2024-2025學年山東省棗莊市滕州市高三上學期第一次單元檢測

(10月月考)數學檢測試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1./(%)=(病一加T)x“為3是幕函數，且在“?0，+°°)上是減函數，則實數加=()

A.2B.-1C.4D.2或—1

2.已知全集。={—2,—1,0,123},集合/={xeZ]|x|<2},則電/=()

A.{-1,0,1}B.{-2,2,3)

C.{-2,-1,2}D.{-2,0,3)

3.已知函數/(x)為定義在R上的奇函數，且當x〉0時，/(x)=x3-x+l,則

/(-1)+/(0)=()

A.-1B.1C.-2D.2

4.已知函數/(x)=3/'(l)x—x2+lnx+；,則/'(1)=()

11

A.1B.2C.-D.----

22

5.曲線/(x)=/+3x-1在(0,-1)處的切線與坐標軸圍成的面積為(

1V31

A-B.-C.-

.622

/.fx+l,x<0.、

6.已知函數)_〃A2),X>。'則/⑶二()

A.-2B.-1C.0D.1

7.若正實數a,b滿足2。+6+。6=7,則6的最小值為()

A.9B.6C.3D.2

8.過原點的直線/與曲線歹=e',y=ln(x+a)都相切，則實數。二(

2

D.-

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9,函數/(x)的導函數/'(x)的圖象如圖所示，貝I()

A.-1是函數〃x)的極值點B.3是函數/(x)的極大值點

C.C(x)在區間(-1,4)上單調遞減D.1是函數/(x)的極小值點

10.若函數/(x)滿足X/xeR,/(x+2)=/(2-x),且VX],x2e[2,+oo

/(6/(々)〉0口產々),則(

)

xr-x2

A./(x+2)為偶函數B./(0)</(3)

C.+D.若〃加)>〃3),則1〈/<3

11.已知定義在R上的函數/(x)不恒等于0J(兀)=0,且對任意的xjeR,有

/(2x)+/(2y)=2/(X+V)/(X-J),則()

A./(0)=1

B./(x)是偶函數

C./(%)的圖象關于點(兀,0)中心對稱

D.2兀是/(x)的一個周期

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.

12.函數/(》)=▲+的定義域是

X

13.已知函數/(%)=/+3以2+樂+/在x=_］時有極值0,則a+6=.

14.己知函數/(x)=e>3,g(x)=1+lnx,若/(加)=g⑺，則〃一根的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共計77分.

15.己知函數/(x)=x3+ax2+bx+2在x=—l處取得極值3.

(1)求a,b的值；

(2)求函數/(x)在區間［-2,2］上的最值.

ZV

16.已知函數/(x)=2'/是定義在R上的奇函數.

(1)若/(x)=:,求x的值；

(2)若xe［0,3］時，不等式/("2x)+/(f)<0恒成立，求實數/的取值范圍.

17.已知函數/(x)=a加x+f-3b,曲線歹=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程為

2x+y-4=0.

(1)求實數。，6的值；

(2)若曲線。:夕二-2/一必，求曲線。過點(2,4)的切線方程.

18.已知函數/(x)=》3-31nx.

(1)求/(x)的最小值；

(2)設g(x)=/+：—3,證明：/(%)<g(x)

19.已知函數/(x)=In」一+ax+/)(x-l)3

2-x

(1)若6=0,且/'(x)20,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

(3)若/(x)〉—2當且僅當1<》<2,求b的取值范圍.

2024-2025學年山東省棗莊市滕州市高三上學期第一次單元檢測(10月月考)

數學檢測試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

L/(x)=(加2一*11…3是塞函數，且在xe(O,+⑹上是減函數，則實數加=()

A.2B.-1C.4D.2或一1

【答案】A

【解析】

【分析】根據塞函數的性質和定義即可求解.

【詳解】由于/(》)=(小—切―11病一2%3是募函數，所以機2—機—if,解得加=2或加=一1,

由于/(x)在X€(0,+oo)上是減函數，所以/一2〃2-3<0，故

因此加二2,

故選：A

2.已知全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合/={xeZ]|x|<2},則()

A.{-1,0,1}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,2}D.{-2,0,3}

【答案】B

【解析】

【分析】由補集的運算即可求解.

【詳解】解：^={xeZ||x|<2)={-l,0,l},

.?9={-2,2,3},

故選：B.

3.已知函數/(x)為定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)=xi-x+l,則/(一1)+/(0)=(

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】函數/(x)為定義在R上的奇函數，則"0)=0,/(-l)=-/(l)=-h計算得到答案.

【詳解】函數/⑺為定義在R上的奇函數，則/(0)=0,/(-1)=-/(1)=-(1-1+1)=-1.

故〃T)+/(O)=-1

故選：A

4.已知函數/(x)=3/'(l)x—V+inx+g,則/")=()

11

A.1B.2C.—D.--

22

【答案】c

【解析】

【分析】利用導數的法則及導數值的定義即可求解.

【詳解】因為/(x)=3/'(l)x—J+inx+j,

所以廣(力=3/(1)-2X+L

X

所以/'(1)=3/'。)—2x1+；,解得=；

故選：C.

5.曲線/(力=/+3%-1在(0,-1)處的切線與坐標軸圍成的面積為()

A1RV3c1DV3

6222

【答案】A

【解析】

【分析】運用導數求得切線方程，再求得切線與兩坐標軸的交點，進而可求得三角形面積.

【詳解】由/(x)=x6+34-1,則/'(X)=6丁+3,

.?/(0)=3,所以/(x)在(0,-1)處切線的方程為y+l=3x,即y=3x—1,

令x=0,得>=-1；令了=0,得x=；,

所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為Lxlx^=

236

故選：A.

/、[x+l,x<0/、

6.已知函數/⑺=]/(1)―/(x—2),x〉0,則/⑵=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【解析】

【分析】把x=2帶入求值即可.

,、

【詳解】由《"[/x+(lI,x)<-0小-2),x〉。,

則〃2)=〃l)_/(O)=/(O)-/(-1)-/(O)=-/(-1).

又/(—1)=0,所以"2)=0.

故選：C

7.若正實數a,b滿足2a+b+ab=7,則a+6的最小值為()

A.9B.6C.3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】把2a+b+仍=7化成(。+1)僅+2)=9,再利用.+1)伍+2)W("丁)求0+人的最小值.

【詳解】由2a+6+ab=7n(a+l)伍+2)=9,

又(a+1)(6+2)W(°+"3)n(a+Z>+3)=(a+Z7+3)2236na+b+3>6

所以a+623(當且僅當。+l=b+2=3即a=2,6=1時取“=”).

故選：C

8.過原點的直線/與曲線y=ex,y=ln(x+a)都相切，則實數。=()

1112

A.-B.-C.-D.一

24ee

【答案】D

【解析】

【分析】設出切點，利用導數的幾何意義結合兩點式斜率公式列式，即可求解.

【詳解】由歹=e'得_/=/,由y=ln(x+a)得；/=',

x+a

設過原點的直線I分別與曲線>=e。>=ln(x+a)相切于點A(xi,y)B(x2,y2)，

則由導數的幾何意義得心=爐，且必=爐，故%=1,所以直線/的斜率為e,

y,1/、1

所以—=----=e,所以ln(x2+a)=e%，所以ex2=—l，即/=一一，

馬馬+。e

12

代入------=e^a=-.

x2+ae

故選：D

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.函數/(x)的導函數/'(x)的圖象如圖所示，貝I()

A.-1是函數/(x)的極值點B.3是函數/(x)的極大值點

C./(x)在區間(-1,4)上單調遞減D.1是函數/(x)的極小值點

【答案】AC

【解析】

【分析】根據導函數的圖象，得出函數的單調區間，進而即可得出函數的極值情況.

【詳解】對于A項，由圖象可知，

當x<—1時，/'(x)〉0,所以/(x)在(一叫一1)上單調遞增；

當一l<x<3時,r(x)<0,所以/(x)在(一1,3)上單調遞減.

所以，/(x)在x=-1處取得極大值.故A正確；

對于B項，由圖象可知，

當X〉-1時，/'(x)40恒成立，且不恒為0,所以/(x)在(-1,+8)上單調遞減

所以，3不是函數/(x)的極大值點.故B錯誤；

對于C項，由B可知，/(x)在區間(-1,4)上單調遞減.故C正確；

對于D項，由B可知，/(x)在(-1,+8)上單調遞減.

所以，1不是函數/(x)的極小值點.故D錯誤.

故選：AC.

10.若函數/(X)滿足VxeR,/(x+2)=/(2-x),且Vx】，x2e[2,+ooj,

〉0(》尸乙)，則()

%-x2

A./(x+2)為偶函數B./(0)</(3)

C./(-tz2+a+l)>/^D.若/?>〃3),則1〈掰<3

【答案】AC

【解析】

【分析】先由函數的對稱性可找到對稱軸x=2,即可判斷A選項再由題找到函數的單調性，利用單調性

比較函數值的大小，可判定BCD選項.

【詳解】由題意可得/(x)的圖象關于直線x=2對稱，且/(x)在[2,+co)上單調遞增，

則/(x)在(-哂2)上單調遞減，且/(X+2)的圖象關于直線x=0對稱，

由偶函數圖象的特征得A正確.

結合函數/(x)的單調性和/(x)圖象的對稱性得，距離x=2越近，函數值越小，|0-2|>|3-2|,所以B

不正確.

2335

H+—?所以C正確.

對D,若〃加)>〃3),則直線x=加距離直線2更遠，即何一2|>1,解得機〉3或加<1,所以D不

正確.

故選：AC.

11.已知定義在R上的函數/(x)不恒等于0J(兀)=0,且對任意的xjeR,有

/(2x)+/(2j)=2/(x+-y)/(x-j),則()

A./(0)=1

B./(x)是偶函數

C./(x)的圖象關于點(兀,0)中心對稱

D.2兀是/(x)的一個周期

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用賦值法令x=V根據表達式可判斷A正確，再根據偶函數定義可得B正確；取x+y=兀并根

據對稱中心定義可得C正確，由對稱中心以及偶函數性質可判斷4無是/（x）的一個周期，可得D錯誤.

【詳解】對于A,根據題意令x=>,則由/（2x）+/（2y）=2/（x+y）/（x-y）可得

/（2x）+/（2x）=2/（2x）/（0）,解得"0）=1,即A正確;

對于B,令％=-歹可得/（2x）+/（-2x）=2/（0）/（2x）=2/（2x）,所以〃2x）=/（—2x）,

即可得對任意的xeR滿足/（x）=/（-x）,即/（x）是偶函數，所以B正確；

對于C,令x+j=7T,則由/（2x）+/（2y）=2/（x+y）/（x—y）可得

/（2TT-2J）+/（2J）=2/（7r）/（7T-2v）=0,

即/（x）滿足"2兀一x）+/（x）=0,因此可得/（x）的圖象關于點（兀,0）中心對稱，即C正確；

對于D,由于/（X）是偶函數，所以滿足/（%-2兀）+/（%）=0,即/（x）+/（x+2兀）=0,

可得“X—2兀）=/（》+2兀），也即/（力=/（》+4兀），所以4兀是/（x）的一個周期，即D錯誤.

故選：ABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.

12.函數/（x）=-+VlZ7的定義域是.

X

【答案】（—co,。）”0,1]

【解析】

【分析】根據偶次方根的被開方數非負、分母不為零得到方程組，解得即可；

、1I----1—x0

【詳解】解：因為/（'）=一+所以《八，解得XW1且XW0,

x[xw0

故函數的定義域為（-*0）。（0』；

故答案為：（-W,O）u（O,l]

13.已知函數/（%）=》3+3<2》2+岳：+/在X=—1時有極值0,則a+b=.

【答案】11

【解析】

【分析】求出函數的導數，由題意列出方程組，求得凡6的值，經驗證后，即可確定a,6的值，即可求得答

案.

【詳解】由函數/(x)=丁+3口》2+樂+/,f'(x)=3x2+6ax+b,

y,(-l)=3-6a+Z)=0a=la=2

由題意得<解得《或4

/(-l)=-l+3a-6+a2=0b=3"b=9'

Q=1

當^6—3時，/，(^)=3X2+6X+3=3(X+1)2>0,僅當x=—l時等號成立,

此時/(x)在R上單調遞增，無極值，不符合題意；

當《時，f(x)=3x2+12x+9=3(x+l)(x+3),

[b=9

令/'(x)>0,則x<—3或x>—1,令/'(x)〉0,則—3<x<—1,

即/(x)在(-*-3),(-1,+co)上均單調遞增，在(-3,-1)上單調遞減，

故/(x)在x=-1處取得極小值,K/(X)=X3+6X2+9X+4,則/(—1)=0,

a=2

即〈八符合題意，故4+6=11,

b=9

故答案為：11

14.己知函數/(x)=e'T,g(x)=l+lnx,若/O)=g(〃)，則〃一根的最小值為

【答案】-2

【解析】

【分析】令/(機)=g(〃)=/,求出機，〃，構造函數，利用導數求出最小值即得.

【詳解】令/(掰)=g(〃)=f,即e"T=/,i+in〃=/j〉0,解得加=3+ln/,〃=ei,

則〃—機=e'T—In/—3,令力?)=ei—lnZ—3,求導得I。)=e'"—；,

函數1(/)在(0,+8)上單調遞增，"(1)=0,當0</<1時，〃'(/)<0,當/>1時，力'(7)>0,

因此函數〃(。在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，力。)min=力(1)=-2,

所以〃一機的最小值為—2.

故答案為：-2

四、解答題：本題共5小題，共計77分.

15.己知函數/(x)=d+/+樂+2在X=—1處取得極值3.

(1)求a,b的值；

(2)求函數/(x)在區間［-2,2］上的最值.

【答案】(1)a=l,b=-l

(2)/(x)的最小值為0,最大值為12

【解析】

【分析】(1)求出函數/(x)的導函數，利用極值的性質列方程組，即可求解a,b的值；

(2)由(1)可得函數/(x)及其導函數，利用導數求出/(x)的單調區間，從而求出極值與端點處的函數

值，從而可得最值.

【小問1詳解】

依題意，f'(x^3x2+2ax+b,因為/(x)在x=—1處取得極值3,

/,(-l)=3-2o+Z)=0

所以\/(-l)=l+a-Z?=3解得。=1,b=-l.

此時(x)=3x2+2x-1=(3x-l)(x+1),顯然當x<—l和時，/"(x)>0,

當時，r(x)<o,故/(X)在(—8—1)［；,單調遞增，在單調遞減,

所以/(X)在x=-1處取得極大值/(-I)=3,

所以。=1,b=—1.

【小問2詳解】

由(1)知，f(x)=x3+x2-x+2,/,(x)=(3x-l)(x+l),

當—2<x<—1或;<x<2時，/,(x)>0,當—l<x<g時，f'(x)<0,

所以/(x)在［-2,-1),(12］上單調遞增，在(—1,：)上單調遞減，

/(—2)=0,〃一1)=3,/(；)=||，"2)=12,

所以/(x)的最小值為0,最大值為12.

16.已知函數/(%)=2工-(是定義在R上的奇函數.

3

(1)若/(x)=5,求X的值；

(2)若xe［0,3］時，不等式/("2x)+/(/)<0恒成立，求實數/的取值范圍.

【答案】(1)x=l

(2)(-co,-3］

【解析】

【分析】(1)根據奇函數的性質得到/(0)=0,即可求出。，從而得到/(x)的解析式，再解方程即可；

(2)首先判斷函數的單調性，結合奇偶性與單調性得到/-2x<-必在xe［0,3］上恒成立，參變分離可得

t<-x2+2x，xe［0,3卜恒成立，根據二次函數的性質求出—/+2X的最小值，即可得解；

【小問1詳解】

解：因為函數/(%)=2"-2是定義在R上的奇函數，

所以/(0)=0,即2°—看=0,解得a=l,所以/(x)=2=?，

即/(x)=2，-2：則/(-力=2一:2工=-/⑴，符合題意，

又/⑴=|,gp2x-^=|,即2-4'一32—2=0,即(22+1)(2,—2)=0,

即2'—2=0，解得x=l

【小問2詳解】

解：因為/(x)=2;：，

所以/(x)在定義域上單調遞增，又/(x)是定義在R上的奇函數,

等價于/?-2x)W，)=/)在xe[o,3]上恒成立，

即/-2%<-必在xe[0,3]上恒成立，即/<一必+2》，xe[0,3卜恒成立,

令g(x)=f2+2x=一1,xe[0,3],

所以g(x)在［0』上單調遞增，在0,3］上單調遞減，g(0)=0、g(3)=-3,

所以g(x)1nhi=-3,所以/￡-3,即北(一叫一3］；

17.已知函數/(X)=R”X+X2-36,曲線歹=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程為2x+y—4=0.

(1)求實數。，b的值；

(2)若曲線一必，求曲線C過點(2,4)的切線方程.

【答案】(1)。=一4,6=-；；(2)4x-y-4=0或x-y+2=0.

【解析】

【分析】(1)由已知可得/'(1)=-2,/⑴=2,列方程求a,b,(2)設設曲線與過點尸(2,4)的切線相切于

點/(%,(焉+g),則/'(X。)與直線PA的斜率相等，由此可求切點坐標，并求出對應的切線方程.

【詳解】解：⑴/(乃=出網+/-36的導數為/'(幻=0+2工，

X

由曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程為2x+y—4=0,

可得。+2=—2,即。=—4,

又/(1)=1—36=2,解得6=—；,

即有。二一4,b=--；

3

a14

(2)曲線C:y=---x23-4/J,即》=—十+―,

12,33

導數/=一,

設曲線與過點尸(2,4)的切線相切于點4(%,y1+14),

則切線的斜率后=%，

1.4

所以切線方程為+§)=%o9(X—玉)),

224

即y=%0，x--xo3+］，

因為點尸(2,4)在切線上，

24

所以4=2x1——XQ+—,

33

即入；—3XQ+4=0,

即有工；+-4%Q+4=0,

所以(％+1)(%—2)2=0,

解得/=-1或%=2,

故所求的切線方程為4x_y_4=0或x—y+2=0.

18.已知函數=-31nx.

(1)求/(x)的最小值；

⑵設g(x)=Y+1-3,證明：/(x)<g(x)

【答案】(1)1

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用導數與函數性質的關系即可得解；

⑵構造函數/z(x)=lnx+^-1,禾!J用導數證得〃(x)20恒成立，從而得證.

X

【小問1詳解】

因為/(力=丁-31nx,x>0,貝I]/，(X)=3X2—。=棗~

XX

令廣(力<0,得O<X<1；令/(x)>0,得X>1；

所以/(x)在(0/)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

所以/(X)的最小值為/(l)=l—31nl=l.

【小問2詳解】

因為/(x)=%3—3Inx,g(x)=x3H---3,

31

所以由/(x)(g(x),得％，—3Inx<---3,即InxH----120,

XX

令為⑴=1口、+!-1,x>0,貝函(%)=工一二二jL

XXXX

令"(x)<0,得0<x<l；令得X>1；

所以〃(X)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

則人(工)2人(1)=1111+1-1=0,即lnx+工一120恒成立，

x

所以/(x)Wg(x).

19.已知函數/(x)=ln^^+ax+b(x—l)3

2-x

(1)若)=0,且八x)N0,求。的最小值;

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形;

(3)若/(X)>一2當且僅當l<x<2,求b的取值范圍.

【答案】(1)-2

2

(2)證明見解析(3)b>——

3

【解析】

【分析】⑴求出了'(X)1mli=2+。后根據/'(x)20可求。的最小值;

(2)設尸(根用為y=f(x)圖象上任意一點，可證尸(根,同關于(1,a)的對稱點為0(2-7%2"〃)也在函

數的圖像上，從而可證對稱性；

2

(3)根據題設可判斷/(1)=一2即a=—2,再根據/(x)〉—2在(1,2)上恒成立可求得62

【小問1詳解】

6=0時，/(x)=ln%+ax,其中xe(0,2),

2-x

112

則/'(x)=一+：；—+a=—T>~v+a，xw(O,2),

x2-xx^2-x)

因為—產］=1,當且僅當x=l時等號成立,