCD中，AB=5，∴S四邊形∵∠ADC=90°，∴∠ADE=90°，∴S扇形∵ED=AD=BC=3,CD=AB=5，∴S△ECF∴S陰影故答案為：7+17．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=4，點P從點B出發(fā)沿BC邊勻速移動到點C，同時點Q從點C出發(fā)沿CD、DA、AB邊向點B勻速移動，且點Q移動的速度是點P移動速度的2倍，設(shè)PB的長為x，△PCQ的面積為y，則下列各圖中能夠正確反映y與x的函數(shù)圖象的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】分類討論，求出點Q分別在CD,AD,AB上的函數(shù)解析式，對照解析式得到函數(shù)圖像進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=2,BC=AD=4,AD∥BC,∠BCD=∠B=90°，當(dāng)0<x≤1時，點Q在CD上，由題意得，BP=x,PC=4?x，CQ=2x，∴y=1當(dāng)1<x≤3時，點Q在AD上，過點Q作QF⊥BC于點F，∵∠BCD=90°，即DC⊥BC，又∵AD∥BC，∴QF=CD=2，∴y=1當(dāng)3<x<4時，點Q在AB上，此時BQ=BA+AD+CD?2x=8?2x，∴y=1∴y=?故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，動點問題的函數(shù)圖象：先根據(jù)幾何性質(zhì)得到與動點有關(guān)的兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)得出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍．18．（2024·山東菏澤·二模）利用圖形的分、和、移、補(bǔ)探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a=6，b=4，則矩形ABCD的面積是．【答案】48【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)S△ABD【詳解】解：如圖，由題意和圖可得：S△ABD∴S矩形故答案為：48．19．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測）y=?x+6與y=x+2的圖象交于點M，設(shè)點M的坐標(biāo)為(m，n)，求邊長分別為m、【答案】8【分析】本題考查了兩直線的交點，矩形的面積．熟練掌握兩直線的交點，矩形的面積是解題的關(guān)鍵．聯(lián)立得y=?x+6y=x+2，可求x=2y=4，則點M的坐標(biāo)為(2，【詳解】解：聯(lián)立得y=?x+6y=x+2解得x=2y=4∴點M的坐標(biāo)為(2，4)，即∴mn=8，∴邊長分別為m、n的矩形面積為8．??題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)20．（2024·江西九江·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?12x+4分別與x軸、y軸交于點A、B，點M在坐標(biāo)軸上，點N在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以A、B、M、N為頂點的四邊形為矩形，則點N【答案】8,4或6,?4或?8,?12【分析】本題考查了一次函數(shù)與矩形的綜合題型，涉及矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是分類討論和利用相似三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)線段之間的關(guān)系．分類討論：①點M在原點；②點M在x軸上；③點M在y軸上，利用相似及平移規(guī)律即可求解．【詳解】解：直線y=?12x+4分別與x軸、y軸交于點A當(dāng)x=0時，y=4，y=0時，x=8，∴A點坐標(biāo)8,0，B點坐標(biāo)B0,4分三種情況：①點M在原點上，矩形BMAN中，如圖，BO=AN=4,BN=AO=8，點N坐標(biāo)為8,4；②如圖，點M在x軸上，如圖，矩形BMNA中，OB⊥AM，∴∠OBM+∠OMB=∠OBM+∠OBA=90°，∴∠OMB=∠OBA，∴△BOM∽△AOB，∴BOAO∴MO=B∴M點坐標(biāo)為?2，將點M向右平移8個單位，向下平移4個單位得到點N，∴N的坐標(biāo)為6,?4；③如圖2，點M在y軸上，如圖，矩形BAMN中，OA⊥MB，由②同理可得：△MOA∽△AOB，∴BO∴MO=A∴M點坐標(biāo)為0,?16，將點M向左平移8個單位，向上平移4個單位得到點N，∴N的坐標(biāo)為?8,?12，∴點N坐標(biāo)為8,4或6,?4或?8,?12，故答案為：8,4