Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第二章方程與不等式第05講一次方程（組）及其應用（思維導圖+5考點+3命題點15種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一一元一次方程基礎考點二解一元一次方程考點三二元一次方程（組）基礎考點四解二元一次方程（組）考點五一次方程（組）及其應用04題型精研·考向洞悉命題點一一元一次方程（組）的相關概念?題型01等式的性質?題型02一元一次方程的相關概念?題型03二元一次方程的相關概念命題點二解一元一次方程（組）?題型01一元一次方程的解法?題型02代入法解二元一次方程組?題型03加減法解二元一次方程組?題型04整體法解二元一次方程組?題型05解二元一次方程組--同解方程組?題型06解二元一次方程組—已知二元一次方程組的解的情況求參數?題型07中考最熱考法之以注重過程性學習的形式考查一次方程(組)命題點三一元一次方程（組）的應用?題型01列一元一次方程組?題型02一元一次方程的應用?題型03二元一次方程組的應用?題型04中考最熱考法之以跨學科背景考查一元一次方程的實際應用?題型05中考最熱考法之以真實問題情境為背景考查二元一次方程組的實際應用Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁01考情透視·目標中考考點考查頻率新課標要求一元一次方程及其解法★★掌握等式的基本性質；能解一元一次方程.二元一次方程及其解法★★掌握消元法，能解二元一次方程組；*能解簡單的三元一次方程組；一次方程（組）的應用★★能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程【考情分析1】一元一次方程屬于初中的基礎內容，試題形式多樣，難度不大，主要以解決實際問題為考查背景，多出現在銷售、行程、工程等問題中，確定題目中的等量關系，正確地列出方程是解題的關鍵.此外，準確的計算能力也是得分所必不可少的技能.【考情分析2】中考對二元一次方程組的考查包括解方程組和利用二元一次方程組解決實際問題，其關鍵是“消元”思想，即將“二元”轉化為“一元”，這也體現在用二元一次方程組可解決的問題用一元一次方程也可以解決，考查形式多樣，難度不大，多以解決實際問題為出題背景.02知識導圖·思03考點突破·考法探究考點一一元一次方程基礎一、一元一次方程的相關概念一元一次方程的概念：只含有一個未知數（元），且未知數的次數都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的標準形式：ax+b=0（a、b是常數，且a≠0）.方程的解：能使方程兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得過程叫做解方程.【易錯易混】1）方程的解與解方程是兩個不同的概念，方程的解是一個具體的數值，而解方程是求方程的解的過程；2）方程的解是通過解方程求得的.3）方程的解可能不止一個（如x=2和x=-2都是方程x2=4的解），也有可能無解（如二、等式的性質等式的性質1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個數（或同一個式子），所得的結果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性質2：等式兩邊都乘以同一個數，或都除以同一個不為0的數，結果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=等式的性質3：如果a=b，則b=a（對稱性）等式的性質4：如果a=b，b=c，則a=c（傳遞性）【易錯易混】1）利用等式的性質進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.2）等式兩邊同時除以一個字母時，字母不能為0，若題目沒有注明該字母不為0，那么這個變形就不成立.1．（2023·湖南永州·中考真題）關于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1，則m的值為（

）A．3 B．-3 C．7 D．-72．（2024·山東濟南·模擬預測）若關于x的方程m-1x2+2x-1=0有根，則m3．（2024·貴州·中考真題）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設“■”與“●”的質量分別為x，y，則下列關系式正確的是（

）A．x=y B．x=2y C．x=4y D．x=5y4．（2022·青海·中考真題）下列說法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b 5．（2022·山東濱州·中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據是（A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2考點二解一元一次方程基本思路：通過適當的變形，把一元一次方程化簡為ax=b（a、b為常數，且a≠0）的形式，得出方程的解為x=ba步驟具體做法去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號移項把含有未知數的項移到方程一邊，其它項都移到方程另一邊合并同類項把方程變為ax=b（a≠0)的形式系數化為1將方程兩邊都除以未知數系數a，得到方程的解x=b【補充說明】解具體的一元一次方程時，要根據方程的特點靈活安排解題步驟，甚至可以省略某些步驟，有分母的去分母，有括號的去括號.1．（2024·海南·中考真題）若代數式x-3的值為5，則x等于（

）A．8 B．-8 C．2 D．-22．（2024·河北·模擬預測）下面是嘉淇同學解一元一次方程5x6解：去分母，得5x-6=23x-2去括號，得5x-6=6x-2，……第二步移項，得5x-6x=-2-6，……第三步合并同類項，得-x=-8，……第四步解得x=8．以上解題步驟中，開始出錯的一步是（

）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步3．（2024·貴州貴陽·二模）已知關于x的方程2x-m=0的解是x=-3，則m的值為．4．（2024·內蒙古包頭·模擬預測）已知y=1是方程py-1=-3-p的解，則代數式p3-p-15．（2024·陜西西安·模擬預測）解方程：3QUOTEQUOTE考點三二元一次方程（組）基礎1.二元一次方程二元一次方程概念：含有兩個未知數，并且未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.二元一次方程的三要素：1）有且只有兩個未知數；2）含有未知數的項的次數為1；3)方程兩邊都是整式.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解.2.二元一次方程組二元一次方程組的概念：方程組有兩個未知數，每個含有未知數的項的次數都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程叫做二元一次方程組.一般形式：，（其中不同時為0，不同時為0）.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【易錯易混】1.二元一次方程有無數個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數值就是它的解.2.在二元一次方程中，給定其中一個未知數的值，就可以通過解一元一次方程的方法求出另一個未知數的值.3.二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對整個方程組而言的，組成方程組的各個方程不必同時含有兩個未知數，這兩個一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個一次方程必須只含有兩個未知數.4.解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程．1．（2023·浙江衢州·中考真題）下列各組數滿足方程2x+3y=8的是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=1 C．x=-1y=22．（2020·湖南益陽·中考真題）同時滿足二元一次方程x-y=9和4x+3y=1的x，y的值為（）A．x=4y=-5 B．x=-4y=5 C．x=-2y=33．（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=34．（2020·浙江紹興·中考真題）若關于x，y的二元一次方程組x+y=2A=0的解為x=1y=1，則多項式A可以是15．（2022·四川雅安·中考真題）已知{x=1y=2是方程ax+by＝3的解，則代數式2a+4b﹣5的值為5．（2021·四川廣安·中考真題）若x、y滿足x-2y=-2x+2y=3，則代數式x2-4考點四解二元一次方程（組）1.代入消元法定義：把二元一次方程組中的一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：1）變形.從方程組中選一個未知數的系數比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來；2）代入.將變形后的方程代入沒變形的方程，得到一個一元一次方程；3）解元.解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；4）求值.將求得的未知數的值代入變形后的方程，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解.【易錯易混】1）方程組中各項系數不全是整數時，應先化簡，即應用等式的性質，化為整數系數.

2）當求出一個未知數后，把它代入變形后的方程(或)，求出另一個未知數的值比較簡單2.加減消元法定義：當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數的系數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：1）變形.先觀察系數特點，將同一個未知數的系數化成互為相反數或相等的數；2）加減.把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；3）解元.解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；4）求值.將求得的未知數的值代入原方程組中任意一個方程，求出另一個未知數的值，并把求得的兩個未知數的值用“大括號”聯立起來，就是方程組的解．

1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）點Px,y在直線y=-34x+4上，坐標x,y是二元一次方程5x-6y=33的解，則點PA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023·四川眉山·中考真題）已知關于x,y的二元一次方程組3x-y=4m+1x+y=2m-5的解滿足x-y=4，則m的值為（

A．0 B．1 C．2 D．33．（2023·河北衡水·模擬預測）如圖，“●、■、▲”分別表示三種不同的物體，已知前兩架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”處只放“■”，那么應放“■”（

）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個4．（2023·四川瀘州·中考真題）關于x，y的二元一次方程組2x+3y=3+ax+2y=6的解滿足x+y>22，寫出a的一個整數值5．（2024·浙江·中考真題）解方程組：2x-y=5考點五一次方程（組）及其應用用一元一次方程（組）解決實際問題的一般步驟：審：審清題意（注意關鍵詞），找出題中的等量關系，理清題中的已知量與未知量；設：設未知數，并用含未知數的代數式表示其他未知量；列：根據題中相等關系，列出方程（組）；解：解所列出的方程（組）；驗：檢驗所得的解是不是所列方程的解、是否符合實際意義（這一步可在草稿紙上完成）；答：寫出答案，包括單位.1．（2024·四川·中考真題）我國古代數學名著《九章算術》記載了一道題，大意是：幾個人合買一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元．設有x人，該物品價值y元，根據題意，可列出的方程組是（

）A．8x=y+37x=y-4 B．C．8x=y-37x=y-4 D．2．（2024·廣東深圳·中考真題）在明朝程大位《算法統宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（

）A．7x+7=y9x-1=yC．7x-7=y9x-1=y3．（2024·海南·中考真題）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．某商店售賣某品牌瘦肉粽和五花肉粽．請依據以下對話，求促銷活動前每個瘦肉粽、五花肉粽的售價．4．（2024·陜西·中考真題）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛生大掃除．根據這次大掃除的任務量，若小峰單獨完成，需4h；若爸爸單獨完成，需2h．當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成剩余的打掃任務．小峰和爸爸這次一共打掃了5．（2024·江蘇徐州·中考真題）中國古代數學著作《張邱建算經》中有一道問題；“今有甲、乙懷錢，各不知其數．甲得乙十錢，多乙余錢五倍．乙得甲十錢，適等．問甲、乙懷錢各幾何？”問題大意：甲、乙兩人各有錢幣干枚．若乙給甲10枚錢，此時甲的錢幣數比乙的錢幣數多出5倍，即甲的錢幣數是乙錢幣數的6倍；若甲給乙10枚錢，此時兩人的錢幣數相等．問甲、乙原來各有多少枚錢幣？請用二元一次方程組解答上述問題．04題型精研·考向洞悉命題點一一元一次方程（組）的相關概念?題型01等式的性質等式的性質1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個數（或同一個式子），所得的結果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性質2：等式兩邊都乘以同一個數，或都除以同一個不為0的數，結果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=解題方法：靈活運用等式的性質.1．（2024·山東濰坊·模擬預測）已知等式3a=2b+5，則下列等式中成立的是（A．3ac=2bc+5 B．3a-5=2b C．a=23b+152．（2021·黑龍江哈爾濱·模擬預測）下列等式成立的是（

）A．-x+yz=-x+yC．-x-yz=-x+y3．（2023·廣東佛山·模擬預測）下面各式的變形正確（

）A．由2x3=4x-89-5，得6x=4x-8-5C．由2x-7=3x+2，得2x-3x=2+7 D．由5x+33=-6（x+54．（2024·貴州貴陽·一模）用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現用天平稱了兩次，情況如圖所示．設a，b，c均為正數，則能正確表示天平從左到右變化過程的等式變形為（

）A．如果a+c=b+c，那么a=b B．如果a=b，那么a+c=b+cC．如果2a=2b，那么a=b D．如果a=b，那么2a=2b5．（2023·河北保定·一模）如左圖的天平架是平衡的，其中同一種物體的質量都相等，如右圖，現將不同質量的一“○”和一個“”從通道的頂端同時放下，兩個物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，此時兩個托盤上物體的質量分別為y甲g和y乙gA．y甲=y乙 B．y甲=2QUOTEQUOTEQUOTE?題型02一元一次方程的相關概念1．（2024·四川攀枝花·模擬預測）下列各數中，是方程2x-1=3x+1的解的是（

）A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=1和-22．（2024·廣西河池·三模）關于x的方程2x+a=4的解是x=1，則a的值為（

）A．-8 B．0 C．2 D．83．（2021·貴州·一模）已知關于x的方程k2-4xA．-2 B．2 C．-6 D．-14．（2023·貴州貴陽·模擬預測）（1）當m=______時，關于x的方程m-1x（2）解一元二次方程x2?題型03二元一次方程的相關概念1．（2024·江蘇無錫·一模）請寫出一個解為x=2y=-3的二元一次方程組2．（2024·河南·模擬預測）已知關于x，y的二元一次方程ax+y=9的一個解是x=2y=3，則a的值為3．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知二元一次方程x+3y=14，請寫出該方程的一組整數解．4．（2021·四川涼山·中考真題）已知x=1y=3是方程ax+y=2的解，則a的值為命題點二解一元一次方程（組）?題型01一元一次方程的解法步驟具體做法注意事項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數1）不要漏乘不含分母的項；2）當分母中含有小數時，先將小數化成整數，再去分母.3）如果分子是多項式，去分母后要加括號.去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號1)去括號時，括號前的數要乘括號內的每一項;2)不要弄錯符號.移項把含有未知數的項移到方程一邊，其它項都移到方程另一邊1）移項時不要丟項;2）將方程中的項從一邊移到另一邊要變號.而在方程同一邊改變項的位置時不變號.合并同類項把方程變為ax=b（a≠0)的形式1）系數的符號處理要得當；

2）字母及其指數不變.系數化為1將方程兩邊都除以未知數系數a，得到方程的解x=b1)未知數的系數為整數或小數時,方程兩邊同除以該系數;2)未知數的系數為分數時,方程兩邊同乘該系數的倒數.1．（2024·遼寧·模擬預測）在解方程x+1=4x+8時，經過移項后的式子為（

）A．3x=-7 B．x+18=4x C．x=-72．（2024·廣西·模擬預測）點A-m,2m+1在函數y=-x+1的圖象上，則m=3．（2024·浙江寧波·模擬預測）定義一種新運算：x*y=x+yy≥0x-yy<04．（2024·河北邯鄲·三模）已知關于x的方程4x+2m=3x+1的解比方程3x+2m=6x+1的解大5，求這兩個方程的解．?題型02代入法解二元一次方程組1．（2022·遼寧沈陽·中考真題）二元一次方程組x+2y=5y=2x的解是2．（2024·甘肅武威·二模）已知x-12+2x-4y+6=03．（2024·四川綿陽·三模）如果方程組2x+3y=7y=2x-3的解也是方程3x+my-8=0的一個解，則m的值為QUOTE?題型03加減法解二元一次方程組1．（2023·內蒙古通遼·中考真題）點Q的橫坐標為一元一次方程3x+7=32-2x的解，縱坐標為a+b的值，其中a，b滿足二元一次方程組2a-b=4-a+2b=-8，則點Q關于y軸對稱點Q'的坐標為2．（2024·廣西·中考真題）解方程組：x+2y=33．（2023·湖南常德·中考真題）解方程組：x-2y=1?題型04整體法解二元一次方程組解題思路：當二元一次方程組的結構比較復雜，但又有一定的規律時，可以考慮利用整體消元法，從而使原方程組變成結構比較簡單、求解方便的二元一次方程組.例如：1．（2023·浙江·模擬預測）已知關于x、y的二元一次方程組ax+by=5cx+dy=-1的解為x=1y=2，則關于x，y的方程組a(x-3)+b(y+1)=5c(x-3)+d(y+1)=-1A．x=4y=1 B．x=1y=2 C．x=-2y=12．（2024·山西大同·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應的任務．換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量，變量求出結果之后，返回去求原變量的結果，換元法是數學中重要的解題方法，對于一些較繁較難的數學問題，若能根據問題的特點進行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，下面以一個例題來說明．例1：計算：20163解：設2016=x，則原式=x請你利用上述方法解答下列問題：(1)計算：123456789×123456786-123456788×123456787；(2)已知方程組2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，則方程組2x+2?題型05解二元一次方程組--同解方程組解題方法：若方程組解相同，則聯立兩個不含參數的方程，解得x，y的值，再代入含參數的方程組，即可求出參數的取值.1．（2020·廣東·中考真題）已知關于x，y的方程組ax+23y=-103（1）求a，b的值；（2）若一個三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關于x的方程x2．（2024·廣東江門·一模）已知方程組5x-2y=3mx+5y=4與x-4y=-3(1)求m和n值，(2)已知△ABC的兩邊AB，AC的長是關于x的一元二次方程x2m-7x-3n=0的兩個實數根，第三邊BC?題型06解二元一次方程組—已知二元一次方程組的解的情況求參數解題方法：正常解方程組，用參數表示解，再將解代入到滿足的條件中，從而求出參數值.1．（2023·四川南充·中考真題）關于x，y的方程組3x+y=2m-1x-y=n的解滿足x+y=1，則4m÷A．1 B．2 C．4 D．82．（2022·山東聊城·中考真題）關于x，y的方程組2x-y=2k-3x-2y=k的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（

A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<83．（2024·山東濟寧·一模）已知k為整數，關于x，y的二元一次方程組x-2y=2k2x-y=k-3的解滿足2023<x-y<2025，則整數k值為（

A．2022 B．2023 C．2024 D．20254．（2021·江蘇揚州·中考真題）已知方程組2x+y=7x=y-1的解也是關于x、y的方程ax+y=4的一個解，求a?題型07中考最熱考法之以注重過程性學習的形式考查一次方程(組)1．（2023·浙江衢州·中考真題）小紅在解方程7x3解：2×7x=4x-1……(1)請在相應的方框內用橫線劃出小紅的錯誤處．(2)寫出你的解答過程．2．（2023·山西大同·模擬預測）（1）計算：--1（2）下面是小輝和小瑩兩位同學解方程組x-3y=-1,2x+3y=7解：令x-3y=-1小輝：由②得，3y=7-2x．③…………第一步將③代入①得，x-7-2x整理得，x-7-2x=-1．………………第三步解得x=-6．…………第四步將x=-6代入③，解得y=19∴原方程組的解為x=-6,y=小瑩：①+②得，3x=6．………………第一步解得x=2，…………第二步將x=0代入①得，2-3y=-1．…………第三步整理得，-3y=-1+2．………………第四步解得y=-1∴原方程組的解為x=2,y=-任務一：請你從中選擇一位同學的解題過程并解答下列問題．①我選擇___________同學的解題過程，該同學第一步變形的依據是___________；②該同學從第___________開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是___________；任務二：直接寫出該方程組的正確解；任務三：除以上兩位同學的方法，請你再寫出一種方法（不用求解）．3．（2024·浙江杭州·一模）某同學解方程0.10.2解：0.1兩邊同時乘以10，得12合并同類項，得16系數化1，得x=60……③請寫出解答過程中最早出現錯誤的步驟序號，并寫出正確的解答過程．4．（2024·江西吉安·二模）解方程組2x-3y=13x+6y=-16小春：解：將方程x+6y=-16變形為x=-6y-16,?．小冬：解：將方程2x-3y=13兩邊同乘2，得到4x-6y=26，再與另一個方程相加，得到5x=10,?．(1)小春解法的依據是______，運用的方法是______；小冬解法的依據是______，運用的方法是______．（填序號）①等式的性質1；②等式的性質2；③加法的結合律；④代入消元法；⑤加減消元法．(2)請選擇你認為更簡捷的解法，完成解答過程．命題點三一元一次方程（組）的應用?題型01列一元一次方程組1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺．繩長、井深各幾尺？若設繩長為x尺，則可列方程為（

）A．13x-4=1C．13x-4=12．（2024·福建·中考真題）今年我國國民經濟開局良好，市場銷售穩定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為x億元，則符合題意的方程是（

A．1+4.7%x=120327 C．x1+4.7%=1203273．（2024·湖北·中考真題）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個關于“方程”的問題：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問牛羊各直金幾何？”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩．牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少？”若設牛每頭值金x兩，羊每頭值金y兩，則可列方程組是（

）A．5x+2y=102x+5y=8B．2x+5y=105x+2y=8C．5x+5y=102x+5y=84．（2024·山東威海·中考真題）《九章算術》是我國古老的數學經典著作，書中提到這樣一道題目：以繩測井．若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？題目大意是：用繩子測量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多4尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長比井深多1尺．繩長、井深各是多少尺？若設繩長x尺，井深y尺，則符合題意的方程組是（

）A．3x-y=44x-y=1B．3x+4=y4x+1=yC．x35．（2023·吉林·中考真題）《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢．問合伙人數是多少？為解決此問題，設合伙人數為x人，可列方程為．6．（2022·貴州貴陽·中考真題）“方程”二字最早見于我國《九章算術》這部經典著作中，該書的第八章名為“方程”如：從左到右列出的算籌數分別表示方程中未知數x，y的系數與相應的常數項，即可表示方程x+4y=23，則表示的方程是．?題型02一元一次方程的應用1．（2024·海南·中考真題）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．某商店售賣某品牌瘦肉粽和五花肉粽．請依據以下對話，求促銷活動前每個瘦肉粽、五花肉粽的售價．2．（2024·遼寧·中考真題）甲、乙兩個水池注滿水，蓄水量均為36m3、工作期間需同時排水，乙池的排水速度是(1)求甲池的排水速度．(2)工作期間，如果這兩個水池剩余水量的和不少于24m3．（2024·北京·中考真題）為防治污染，保護和改善生態環境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標準6b階段（以下簡稱“標準”）.對某型號汽車，“標準”要求A類物質排放量不超過35mg/km，A，B兩類物質排放量之和不超過50mg/km.已知該型號某汽車的A，B兩類物質排放量之和原為92mg/km.經過一次技術改進，該汽車的A類物質排放量降低了50%，B類物質排放量降低了4．（2024·河北·中考真題）如圖，有甲、乙兩條數軸．甲數軸上的三點A，B，C所對應的數依次為-4，2，32，乙數軸上的三點D，E，F所對應的數依次為0，x，12．(1)計算A，B，C三點所對應的數的和，并求ABAC(2)當點A與點D上下對齊時，點B，C恰好分別與點E，F上下對齊，求x的值．QUOTE?題型03二元一次方程組的應用1．（2023·安徽·中考真題）根據經營情況，公司對某商品在甲、乙兩地的銷售單價進行了如下調整：甲地上漲10%，乙地降價5元，已知銷售單價調整前甲地比乙地少10元，調整后甲地比乙地少12．（2023·西藏·中考真題）列方程（組）解應用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．

(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；(2)求電視背景墻的面積．3.（2021·湖南邵陽·中考真題）為慶祝中國共產黨成立100周年，某校計劃舉行“學黨史·感黨恩”知識競答活動，并計劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎品．采購員劉老師在某文體用品購買了做為獎品的三種物品，回到學校后發現發票被弄花了，有幾個數據變得不清楚，如圖．請根據圖所示的發票中的信息，幫助劉老師復原弄花的數據，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數量及對應的金額．4．（2021·湖北黃石·中考真題）我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？根據以上譯文，回答以下問題：（1）籠中雞、兔各有多少只？（2）若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過40只．雞每只值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？?題型04中考最熱考法之以跨學科背景考查一元一次方程的實際應用1．（2024·遼寧·模擬預測）數學課外活動小組的同學用一根質地均勻的輕質木桿和若干個鉤碼做實驗．如圖所示，在輕質木桿O處用一根細線懸掛，左端A處掛一重物，右端B處掛鉤碼，每個鉤碼質量是500g．若OA=15cm，OB=30cm，掛3個鉤碼可使輕質木桿水平位置平衡．若輕質木桿的質量忽略不計，設這個重物的質量為xA．15x=30×500×3 B．30x=15×500×3C．3×15x=30×500 D．3×30x=15×5002．（2024·山西晉中·三模）公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現：若兩物體與支點的距離與其重量成反比，則杠桿平衡．后來人們把它歸納為“杠桿原理”．通俗地說，杠桿原理為：阻力×阻力臂=動力×動力臂．某野外作業人員，因工作需要，用橇棍撬動一塊2000N的大石頭，經過分析后，撬棍的阻力臂是動力臂的14則所需要的動力至少為3．（2024·江蘇泰州·二模）【背景知識】杠桿原理：杠桿平衡時，動力×動力臂=阻力×阻力臂．【知識應用】桿秤是利用杠桿原理來稱物體質量的簡易衡器，傳說木桿秤是魯班發明的．由秤桿、秤錘、提紐、秤盤等組成．如圖1．已知秤錘質量為0.2kg，秤盤與拎著的提紐間力臂長2cm，當秤桿平衡時，秤錘與提紐間力臂長22【拓展應用】天平也是利用杠桿原理來稱物體質量的衡器，天平是一種等臂杠桿，當天平平衡時，物體質量=砝碼質量．如圖2所示的天平制造得不精確，天平的兩臂長略有不同．把一個物體放在該天平的一個托盤里，在另一個托盤里放砝碼使天平平衡，稱得物體質量為a；再作第二次測量，把物體換到天平的另一個托盤里，此時稱得物體的質量為b．試用含a、b的代數式表示該物體的真實質量，并說明理由．4．（2024·河北唐山·二模）某科學研究實驗基地內裝有一段長91m的筆直軌道AB，現將長度為1m的金屬滑塊在上面往返滑動一次．如圖，滑塊首先沿AB方向從左向右勻速滑動，滑動速度為9m/s，滑動開始前滑塊左端與點A重合，當滑塊右端到達點B時，滑塊停頓2s，然后再以小于9m/s的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點A重合，滑動停止．設滑動時間為t(1)當t=10s時，l1的值為(2)記d=l1-l2，d①滑塊返回的速度為ms②滑塊從點B到點A的滑動過程中，求d與t的函數解析式（不寫t的取值范圍）；③若d=18m，直接寫出t5．（2024·陜西西安·模擬預測）在進行氯化鈉溶液配置實驗中，小明配置了一瓶質量分數為20%的氯化鈉溶液，小蘭配置了一瓶質量分數為25%的氯化鈉溶液，兩人用已配制好的溶液混合恰好得到質量分數為22%的氯化鈉溶液，已知小明配置的溶液質量比小蘭配置的溶液質量多7克，求兩人配置的氯化鈉溶液質量各有多少克？（提示：氯化鈉質量=氯化鈉溶液質量×質量分數）?題型05中考最熱考法之以真實問題情境為背景考查二元一次方程組的實際應用1．（2024·四川資陽·中考真題）2024年巴黎奧運會將于7月26日至8月11日舉行，某經銷店調查發現：與吉祥物相關的A，B兩款紀念品深受青少年喜愛．已知購進3個A款比購進2個B款多用120元；購進1個A款和2個B款共用200元．(1)分別求出A，B兩款紀念品的進貨單價；(2)該商店決定購進這兩款紀念品共70個，其總費用不超過5000元，則至少應購買B款紀念品多少個？2．（2024·廣東深圳·模擬預測）食品安全是民生工程、民心工程．2024年的3?15報道了多家預制菜制作不規范，存在使用未經嚴格處理的槽頭肉來制作菜品，嚴重侵害了消費者權益．某食品網店以此為警鐘，準備從正規渠道購進A、B兩種類型的速食餐進行售賣．已知每份A類速食餐比每份B類速食餐進價多5元，購進40份A類速食餐與購進60份B類速食餐的價格相等．(1)求A、B兩種速食餐的進價分別是每份多少元？(2)該網店計劃購進A類速食餐若干份．試銷時發現，A類速食餐銷售量y（份）與每份售價m（元）的關系為y=-10m+800，若要求A類速食餐每份的利潤率不低于20%，那么該公司將A類速食餐售價為多少時，獲得的利潤為3．（2024·安徽合肥·二模）2024年5月3日，嫦娥六號探測器準確進入地月轉移軌道，發射任務取得圓滿成功，有兩個旅游團去某航天科技館參觀，第一個旅游團有15名成人和10名兒童，共花費門票850元；第二個旅游團有40名成人和50名兒童，由于人數較多，成人票打八折，兒童票打六折，共花費2030元．求成人票和兒童票每張原價多少元？4．（2024·云南昆明·三模）今年的瀾滄江一湄公河合作大理馬拉松（簡稱“2024瀾湄大理馬拉松”），將于5月19日在美麗的云南大理開跑，這是一場結合了自然風光、歷史文化和民族風情的國際性馬拉松賽事，旨在促進瀾湄流域國家的合作與交流．以下是本次馬拉松賽事的一些信息：項目距離報名費馬拉松42.159千米200元/人半程馬拉松21.0975千米150元/人歡樂跑5.2千米80元/人親子跑2千米60元/人(1)據了解，某中學有若干名同學報名參加了本次活動歡樂跑和親子跑中的一個項目，他們共花費了報名費640元，完成挑戰后他們跑過的距離總和為34千米．請求出該中學報了歡樂跑和親子跑的同學各有幾人？(2)已知在跑馬拉松過程中，人體內消耗的水分y（單位：mL）與運動距離x（單位：km）之間的函數關系如圖所示，其中0≤x≤15．①請求出y與x之間的函數關系式；②為了避免身體出現脫水現象，一般情況下體內消耗水分達1500mL時就要適當補水分，求起跑后距離起點多少千米時需要第一次補水？第二章方程與不等式第05講一次方程（組）及其應用（思維導圖+5考點+3命題點15種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一一元一次方程基礎考點二解一元一次方程考點三二元一次方程（組）基礎考點四解二元一次方程（組）考點五一次方程（組）及其應用04題型精研·考向洞悉命題點一一元一次方程（組）的相關概念?題型01等式的性質?題型02一元一次方程的相關概念?題型03二元一次方程的相關概念命題點二解一元一次方程（組）?題型01一元一次方程的解法?題型02代入法解二元一次方程組?題型03加減法解二元一次方程組?題型04整體法解二元一次方程組?題型05解二元一次方程組--同解方程組?題型06解二元一次方程組—已知二元一次方程組的解的情況求參數?題型07中考最熱考法之以注重過程性學習的形式考查一次方程(組)命題點三一元一次方程（組）的應用?題型01列一元一次方程組?題型02一元一次方程的應用?題型03二元一次方程組的應用?題型04中考最熱考法之以跨學科背景考查一元一次方程的實際應用?題型05中考最熱考法之以真實問題情境為背景考查二元一次方程組的實際應用01考情透視·目標中考考點考查頻率新課標要求一元一次方程及其解法★★掌握等式的基本性質；能解一元一次方程.二元一次方程及其解法★★掌握消元法，能解二元一次方程組；*能解簡單的三元一次方程組；一次方程（組）的應用★★能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程【考情分析1】一元一次方程屬于初中的基礎內容，試題形式多樣，難度不大，主要以解決實際問題為考查背景，多出現在銷售、行程、工程等問題中，確定題目中的等量關系，正確地列出方程是解題的關鍵.此外，準確的計算能力也是得分所必不可少的技能.【考情分析2】中考對二元一次方程組的考查包括解方程組和利用二元一次方程組解決實際問題，其關鍵是“消元”思想，即將“二元”轉化為“一元”，這也體現在用二元一次方程組可解決的問題用一元一次方程也可以解決，考查形式多樣，難度不大，多以解決實際問題為出題背景.02知識導圖·思03考點突破·考法探究·考點一一元一次方程基礎一、一元一次方程的相關概念一元一次方程的概念：只含有一個未知數（元），且未知數的次數都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的標準形式：ax+b=0（a、b是常數，且a≠0）.方程的解：能使方程兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得過程叫做解方程.【易錯易混】1）方程的解與解方程是兩個不同的概念，方程的解是一個具體的數值，而解方程是求方程的解的過程；2）方程的解是通過解方程求得的.3）方程的解可能不止一個（如x=2和x=-2都是方程x2=4的解），也有可能無解（如二、等式的性質等式的性質1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個數（或同一個式子），所得的結果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性質2：等式兩邊都乘以同一個數，或都除以同一個不為0的數，結果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=等式的性質3：如果a=b，則b=a（對稱性）等式的性質4：如果a=b，b=c，則a=c（傳遞性）【易錯易混】1）利用等式的性質進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.2）等式兩邊同時除以一個字母時，字母不能為0，若題目沒有注明該字母不為0，那么這個變形就不成立.1．（2023·湖南永州·中考真題）關于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1，則m的值為（

）A．3 B．-3 C．7 D．-7【答案】A【分析】把x=1代入2x+m=5再進行求解即可．【詳解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，解得：m=3．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關鍵是掌握使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟．2．（2024·山東濟南·模擬預測）若關于x的方程m-1x2+2x-1=0有根，則m【答案】m≥0【分析】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，分類討論思想是關鍵．由于方程有實數根，當方程為一元二次方程時，令Δ>0，即可求出m的取值范圍，要注意，m-1≠0【詳解】解：當方程m-1x則m-1≠0且Δ=解得：m≥0且m≠1，當方程m-1x方程有解，則只需m-1=0，即m=1，綜上：當m≥0時，方程有實數根．故答案為：m≥0．3．（2024·貴州·中考真題）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設“■”與“●”的質量分別為x，y，則下列關系式正確的是（

）A．x=y B．x=2y C．x=4y D．x=5y【答案】C【分析】本題考查等式的性質，設“▲”的質量為a，根據題意列出等式x+y=y+2a，x+a=x+2y，然后化簡代入即可解題．【詳解】解：設“▲”的質量為a，由甲圖可得x+y=y+2a，即x=2a，由乙圖可得x+a=x+2y，即a=2y，∴x=4y，故選C．4．（2022·青海·中考真題）下列說法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b 【答案】C【分析】直接利用等式的基本性質以及結合絕對值的性質分析得出答案．【詳解】解：A、若ac=bc，當c≠0，則a=b，故此選項錯誤；B、若a2=bC、若ac=bD、若-13x=6故選：C．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質，正確把握等式的基本性質是解題關鍵．5．（2022·山東濱州·中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據是（A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2【答案】B【分析】根據等式的性質2可得答案．【詳解】解：I=UR去分母得故選：B．【點睛】本題考查了等式的性質2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數，等式仍然成立．考點二解一元一次方程基本思路：通過適當的變形，把一元一次方程化簡為ax=b（a、b為常數，且a≠0）的形式，得出方程的解為x=ba步驟具體做法去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號移項把含有未知數的項移到方程一邊，其它項都移到方程另一邊合并同類項把方程變為ax=b（a≠0)的形式系數化為1將方程兩邊都除以未知數系數a，得到方程的解x=b【補充說明】解具體的一元一次方程時，要根據方程的特點靈活安排解題步驟，甚至可以省略某些步驟，有分母的去分母，有括號的去括號.1．（2024·海南·中考真題）若代數式x-3的值為5，則x等于（

）A．8 B．-8 C．2 D．-2【答案】A【分析】本題主要考查了解一元一次方程，根據題意可知x-3=5，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵代數式x-3的值為5，∴x-3=5，解得x=8，故選：A．2．（2024·河北·模擬預測）下面是嘉淇同學解一元一次方程5x6解：去分母，得5x-6=23x-2去括號，得5x-6=6x-2，……第二步移項，得5x-6x=-2-6，……第三步合并同類項，得-x=-8，……第四步解得x=8．以上解題步驟中，開始出錯的一步是（

）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【答案】B【分析】本題考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1進行計算，即可解答．【詳解】去分母，得5x-6=23x-2去括號，得5x-6=6x-4，……第二步∴第二步開始出錯，故選：B．3．（2024·貴州貴陽·二模）已知關于x的方程2x-m=0的解是x=-3，則m的值為．【答案】-6【分析】把方程的解代入原方程，方程左右兩邊相等得到關于m的方程，解方程即可．本題考查了一元一次方程的解，解題的關鍵是知道使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解．【詳解】解：把x=-3代入方程中得：2×(-3)-m=0，m=-6，故答案為：-6．4．（2024·內蒙古包頭·模擬預測）已知y=1是方程py-1=-3-p的解，則代數式p3-p-1【答案】1【分析】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代數式的值，由方程的解求出p的值是解答本題的關鍵．把y=1代入方程即可得到一個關于p的方程，解方程求得p的值，然后代入代數式求解即可．【詳解】解：把y=1代入方程py-1=-3-p中，得p=-3-p+1，解得：p=-1，把p=-1代入p3則原式==-1+1+1=1．故答案為：1．5．（2024·陜西西安·模擬預測）解方程：3【答案】x=1【分析】本題主要考查了解一元一次方程，按照去括號，移項，合并同類項，系數化為1的步驟解方程即可．【詳解】解：3去括號得：3x-3=2-2x，移項得：3x+2x=2+3，合并同類項得：5x=5，系數化為1得：x=1．QUOTEQUOTE考點三二元一次方程（組）基礎1.二元一次方程二元一次方程概念：含有兩個未知數，并且未知數的項的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.二元一次方程的三要素：1）有且只有兩個未知數；2）含有未知數的項的次數為1；3)方程兩邊都是整式.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解.2.二元一次方程組二元一次方程組的概念：方程組有兩個未知數，每個含有未知數的項的次數都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程叫做二元一次方程組.一般形式：，（其中不同時為0，不同時為0）.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【易錯易混】1.二元一次方程有無數個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數值就是它的解.2.在二元一次方程中，給定其中一個未知數的值，就可以通過解一元一次方程的方法求出另一個未知數的值.3.二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對整個方程組而言的，組成方程組的各個方程不必同時含有兩個未知數，這兩個一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個一次方程必須只含有兩個未知數.4.解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程．1．（2023·浙江衢州·中考真題）下列各組數滿足方程2x+3y=8的是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=1 C．x=-1y=2【答案】A【分析】代入x,y的值，逐一判斷即可解答．【詳解】解：當x=1y=2時，方程左邊=2×1+3×2=8，方程左邊=當x=2y=1時，方程左邊=2×2+3×1=7，方程左邊≠當x=-1y=2時，方程左邊=2×-1+3×2=4當x=2y=4時，方程左邊=2×2+3×4=16，方程左邊≠故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程兩邊的值相等的兩位未知數是二元一次方程的解，是解題的關鍵．2．（2020·湖南益陽·中考真題）同時滿足二元一次方程x-y=9和4x+3y=1的x，y的值為（）A．x=4y=-5 B．x=-4y=5 C．x=-2y=3【答案】A【分析】聯立x-y=9和4x+3y=1解二元一次方程組即可．【詳解】解：有題意得：x-y=9①由①得x=9+y③將③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5則x=9+（-5）=4所以x=4，y=-5．故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用及解法，掌握二元一次方程組的解法是解答本題的關鍵．3．（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3【答案】D【分析】將選項中的x,y的值分別代入方程的左邊，進而即可求解．【詳解】解：A、當x=1y=2時，2x+y=4，則x=1y=2是二元一次方程2x+y=4B、當x=2y=0時，2x+y=4，則x=2y=0是二元一次方程2x+y=4的解C、當x=0.5y=3時，2x+y=4，則x=0.5y=3是二元一次方程D、當x=-2y=4時，2x+y=0，則x=-2y=4不是二元一次方程故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關鍵．4．（2020·浙江紹興·中考真題）若關于x，y的二元一次方程組x+y=2A=0的解為x=1y=1，則多項式A可以是【答案】x﹣y（答案不唯一）【分析】根據方程組的解的定義，x=1y=1應該滿足所寫方程組的每一個方程．因此，可以圍繞x=1y=1列一組算式，然后用x，【詳解】∵關于x，y的二元一次方程組x+y=2A=0的解為x=1而1﹣1＝0，∴多項式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案為：x﹣y（答案不唯一）.【點睛】此題考查二元一次方程組的定義，二元一次方程組的解，正確理解方程組的解與每個方程的關系是解題的關鍵.15．（2022·四川雅安·中考真題）已知{x=1y=2是方程ax+by＝3的解，則代數式2a+4b﹣5的值為【答案】1【分析】把{x=1y=2代入ax+by＝3可得a+2b=3，而2a+4b﹣5【詳解】解：把{x=1y=2代入ax+a+2b=3，∴2a+4b﹣5=2(a+2b)-5=2×3-5=1．故答案為：1【點睛】本題考查的是二元一次方程的解，利用整體代入法求解代數式的值，掌握“方程的解的含義及整體代入的方法”是解本題的關鍵．5．（2021·四川廣安·中考真題）若x、y滿足x-2y=-2x+2y=3，則代數式x2-4【答案】-6【分析】根據方程組中x+2y和x-2y的值，將代數式利用平方差公式分解，再代入計算即可．【詳解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，故答案為：-6．【點睛】本題主要考查方程組的解及代數式的求值，觀察待求代數式的特點與方程組中兩方程的聯系是解題關鍵．考點四解二元一次方程（組）1.代入消元法定義：把二元一次方程組中的一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：1）變形.從方程組中選一個未知數的系數比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來；2）代入.將變形后的方程代入沒變形的方程，得到一個一元一次方程；3）解元.解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；4）求值.將求得的未知數的值代入變形后的方程，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解.【易錯易混】1）方程組中各項系數不全是整數時，應先化簡，即應用等式的性質，化為整數系數.

2）當求出一個未知數后，把它代入變形后的方程(或)，求出另一個未知數的值比較簡單2.加減消元法定義：當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數的系數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：1）變形.先觀察系數特點，將同一個未知數的系數化成互為相反數或相等的數；2）加減.把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；3）解元.解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；4）求值.將求得的未知數的值代入原方程組中任意一個方程，求出另一個未知數的值，并把求得的兩個未知數的值用“大括號”聯立起來，就是方程組的解．

1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）點Px,y在直線y=-34x+4上，坐標x,y是二元一次方程5x-6y=33的解，則點PA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題考查了一次函數圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯立方程組y=-34x+4【詳解】解∶聯立方程組y=-3解得x=6y=-∴P的坐標為6,-1∴點P在第四象限，故選∶D．2．（2023·四川眉山·中考真題）已知關于x,y的二元一次方程組3x-y=4m+1x+y=2m-5的解滿足x-y=4，則m的值為（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】將方程組的兩個方程相減，可得到x-y=m+3，代入x-y=4，即可解答．【詳解】解：3x-y=4m+1①①-②得∴x-y=m+3，代入x-y=4，可得m+3=4，解得m=1，故選：B．【點睛】本題考查了根據解的情況求參數，熟練利用加減法整理代入是解題的關鍵．3．（2023·河北衡水·模擬預測）如圖，“●、■、▲”分別表示三種不同的物體，已知前兩架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”處只放“■”，那么應放“■”（

）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】A【分析】可設●、■、▲分別為x，y，z，由（1）（2）的等量關系可列出方程，用y分別表示出x和z即可得出結論．【詳解】解：設●、■、▲分別為x，y，z，由（1）（2）可知：2x=y+zz=x+y解得：x=2yz=3y∴x+z=2y+3y=5y，即■的個數為5個．故選：A．【點睛】本題主要考查方程組的應用，根據題意列出符合條件的方程組是解題的關鍵．4．（2023·四川瀘州·中考真題）關于x，y的二元一次方程組2x+3y=3+ax+2y=6的解滿足x+y>22，寫出a的一個整數值【答案】7（答案不唯一）【分析】先解關于x、y的二元一次方程組的解集，再將x+y>22代入，然后解關于a【詳解】將兩個方程相減得x+y=a-3，∵x+y>22∴a-3>22∴a>3+22∵4<8<9，∴2<22∴5<22∴a的一個整數值可以是7．故答案為：7（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，整體代入的思想方法是解答本題的亮點．5．（2024·浙江·中考真題）解方程組：2x-y=5【答案】x=【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①×3＋②得，10x=5，解得x=12，再把x=1【詳解】解：2x-y=5①×3＋②得，10x=5解得x=1把x=12代入①得解得y=-4∴x=考點五一次方程（組）及其應用用一元一次方程（組）解決實際問題的一般步驟：審：審清題意（注意關鍵詞），找出題中的等量關系，理清題中的已知量與未知量；設：設未知數，并用含未知數的代數式表示其他未知量；列：根據題中相等關系，列出方程（組）；解：解所列出的方程（組）；驗：檢驗所得的解是不是所列方程的解、是否符合實際意義（這一步可在草稿紙上完成）；答：寫出答案，包括單位.1．（2024·四川·中考真題）我國古代數學名著《九章算術》記載了一道題，大意是：幾個人合買一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元．設有x人，該物品價值y元，根據題意，可列出的方程組是（

）A．8x=y+37x=y-4 B．C．8x=y-37x=y-4 D．【答案】A【分析】本題考查二元一次方程組解古代數學問題，讀懂題意，找到等量關系列方程是解決問題的關鍵．根據“每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元”，即可求解．【詳解】解：∵每人出8元，剩余3元，∴8x=y+3，∵每人出7元，還差4元，∴7x=y-4，故所列方程組為：8x=y+37x=y-4故選：A．2．（2024·廣東深圳·中考真題）在明朝程大位《算法統宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（

）A．7x+7=y9x-1=yC．7x-7=y9x-1=y【答案】A【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組．設該店有客房x間，房客y人；每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房得出方程組即可．【詳解】解：設該店有客房x間，房客y人；根據題意得：7x+7=y9故選：A．3．（2024·海南·中考真題）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．某商店售賣某品牌瘦肉粽和五花肉粽．請依據以下對話，求促銷活動前每個瘦肉粽、五花肉粽的售價．【答案】促銷活動前每個瘦肉粽的售價為15元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價10元．【分析】本題考查了一元一次方程的應用．設促銷活動前每個瘦肉粽的售價為x元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價x-5元，根據題意列方程求解即可．【詳解】解：設促銷活動前每個瘦肉粽的售價為x元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價x-5元，依題意得0.8×10x+5解得x=15，x-5=10，答：促銷活動前每個瘦肉粽的售價為15元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價10元．4．（2024·陜西·中考真題）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛生大掃除．根據這次大掃除的任務量，若小峰單獨完成，需4h；若爸爸單獨完成，需2h．當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成剩余的打掃任務．小峰和爸爸這次一共打掃了【答案】小峰打掃了2h【分析】本題是一道工程問題的應用題．設小峰打掃了xh，爸爸打掃了3-x【詳解】解：設總工作量為1，小峰打掃了xh，爸爸打掃了3-xh，則小峰打掃任務的工作效率為14由題意，得：14解得：x=2，答：小峰打掃了2h5．（2024·江蘇徐州·中考真題）中國古代數學著作《張邱建算經》中有一道問題；“今有甲、乙懷錢，各不知其數．甲得乙十錢，多乙余錢五倍．乙得甲十錢，適等．問甲、乙懷錢各幾何？”問題大意：甲、乙兩人各有錢幣干枚．若乙給甲10枚錢，此時甲的錢幣數比乙的錢幣數多出5倍，即甲的錢幣數是乙錢幣數的6倍；若甲給乙10枚錢，此時兩人的錢幣數相等．問甲、乙原來各有多少枚錢幣？請用二元一次方程組解答上述問題．【答案】甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，根據題意找到等量關系列出方程是解決本題的關鍵．設甲有錢x枚，乙有錢y枚，根據“甲得乙十錢，多乙余錢五倍．乙得甲十錢，適等”列出方程組，求解即可．【詳解】解：設甲有錢x枚，乙有錢y枚，由題意，得x+10=6y-10解這個方程組，得x=38y=18答：甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣．04題型精研·考向洞悉命題點一一元一次方程（組）的相關概念?題型01等式的性質等式的性質1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個數（或同一個式子），所得的結果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性質2：等式兩邊都乘以同一個數，或都除以同一個不為0的數，結果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=解題方法：靈活運用等式的性質.1．（2024·山東濰坊·模擬預測）已知等式3a=2b+5，則下列等式中成立的是（A．3ac=2bc+5 B．3a-5=2b C．a=23b+15【答案】BD【分析】根據等式的性質逐個判斷即可．本題考查了等式的性質，能熟記等式的性質是解此題的關鍵，注意：等式的性質1：等式的兩邊都加（或減）同一個數或式子，等式仍成立；等式的性質2：等式的兩邊都乘同一個數或式子，等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個不等于0的數或式子，等式仍成立．【詳解】解：A．∵3a=2b+5，∴等式兩邊都乘c，得3ac=2bc+5c，故本選項不符合題意；B．∵3a=2b+5，∴等式兩邊都減去5，得3a-5=2b，故本選項符合題意；C．∵3a=2b+5，∴等式兩邊都除以3，得a=2D．∵3a=2b+5，∴等式兩邊都加1，得3a+1=2b+6，故本選項符合題意故選：BD．2．（2021·黑龍江哈爾濱·模擬預測）下列等式成立的是（

）A．-x+yz=-x+yC．-x-yz=-x+y【答案】C【分析】根據等式的基本性質解答即可．【詳解】解：A、-x+yzB、-x+yzC、-x-yzD、-x-yz故選C．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質，等式兩邊同時加上相等的數或式子,兩邊依然相等；等式兩邊同時乘（或除）相等的數或式子,兩邊依然相等；等式兩邊同時乘方（或開方）,兩邊依然相等．3．（2023·廣東佛山·模擬預測）下面各式的變形正確（

）A．由2x3=4x-89-5，得6x=4x-8-5C．由2x-7=3x+2，得2x-3x=2+7 D．由5x+33=-6（x+5【答案】C【分析】本題主要考查了等式的性質．解題的關鍵是掌握等式的性質：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數或式子，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0的數或字母，等式仍成立．根據等式的性質對各選項進行分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：解：A、由2x3=4x-8B、由0.6x-1=0.3x+0.35，得6x-10=3x+3.5，原變形錯誤，故此選項不符合題意；C、由2x-7=3x+2，得2x-3x=2+7，原變形正確，故此選項符合題意；D、由5x+33=-6（x+5）故選：C4．（2024·貴州貴陽·一模）用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現用天平稱了兩次，情況如圖所示．設a，b，c均為正數，則能正確表示天平從左到右變化過程的等式變形為（

）A．如果a+c=b+c，那么a=b B．如果a=b，那么a+c=b+cC．如果2a=2b，那么a=b D．如果a=b，那么2a=2b【答案】A【分析】本題考查等式的性質，根據天平兩端相等即可求得答案．【詳解】解：由圖形可得如果a+c=b+c，那么a=b，故選：A．5．（2023·河北保定·一模）如左圖的天平架是平衡的，其中同一種物體的質量都相等，如右圖，現將不同質量的一“○”和一個“”從通道的頂端同時放下，兩個物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，此時兩個托盤上物體的質量分別為y甲g和y乙gA．y甲=y乙 B．y甲=2【答案】C【分析】分析左圖可知，1個“”的質量等于2個“○”的質量．兩個物體等可能的向左或向右落時，共有4種情況，分別計算出左邊托盤和右邊托盤的質量，即可得出y甲g和y【詳解】解：由左圖可知2個“○”與1個“”的質量等于2個“”的質量，∴1個“”的質量等于2個“○”的質量．∵右圖中，兩個物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，∴共有4種情況：（1）“○”和“”都落到左邊的托盤時：左邊有3個“○”2個“”，相當于7個“○”，右邊有2個“”，相當于4個“○”，此時4y甲=7（2）“○”和“”都落到右邊的托盤時：左邊有2個“○”1個“”，相當于4個“○”，右邊有3個“”1個“○”，相當于7個“○”，此時7y甲=4（3）“○”落到左邊的托盤，“”落到右邊的托盤時：左邊有3個“○”1個“”，相當于5個“○”，右邊有3個“”，相當于6個“○”，此時6y甲=5（4）“○”落到右邊的托盤，“”落到左邊的托盤時：左邊有2個“○”2個“”，相當于6個“○”，右邊有2個“”1個“○”，相當于5個“○”，此時5y甲=6觀察四個選項可知，只有選項C符合題意，故選C．【點睛】本題考查等可能事件、等式的性質，解題的關鍵是讀懂題意，計算所有等可能情況下y甲g和QUOTEQUOTEQUOTE?題型02一元一次方程的相關概念1．（2024·四川攀枝花·模擬預測）下列各數中，是方程2x-1=3x+1的解的是（

）A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=1和-2【答案】B【分析】本題考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解題關鍵．依次移項、合并同類項、系數化1解方程即可．【詳解】解：2x-1=3x+1，移項得：2x-3x=1+1，合并同類項得：-x=2，系數化1，得x=-2，故選：B．2．（2024·廣西河池·三模）關于x的方程2x+a=4的解是x=1，則a的值為（

）A．-8 B．0 C．2 D．8【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義，根據題意將x=1代入，即可求解．【詳解】解：依題意，2×1+a=4解得：a=2，故選：C．3．（2021·貴州·一模）已知關于x的方程k2-4xA．-2 B．2 C．-6 D．-1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定義確定出k的值，進而求出k的值即可．【詳解】解：∵方程k2-4x∴k2解得：k=-2，方程為-4x=-2+6，解得：x=-1，故選：D．【點睛】此題考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關鍵．4．（2023·貴州貴陽·模擬預測）（1）當m=______時，關于x的方程m-1x（2）解一元二次方程x2【答案】（1）1；（2）x1=-1+【分析】本題考查了一元一次方程的的定義，解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）根據一元一次方程的定義得出m-1=0，然后求解即可；（2）利用配方法求解即可．【詳解】解：（1）∵方程m-1x∴m-1=0，∴m=1，故答案為：1；（2）x2∴x2∴x2∴x+12∴x+1=±7∴x1=-1+7?題型03二元一次方程的相關概念1．（2024·江蘇無錫·一模）請寫出一個解為x=2y=-3的二元一次方程組【答案】x+y=-1x-y=5【分析】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數的值．由2+-3=-1，【詳解】解：根據題意得：x+y=-1x-y=5故答案為：x+y=-1x-y=52．（2024·河南·模擬預測）已知關于x，y的二元一次方程ax+y=9的一個解是x=2y=3，則a的值為【答案】3【分析】本題考查了二元一次方程的解的含義．將x=2y=3代入二元一次方程ax+y=9【詳解】解：由題意將x=2y=3代入二元一次方程ax+y=92a+3=9，∴a=3，故答案為：3．3．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知二元一次方程x+3y=14，請寫出該方程的一組整數解．【答案】x=2y=4【分析】根據題意確定出方程的整數解即可．【詳解】解：方程x+3y=14的一組整數解為x=2故答案為：x=2y=4【點睛】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．4．（2021·四川涼山·中考真題）已知x=1y=3是方程ax+y=2的解，則a的值為